Fondamenti di Analisi 1 per l'Ingegneria - Appunti

Capitolo 1

Insiemi e logica

Convenzioni - Lessico

Gli insiemi si indicano tramite lettere maiuscole. A={1, 2,3, 4, 5}

Esempio: Elementi e Insiemi. x∈ A - x appartiene all'insieme A. x∉ A - x non appartiene all'insieme A.

Rapporti tra insiemi

A⊆B : x x B - A è un sottoinsieme di B∈A ⇒ ∈A=B : x A x - A coincide con B∈ ⇔ ∈B

A⊆ X , B⊆X

Se A∪B : x A∨x. Unione: ∈ ∈B

A∩B : x A∧x. Intersezione: ∈ ∈B

Insieme Vuoto: : ogni insieme contiene infiniti insiemi vuoti. ∅⊂A

B : x A∧x. Sottrazione : ∖ ∈ ∉B

Proprietà degli insiemi – Leggi di De Morgan

A⊆ X , B⊆X

Dato un universo X e due insiemi A e B, con :

X A∪B)=(X A X B)1 - ∖( ∖ )∩( ∖

X A∩B)=(X A X B)2 - ∖( ∖ )∪( ∖

X A X A3 - ∖( ∪ )= ∩ ( ∖ )i ii∈I i ∈I

X A X A4 - ∖( ∩ )= ∪ ( ∖ )i ii∈I i ∈I

Prodotto cartesiano

A⊆ X , B⊆X

Dato un universo X e due insiemi A e B, con :

A x B={( a ,b) a∈ A∧b∈ B}

∣, b)≠(b , a) a≠b. A x B≠B x A

N.B: per ! Quindi !(a 1

Dai Naturali ai Complessi

In ℕ, si hanno l'operazione somma “ + ” e l'operazione prodotto “ ∙ ”.

Esse sono commutative: {a+ b=b+ aa⋅b=b⋅ae associative: { a+b)+c=a+(b( +c)=b+(a+c )(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c )=b⋅(a⋅c)

Definizione: In ℕ vi è un elemento neutro per la somma: a ,∃b∈ℕ∣ a+b=a b=0∀ ∈ℕ

ed esiste un elemento neutro neutro per il prodotto: a ,∃b∈ℕ∣ a⋅b=a b=1∀ ∈ℕ

Limite di ℕ: non esiste un numero ∈ℕ∣d a+b=0

Si introducono quindi i numeri interi ℤ: in ℤ, somma e prodotto sono associative e commutative, come in ℕ; inoltre esistono i relativi elementi neutri, e ogni elemento ammette opposto.

a ,∃d a+b=0 b=−a∀ ∈ℕ ∈ℕ∣d a⋅d

Limite di ℤ: non esiste un numero ∈ℤ ∣ =1

Si introducono quindi i numeri razionali ℚ: in ℚ, somma e prodotto sono abeliane e commutative, come in ℕ, esistono i relativi elementi neutri, ogni elemento ammette opposto, e ogni elemento ammette reciproco: 1a ,∃d a⋅b=1 b=∀ ∈ℕ ∈ℕ∣ a

Definizione: Un insieme in cui somma e prodotto siano abeliane e associative, in cui esistano i relativi elementi neutri e in cui ogni elemento ammette opposto e reciproco è denominato “campo”.

2 2 √ Limite di ℚ: L'equazione non ammette sempre soluzione! (es. )x x x=± 2∉ℚℚ =a =2⇒

Si introducono quindi i numeri reali ℝ: in ℝ, somma e prodotto sono abeliane e commutative, come in ℚ, esistono i relativi elementi neutri, ogni elemento ammette opposto, e ogni elemento ammette reciproco. Inoltre, è ora possibile risolvere equazioni che implichino l'utilizzo di numeri al di fuori di ℚ, ma anche ℝ ha un limite: un'equazione del tipo 2 x a>0 ℝ =−a non è risolvibile in ℝ!

Si introduce, quindi, l'impiego dei numeri complessi ℂ.

Relazioni e Funzioni

2Dato un universo X , si definisce relazione ogni insieme S⊆ X2

2 2Esempio: S={(x , y)∈ℝ x y∣ + =1} (~ ~ x=~ y=~2 x y, y x , y

Una relazione è una funzione se, dati due elementi e , .S⊆ X ⇒(x ) )2 2

2Esempio: NON è una funzione! S={(x , y)∈ℝ x y∣ + =1}

2 2 2è una funzione S={(x , y)∈ℝ x y , y∣ + ≥1 ≥0}

2 f : X XData una funzione , si può definire una legge che assegni ad ogni x un solo S⊆ X → elemento y.

