Fondamenti di Analisi 1 per l'Ingegneria - Appunti

Capitolo 1

Insiemi e Logica

Convenzioni - Lessico

Gli insiemi si indicano tramite lettere maiuscole

A={1, 2,3, 4, 5}

Esempio:

Elementi e Insiemi

x∈ A - x appartiene all'insieme A

x∉ A - x non appartiene all'insieme A

Rapporti tra Insiemi

A⊆B : x x B - A è un sottoinsieme di B

∈A ⇒ ∈

A=B : x A x - A coincide con B

∈ ⇔ ∈B

A⊆ X , B⊆X

Se A∪B : x A∨x

Unione: ∈ ∈B

A∩B : x A∧x

Intersezione: ∈ ∈B

A

Insieme Vuoto: : ogni insieme contiene infiniti insiemi vuoti

∅⊂

A B : x A∧x

Sottrazione : ∖ ∈ ∉B

Proprietà degli Insiemi – Leggi di De Morgan

A⊆ X , B⊆X

Dato un universo X e due insiemi A e B, con :

X A∪B)=(X A X B)

1 - ∖( ∖ )∩( ∖

X A∩B)=(X A X B)

2 - ∖( ∖ )∪( ∖

X A X A

3 - ∖( ∪ )= ∩ ( ∖ )

i i

i∈I i ∈I

X A X A

4 - ∖( ∩ )= ∪ ( ∖ )

i i

i∈I i ∈I Prodotto Cartesiano

A⊆ X , B⊆X

Dato un universo X e due insiemi A e B, con :

A x B={( a ,b) a∈ A∧b∈ B}

∣

, b)≠(b , a) a≠b A x B≠B x A

N.B: per ! Quindi !

(a 1

Dai Naturali ai Complessi

In , si hanno l'operazione somma “ + ” e l'operazione prodotto “ ∙ ”.

ℕ

Esse sono commutative: {

a+ b=b+ a

a⋅b=b⋅a

e assocative: { a+b)+c=a+(b

( +c)=b+(a+c )

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c )=b⋅(a⋅c)

Definizione: In vi è un elemento neutro per la somma:

ℕ a ,∃b∈ℕ∣ a+b=a b=0

∀ ∈ℕ

ed esiste un elemento neutro neutro per il prodotto:

a ,∃b∈ℕ∣ a⋅b=a b=1

∀ ∈ℕ d a+b=0

Limite di : non esiste un numero ∈ℕ∣

ℕ

Si introducono quindi i numeri interi : in , somma e prodotto sono associative e

ℤ ℤ

commutative, come in ; inoltre esistono i relativi elementi neutri, e ogni elemento ammette

ℕ

opposto. a ,∃d a+b=0 b=−a

∀ ∈ℕ ∈ℕ∣

d a⋅d

Limite di : non esiste un numero ∈ℤ ∣ =1

ℤ

Si introducono quindi i numeri razionali : in , somma e prodotto sono abeliane e

ℚ ℚ

commutative, come in , esistono i relativi elementi neutri, ogni elemento ammette opposto, e

ℕ

ogni elemento ammette reciproco: 1

a ,∃d a⋅b=1 b=

∀ ∈ℕ ∈ℕ∣ a

Definizione: Un insieme in cui somma e prodotto siano abeliane e associative, in cui esistano i

relativi elementi neutri e in cui ogni elemento ammetta opposto e reciproco è

denominato “ campo ”.

2 2 √

Limite di : L'equazione non ammette sempre soluzione! (es. )

x x x=± 2∉ℚ

ℚ =a =2⇒

Si introducono quindi i numeri reali : in , somma e prodotto sono abeliane e commutative,

ℝ ℝ

come in , esistono i relativi elementi neutri, ogni elemento ammette opposto, e ogni elemento

ℚ

ammette reciproco. Inoltre, è ora possibile risolvere equazioni che implichino l'utilizzo di numeri al

2

di fuori di , ma anche ha un limite: un'equazione del tipo non è

x a>0

ℚ ℝ =−a

risolvibile in !

ℝ

Si introduce, quindi, l'impiego dei numeri complessi .

