Fondamenti di Analisi 1 per l'Ingegneria - Appunti

M

m≠0

Posto , poiché è limitata , esiste un suo maggiorante ,

>0 ∣ ≤M

y y

∣ ∣ ∣ ∣

n n

ε

… x – l

x

e poiché ammette limite, : poiché, inoltre,

∣ ∣

∀ ε>0, ∃n(ε)∈ℕ ∣ < ⋅M

n

n 2

M

ε

n … y – m m

y ammette limite, .

⋅∣ ∣

∣ ∣

∀ ε>0, ∃ (ε)∈ℕ ∣ <

̃ n

n 2 l

∣ ∣

n> max , n

Per , applicate le varie maggiorazioni, vale quindi

{n(ε) (ε)}

̃ 13

ε ⋅M

x – l l y

∣ ∣⋅

∣ ∣ ∣ ∣

−m 2 l m M

∣ ∣ ∣ ∣

ε

n n

− ≤ + ⋅ ⋅ =ε

y m y M M m 2 l

∣ ∣⋅ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣

n n

Ripercorrendo a ritroso le maggiorazioni e considerando solo gli estremi, otteniamo

lim x

( )

x

x

∣ ∣ n

l n n

n →+∞

quindi : vale quindi lim .

– =

<ε

y m y lim y

n →+∞

n n n

n→+∞

lim x

Osservo: Data una successione , con , se esiste , allora

n∈ℕ n> n⇒ x

{x } =l ∣ >0

n

n n

n →+∞

l≥0

vale necessariamente .

l< 0 x – l

Dimostro: Per assurdo, poniamo : si ha, quindi, che e

∣ ∣

∀ ε>0, ∃n(ε)∈ℕ ∣ <ε

n

l

0<ε<−

n> n⇒ x n>max , n(ε)}

: posto e , si ha dunque

∃n∈ℕ∣ >0 {n

n 2

l

0< x – l 0 , che è impossibile.

< <

n 2 l< 0 l≥0

Poiché, dunque, non può valere , avremo automaticamente .

x l≥0 l≥0 x 0

ATTENZIONE! Vale ma non vale necessariamente ! Solo se l è

>0 ⇒ ⇒ >

n n

x l>0

positivo in senso stretto si ha l'equivalenza .

>0 ⇔

n

n

lim (−1) n n

(−1) (−1)

n

n→+∞ sgn

Esempio: , ma : , infatti, è una successione

=0 =sgn(−1)

n n

n

oscillante! lim x 0

Osservo: Data una successione , con , esiste .

n∈ℕ n> n⇒ x

{x } =l> ∣ >0

n

n n

n →+∞

l

0<ε< x – l

Dimostro: Posto , si ha che , da cui

∣ ∣

∀ ε>0, ∃n(ε)∈ℕ ∣ <ε

n

2

l 3

0< x l x

: si ha, quindi, .

<l−ε< < <l+ε >0

n n

2 2 n >n 2 2

lim x

Osservo: Data una successione , con , vale .

lim x

{x } =l =l

n

n n n

n →+∞

→+∞

( non dimostriamo l'osservazione, ma è facile farlo per la seconda proprietà dei limiti

2

ponendo )

x x

= ⋅x

n n n √

lim x √

Osservo: Data una successione , con , vale .

lim x l

{x } =l =

n n n

n n

→+∞ →+∞

14

x

∣ ∣

−l

n

∣ ∣

√ √

√ √ √

Dimostro: Poiché vale , e , abbiamo

x l x l l>0 n∈ℕ

− = + ≥ ∀

n

n ∣ ∣

√ √

x l

+

n

x

∣ ∣

−l ε

n

∣ ∣

√ √

√ √

: vale dunque .

x l lim x l

− < < <ε =

n n

√ √

l l n →+∞

√ 2

n n+1

+

lim

Esercizio: Determinare .

2

2n – 3n+5

n →+∞

√ 2 2

n n+1 n n+1

+ +

x y

√

Poniamo , da cui : poiché vale

y

= = = n

n n 2

2 2n – 3n+ 5

2n – 3n+5

2

n n+1 1

+ 2

n y

( per , infatti, i termini principali di sono e

lim n

→+ ∞

= n

2 2

2n – 3n+ 5

n →+∞ √ 2

n n+1 1

+

2 lim

) , si ha .

2 n =

2 √ 2

2n – 3n+5

n →+∞ Successioni Monotòne

x x n∈ℕ x x n∈ℕ

Definizione: Una successione si dice monotòna se vale o :

< ∀ > ∀

n n n n

+1 +1

nel primo caso, si avrà una successione monotòna decrescente in senso stretto, mentre

nella seconda ipotesi avremo una successione monotòna crescente in senso stretto.

x n∈ℕ x n∈ℕ

Per o , si hanno successioni decrescenti in

≤x ∀ ≥x ∀

n n n n

+1 +1

senso lato ( non crescenti) e successioni crescenti in senso lato (non decrescenti).

1

x

Esempio: è una successione monotòna decrescente in senso stretto

=

n n

Osservo: Una successione monotòna e limitata ammette limite finito.

n

( )

1

x 1+

Esempio: è una funzione crescente e limitata, poiché vale, per esempio,

=

n n n n

( ) ( )

1 1

2≤ 1+ 3 lim 1+

: essa, quindi, ammette limite, ed in particolare .

< =e

n n

n →+∞

x x

Dimostro: Posto crescente, poiché è limitata, esiste un maggiorante

n n

M x n∈ℕ lim x

: per la completezza di , si ha , con

>0 ∣ ≤M ∀ =l≤M =supE

ℝ

n n

n →+∞

E={x .