√2 2 2x y y= 1−x. Esempio: + =1⇒

Funzioni – Dominio e Codominio

D={x∈X∣∃ y X∣(x , yIl dominio di una funzione è : l'insieme delle x per cui esiste un∈ )∈S}, y elemento y tale da rendere la coppia un elemento del dominio.

(x )√ 2y= 1−x D=[−1, 1. Esempio: ⇒ ]

D={x∈X∣∃ y x , yIl codominio, o Range, di una funzione è : l'insieme delle y per cui∈X∣( )∈S}, y esiste un elemento x tale da rendere la coppia un elemento del dominio.

(x )√ 2y= 1−x R=[0,1. Esempio: ⇒ ]

Funzioni – Iniettività

(~ ~, y x , yData una funzione, essa è iniettiva - o “ 1-1 ” - se, dati due elementi e , vale la (x ) )~ ~x= x y= y relazione .⇔

2,Esempio: y=x x≥0

N.B: Le funzioni 1 – 1 sono invertibili!

2, √Esempio: y=x x≥0 x= y⇒

Disuguaglianza triangolare

x y x y| |≤| |+| |+ 2 2x y x yx y x y

Dimostro: Se vale , vale anche | | ≤(| |+| |)+| |≤| |+| |+ 2 2 2 2 2x y x y x y y 2 x y

Ma , quindi(| |+| |) =| | +| | | |⋅| |=x | |⋅| |+2 +2 2 2 2 x y≤|x y x y≤| xy: si ricava dunque , da cui .x y x y y 2 x y| |⋅| | |⋅| | |+ +2 ≤x +x y=±| xy x y≤| xy x , y

Ma , quindi .| | ∀ ∀

Principio di Induzione

Introduciamo un principio vitale nel campo della matematica, il cosiddetto Principio di Induzione.

n∈ℕ PSia , è una proposizione dipendente da n.n

P P P PTeorema: Se è vera e si dimostra che, ponendo vera, anche risulta vera,1 n n+1 n risulta automaticamente vera!

n−1Esempio: 2 ≥n

n=1 1≥1 Pper , si ha : è vera.1

P PPoniamo vera: è vero?n n+1

n+1−1 n n n−1 n: ma , da cui : risultaP :2 2 2 n 2 n≥n+1≥n+1⇒ ≥n+1 =2⋅2 ≥2 ≥2

n+1n≥1 n∈ℕ, automaticamente vera perché vale .

a∈ℝEsempio: Pongo ∖ {1} n n +11−a∑2 n iP :1+ a+a a+...+a = =n 1−ai=0

21−an=1 Pper , si ha : è vera.1+a= =1+a 11−a

P PPoniamo vera: è vero?n n+1

n+1+1a2 n n+1P : 1+a+a a+...+ +a =1−n+1 1−a n +1a2 n

PMa per , , quindi1+a+ a ...+ a+ =1−n 1−an +11−a

2 n n+1 n+1 : svolgendo i calcoli, si ottiene1+a+ a ...+ a+ +a =a + 1−an+1 n+ 2 n n+2+1a 1−a−a +1−a 0=0, da cui .=1−a 1−an

n(n+1)∑Esempio: P : k=n 2i=1

1⋅21=n=1 Pper , si ha : è vera.=1 12

P PPoniamo vera: è vero?n n+1

(n+1)(n+2)P :1+...+n+n+1=n+1 2 4

n(n+1) n(n+ 1)P 1+...+n= 1+...+n+n+1=n+1+Ma per , , da cui :n 2 2

(n+1)(n+2) (n+1)(n+2) 0=0svolgendo i calcoli, si ottiene , da cui .=2 2

Disuguaglianza di Bernoulli

nx≥1⇒(1+x ) ≥1+nx

n=1 1+ x≥1+ x Pper , si ha : è vera.1

P PPoniamo vera: è vero?n n+1

n+1P :(1+ x x) ≥1+(n+1)

n+1 n n +1PMa per , , da cui :x) nx x) x nx)(1+ ≥1+ (1+ ≥(1+ )(1+n

2 2 n∈ Nsvolgendo i calcoli, si ottiene , da cui , vero .1+nx x+nx x nx ∀+ ≥1+nx+ ≥0

Identità di Newton

n ( )n∑n n k+ka b(a+b) = kk=0

( )nkIl termine è il coefficiente binomiale – si legge “ n su k ” - ed è un termine del calcolo fattoriale: definiamo quindi come si svolgono i calcoli fattoriali:

n !=n(n−1)(n−2)...⋅2⋅1

1 - ( )n!( ) nn

2 - , dove si legge “ n su k ”. = k ! kk (n−k)!