ℂ

2

Relazioni e Funzioni 2

Dato un universo X , si definisce relazione ogni insieme S⊆ X

2 2 2

Esempio: S={(x , y)∈ℝ x y

∣ + =1} (~ ~ x=~ y=~

2 x y

, y x , y

Una relazione è una funzione se, dati due elementi e , .

S⊆ X ⇒

(x ) )

2 2 2

Esempio: NON è una funzione!

S={(x , y)∈ℝ x y

∣ + =1}

2 2 2 è una funzione

S={(x , y)∈ℝ x y , y

∣ + ≥1 ≥0}

2 f : X X

Data una funzione , si può definire una legge che assegni ad ogni x un solo

S⊆ X →

elemento y. √

2 2 2

x y y= 1−x

Esempio: + =1⇒ Funzioni – Dominio e Codominio

D={x∈X∣∃ y X∣(x , y

Il dominio di una funzione è : l'insieme delle x per cui esiste un

∈ )∈S}

, y

elemento y tale da rendere la coppia un elemento del dominio.

(x )

√ 2

y= 1−x D=[−1, 1

Esempio: ⇒ ] D={x∈X∣∃ y x , y

Il codominio, o Range, di una funzione è : l'insieme delle y per cui

∈X∣( )∈S}

, y

esiste un elemento x tale da rendere la coppia un elemento del dominio.

(x )

√ 2

y= 1−x R=[0,1

Esempio: ⇒ ] Funzioni – Iniettività (~ ~

, y x , y

Data una funzione, essa è iniettiva - o “ 1-1 ” - se, dati due elementi e , vale la

(x ) )

~ ~

x= x y= y

relazione .

⇔

2,

Esempio: y=x x≥0

N.B: Le funzioni 1 – 1 sono invertibili!

2, √

Esempio: y=x x≥0 x= y

⇒ Disuguaglianza Triangolare

x y x y

| |≤| |+| |

+ 2 2

x y x y

x y x y

Dimostro: Se vale , vale anche | | ≤(| |+| |)

+

| |≤| |+| |

+ 2 2 2 2 2

x y x y x y y 2 x y

Ma , quindi

(| |+| |) =| | +| | | |⋅| |=x | |⋅| |

+2 +

2 2 2 2 x y≤|

x y x y≤| xy

: si ricava dunque , da cui .

x y x y y 2 x y

| |⋅| | |⋅| | |

+ +2 ≤x +

x y=±| xy x y≤| xy x , y

Ma , quindi .

| | ∀ ∀

3

Introduciamo un principio vitale nel campo della matematica, il cosiddetto Principio di Induzione.

Principio di Induzione

n∈ℕ P

Sia , è una proposizione dipendente da n.

n

P P P P

Teorema: Se è vera e si dimostra che, ponendo vera, anche risulta vera,

1 n n+1 n

risulta automaticamente vera!

n−1

Esempio: 2 ≥n

n=1 1≥1 P

per , si ha : è vera.

1

P P

Poniamo vera: è vero?

n n+1

n+1−1 n n n−1 n

: ma , da cui : risulta

P :2 2 2 n 2 n≥n+1

≥n+1⇒ ≥n+1 =2⋅2 ≥2 ≥2

n+1

n≥1 n∈ℕ

, automaticamente vera perché vale .

a∈ℝ

Esempio: Pongo ∖ {1} n n +1

1−a

∑

2 n i

P :1+ a+a a

+...+a = =

n 1−a

i=0 2

1−a

n=1 P

per , si ha : è vera.

1+a= =1+a 1

1−a

P P

Poniamo vera: è vero?

n n+1 n+1+1

a

2 n n+1

P : 1+a+a a

+...+ +a =1−

n+1 1−a n +1

a

2 n

P

Ma per , , quindi

1+a+ a ...+ a

+ =1−

n 1−a

n +1

1−a

2 n n+1 n+1 : svolgendo i calcoli, si ottiene

1+a+ a ...+ a

+ +a =a + 1−a

n+1 n+ 2 n n+2

+1

a 1−a

−a +1−a 0=0

, da cui .

