Fondamenti di Analisi 1 per l'Ingegneria - Appunti

n

n

Esercizio: Determinare .

lim n

n ! e

n →+∞ n+1 n

x n ( )

n+1) n ! e n+1 1 1

(

n+1

Studiamo il rapporto : abbiamo dunque

= ⋅ = ⋅ <e⋅ =1

n n

x n e e

+1

! e n

(n+1)

n x n∈ℕ imf

una successione decrescente, e poiché vale avremo , da

>0 ∀ {x }=0

n n

n

n

cui ricaviamo .

lim =imf {x }=0

n

n

n ! e

n →+∞ Forme Indeterminate 0 ∞ 0,

∞ ∞

lim t= , , 0⋅∞ , 0 , 1 , 0

Si parla di un limite in forma indeterminata quando si ha .

+∞−∞

0 ∞

n →+∞

√ 2

lim n

Esempio: ( +n−n)=+∞−∞

n →+∞

Questo limite, ad esempio, si risolve attraverso la razionalizzazione:

2 2

n n 1

+n−n

√ 2

lim n lim

( +n−n)= = = 2

√

√ 2 1

n n+ n

n n→+∞ +

→+∞ n 1+ n

+

n

2

n +5n−10 ∞

Esempio: lim =

2 ∞

3n −4n +1

n →+∞ 2

Questo limite si risolve raccogliendo il termine n di grado più alto – in questo caso :

n

( )

5 10

2

n 1+ −

n 2

2 n

n 1

+5n−10

lim lim

= =

2 3

( )

3n 4 1

−4n +1

n n

→+∞ →+∞ 2

n 3− + 2

n n

Introduciamo ora un teorema utile nello studio dei limiti.

x y y

Teorema di Cesaro: Date due successioni e , di cui crescente e illimitata,

n n n

x –x

n+1 n l

determiniamo : se esso è un limite finito , si avrà

lim y – y

n →+∞ n+1 n

x x –x

n n n

+1 .

lim lim

= =l

y y – y

n n→+∞

→+∞ n n n

+1

x x lim x

Corollario 1: Data una successione , a termini , con , vale

>0 =l

n n n

n →+∞

n

∑ a k

k=1

lim =l

n

n →+∞ 17 x n+1

x x

Corollario 2: Data una successione , a termini , con , vale:

lim

>0 =a

n n x

n →+∞ n

n

√

lim x =a

n

n →+∞ x n+1

x x

Corollario 3: Data una successione , a termini , con , vale:

lim

>0 =a

n n x

n →+∞ n

n

√

lim log x a

=log

n

n →+∞

x x lim x

Corollario 4: Data una successione , a termini , con , vale

>0 =a

n n n

n →+∞

n

√

lim x ⋅x ⋅...⋅x =a

1 2 n

n →+∞

log a n

Esercizio: Determinare lim n

n →+∞ x a y y

Abbiamo il rapporto tra due successioni, e , con crescente

=log =n

n n n n

x –x

n+1 n

e illimitata: studiamo dunque :

lim y – y

n →+∞ n+1 n

log a a

−loga

n+1 n n +1

lim lim log a

= =log

n a

+1−n

n n→+∞

→+∞ n

log a n

Avremo dunque .

lim a

=log

n

n →+∞

n 1

∑ k

k=1

Esercizio: Determinare .

lim log n

n →+∞ n 1

∑ y n y

Abbiamo il rapporto tra due successioni, x e , con crescente

=log

= n n

n k

k=1

x –x

n+1 n

e illimitata: studiamo dunque :

lim y – y

n →+∞ n+1 n

1 1 1 1 1 1

1+ +...+ + −1− −...−

2 n n+1 2 n n+ 1 1

lim lim lim

= =

log( n+1)−log n 1 1

n n n

→+∞ →+∞ →+∞

log(1+ ) (n+1)log(1+ )

n n

1 1

lim

= = =1

log e

[ ]

n +1

1

n →+∞ log (1+ )

n

18

n 1

∑ k

k=1 lim log n=+∞

Avremo dunque : poiché è noto , avremo inoltre

lim =1

log n n

n →+∞

→+∞

n 1

∑

lim .

=+∞

k

n →+∞ k=1 n

√ x

lim n

Esercizio: Determinare , con =n

n

n →+∞ x n+1

Applichiamo il teorema di Cesaro e studiamo :

lim x

n →+∞ n

x n+1

n+1

lim lim

= =1

x n

n n

→+∞ →+∞

n n

√

lim n=1

Per il corollario 1, avremo dunque .

n →+∞

x

( )

1 n lim x

lim 1+

Osservo: per ogni successione avente .

{x } =+∞

=e n n

x

n n

→+∞ →+∞

n 19

Capitolo 3

Serie +∞

∑

Definizione: Data una successione , la serie ad essa correlata si definisce come S x .

{x } =

n n n

n=1

+∞

∑ n

Definizione: Si definisce serie geometrica una serie del tipo S a , ossia dove i termini

=

n n=1

della successione ad essa correlata differiscano per un rapporto costante.

+∞ 1

∑ n

a

Per , si ha S a .

∣ ∣<1 = =

n 1−a

n=1

Definiamo ora il criterio per la convergenza di una serie, detto Criterio di Cauchy:

n

Criterio di Cauchy: Se una serie converge, per ogni esiste un indice , funzione di

ε>0 (ε)∈ℕ

n> n(ε) p> n

, tale che, per ogni indice , dato un qualsiasi indice , il valore assoluto della

ε x , … , x

somma dei termini sia minore di :

ε

n n p

+1 +

+∞

∑

S x n(ε)∈ℕ∣ n> n(ε)⇒ x x S p

∣ ∣ ∣ ∣

= =l≠∞⇔ ∀ ε>0,∃ +...+ = −S <ε ∀ ∈ℕ

n n n+1 n+ p n p n

+

n=1 +∞

∑

Osservo: Vale S x lim x , ma non vale necessariamente la relazione inversa

= =l ⇒ =0

n n n

n →+∞

n=1 +∞

∑

lim x S x .

=0⇒ = =l

n n n

n →+∞ n=1

+∞ 1

∑

Esempio: La serie converge solo per α>1

α

n

n=1 +∞

∑

Definizione: Si definisce serie telescopica una serie del tipo S a .

= ( −a )

n n+1 n

n=1

+∞

∑

lim a

Per , vale S a .

=l≠∞ = ( −a )=a −l

n n n+1 n 1

n →+∞ n=1 +∞

∑ n

Definizione: Si definisce serie oscillante una serie del tipo S x .

= (−1)

n n

n=1

+∞

∑

lim a

Per , vale .

S a

=l≠∞ = ( −a )=a −l

n n n+1 n 1

n →+∞ n=1

Per definire la convergenza di questo tipo di serie, utilizziamo il Teorema di Leibnitz:

20 +∞

∑ n

Teorema di Leibnitz: Data una successione decrescente, la serie S x

{x } = (−1)

n n n

n=1

lim x

converge se vale .

=0

n

n →+∞

n S p

Dimostro: Per Cauchy, , ma

∣ ∣

∀ ε>0, ∃n(ε)∈ℕ ∣ >n(ε)⇒ −S <ε ∀ ∈ℕ

n p n

+

∣ ∣

n n+ p+1

+2 x k

: poiché vale , si

S x x

∣ ∣ ≤x ∀ ∈ℕ

−S = (−1) +...+(−1)

n p n n+1 n p n n

+ + +k +1 +k

∣ ∣

n+2 n p

+ +1 lim x

ha , e poiché vale , si ha

x x =0

(−1) +...+(−1) ≤x

n n+ p n+1 n

+1 n →+∞

∣ ∣

n+2 n p

+ +1 p)

, con : per il criterio di Cauchy,

x x ε≠ε(

(−1) +...+(−1) ≤x <ε

n n+ p n+1

+1 +∞

∑ n

dunque, la serie S x converge.

