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N '((P) NS
: = = = .
curvatura Il raggio di curvatura può essere interpretato come
&
NP NP );
raggio della circonferenza che approssima localmente (nell’intorno infinitesimo di
• è diretto allora verso il centro della circonferenza.
TTTTT⃗ TTTTT⃗
VP(W)X (P)
N'( N'( NP NP
= = ∙ = ∙ = ∙ ̇ → indica che la velocità è tangente alla
( NW NW NW NW
traiettoria )
NY N(S∙Ṗ NS NP 0
' ( )
= = = ̈ ∙ + ̇ ž ∙ Ÿ = ̈ ∙ + ̇ ∙ ̇ = ̈ + ̇ → ha una componente
( NW NW NP NW
•
diretta come (centripeta) e una diretta come (tangenziale). La componente
centripeta è dovuta alla variazione della direzione della velocità. Nel moto lungo la
traiettoria circolare
, l’ascissa curvilinea (lunghezza dell’arco), può essere espressa
angolo al centro =
in funzione dell’ (vale per angoli infinitesimi) ->
̇
= ∙ ̇ = ∙
( 0 /
̇ 7̇ ̇ ̇
0 0
= ̈ + ̇ = ∙ + 8 ∙ = +
( &
Moto circolare rispetto a un asse fisso
Si consideri un corpo rigido vincolato al telaio con una coppia
.
rotoidale in un punto Il corpo si muove di moto rotatorio e,
,
dovendo per l’ipotesi di rigidità, avere distanza costante da la
.
traiettoria avrà raggio pari alla distanza dal punto
̇ ̇ ̇ 0 : = −
= ∙ = + Perché l’angolo tra e rimane costante,
( ( ̇ ̇, ̈ ̈
̇ ̇ ̇ 0 = =
= ∙ = + si ha:
+ + ̇)
velocità angolare =
Questo consente di definire la ( e
̈).
accelerazione angolare =
l’ (̇ Si parla di velocità ed accelerazione
di un corpo rigido (e non di un punto). Posso scrivere e l’accelerazione
dei punti di un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso di
HHHHH⃗ HHHHH⃗ HHHHH⃗
: = × , = ̇ × + × 7 × 8.
direzione Si sostituisce una coppia
( (
rotoidale ad una coppia sferica. In questo caso la traiettoria di un punto è una curva
.
nello spazio appartenente a una sfera di centro
.
La traiettoria giace nel piano e il suo centro è situato nell’origine
HH⃗ ≡ ̂
H⃗ =
HH⃗ × ⃗ → = sin =
Si definisce . Si consideri il vettore
NP ND
= = = = => ⃗ =
HH⃗ × ⃗ (limitatamente al moto
NW NW
circolare, è un vettore perpendicolare al piano della traiettoria e
diretto in senso di avanzamento).
T⃗ TT⃗ N&⃗
NY N N\
( (
⃗ = = HH⃗ × ⃗) = × ⃗ +
HH⃗ × = ⃗ × ⃗ +
HH⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ +
HH⃗ × HH⃗ ×
NW NW NW NW
TT⃗
N\
⃗) → ⃗ ≡
HH⃗
(accelerazione angolare). Siccome la variazione del
NW
HH⃗ ⃗, ⃗ × ⃗
vettore è diretta nella direzione del vettore il vettore è
(
HH⃗ × HH⃗ × ⃗)
disposto tangenzialmente alla traiettoria. Il vettore è
diretto normalmente alla traiettoria.
|⃗ ⃗|
= × = sin =
W
¥ 0 0
(
|
HH⃗ HH⃗ ⃗)|
= × × = sin =
]
Cinematica del corpo rigido
Si consideri il moto di un suo punto da una postazione solidale al corpo stesso, ma
distinta, la quale sarà (in generale) traslante: tale moto non può che essere circolare
in quanto la distanza tra due punti non varia => combinazione di traslazione e
moto di rototraslazione
rotazione ( ).
Teorema di Galilei: le velocità e di tutti i punti (misurate dall’uno e
4 3 = + , =
dall’altro osservatore) sono legate dall’espressione:
velocità di trascinamento
× → .
di
,
Teorema di Rivals: detta la velocità angolare di un corpo rigido,
le accelerazioni di una qualunque coppia di punti del corpo sono
= + × + × ( × ).
legate dalla relazione: 0
= + = + + = + ∙ + ̇ ×
4 3 34 3 34] 34W 3
Analisi di un sistema articolato
I nostri arti superiori ed inferiori sono esempi di
sistemi articolati nei quali i vari segmenti, assimilati
a corpi rigidi, sono vincolati a due a due con vincoli
di vario tipo. I sistemi articolati sono insiemi di corpi
rigidi interconnessi a mezzo di giunti piani o
spaziali. Un esempio importante per il vasto campo
quadrilatero articolato piano,
di applicazione è il un sistema costituito da quattro
giunti rotoidali
corpi, in genere di forma allungata, collegati con . Negli esempi che
solitamente si considerano una delle aste è ferma e svolge la funzione di base fissa, il
telaio. Nelle rappresentazioni grafiche in genere il telaio si confonde con lo sfondo del
1 3 manovelle.
disegno e non viene quindi rappresentato. I segmenti e sono le Il
2
segmento è vincolato da coppie (o giunti) rotoidali e asseconda il movimento delle
biella.
manovelle. Questo segmento si chiama Il quadrilatero articolato è composto
da quattro corpi vincolati, con un incastro applicato al telaio, e quattro cerniere che
collegano gli altri elementi a due a due.