=

1−a 1−a

n n(n+1)

∑

Esempio: P : k=

n 2

i=1 1⋅2

1=

n=1 P

per , si ha : è vera.

=1 1

2

P P

Poniamo vera: è vero?

n n+1

(n+1)(n+2)

P :1+...+n+n+1=

n+1 2 4

n(n+1) n(n+ 1)

P 1+...+n= 1+...+n+n+1=n+1+

Ma per , , da cui :

n 2 2

(n+1)(n+2) (n+1)(n+2) 0=0

svolgendo i calcoli, si ottiene , da cui .

=

2 2

Disuguaglianza di Bernoulli

n

x≥1⇒(1+x ) ≥1+nx

n=1 1+ x≥1+ x P

per , si ha : è vera.

1

P P

Poniamo vera: è vero?

n n+1

n+1

P :(1+ x x

) ≥1+(n+1)

n+1 n n +1

P

Ma per , , da cui :

x) nx x) x nx)

(1+ ≥1+ (1+ ≥(1+ )(1+

n 2 2 n∈ N

svolgendo i calcoli, si ottiene , da cui , vero .

1+nx x+nx x nx ∀

+ ≥1+nx+ ≥0

Identità di Newton

n ( )

n

∑

n n k

+k

a b

(a+b) = k

k=0

( )

nk

Il termine è il coefficiente binomiale – si legge “ n su k ” - ed è un termine del calcolo

fattoriale: definiamo quindi come si svolgono i calcoli fattoriali:

n !=n(n−1)(n−2)...⋅2⋅1

1 - ( )

n!

( ) n

n

2 - , dove si legge “ n su k ” .

= k ! k

k (n−k)!

( ) ( ) ( )

n n−1 n−1

Osservo: = +

k k k−1 ! !

(n−1) (n−1)! (n−1) (n−1)!

( ) ( )

n−1 n−1

Dimostro: + = + = +

k !( n−1−k k !(n−1−k ! k !(n−1−k k !(n−k) !

k k )! +1) )!

−1

Tramite il minimo comune multiplo, si ottiene: n−1)! n( n−1)! n!

(n−1)! (n−1)! (n−k )(n−1)! +k ( .

+ = = =

k ! k ! k ! k ! k !

(n−1−k )! (n−k )! (n−k )! (n−k )! (n−k )!

( ) ( ) ( )

nk n−1 n−1

Si ha dunque = +

k k−1 5

Ma torniamo all'identità di Newton.

( ) ( )

1 1

n=1 P

per , si ha : è vera.

a+b= a+ b=a+b 1

0 1

P P

Poniamo vera: è vero?

n n+1

n +1 ( )

n+1

∑

n+1 n+1−k k

P :( a+b) a b

=

n+1 k

k=0 n n n

( ) ( ) ( )

n n n

∑ ∑ ∑

n n−k k n n−k k

+1−k +1

a b a a b

⇒(a+b)(a+b) =(a+b) = +

k k k

k=0 k=0 k=0

n n +1

( ) ( )

n n

∑ ∑

n+1−k n−k k

+1 +1

a a b

= +

k k −1

k k=1

=0

Sviluppando si ottiene:

n n [ ]

( ) ( ) ( )

n n n

∑ ∑

n n+1−k k n+1 n+1 n+1 n k

+1 +1−k

a 2 a b a b

+ +b =a +b + +

k k k

−1

k k=1

=1 n n+1

[ ]

( ) ( )

n+1 n+1

∑ ∑

n+1 n+1 n+1−k k n k

+1−k

a b a b

=a +b + =

k k

k=1 k=0

n+1 ( )

n+1

∑

n n k

+1 +1−k

Si ricava dunque a b

(a+b) = k

k=0 Relazioni d'Ordine

a , b∈ X a<b∨a=b∨a>b

Dati due elementi , si ha Maggioranti E⊂ X , E≠∅

X X ,

Definizione: Dato l'universo e un suo sottoinsieme , il termine

=( < )

M∈ X x∈E x≤M x

è un maggiorante di E se vale la proposizione .