= (−1)

n n

n=1 +∞ n

∑ n

Esercizio: Determinare se la serie converge.

S = (−1)

n 2

n 1

+

n=1 1

2

n ⋅

n n

n

x

La successione è decrescente, inoltre vale :

lim lim

= +1 = =0

n 2

2 ( )

1

n n +1

n n

→+∞ →+∞ 2

n 1+ n

+∞ n

∑ n

per il teorema di Leibnitz, dunque, la serie S converge.

= (−1)

n 2

n 1

+

n=1

Confronto tra Successioni x

Definizione: Consideriamo due successioni e : si dice che è un “ o grande ” di

{x } {y }

n n n

y x y M n∈ℕ

- - se esistono un termine e un indice tali che

=O ( ) ≥0

n n n x y n> n

valga la relazione .

∣ ∣ ∣ ∣

≤M⋅ ∀

n n

2 ( )

n 1

+3n +1

Esempio: x ?

= =O

n 4 2

3n 3n

+5 x

1 n

y

Posto , studiamo :

lim

= n y

2

3n n →+∞ n

x 2

n +3n +1

n 2

lim lim

= ⋅3n =1

4

y 3n +5

n n→+∞

→+∞ n

x n M

La successione , dunque, è limitata: quindi, esistono un termine - in

≥0

y n

M n∈ℕ x y n> n

particolare, - e un indice tali che valga :

∣ ∣ ∣ ∣

=1 ≤1⋅ ∀

n n

x y

vale quindi .

=O ( )

n n x

Definizione: Consideriamo due successioni e : si dice che è un “ o piccolo ” di

{x } {y }

n n

n

x n

y x y

- - se vale .

lim

=o( ) =0

n n n y

n →+∞ n

21

1 1

x ?

Esempio: = =o( )

n 4

√ n √ n x

1 n

y

Posto , studiamo :

lim

= n y

4

√ n n →+∞ n 4

x √ n 1

n

lim lim lim

= = =0

y √ √

n n

n n→+∞ n→+∞

→+∞ n

x n x y

Poiché vale , quindi, si ha .

lim =o( )

=0 n n

y

n →+∞ n M

x y x y

Osservo: , con .

=0

=o( )⇒ =O ( )

n n n n M

x y x y

ATTENZIONE! Vale , ma per non vale

≠0

=o( )⇒ =O ( )

n n n n

x y x y !

=O( )⇒ =o( )

n n n n

x n x y x y

Osservo: Per , valgono sia sia .

lim =O( ) =o( )

=1 n n n n

y

n →+∞ n Assoluta Convergenza

+∞

∑

Definzione: Una serie S x è assolutamente convergente se la serie

=

n n

n=1

+∞

∑ x è convergente.

∣ ∣

n

n=1

N.B: Esistono serie convergenti che non sono assolutamente convergenti!

+∞ +∞

1 1

∑ ∑

n

Esempio: S è convergente, ma non è convergente.

= (−1)

n n n

n=1 n=1

Osservo: Una serie assolutamente convergente è anche (normalmente) convergente.

+∞

∑ n S p

Dimostro: Data x convergente, , ma

∣ ∣ ∀ ε>0, ∃n(ε)∈ℕ ∣ >n(ε)⇒ −S <ε ∀ ∈ℕ

∣ ∣

n p n

n +

n=1 S x x x x

valgono e

∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

−S = +…+ = +…+ <ε

n+ p n n+1 n+ p n+ 1 n+ p

x x x x x x

, da cui : anche la serie

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

+...+ ≤ +…+ +...+ <ε

n n+ p n+1 n p n n+ p

+1 + +1

+∞

∑

S x , dunque, è convergente.

=

n n

n=1 +∞

∑

x y

Osservo: Dato , se la serie S y è assolutamente convergente, anche la serie

=O ( ) =

n n n n

n=1

+∞

∑ è assolutamente convergente.

x n

n=1 22 +∞

∑

x y x y

Corollario 1: Dato , con e , se la serie S y è convergente,

=O ( ) ≥0 ≥0 =

n n n n n n

n=1

+∞

∑

anche la serie x è convergente.

n

n=1 sin

+∞ (n)

∑ n

Esempio: La serie converge?

(−1) 3

n=1 2

n 10

+n+ +∞ 3

1

∑

Confrontiamo con la serie , convergente poiché si ha : se la serie

α= >1

2

3

n=1 2

n ( )

sin

sin( n)

+∞ 1

(n)

n

∑ è assolutamente converge e vale , allora la

(−1) =O

3 3 3

n=1 2 2 2

n n

n +n+10

+n+10

sin

+∞ (n)

∑ n

serie è convergente. Poiché vale anche

(−1) 3

n=1 2

n +n+10 ( )

sin sin( n)

+∞ +∞

1 1 1

(n) ∑ ∑

, si ha , da cui

≤ =O ≤ =l

3 3 3 3 3

n=1 n=1

2 2 2 2 2

n n+10 n n+10 n n n+10 n

+ + + +n+10

sin

+∞ (n)

∑ n

ricaviamo che la serie è convergente.

(−1) 3

n=1 2

n +n+10 +∞

∑

x y x y

Corollario 2: Dato , con e , se la serie x non è convergente,

=O ( ) ≥0 ≥0

n n n n n

n=1

+∞

∑

nemmeno la serie S y è convergente.

=

n n

n=1

+∞ 1

∑ 0<α

Esercizio: Dimostrare che la serie non converge per .

<1

α

n

n=1 ( )

1 1 1 1

α

Poiché vale , si ha : si ha quindi , ma la serie

n n∈ℕ =O

≤

≤n ∀ n n

α α

n n

+∞ +∞

1 1

∑ ∑

non converge, quindi nemmeno la serie converge.

n α

n

n=1 n=1

+∞ 1

∑

Dimostriamo, invece, che la serie converge per : poiché vale

α≥2

α

n

n=1 ( )

1 1 1 1 1

2

α , si ha , da cui , ma

n ≤ ≤ =O

≥n ≥n(n−1) n( n−1) n( n−1)

2 α

α n

n n

+∞ 1

∑ è una serie telescopica, quindi è convergente, da cui ricaviamo che anche la

n (n−1)

n=2 +∞ 1

∑

serie converge.

α

n

n=1 23

Introduciamo, infine, il criterio del rapporto e il criterio della radice n-esima: x

∣ ∣

n+1

x

Criterio del Rapporto: Consideriamo la successione e il limite :

lim

n x

∣ ∣

n →+∞ n

x +∞

∣ ∣ ∑

n+1

- per la serie x converge;

0≤ lim <1 n

x

∣ ∣

n→+∞ n=1

n

x

∣ ∣

n+1

- per il criterio non può essere applicato;

lim =1

x

∣ ∣

n →+∞ n

x +∞

∣ ∣ ∑

n+1

- per la serie x non converge

lim >1 n

x

∣ ∣

n →+∞ n=1

n n

√

lim x

x

Criterio della Radice N-esima: Consideriamo la successione e il limite :

∣ ∣

n

n n →+∞

+∞

∑

n

√

0≤ lim x 1

- per la serie x converge;

∣ ∣

<

n n

n→+∞ n=1

n

√

lim x

- per il criterio non può essere applicato;

∣ ∣

=1

n

n →+∞ +∞

∑

n

√

lim x

- per la serie x non converge

∣ ∣

>1

n n

n →+∞ n=1

24

Capitolo 4

Spazio Euclideo

n

Uno spazio del tipo è un prodotto cartesiano

ℝ

x x… x :

ℝ ℝ ℝ

n=1

- per , è rappresentabile come una retta;

ℝ 2

n=2

- per , è rappresentabile come un piano;

ℝ

3

n=3

- per , è rappresentabile come uno spazio

ℝ 4

La fisica lavora nello spazio-tempo, dunque in .