∑( ∑ (2
= 3 ∙ − 3 ∙ − 2 ∙ − 1) ∙ = 3 ∙ 4 − 3 ∙ 1 − 2 ∙ − 1) ∙ 4 = 12 − 3 − 8 = 1
( ,- - - 1 0
(grado di libertà di rotazione, perché ci sono solo cerniere). Il vertice tra e è il
centro di istantaneo rotazione del giunto rotoidale, che può ruotare al massimo di
180°). Siano date la velocità e l’accelerazione
.
angolare della prima asta Il punto A è il
centro di rotazione, una volta considerando
la manovella, una volta considerando la
biella, e ci deve essere quindi la
conservazione della quantità di moto.
Partendo dal punto fisso e analizzando la
prima asta si ha (considero il moto di
): = × , =
̇ × +
rispetto a 3 / 3 /
(
× × ).
La direzione è ortogonale al segmento (che nel moto infinitesimo
/ / .
corrisponde al raggio di rotazione)=> la direzione è lungo l’asse Il verso è definito
dalla velocità angolare. L’accelerazione è la somma dei due vettori tratteggiati blu
(teorema di Rivals). Per il punto applico le relazioni (considero fisso e che sta
(
): = + × ; = +
̇ × + × × ).
ruotando rispetto ad Nella
4 3 0 4 . 0 0 0
costruzione è anche rappresentato il centro d’istantanea rotazione C della biella, la
cui posizione è utile per la determinazione rapida della velocità angolare . Infatti,
0
il poligono delle velocità per B non può̀ essere costruito senza conoscere
= ×
. Utilizzando la proprietà̀ secondo , si ottiene . Per la
0 3 0 0
costruzione del poligono d’accelerazione di è necessario conoscere .
1
= ∙ .
Considero che 4 1 / crociati anteriore e posteriore
La figura mostra i legamenti nell’articolazione del
tibia condilo femorale
ginocchio. Se immaginiamo che la costituisca il telaio ed il , la
biella, il sistema si comporta approssimativamente come un quadrilatero articolato
in cui le due manovelle siano incrociate. Se il
condilo femorale rappresenta la biella del
quadrilatero e i due legamenti crociati le
manovelle, il profilo del condilo deve essere tale da
non interferire con quello del piatto tibiale
durante il movimento. In questo caso il movimento
sarebbe possibile soltanto a mezzo della
deformabilità̀ dei legamenti. Se infatti così non
fosse, la velocità del punto di contatto non sarebbe parallela alla superficie del piatto
tibiale con interferenza dei due elementi a contatto.
sistema articolato due corpi collegati con un giunto
Costruisco un costituito da
rotoidale. Il primo corpo è collegato al telaio con un secondo giunto rotoidale. È un
modello semplificato delle prime due sezioni della gamba. La scelta dei sistemi di
Denavit-Hartenber
riferimento fissi e mobili è compiuta secondo la convenzione di :
•
Si scelgono terne destre con l’asse disposto secondo l’asse di rotazione dei
singoli giusti rotoidali;
•
L’asse sia disposto secondo l’asse dell’elemento con il verso dal nodo di indice
minore a quello di indice maggiore;
•
L’asse formerà una terna destra con i primi due.
Le lunghezze dei due elementi sono indicate con e e,
/ 0
rispettivamente, con e gli angoli formati tra e e tra e
/ 0 / ^ /
. Il verso positivo è l’antiorario. Richiamando i risultati già
0
ottenuti a proposito delle matrici di rotazione-spostamento, in cui
= + 3
si è posto , si ottiene che la posizione del punto
/0 / 0
rispetto al sistema fisso è data da: Ricordando le regole di
derivazione del prodotto,
la velocità del punto è:
1
Mostra che la
velocità può essere
espressa come
prodotto di una
matrice dipendente dagli angoli vettore di derivate degli stessi angoli
e da un . La
Jacobiano
matrice prende il nome di e varia con la configurazione assumendo una
legge temporale .
di variazione degli angoli Si assuma ad esempio una legge di
= + ∆ sin = ∆ sin(2 −
variazione degli angoli data dalle variazioni: e
/ /^ / 0 0
moto di avanzamento nella gamba
). Le leggi si riferiscono al (nel moto di
avanzamento lento) nella seguente successione:
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