⇒ ∀ ∈E

{ }

n

E= n∈N

X

Esempio: , ∈ℚ,

=ℚ n+1

Può essere M = 2?

n n≤2 n+2 n≥−2

Se M = 2, , che è sempre valido.

≤2⇒ ⇒

n+1

2, quindi, è un maggiorante di E.

M X

Definizione: Un maggiorante è l'estremo superiore di E se:

∈

x∈E x≤M x

1 - ⇒ ∀ ∈E

M ' M M '≤x≤M x∈ E

2 - < ⇒ ∀

M

In questo caso, =supE 6

{ }

2

X M

Esempio: , non ammette :

E= x x

=ℚ =supE

∈X ∣ <2

√

supE= 2∉X ⇒∄supE ∈ℚ

E⊂ X , E≠∅

X ,

Teorema: Sia ,

=(ℝ <) supE

Se esiste un maggiorante di E, esiste anche il suo .

Minoranti

X X , E⊂ X , E≠∅

Definizione: Dato l'universo e un suo sottoinsieme , il termine

=( < )

m∈X x∈E x≥m∀ x

è un minorante di E se vale la proposizione .

⇒ ∈E

m∈X

Definizione: Un minorante è l'estremo inferiore di E se:

x∈ E x≥m∀ x

1 - ⇒ ∈E

m<m' m≤x≤m ' x

2 - ⇒ ∀ ∈E

m=infE

In questo caso, Intervalli in ℝ

a , b∈ℝ , a<b

Dati :

, b)= x∈ℝ a< x

1 - - intervallo aperto

{ }

(a ∣ <b

,b x∈ℝ a≤x

2 - - intervallo chiuso

{ }

[a ]= ∣ ≤b

]

( a , b x a< x≤b

3 - - intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra

{ }

= ∈ℝ ∣

[ )

a , b x∈ℝ a≤x

4 - - intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra

{ }

= ∣ <b Successioni

f : X

Una successione è una funzione , dove X è un qualsiasi insieme o intervallo

ℕ→

X=ℚ x

(es. ), che associa a un numero naturale n un valore .

n

n

f

Esempio: (n)=x =

n n+1 7

Capitolo 2

Limiti delle Successioni

Limite Finito n→+∞

Definizione: Se una successione ammette limite finito (per ), allora esiste un valore l tale

n(ε)∈ℕ

che, per ogni valore positivo, esista un indice , funzione di , tale

ε ε

x

n>n

che per ogni valga la disequazione :

∣ ∣

−l <ε

(ε) n

, n>n x

∣ ∣

∃l∈ℝ ∣ ∀ ε>0 ∃n(ε)∈ℕ ∣ (ε)⇒ −l <ε

n

1

x

Esempio: ; il limite della successione è 0.

=

n n 1 1 1

∣ ∣ ∣ ∣

l=0 0 ,∃n(ε)∈ℕ n>n(ε)⇒

Dimostro: ⇒ ∀ ε> ∣ −0 = = <ε

n n n

1 1 1

n> n(ε)=

n(ε)∈ℕ

Ma vale : il termine sarà allora , ed esisterà

< ε⇒

n ε ε

per ogni valore di , poiché non abbiamo posto condizioni su tale valore.

ε Convergenza

Una successione è convergente se ammette limite finito.

{x } ⊂ℝ

n n∈ℕ

n

x

Esempio: ; la successione converge a 1.

=

n n+1 n

∣ ∣

l=1⇒ , n> n(ε)⇒

Dimostro: ∀ ε>0 ∃n(ε)∈ℕ ∣ −1 <ε

n+1

n n 1

n∈ℕ

Poiché vale , deve valere , ossia : varrà

<1 ∀ − +1 <ε < ε

n+1 n+1 n+1

1 1

n n(ε)∈ℕ

dunque , dove è il termine .

> −1 −1

ε ε

Introduciamo tre delle proprietà dei limiti:

1 – Se una successione ammette limite, esso è unico. l l

Dimostro: Per assurdo, supponiamo che esistano due valori ed , entrambi limiti di una

1 2

l

successione , con .