ℝ

n

Un vettore di è scrivibile nella forma

ℝ

x=(x , … , x . Descriviamo dunque le operazioni

)

1 n

tra vettori:

x y=( x y ,… , x y

- somma tra vettori

+ + + )

1 1 n n

x=(α x ,… , x

- prodotto per uno scalare

α α )

1 n

x , y x⋅y=x y x y

- prodotto interno (scalare)

< >= +…+

1 1 n n √ 2 2

√

x x , x x x x ,0)

Definiamo quindi la norma di un vettore: , dove

∣∣ ∣∣= < >= +…+ =d (

1 n

n

d x ,0) è la distanza tra il vettore x e l'origine dello spazio .

( ℝ √

Dati due vettori x e y, la distanza tra x e y è .

d x , y)=∣∣ x – y x y x y

( ∣∣= +…+

1 1 n n

x , y x y

Dati due vettori x e y, vale - Disuguglianza di Cauchy-Schwartz

∣ ∣≤∣∣

< > ∣∣⋅∣∣ ∣∣

n n

∑ ∑

2 2 2

Dimostro: Poiché vale x y x y 2 x y , si ha:

( + ) = ( + + )

i i i i i i

i=1 i=1

2 2 2

x y x y x , y

∣ ∣

∣∣ + ∣∣ =∣∣ ∣∣ +∣∣ ∣∣ +2 < >

2 2 2 2

Posto , si ha che deve valere

0≤ p( t)=∣∣ x – t⋅y x y x , y

∣∣ =∣∣ ∣∣ +t ∣∣ ∣∣ −2t < >

2 2 2

t y x , y x t

∣∣ ∣∣ −2t < >+∣∣ ∣∣ ≥0 ∀ ∈ℝ

2 2 2 2 2 2

deve quindi valere , da

x , y> x y x , y x y

Δ=4 < −4∣∣ ∣∣ ⋅∣∣ ∣∣ =4 (< > −∣∣ ∣∣ ⋅∣∣ ∣∣ )≤0

2 2 2 x , y x y

cui si ha , ossia .

x , y x y < >≤∣∣ ∣∣⋅∣∣ ∣∣

< > ≤∣∣ ∣∣ ⋅∣∣ ∣∣

x y x y

Corollario 1: ∣∣ + ∣∣≤∣∣ ∣∣+∣∣ ∣∣ 2 2

x y x y

Dimostro: Se vale , vale , da cui

x y x y

∣∣ + ∣∣≤∣∣ ∣∣+∣∣ ∣∣ ∣∣ + ∣∣ ≤(∣∣ ∣∣+∣∣ ∣∣)

2 2 2 2 x , y x y

, ossia ,

x y 2 x , y x y 2∣∣ x y < >≤∣∣ ∣∣⋅∣∣ ∣∣

∣∣ ∣∣ +∣∣ ∣∣ + < >≤∣∣ ∣∣ +∣∣ ∣∣ + ∣∣⋅∣∣ ∣∣

che è automaticamente vero per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz: è quindi

x y x y

verificato che vale .

∣∣ + ∣∣≤∣∣ ∣∣+∣∣ ∣∣

25

Corollario 2: Dati tre vettori x, y e z, vale la disuguaglianza triangolare:

d x , z x , y)+ d y , z

( )≤d ( ( )

d , b)=∣∣ a−b

Dimostro: Poiché vale , abbiamo

(a ∣∣

x−z x− y y− z :

∣∣ ∣∣≤∣∣ ∣∣+∣∣ ∣∣

x− y a y−z b

posto , e

∣∣ ∣∣=∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣=∣∣ ∣∣

x−z a−b , si ha quindi

∣∣ ∣∣=∣∣ ∣∣

a−b a b , vero per il corollario 1: è

∣∣ ∣∣≤∣∣ ∣∣+∣∣ ∣∣

d x , z x , y)+ d y , z

dunque verificato .

( )≤d ( ( )

Palle Aperte, Palle Chiuse e Sfere

n

Definito lo spazio , i suoi vettori e le loro relazioni con i termini scalari,

ℝ

possiamo dare le definizioni dei seguenti insiemi.

Definizione: Una palla aperta avente per centro il vettore-posizione x e raggio

n

r 0 d x , y)< r

> è l'insieme dei vettori y di per cui vale :

(

ℝ

n

B( x , r y∈ℝ x , y r

)={ ∣d ( )< }

B( x , r

Osservo: In , la palla aperta , secondo la definizione, è l'intervallo

)

ℝ x−r , x+ r

aperto .

( )

2 B( x , r

Osservo: In , la palla aperta , secondo la definizione, è la parte di

)

ℝ 2 2 2

x y

piano definita dalla disequazione .

+ <r

Definizione: Una palla chiusa avente per centro il vettore-posizione x e raggio

n

r 0 d x , y)≤r

> è l'insieme dei vettori y di per cui vale :

(

ℝ n

B( x , r y , y

)={ ∈ℝ ∣d (x )≤r } x−r , x

B( x , r

Osservo: In , la palla chiusa , secondo la definizione, è l'intervallo chiuso .

[ +r ]

ℝ )

2 B( x , r

Osservo: In , la palla aperta , secondo la definizione, è la parte di piano definita dalla

ℝ )

2 2 2

x y

disequazione .

+ ≤r r 0

>

Definizione: Una sfera avente per centro il vettore-posizione x e raggio è l'insieme dei vettori

n d x , y)=r

y di per cui vale :

(

ℝ n

S , r y∈ℝ d , y)=r

(x )={ ∣ (x }

S , r , x

Osservo: In , la palla chiusa , secondo la definizione, è l'insieme di punti .

(x ) {x−r +r }

ℝ 2 S , r

Osservo: In , la palla aperta , secondo la definizione, è la circonferenza di equazione

(x )

ℝ

2 2 2

x y .

+ =r 26

Aperti e Chiusi

n x A

Definizione: Dato un insieme e un vettore , si dice che x è interno ad A se

A⊂ℝ ∈

r 0 B( x , r

esiste un raggio tale che la palla aperta sia contenuta in A:

> )

x

se ogni vettore è interno ad A, A è un aperto:

∈A x∈ A ,∃r B x , r

∀ >0 ∣ ( )⊂A x

A=(a ,b)⊂ℝ

Esempio: è aperto: se è

∈A

B( x , r

interno, il raggio di rispetterà la

)

r min x−a , x

relazione , ma un

{∣ ∣ ∣ ∣}

< −b

raggio del genere esiste per ogni scelta di x,

quindi ogni vettore x è interno ad A, da cui A è

un aperto. n

Definizione: L'insieme è un chiuso se

F ⊂ℝ

n

il suo complementare è un aperto.