}

n

l=supE x x x

Per , si ha che : per si avrà

∀ ε>0, ∃n(ε)∈ℕ ∣l−ε< ≤l<l +ε <

n(ε) n n(ε)

l−ε< x x l l−ε< x lim x

, da cui , ossia .

< ≤l< +ε <l +ε =l

n n(ε) n n

n →+∞

x x

(lo stesso ragionamento è ripetibile se il limite di è il suo estremo inferiore, ponendo

n n

decrescente) 15

Limite Infinito n→+∞

Definizione: Se una successione ammette limite infinito (per ), allora per ogni valore

M M

n( M

positivo, esiste un indice , funzione di , tale che per ogni

)∈ℕ x M

n>n M valga la disequazione :

∣ ∣

>

( ) n

M m)∈ℕ∣ n> n(M x M

∣ ∣

∀ >0, ∃n( ) ⇒ >

n

Osservo: Una successione ammette limite infinito nei seguenti casi:

x n→+∞

- è crescente per e non ammette estremo superiore

n

x n→+∞

- è decrescente per e non ammette estremo inferiore

n Definizione per Ricorrenza

La definizione per ricorrenza è un metodo per definire le successioni in cui, noto il termine iniziale

x , ogni termine della successione è dato in funzione del precedente.

1 √

x

Esempio: , x 2+ x

=0 =

1 n n−1

√

Studiamo la successione : essa è crescente o decrescente?

x 2+x

=

n n−1

x √

Dato , sappiamo che vale ; applichiamo, quindi, il principio di induzione:

x 2≥x

=0 =

2 1

1 P : x P : x x P : x

noto che è vera, posto vero, è vero ?

≥x ≥ ≥x

1 2 1 n n+1 n n+1 n n

+2 +1

√ √ P : x

Sappiamo che vale e : se vale , quindi, vale

x 2+ x x 2+ x ≥x

= =

n n n n+1 n+1 n n

+1 +2 +2 +1

√ √ P : x x

: poiché è vera, anche

2+ x 2+ x 2+ x x x x ≥

≥ ⇒ ≥2+ ⇒ ≥ =P n n+1 n

n+1 n n+1 n n+1 n 1

P : x lo è, quindi per il principio di induzione otteniamo che la successione

≥x

n+1 n n

+2 +1

√ è crescente. È limitata?

x 2+ x

=

n n−1

x √

Dato , abbiamo , da cui anche i successivi termini saranno minori di 2, poiché

x 2≤2

=0 =

2

1 √ √

avremo : otteniamo dunque che la successione è limitata, ed essendo monotòna

2+ x 2+2=2

≤

n x l≥0 l

lim x

crescente avremo . Poiché abbiamo avremo ; per determinare ,

>0

=l n

n

n →+∞ n n→+∞

→+∞ 2 2

2 2 x l 2+ x l+ 2

studiamo dunque : , ma , da cui

2+ x

lim x → ⇒ → =x =l

=l n n

n n n +1

n →+∞

2 2

, ossia . Avremo quindi due soluzioni:

l l – l+ ì−2=0

=l +2 {

√

1± 1 – 4⋅2 1±3 2

+

l = = =

1,2 2 2 − −1

l≥0 lim x

Poiché vale , avremo dunque .

=2

n

n →+∞ 16

n

n

Esercizio: Determinare .

lim n

n ! e

n →+∞ n+1 n

x n ( )

n+1) n ! e n+1 1 1

(

n+1

Studiamo il rapporto : abbiamo dunque

= ⋅ = ⋅ <e⋅ =1

n n

x n e e

+1

! e n

(n+1)

n x n∈ℕ imf

una successione decrescente, e poiché vale avremo , da

>0 ∀ {x }=0

n n

n

n

cui ricaviamo .

lim =imf {x }=0

n

n

n ! e

n →+∞ Forme Indeterminate 0 ∞ 0,

∞ ∞

lim t= , , 0⋅∞ , 0 , 1 , 0

Si parla di un limite in forma indeterminata quando si ha .

+∞−∞

0 ∞

n →+∞

√ 2

lim n

Esempio: ( +n−n)=+∞−∞

n →+∞

Questo limite, ad esempio, si risolve attraverso la razionalizzazione:

2 2

n n 1

+n−n

√ 2

lim n lim

( +n−n)= = = 2

√

√ 2 1

n n+ n

n n→+∞ +

→+∞ n 1+ n

+

n

2

n +5n−10 ∞

Esempio: lim =

2 ∞

3n −4n +1

n →+∞ 2

Questo limite si risolve raccogliendo il termine n di grado più alto – in questo caso :

n

( )

5 10

2

n 1+ −

n 2

2 n

n 1

+5n−10

lim lim

= =

2 3

( )

3n 4 1

−4n +1

n n

→+∞ →+∞ 2

n 3− + 2

n n

Introduciamo ora un teorema utile nello studio dei limiti.

x y y

Teorema di Cesaro: Date due successioni e , di cui crescente e illimitata,

n n n

x –x

n+1 n l

determiniamo : se esso è un limite finito , si avrà

lim y – y

n →+∞ n+1 n

x x –x

n n n

+1 .

lim lim

= =l

y y – y

n n→+∞

→+∞ n n n

+1

x x lim x

Corollario 1: Data una successione , a termini , con , vale

>0 =l

n n n

n →+∞

n

∑ a k

k=1

lim =l

n