{x } ⊂ℝ <l

n n∈ℕ 1 2

l −l

2 1

Scegliamo : poiché entrambi i valori sono limiti di deve valere

{x }

ε = n n∈ℕ

2

il sistema: { n> n(ε)⇒ x

∣ ∣

∃n(ε)∈ℕ ∣ −l <ε

n 1

n> n(ε)⇒ x

∣ ∣

∃n(ε)∈ℕ ∣ −l <ε

n 2

8 { x

∣ ∣

−l <ε

Per , varrà quindi .

n>max ,n n 1

{n(ε) (ε)} x

∣ ∣

−l <ε

n 2

{ l −l

2 1

x

∣ ∣

−l <

l −l n 1 2

2 1

Ma , quindi vale : applichiamo l'equivalenza

ε = 2 l −l

2 1

x

∣ ∣

−l <

n 2 2

l l x e la disuguaglianza triangolare, ottenendo quindi

∣ ∣ ∣ ∣

−l = + −x −l

2 1 2 n n 1

l x x l

, che implica .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

+x −x −l ≤ −l + −l <2ε ≡l

2 n n 1 n 1 n 2 1 2

Definizione: è limitata se possiede un maggiorante.

{x }

n n∈ℕ

2 – Se una successione ammette limite, essa è limitata.

n>n(1)⇒ x x

Dimostro: Posto , , ossia , da cui

∣ ∣

∃n(1)∈ℕ ∣ −l <1

ε =1 −1< −l <1

n n

x l−1 , l

l−1< x n>n

: vale dunque per .

{∣ ∣ ∣ ∣}

∣ ∣

<max +1

<l+1 (1)

n

n

Ma è limitata, quindi esiste un termine M, maggiorante della successione,

{x }

n n∈ℕ

M x , x ,... , x , ... max l−1 , l+1

ossia .

∣ ∣ {∣ ∣ ∣ ∣}}

∣ ∣ ∣ ∣

=max { 1 2 n(1)

2

cos( n ) 2

x

Esempio: Considero : il termine non ha limite, perché è una funzione

a n

= =cos( )

n

n √ n 1

2 b

oscillante, ma è limitata, infatti vale ; il termine invece

=

−1≤cos(n )≤1 n √ n

b 0 a 0

ha limite, ed in particolare vale . Vale dunque

→ ⋅b =x →

n n n n

n→+∞ n→+∞

Tramite questo esempio possiamo quindi formulare la terza proprietà dei limiti:

x a b x

3 – Dato , se il termine è limitato e il termine tende a 0, tende

=a ⋅b

n n n n n n

automaticamente a 0.

, n> n(ε)⇒ x

Dimostro: ∣ ∣

∀ ε>0 ∃n(ε)∈ℕ ∣ <ε

n a

a

Il termine è limitato, quindi ∃M >0 ∣ ≤M

∣ ∣

n n

, n>n(ε)⇒ b

b

Il termine tende a 0, quindi , e

∣ ∣

∀ ε>0 ∃n(ε)∈ℕ ∣ <ε

n n

ε

n>n b

in particolare : unendo le due proposizioni si ha

∣ ∣

(ε)⇒ <

n M

{ ε

b ε

∣ ∣

< .

x b a M⋅ x

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

n ⇒ = ⋅ < =ε ⇒ <ε

M n n n n

M

a

∣ ∣

≤M

n 9

Teorema del Confronto – Sandwich Theorem

x a b a

Data una successione compresa tra due successioni e , se le successioni e

n n n n

b l x

convergono allo stesso valore allora anche la successione converge automaticamente

n n

l

al valore : {

a n∈ℕ

≤x ≤b ∀

n n n

a l x l

→ ⇒ →

n n

n n→+∞

→+∞

b l

→

n n →+∞ a b

Dimostro: Applicando la definizione di convergenza per le successioni e , si ottiene:

n n

{ n(ε)∈ℕ n> n(ε) a

∣ ∣

∀ ε>0, ∃ ∣ ⇒ −l <ε

n

n(ε)∈ℕ n> n(ε) b