F

ℝ ∖

]

(

F ,1

Esempio: è un chiuso, poiché il

= −∞ n

suo complementare è un

F

ℝ ∖ =(1,+∞)

aperto.

A∪ B

Osservo: Se A è un aperto e B è un aperto, l'insieme è un aperto.

A= A

Dimostro: Dato l'insieme , ipotizziamo che l'insieme sia un aperto: per

{A } ∪

i i I i

∈ i∈ I

x A i∈ I x∈ A A

ogni vettore , dunque, esiste un indice , ma è un aperto, quindi

∈ ∣ i i

B( x , r A B( x , r A A

, ma allora vale anche : è dimostrato, dunque,

∃r >0 ∣ )⊂ )⊂ ∪ =

i i

i∈ I

che A è un aperto. A∩ B

Osservo: Se A è un aperto e B è un aperto, l'insieme è un aperto finito.

A= A

Dimostro: Dato l'insieme , ipotizziamo che l'insieme sia un aperto: per

{A } ∩

i i I i

∈ i∈ I

x A i∈ I

ogni vettore , dunque, e per ogni indice , esiste un raggio

∈

r 0 B , r r min , … , r B( x , r , r i∈ I

: posto , vale ,

> ∣ (x )⊂A < {r } )⊆B (x )∀

i i 1 n i

B( x , r A⇒ B(x , r

ma A è un aperto.

)⊂ )⊂A ⇒

i +∞

A= A

N.B: è necessariamente aperto solo per un numero finito di indici i: , infatti,

A= A

∩ ∩

i i

i∈ I i=1

non è necessariamente aperto!

( )

1 1

A ,+ A= A

Esempio: è un aperto, ma è un chiuso, poiché

= − ∩ ={0}

i i

i i i∈ I

è un aperto!

ℝ ∖{0} 27

F F F

Osservo: Se è un chiuso, anche l'insieme è un chiuso.

= ∩

i i

i∈ I

n n n

Dimostro: Per le leggi di De Morgan, vale , ma è un aperto,

F

F F ℝ ∖

ℝ ∖ ∩ = ∪ ℝ ∖ i

i i

i∈ I i ∈I n

F

poiché è un chiuso, quindi anche l'insieme è un aperto,

F

∪ ℝ ∖ i

i i∈ I

F F

per cui l'insieme è un chiuso.

= ∩ i

i∈ I

F F F

Osservo: Se è un chiuso, anche l'insieme è un chiuso.

= ∪

i i

i∈ I

n n n

Dimostro: Per le leggi di De Morgan, vale , ma è un aperto,

F F F

ℝ ∖ ∪ = ∩ ℝ ∖ ℝ ∖ i

i i

i∈ I i ∈I n

F

poiché è un chiuso, quindi anche l'insieme è un aperto,

F

∩ ℝ ∖ i

i i∈ I

F F

per cui l'insieme è un chiuso.

= ∪ i

i∈ I

Osservo: Un insieme può non essere né aperto né chiuso!

[ x=3 r 0 B( 3, r

)

Z= 3, 4

Esempio: non è aperto, poiché, scelto , non esiste , ma non è

> ∣ )⊂Z

x=4

[ )

Z , 3)∪ 4,+∞

nemmeno chiuso, poiché non è aperto – scelto ,

ℝ ∖ =(−∞

r 0 B r

infatti, non esiste .

> ∣ (4, )⊂Z

Frontiera di un Insieme

n n

Definizione: Dato l'insieme , la frontiera di E è l'insieme dei vettori tali che per

E⊂ℝ x ∈ℝ

r 0

ogni raggio , l'insieme E contenga almeno un punto

> B( x , r

della palla aperta .

) n

E r E∩B( x , r

∂ ={x∈ℝ ∣ ∀ >0, )≠∅}

{ }

1

E= n∈ℕ x E , r 0, B( x , r

Esempio: Dato , , e poiché vale

∣ ∀ ∈ ∀ > )⊂R

n n

n E⊂∂ E

B( x , r E x E

si ha ; vale anche , poiché

)⊂ ∀ ∈E {0}∈∂

n n

r , B(0, r E .

∀ >0 )⊂ Derivato di un Insieme

Definizione: Si definisce derivato di un insieme l'insieme dei punti di accumulazione.

n

E⊂ℝ , x D(E B( x , r r

∈ )⇒[ )∖ {x }]∩E≠∅ ∀ >0

{ }

1

E= n∈ℕ D(E

Esempio: Dato , si ha .

∣ )={0}

n 28

n

Teorema: Dato , si ha:

E⊂ℝ E è chiuso R⊂R D( E)⊂ R⇔ E

⇔∂ ⇔ =E

dove è la chiusura di E.

E Chiusura di un Insieme

n

Definizione: Dato l'insieme , vale .

E⊂ℝ E=E E

∪∂

Esempio: B( x , r B(x , r x , r

)= )∪S ( )

n x

Osservo: Dato , x appartiene a se esiste una successione di vettori che

E⊂ℝ E ∈E

k

convergano a x: x d , x 0

∈E ⇔∃{x }∈E ∣ (x ) →

k k k→+∞

n

x , x) 0 x x

∈ℝ ∧d (x → ⇒ →

k k

k k→+∞

→+∞

( )

2

1 sink k – 1

+3k

Esempio: Data la successione dei vettori , si ha che il

x ,− ,−

=

k 2

k k 2k 4

+

1

x=(0, 0,− E={x

vettore è un punto di accumulazione per :

) }

k

2

{ 1 k→+∞ 0

→

k ( )

0

( )

(k )

x 1

sink k 0

→+∞ k →+∞

0

− → ⇒ →

(k )

x

k 1

2 −

(k )

x

2

k 3k – 1 1 2

+ k →+∞ 3

− → −

2 2

2k 4

+ Compattezza

n E

Definizione: Dato , l'insieme è compatto se per ogni successione , esiste una

E⊂ℝ {x }∈

k

sottosuccessione .

{x }⊂{x }

n k

2k+1 j

x

Esempio: Data la successione , posto , si ottiene la sottosuccessione

k

= =2

j

k 2

k 3k+ 2

+

j j +1

2⋅2 2 +1

x = =

k j 2 j 2j j

3⋅2 2 2 3⋅2 2

(2 ) + + + +

j 29

Limitatezza

n

Definizione: Dato , l'insieme è limitato se

E⊂ℝ

r 0 E⊂B r

esiste tale che valga .

> (0, )

2 2

Esempio: non è limitato:

E={( x , y)∈ℝ y x

∣ < } r 0

non esiste, infatti, un raggio tale

>

E⊂B r

che valga , poiché vale

(0, )

0< y .

<+∞

La definizione di compattezza è difficile da

utilizzare: la limitatezza, tuttavia, ci aiuta a

ridefinirla, grazie al teorema di Heine-Borel.

n

Teorema di Heine-Borel: Dato , l'insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

E⊂ℝ

n

Esempio: è compatto.

B(0, r)⊂ℝ

]

(

E= 0,1 non è compatto, poiché è limitato ma non è chiuso.

Connessione

n

Definizione:Dato , l'insieme NON è connesso se è l'unione di due insiemi aperti, non nulli

E⊂ℝ

e con intersezione non nulla

E=(0,1)∪(1,2)

Esempio: NON è connesso.

Osservo: E è connesso E è un intervallo!