( ) ( ) ( )n n−1 n−1Osservo: = +k k k−1 ! !(n−1) (n−1)! (n−1) (n−1)!( ) ( )n−1 n−1

Dimostro: + = + = +k !( n−1−k k !(n−1−k ! k !(n−1−k k !(n−k) !k k )! +1) )!−1

Tramite il minimo comune multiplo, si ottiene: n−1)! n( n−1)! n!(n−1)! (n−1)! (n−k )(n−1)! +k ( .+ = = =k ! k ! k ! k ! k !(n−1−k )! (n−k )! (n−k )! (n−k )! (n−k )!

( ) ( ) ( )nk n−1 n−1Si ha dunque = +k k−1

5Ma torniamo all'identità di Newton.

( ) ( )1 1n=1 Pper , si ha : è vera.a+b= a+ b=a+b 10 1

P PPoniamo vera: è vero?n n+1

n +1 ( )n+1∑n+1 n+1−k kP :( a+b) a b=n+1 kk=0

n n n( ) ( ) ( )n n n∑ ∑ ∑n n−k k n n−k k+1−k +1a b a a b⇒(a+b)(a+b) =(a+b) = +k k kk=0 k=0 k=0

n n +1( ) ( )n n∑ ∑n+1−k n−k k+1 +1a a b= +k k −1k k=1=0

Sviluppando si ottiene:

n n [ ]( ) ( ) ( )n n n∑ ∑n n+1−k k n+1 n+1 n+1 n k+1 +1−ka 2 a b a b+ +b =a +b + +k k k−1k k=1=1

n n+1[ ]( ) ( )n+1 n+1∑ ∑n+1 n+1 n+1−k k n k+1−ka b a b=a +b + =k kk=1 k=0

n+1 ( )n+1∑n n k+1 +1−kSi ricava dunque a b(a+b) = kk=0

Relazioni d'Ordine

a , b∈ X a<b∨a=b∨a>bDati due elementi , si ha

Maggioranti

E⊂ X , E≠∅X X ,Definizione: Dato l'universo e un suo sottoinsieme , il termine=( < )M∈ X x∈E x≤M xè un maggiorante di E se vale la proposizione .⇒ ∀ ∈E{ }

nE= n∈NXEsempio: , ∈ℚ,=ℚ n+1

Può essere M = 2?

n n≤2 n+2 n≥−2Se M = 2, , che è sempre valido.≤2⇒ ⇒

n+12, quindi, è un maggiorante di E.

M XDefinizione: Un maggiorante è l'estremo superiore di E se:∈

x∈E x≤M x1 - ⇒ ∀ ∈E

M ' M M '≤x≤M x∈ E2 - < ⇒ ∀

MIn questo caso, =supE

6{ }2X MEsempio: , non ammette :E= x x=ℚ =supE∈X ∣ <2√

supE= 2∉X ⇒∄supE ∈ℚ

E⊂ X , E≠∅X ,Teorema: Sia ,=(ℝ <) supE

Se esiste un maggiorante di E, esiste anche il suo .

Minoranti

X X , E⊂ X , E≠∅Definizione: Dato l'universo e un suo sottoinsieme , il termine=( < )m∈X x∈E x≥m∀ xè un minorante di E se vale la proposizione .⇒ ∈E

m∈XDefinizione: Un minorante è l'estremo inferiore di E se:

x∈ E x≥m∀ x1 - ⇒ ∈E

m<m' m≤x≤m ' x2 - ⇒ ∀ ∈E

m=infEIn questo caso,

Intervalli in ℝ

a , b∈ℝ , a<bDati :

• (a , b)= x∈ℝ a< x1 - - intervallo aperto{ } ∣ <b
• [a,b x∈ℝ a≤x2 - - intervallo chiuso{ }= ∣ ≤b]
• (a , b x a< x≤b3 - - intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra{ }= ∈ℝ ∣[ )
• a , b x∈ℝ a≤x4 - - intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra{ }= ∣ <b

Successioni

f : XUna successione è una funzione , dove X è un qualsiasi insieme o intervallo ℕ→X=ℚ x(es. ), che associa a un numero naturale n un valore .n

nfEsempio: (n)=x =n n+1

Capitolo 2

Limiti delle Successioni

Limite Finito

n→+∞Definizione: Se una successione ammette limite finito (per ), allora esiste un valore l tale n(ε)∈ℕche, per ogni valore positivo, esista un indice , funzione di , tale ε εxn>nche per ogni valga la disequazione :∣ ∣−l <ε

(ε) n, n>n x∣ ∣∃l∈ℝ ∣ ∀ ε>0 ∃n(ε)∈ℕ ∣ (ε)⇒ −l <εn

1xEsempio: ; il limite della successione è 0.=n

n 1 1 1∣ ∣ ∣ ∣l=0 0 ,∃n(ε)∈ℕ n>n(ε)⇒Dimostro: ⇒ ∀ ε> ∣ −0 = = <εn n n

1 1 1n> n(ε)=n(ε)∈ℕMa vale : il termine sarà allora , ed esisterà < ε⇒n ε εper ogni valore di , poiché non abbiamo posto condizioni su tale valore.ε

Convergenza

Una successione è convergente se ammette limite finito.