⇔ 30

Limiti nello Spazio Euclideo

Limite Finito per x finito

Ridefiniamo ora il concetto di limite per

poterlo applicare anche nello spazio euclideo:

n

Definizione: Dato , una funzione

E⊂ℝ

m x

e un punto , se vale

f : E ∈D(E )

→ℝ 0

lim f x)=l , allora per ogni esiste un

( ε>0

x→ x 0 , x x

raggio , funzione di e di ,

δ(ε )>0 ε

0 0

x B(x ,δ)

tale che per ogni punto ∈E∩( ∖ {x })

0 0

f

valga :

∣∣ (x)−l ∣∣<ε , , x 0 x B( x , f

∀ ε>0 ∃δ (ε )> ∣ ∈E∩( δ)∖ {x })⇒∣∣ (x )−l ∣∣<ε

0 0 0

x E∩( B( x ,δ)∖ f B( l ,ε)

per ogni punto vale , ma vale anche

∈ {x })

In altri termini, (x )∈

0 0

f x f E∩(B( x , f E∩( B(x ,δ) ,ε)

, quindi si ha .

( )∈ [ δ)∖ {x })] [ ∖{x })]⊂B(l

0 0 0 0

{ 0 x≠0

f :ℝ lim f x)=0

Esempio: , : vale , poiché

f

→ℝ (

(x )= 6

10 x=0 x→ 0

, x B , f x E∩( B(0 ,

, ma

∣ ∣

∀ ε>0 ∃δ (ε,0)>0 ∣ ∈E ∩( (0 δ)∖ {0})⇒ (x) <ε ∈ δ)∖ {0})

x f x)<ε

equivale a porre : si ha quindi ,

−δ< <δ∧x≠0 −δ<x <δ∧x≠0 ⇒ (

f x f x)<ε x∈ E∩(B(0 ,

ma : vale quindi

(x≠0)=0<ε ∀ ∈ℝ⇒ ( ∀ δ)∖ {0})

lim f x)=0 .

(

x→ 0

Ridefiniamo le proprietà dei limiti secondo lo spazio euclideo.

1 – Se una successione ammette limite, esso è unico. l l

Dimostro: Per assurdo, supponiamo che esistano due valori ed , da cui

1 2

lim f , l : vale quindi

(x)=l 1 2

x→ x 0 { 0 , , x x – x f x – l

∀ ε> ∃δ(ε )>0< ∣∣ ∣∣< δ⇒∣∣ ( ) ∣∣<ε

0 0 1

, , x 0<∣∣ x – x f x – l

∀ ε>0 ∃δ(ε )> ∣∣<δ ⇒∣∣ ( ) ∣∣<ε

0 0 2

f x) – l f x)– l

Posto , si ha : studiando

0<∣∣ x – x ,δ} ∣∣ ( ∣∣<ε∧∣∣ ( ∣∣<ε

∣∣<min {δ

0 1 2

l – l

la quantità , osserviamo che vale la disuguaglianza triangolare

∣∣ ∣∣

1 2

l – l l – f x)+ f x f x)−l f l , da cui otteniamo

∣∣ ∣∣=∣∣ ( ( )−l ∣∣≤∣∣ ( ∣∣+∣∣ (x )– ∣∣<ε

1 2 1 2 1 2

0≤∣∣ l – l per .

∣∣<ε ⇒l ≡l ε→0

1 2 1 2 xy xy

2 f x , y lim ?

Esempio: , :

f :ℝ ( )= ∃

∖ {(0,0)}→ℝ 2 2 2 2

x y x y

+ +

x , y)→(0,0)

(

x , y y=mx

Poiché ogni punto appartiene a una retta di equazione , poniamo

( ) 2

m x m

y=mx

proprio : si ha dunque , e

f , y f x , mx)= m∈ℝ

(x )= ( = ∀

2 2 2 2

x x 1+ m

+m

31

m m

poiché il valore di dipende dal valore di , dovrebbero esistere infiniti limiti

2

1+ m xy

lim

per infiniti valori di m: dunque, non esiste .

2 2

x y

+

, y)→(0,0)

(x

m n g : E g x)

2 – Date le funzioni , con , e , se è limitata e vale

f : E E⊂ℝ →ℝ (

→ℝ

lim f lim g x)⋅ f x

vale anche .

(x )=0 ( ( )=0

x→ x x→ x

0 0

{ lim f x)=0

( lim f x)=0

⇒ (x )⋅g (

x x

→ 0

, r 0 x x−x r g x) x→ x

∣ ∣

∣ ∣

∃M > ∣ ∈E∧0< < ⇒ ( ≤M 0

0

3 2 2 2

Esempio: Dato ,

f :ℝ f , y , z x , x – y+ z

→ℝ (x )=( )

1

3 2 2

g x , y , z

e , con , vale

g :ℝ lim x , x y z

( )=sin

→ℝ ( − + )=0

√ 2 2 2 , y , z ,0)

x y z (x )→(0,0

+ +

1 g x , y , z

e , quindi è limitata, da cui

−1<sin <1 ( )

√ 2 2 2

x y z

+ + 1

2 2

lim , x y z .

(x − + )⋅sin =0

√ 2 2 2

, y , z x y z

(x )→(0,0,0) + +

m n m

3 - Date le funzioni , con , e , vale

f : E E⊂ℝ g : E

→ℝ →ℝ

lim f x)]=lim f x)±lim g x

[ (x )±g ( ( ( )

x→ x x x x x

→ →

0 0 0

m n g : E

4 - Date le funzioni , con , e , vale

f : E E⊂ℝ →ℝ

→ℝ lim f x)=lim f x)⋅lim g

(x )g ( ( (x )

x→ x x x x→ x

→

0 0 0

m n g : E

5 - Date le funzioni , con , e , vale

f : E E⊂ℝ →ℝ

→ℝ lim f x)

(

[ ]

f x)

( x→ x

lim = 0

g lim g x)

(x ) (

x→ x 0 x→ x 0

32

Capitolo 5

Limiti e Funzioni Continue

Affrontiamo brevemente il campo delle funzioni

trigonometriche.

Data una circonferenza di raggio r e l'angolo , vale

α

y

y x α

α α

, e : posto

tg

sin cos α=

α = α = x

r r α

r A(1 , 0)

, i punti A, B e C, dunque, saranno ,

=1

B( cos ,sin C tg

e .

α α) (1, α)

Δ

L'area del triangolo , dunque, sarà

ABO

1

A sin , quella del settore circolare di arco

= α

Δ 2

ABO 1 1

A sin

AB sarà e quella del

= α> α=A

ABO Δ

2 2 ABO

1 sin α

Δ α

A tg

triangolo sarà .

ACO = α> >

Δ 2 2 2

ACO y r sin α

α

sin

Otteniamo, quindi, la disuguglianza : poiché vale , inoltre,

tg

α<α<tg α α= ⋅ =

x r cos α

α

sin sin sin

α α α

sin cos

avremo , ma implica , da cui otteniamo

α< α< α< α <

cos cos

α α α

sin sin

α α α

cos cos 1 0<cos

, da cui . Poiché vale ancora , avremo

α < < =1 α < < α

α α α

sin α

0< 0<sin lim

, da cui : per il teorema del confronto, poiché vale ,

<1 α < α α=0

α α →0

lim sin

avremo .

α=0

α →0 2 2 2 2

Poiché lavoriamo su una circonferenza, avremo inoltre : è facile

x y

+ =cos α+sin α=1

α α

√

√ 2 2 √

osservare, quindi, che varrà .

lim cos 1−sin lim 1−sin 1=1

α=lim α= α=

α→0 α →0 α →0

Dati due angoli e e i rispettivi seni e coseni, ora, dobbiamo porci il problema di come

α β

ottenere il seno e il coseno di e di : utilizzeremo, quindi, le formule di addizione e

α+β α−β

sottrazione del seno e del coseno (che è possibile dimostrare, ma che non dimostreremo):

cos (α+β )=cos α⋅cos β−sin α⋅sin β

cos sin

(α−β )=cos α⋅cos β+ α⋅sin β

sin( α+β )=sin α⋅cos β+cos α⋅sinβ

sin(α−β )=sin α⋅cos β−cos α⋅sin β

x x x x x x

2 2 2 2

cos x – sin – 2sin

Osservo: Vale e

=cos( + )=cos =1 =2cos −1

2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x

sin x=sin sin .

( + )=sin ⋅cos + ⋅cos =2sin ⋅cos

2 2 2 2 2 2 2 2

33

È utile, talvolta, conoscere queste formule per la risoluzione di limiti che coinvolgano funzioni

trigonometriche. cos x−1

lim

Esercizio: Determinare x

x→ 0 x

2

cos x=1 – 2 sin

Poiché vale la formula , vale

2

x x x x

2 2 2

1−2sin sin sin sin

−1 −2

cos x−1 2 2 2 2 x

lim lim sin

=lim =lim =−lim =−lim ⋅

x x x x x 2

x→ 0 x→ 0 x→0 x→0 x→0 x→0

2⋅ 2 2 2

sin sin t x

α

cos 1 lim t=

Ma implica , con , da cui

α < < =1

t 2

α t 0

→

x

sin 2 x cos x−1

lim

: si ha dunque .

lim sin =0

−lim ⋅ =−1⋅0

x 2 x

x→0 x→0 x→ 0

2 1−cos x

lim

Esercizio: Determinare 2

x

x→ 0 x

2

cos x=1 – 2 sin

Poiché vale la formula , vale

2 2

( )

x x x x

2 2 2

1+2 sin 2 sin sin sin

−1

1−cos x 2 2 1 2 1 2 1

lim lim lim

=lim =lim = = =

x 2 2 x 2

2 2 2

x x x

x→ 0 x→ 0 x→ 0 x x→ 0

→0

4⋅ 2

4 2 2

( )

x

sin

1 2 1

lim

= =

2 x 2

x→0 2

Ridefiniamo ora il teorema del confronto.

Teorema del Confronto: Date le funzioni

n g : E

f : E , con , e

E⊂ℝ →ℝ

→ℝ

h : E f x)≤h( x

, con e

→ℝ (x )≤g ( )

lim f x h( x)=l , vale:

( )=lim

x→ x x→ x

0 0 lim g x)=l

(

x→ x 0

34

f x)≤h( x r 0 f x)

Dimostro: Poiché vale , esiste :

(x )≤g ( ) > ∣ (x )≤g (x)≤h(

costruiamo dunque il sistema seguente

{ f x)≤h( x

∃r >0 ∣ (x)≤g ( )

, x 0< x – x f l

⇒∣ ∣<ε

∣ ∣

∀ ε>0, ∃δ(ε )∣ <δ (x )–

0 0

, x 0< x – x h( x) – l

δ⇒∣ ∣<ε

∣ ∣

∀ ε>0,∃δ (ε )∣ <

0 0 { f x)≤h( x)

(x )≤g (

0< x – x min , ,

Posto , dunque, si ha : componendo la

∣ ∣

< {r δ δ} l−ε< f l+ε

(x )<

0 l−ε< h( x)<l +ε

l−ε< f x x)≤h( x)<l l−ε< g x)<l

disequazione si ha , da cui : vale

( )≤g ( +ε ( +ε

lim g x)=l

quindi .

(

x→ x 0 Definiamo infine la funzione esponenziale. x

La funzione esponenziale è la funzione , con

f : e

n

( )

1 x x

e= lim 1+ e - per , la funzione si

>0 <0

n

n →+∞ 1 x

f :

ridefinisce come . La funzione è una

f : e

x

−

e

f :ℝ

funzione monotòna crescente –

→(0,+∞)

x y - quindi iniettiva, dunque invertibile nel suo

x y e

> ⇒ >e

codominio: in particolare, la sua funzione inversa è il

ln x

logaritmo naturale .

x

e −1

Osservo: Vale lim =1

x

x→ 0 n

( )

x

x

e lim 1+

Dimostro:Poichè vale , e per la disuguaglianza di Bernoulli vale anche

= n

n→+∞

n x

x e −1

x

, si ha : poiché, inoltre, si può dimostrare che vale

x e

(1+ ) ≥1+ −1≥x ⇒ ≥1

n x

x

e −1

x , si ha , da cui, per il teorema del confronto, si ottiene

1≤ x

e x ≤1+

−1≤1+ x

x

e −1 .

lim =1

x

x→ 0 x ln x

−1

Osservo: Dato , vale e

f f f x)=e x x

(x )=e ( ∘ )( = ∀ >0

x

−1 .

f f x)=ln e x x

( ∘ )( = ∀ ∈ℝ ln x

log x=

a log x

Osservo: Dato , vale l'equivalenza , dove è il

>0 a a

ln a

logaritmo in base a di x.

Ora che abbiamo ottenuto molti limiti notevoli, abbiamo bisogno di un ulteriore mezzo, che

abbiamo tra l'altro già adoperato, che è il cambiamento di variabile.

35

Cambiamento di Variabile

m n p m

Osservo: Date le funzioni , con , e , con , per

f : E E⊂ℝ g : F F

→ℝ →ℝ ⊂ℝ

p

f si ha .

g f : E

(E)⊆F ∘ →ℝ

Vediamo due esempi di applicazione del cambiamento di variabile.

1−x

e −1

Esercizio: Determinare lim 1−x

x→ 1 f x)

(

e – 1

f

Poniamo , ottenendo così : poiché, però, vale

f x)=

(x )=1−x (g ∘ )( f x)

(

1−x f (x)

e e

−1 −1

lim 1−x=0 , si ha , ma questo è un limite noto, e

lim lim

=

1−x f x

( )

x→ 1 x→ 1 f x)→0

(

1−x

e −1

sappiamo quindi che vale lim =1

1−x

x→ 1

2

sin(1−x )

lim

Esercizio: Determinare 2

1− x

x→ 1 sin[ f x

( )]

2 f x)=

Poniamo , ottenendo così : poiché, però, vale

f x (g ∘ )(

(x )=1− f x)

(

2

sin(1−x sin f x)]

) [ (

2 lim lim

, si ha , ma questo è un limite noto,

lim 1−x =

=0 2 f x

( )

1− x

x→ 1 x→ 1 f x)→0

( 2

sin(1−x )

lim

e sappiamo quindi che vale =1

2

1− x

x→ 1

Limite Destro e Limite Sinistro

xy

lim

Quando abbiamo osservato l'esercizio-esempio , abbiamo osservato che il limite

2 2

x y

+

, y)→(0,0)

(x m

non esisteva poiché dipendeva da un coefficiente : in altri termini, esso dipendeva dal “ verso

di percorrenza dello spazio ”.