{x } ⊂ℝn n∈ℕnxEsempio: ; la successione converge a 1.=n n+1

n∣ ∣l=1⇒ , n> n(ε)⇒Dimostro: ∀ ε>0 ∃n(ε)∈ℕ ∣ −1 <εn+1

n n 1n∈ℕPoiché vale , deve valere , ossia : varrà <1 ∀ − +1 <ε < εn+1 n+1 n+1

1 1n n(ε)∈ℕdunque , dove è il termine .> −1 −1ε ε

Introduciamo tre delle proprietà dei limiti:

1 – Se una successione ammette limite, esso è unico.

l lDimostro: Per assurdo, supponiamo che esistano due valori ed , entrambi limiti di una1 2lsuccessione , con .{x } ⊂ℝ <ln n∈ℕ 1 2

l −l2 1Scegliamo : poiché entrambi i valori sono limiti di deve valere{x }ε = n n∈ℕ2 il sistema:

{ n> n(ε)⇒ x∣ ∣∃n(ε)∈ℕ ∣ −l <εn 1

n> n(ε)⇒ x∣ ∣∃n(ε)∈ℕ ∣ −l <εn 2

8 { x∣ ∣−l <εPer , varrà quindi .n>max ,n n 1{n(ε) (ε)} x∣ ∣−l <εn 2

{ l −l2 1x∣ ∣−l <l −l n 1 22 1Ma , quindi vale : applichiamo l'equivalenzaε = 2 l −l2 1x∣ ∣−l <n 2 2

l l x e la disuguaglianza triangolare, ottenendo quindi∣ ∣ ∣ ∣−l = + −x −l2 1 2 n n 1

l x x l, che implica .∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣+x −x −l ≤ −l + −l <2ε ≡l2 n n 1 n 1 n 2 1 2

Definizione: è limitata se possiede un maggiorante.{x }n n∈ℕ

2 – Se una successione ammette limite, essa è limitata.

n>n(1)⇒ x xDimostro: Posto , , ossia , da cui∣ ∣∃n(1)∈ℕ ∣ −l <1ε =1 −1< −l <1n n

x l−1 , ll−1< x n>n: vale dunque per .{∣ ∣ ∣ ∣}∣ ∣<max +1<l+1 (1)n

nMa è limitata, quindi esiste un termine M, maggiorante della successione,{x }n n∈ℕ

M x , x ,... , x , ... max l−1 , l+1ossia .∣ ∣ {∣ ∣ ∣ ∣}}∣ ∣ ∣ ∣=max { 1 2 n(1)

2cos( n ) 2xEsempio: Considero : il termine non ha limite, perché è una funzionea n= =cos( )nn √ n 12 boscillante, ma è limitata, infatti vale ; il termine invece=−1≤cos(n )≤1 n √ nb 0 a 0ha limite, ed in particolare vale . Vale dunque→ ⋅b =x →n n n nn→+∞ n→+∞

Tramite questo esempio possiamo quindi formulare la terza proprietà dei limiti:

x a b x3 – Dato , se il termine è limitato e il termine tende a 0, tende=a ⋅bn n n n n n automaticamente a 0.

, n> n(ε)⇒ xDimostro: ∣ ∣∀ ε>0 ∃n(ε)∈ℕ ∣ <εn a

aIl termine è limitato, quindi ∃M >0 ∣ ≤M∣ ∣n n

, n>n(ε)⇒ bbIl termine tende a 0, quindi , e∣ ∣∀ ε>0 ∃n(ε)∈ℕ ∣ <εn n

εn>n bin particolare : unendo le due proposizioni si ha∣ ∣(ε)⇒ <n M{ εb

ε∣ ∣< .x b a M⋅ x∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣n ⇒ = ⋅ < =ε ⇒ <εM n n n n

Ma∣ ∣≤Mn

Teorema del Confronto – Sandwich Theorem

x a b aData una successione compresa tra due successioni e , se le successioni en n n nb l xconvergono allo stesso valore allora anche la successione converge automaticamenten nlal valore :

{a n∈ℕ≤x ≤b ∀n n n

a l x l→ ⇒ →n nn n→+∞→+∞

b l→n n →+∞

a bDimostro: Applicando la definizione di convergenza per le successioni e , si ottiene:n n

{ n(ε)∈ℕ n> n(ε) a∣ ∣∀ ε>0, ∃ ∣ ⇒ −l <εn

n(ε)∈ℕ n> n(ε) b