Da questo esempio ricaviamo che se il limite di una funzione effettivamente esiste, esso è

indipendente dal “ verso di percorrenza ” : considerando come versi di percorrenza il verso destro e

il verso sinistro, avremo che il limite esiste solo se esistono il limite destro e il limite sinistro e se

essi sono coincidenti: { lim f x)

∃ (

+

x x

→ 0

f x)⇔

∃lim ( lim f x

∃ ( )

x x

→ −

x→ x

0 0

lim f x)≡ lim f

( (x )

+ −

x x x→ x

→ 0 0

36

{ 1 x >0 lim sgn x

Esempio: Data la funzione , esiste ?

sgn x= x

−1 <0 x→ 0

lim sgn x

Se esiste , deve valere il

x→ 0

sistema

{ lim sgn x

∃ +

x→0

lim sgn x

∃ −

x →0

lim sgn x≡lim sgn x

+ −

x→0 x→0

x lim sgn x

Ma per si ha

<0 =−1

−

x→0

x lim sgn x=+1

e per vale : poiché il limite destro e il limite sinistro non

>0 +

x→0

lim sgn x

coincidono, non esiste!

x→ 0 { 2

x 0< x <1

lim f x)

Esercizio: Determinare se esiste , con f . In caso affermativo,

( (x )= 3 – x 1≤x

x→ 1

determinarne il valore.

lim f x)

Se esiste , varrà il sistema

(

x→ 1 { lim f x

∃ ( )

+

x→1

lim f x)

∃ (

−

x→ 1

lim f x f x)

( )≡lim (

+ −

x→1 x→1

lim f lim f lim f f x)

Poiché vale e , si ha , quindi non

(x )=2 (x )=1 (x )≠lim (

+ − + −

x→1 x→1 x→1 x→1

lim f x)

esiste .

(

x→ 1 37

Limiti nello Spazio Euclideo

Limite Infinito per x finito

f

Finora, si è posto come ipotesi che tenda ad un

(x )

valore finito per x che tende ad un valore finito: questo,

tuttavia, non è l'unico caso possibile, poiché è possibile

f x

che tenda ad un valore infinito.

( ) 1

f x

Ad esempio, consideriamo : quando ne

( )= x x=0

definiamo il dominio, rimuoviamo il termine

poiché esso ne annulla il denominatore, imponendo il

1

classico problema dell'aritmetica, ossia : questo è

=∞

x

il classico esempio di limite infinito per x finito. x

Definizione: Se una funzione ammette limite infinito per x che tende ad un valore , allora

0

M x , M

per ogni valore positivo esiste un raggio , funzione

δ( )

0

x 0<∣∣ x – x

M f M

di e di , tale che per valga .

∣ )∣>

∣∣< δ (x

0 0

M , x , M 0<∣∣ x – x f x) M

∣ ∣

∀ >0 ∃δ( )>0 ∣ ∣∣<δ ⇒ ( >

0 0

1

n f lim f

Esempio: , : vale ?

f :ℝ (x )= (x )=+∞

∖ {x }→ℝ

0 x−x

∣ ∣ x→ x

0 0 1

M , x , M 0<∣∣ x – x M

lim f

Se vale , , da

∀ >0 ∃δ( )>0 ∣ ∣∣<δ ⇒ >

(x )=+∞ 0 0 x

∣ ∣

−x

x→ x 0

0 1 1

x− x x , M

cui : il raggio , dunque, esiste e vale , quindi vale

∣ ∣

< δ( )

0 0

M M

lim f

effettivamente .

(x )=+∞

x→ x 0 38

Limiti nello Spazio Euclideo

Limite Infinito per x Infinito f x

Bisogna, inoltre, considerare il caso che tenda ad un

( )

valore infinito per x che tende a : un classico esempio

±∞

y=mx+q

è la classica retta , poiché la quantità y è

linearmente proporzionale alla quantità x, perciò si ha che y

tenderà a per x che tende a .

±∞ ±∞

Definizione: Se una funzione ammette limite infinito per x

che tende ad un valore infinito, allora

M

per ogni valore positivo esiste un raggio

M

R( M , funzione di , tale che per

)

x R f M

valga .

∣ )∣>

∣∣ ∣∣> (x

M , R(M 0∣∣ x R f x)> M

∀ >0 ∃ )>0 ∣ ∣∣> ⇒ ( (+∞)

M ,∃ R(M 0 0∣∣ x R⇒ f x)< M

∀ ∈ℝ )> ∣ ∣∣> ( (−∞)

1

f lim f

Esempio: Data , vale ?

(x )=log (x )=−∞

x

∣ ∣ x→+∞

1

log x∈ℝ x 1

Vale , quindi sappiamo che il limite avrà segno negativo: se

∣∣ ∣>

<0 ∀

x

∣ ∣ 1

M ,∃ R(M 0 0∣∣ x R⇒ log M

lim f x

vale quindi , , ossia

∀ ∈ℝ )> ∣ ∣∣> <

( )=−∞ x

∣ ∣

x→+∞

1 M

M R( M

, da cui : il raggio , dunque, esiste e vale

log x M x e

∣ ∣ ⇒∣ ∣>

−log > )

>

x

∣ ∣

M lim f x

, quindi effettivamente vale .

e ( )=−∞

x→+∞

Continuità

m n x

Definizione: Data una funzione , con , e un punto , si dice che

f : E E⊂ℝ ∈E

→ℝ 0

x

f è continua in se:

0 x

- la funzione è definita in ;

0

lim f

- la funzione ammette ;

(x )

x→ x 0

lim f f

- .

(x )= (x )

0

x→ x 0

1

f x x f

Esempio: non è continua in poiché non è definita per tale valore di x.

( )= =0 (x )

0

x x

Una classica funzione continua in tutto è, ad esempio, .

e

ℝ 39

n [ ) r x)=∣∣ x

Consideriamo ora la funzione , con : vale la seguente proprietà.

r :ℝ 0 ,+∞ ( ∣∣

→

x y x− y

Proprietà: ∣ ∣

∣∣ ∣∣−∣∣ ∣∣ ≤∣∣ ∣∣ x x− y y x− y y

Dimostro: Poiché valgono le disuguaglianze triangolari e

∣∣ ∣∣=∣∣ ( )+ ∣∣≤∣∣ ∣∣+∣∣ ∣∣

y y−x)+ x y−x x , abbiamo rispettivamente le relazioni

∣∣ ∣∣=∣∣( ∣∣≤∣∣ ∣∣+∣∣ ∣∣

x y x− y x y x y

e , da cui otteniamo

∣∣ ∣∣−∣∣ ∣∣≤∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣−∣∣ ∣∣≥−∣∣ − ∣∣

x y x− y .

∣ ∣

∣∣ ∣∣−∣∣ ∣∣ ≤∣∣ ∣∣

r x

Dimostriamo dunque che è continua in tutto il suo dominio, ossia in un qualunque

(x)=∣∣ ∣∣

x

punto 0 lim r x)=∣∣ x , , x 0 0<∣∣ x− x x x

Dimostro: Se vale , ,

∣ ∣

( ∣∣ ∀ ε>0 ∃δ (ε )> ∣ ∣∣<δ ⇒ ∣∣ ∣∣−∣∣ ∣∣ <ε

0 0 0 0

x→ x 0

x x x− x x x

ma e , quindi è sufficiente che valga

∣ ∣ ∣ ∣

∣∣ ∣∣−∣∣ ∣∣ ≤∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣−∣∣ ∣∣ <ε

0 0 0

, x r x

: poiché esiste per ogni valore di , si ha dunque che è

δ(ε )=ε δ ε (x)=∣∣ ∣∣

0

continua. f : E f x x

Consideriamo la funzione , con : dimostriamo, dunque, che essa è

→ℝ ( )=sin

x

continua in qualsiasi punto .

0

Dimostro: Per le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno vale l'equivalenza

sin x=sin x – x x – x x – x x

[( )+ ]=sin (x )⋅cos +cos (x )⋅sin

0 0 0 0 0 0

lim sin x=sin x , , x 0 x−x sin x−sin x

Se vale , , ma

∣ ∣ ∣ ∣

∀ ε>0 ∃δ (ε )> <δ ⇒ <ε

0 0 0 0

x→ x 0

sin x=sin x sin(x – x x – x x , quindi vale

+ )⋅cos +[cos (x )−1]⋅sin

0 0 0 0 0

sin x−sin x sin( x−x x cos( x−x x x

∣ ∣ ∣ ∣

= )⋅cos + )⋅sin −sin

0 0 0 0 0 0

cos sin x sin( x−x cos x

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

≤ (x −x )−1 ⋅ + ) ⋅

0 0 0 0

sin x cos x

Poiché vale, inoltre, e , vale

≤1 ≤1

0 0

sin x−sin x sin( x−x x cos( x−x x x

∣ ∣ ∣ ∣

= )⋅cos + )⋅sin −sin

0 0 0 0 0 0

cos sin x sin( x−x cos x

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

≤ (x −x )−1 ⋅ + ) ⋅

0 0 0 0

cos( x sin( x−x

≤ −x )−1 + ) <ε

∣ ∣ ∣ ∣

0 0

sin x−sin x f x

Si ottiene dunque : , dunque, è continua.

∣ ∣

<ε (x )=sin

0 f x

Con pochi adattamenti è possibile che anche la funzione è continua.

(x )=cos

Definiamo ora alcune proprietà delle funzioni continue.

m m n

Date due funzioni e e un punto :

f : E g : E x E⊂ℝ

→ℝ →ℝ ∈

0

40

f x

1 - è continua in ;

±g 0

lim f f lim g x)=g

Dimostro: Poiché vale e , possiamo scrivere

(x )= (x ) ( (x )

0 0

x→ x x→ x

0 0

f x)±g x)− f x g f x f x g x) – g x

∣∣ ( ( ( )∓ (x )∣∣≤∣∣ ( )– ( )∣∣±∣∣ ( ( )∣∣<ε

0 0 0 0

lim f x g f g x

da cui ricaviamo , ossia che

[ ( )+ (x )]= (x )+ ( )

0 0

x→ x 0

f x

è continua in .

±g 0

f x

2 - è continua in , con ;

α⋅ α∈ℝ

0

lim f f

Dimostro: Poiché vale , possiamo scrivere

(x )= (x )

0

x→ x 0 f f x f x)– f x

∣∣=∣ α∣∣∣

∣∣ α (x )−α ( ) ( ( )∣∣<ε

0 0

lim f f x f x

da cui ricaviamo , ossia che è continua in .

α (x )=α ( ) α⋅

0 0

x→ x 0

m=1 f x

3 - per , è continua in ;

⋅g 0

lim f f lim g x)=g

Dimostro: Poiché vale e , possiamo scrivere

(x )= (x ) ( (x )

0 0

x→ x x→ x

0 0

f x g x) – f x g f – f x g x)+ f g x) – f x g

∣ ∣ ∣ ∣

( ) ( ( ) (x ) = (x )g (x) ( ) ( (x ) ( ( ) (x )

0 0 0 0 0 0

f x f x g g x) – g x f x

∣ ∣ ∣ ∣

≤ ( )– ( ) (x )+ ( ( ) ( )<ε

0 0 0 0

lim f x g x)= f g x f x

da cui ricaviamo , ossia che è continua in .

( ) ( (x ) ( ) ⋅g

0 0 0

x→ x 0

f

m=1 g x x

4 - per e , è continua in .

( )≠0

0 0

g

lim f f lim g x)=g

Dimostro: Poiché vale e , possiamo scrivere

(x )= (x ) ( (x )

0 0

x→ x x→ x

0 0

f x f x) g f g x

∣ ∣ ∣ ∣

( ) ( (x )− (x ) ( )

f x)

( 0 0 0

– =

g x) g x g x) g

( ( ) ( (x )

0 0

f x) g x)− f x g f g x f x g

∣ ∣

( ( ( ) (x )+ (x ) ( )+ ( ) (x )

0 0 0 0 0

= g g x

(x) ( )

0

∣ ∣

g x f x)− f x – f x g x

( )⋅[ ( ( )] ( )⋅[ (x )−g ( )]

0 0 0 0

= g (x )g (x )

0 ∣ ∣

g f f f x x

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

(x ) ⋅ [ (x )− (x )] ( ) ⋅ [g (x)−g ( )]

0 0 0 0

–

≤ <ε

g x) g x g g x

∣ ∣ ∣ ∣

( ( ) (x) ( )

0 0

f f

(x )

f x)

( 0 x

da cui ricaviamo , ossia che è continua in .

lim = 0

g x) g g

( (x )

x→ x 0

0 41 k

√

f x x

Osservo: Se la funzione è continua in , anche g= f x) è continua in .

(

0 0

f f x

(x)− ( )

0

√ √

k

Dimostro: Ponendo , si ha .

f x)− f x

=2 ( ( )= <ε

0 √

√ f x f x

( )+ ( )

0

k [ )

f : E 0,+

Per deve valere .

=2 → ∞ f x f x

( )− ( )

3 3 0

√ √

k

Ponendo , si ha .

f x)− f x

=3 ( ( )= <ε

0 3 3

√ √

2 2 3

√

f f x f f x

(x ) + ( ) + (x ) ( )

0 0

m n

Definizione: Data una funzione e un punto ,

f : E x

→ℝ ∈E⊂ℝ

0

f x

se la funzione è continua in si ha che per ogni successione si ha

{x }⊂E

0 k

lim x lim f x f .

=x ⇒ ( )= (x )

k 0 k 0

k k

→+∞ →+∞ m

Osservo: Date due funzioni e

f : E →ℝ

p x

continue in , con

g : F →ℝ 0

n m

e , se vale

E⊂ℝ F ⊂ℝ

f g f

la funzione è

(E)⊂F ∘

x

continua in .

0

f x

Dimostro: Se è continua in , per

0

ogni successione si ha

{x }⊂E

k

lim x lim f x f f x f E)⊂ F

: si ha, quindi, la successione ,

=x ⇒ ( )= (x ) { ( )}⊂ (

k 0 k 0 k

k k

→+∞ →+∞ f x F

ma poiché g è continua si ha che per ogni successione si ha

{ ( )}⊂

k

lim f x f x lim g f x g f . Componendo opportunamente si

( )= ( )⇒ ( ∘ )( )=( ∘ )(x )

k 0 k 0

k k→+∞

→+∞ g f

lim x lim f x g f x

ottiene , ossia che è

∘

=x ⇒ (g ∘ )( )=( ∘ )( )

k 0 k 0

k k→+∞

→+∞ x

continua in .

0 −1

f : E x

Osservo: Se è continua in e iniettiva, la funzione è

f : f E E

→ℝ ( )→

0

x

continua in :

0

−1

- è la funzione identità su E

f f x)= x

( ∘ )(

−1 f

- è la funzione identità su

f f y)= y (E)

( ∘ )(

Introduciamo una nuova definizione della continuità:

n m

Definizione: è continua se:

f : ℝ →ℝ m −1

- per ogni aperto , è aperto;

A⊂ℝ f A)

(

m −1

- per ogni chiuso , è chiuso

C⊂ℝ f (C)

Introduciamo, quindi, il teorema di Weierstrass. 42