Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Appunti

∼TAS

v→ w

Introduciamo, infine, un concetto che sarà fondamentale in seguito, che è la similitudine.

Definizione: Date due matrici A e B, esse sono simili se rappresentano la stessa applicazione – a

prescindere dalle basi utilizzate.

Capitolo 4

Teoria del Determinante

La teoria del determinante lega l'invertibilità o non invertibilità di una matrice a un termine

−1

detM

numerico, detto determinante della matrice – – per cui vale .

det M ≠0 ⇔∃M

detM ' M

Se si opera uno scambio di righe, si avrà , mentre moltiplicando una riga per

=−det

detM ' det M

uno scalare si avrà , e sommando due righe (moltiplicate eventualmente

α =α

detM ' M

per degli scalari) si avrà .

=det

A∈M n=1 detA=a a

Data la matrice , per si ha : per , coerentemente si

(ℝ) ≠0

n 11 11

detA≠0

avrà . ( )

a b ( )

( )

rg A=2

n=2

Per , la matrice A è : se si ha , le righe e sono

a b c d

A= c

c d a b ac≠bd ac−bd ac−bd

linearmente indipendenti. Si ha quindi : la quantità è il

≠ ⇒ ⇒ ≠0

c d

determinante di A. M M '

Definizione: Data , è un minore di M se si ottiene eliminando righe e/o

∈M (ℝ)

n

colonne dalla matrice M.

M M ' M

Osservo: Data , rimuovendo k righe e k colonne si ottiene .

∈M (ℝ) ∈ (ℝ)

n n− k

( )

a a a

1 2 3 detA

Per n = 3, la matrice A è A= : sviluppiamo rispetto alla prima riga,

b b b

1 2 3

c c c

1 2 3 ( )

b b

A '= A

rimuovendo la prima riga e la prima colonna. Otteniamo , dove l'indice “ 11 ”

2 3 = 11

c c

2 3

A '

sta a indicare che è il minore ottenuto rimuovendo la prima riga e la prima colonna di A: si

det A' c c

ha dunque . Rimuovendo la prima riga e la seconda colonna si ottiene

=b −b

2 3 3 2

( )

b b

A ' ' det A' ' c c

, da cui . Rimuovendo la prima riga e la terza

1 3

= =A =b −b

12 1 3 3 1

c c

1 3 ( )

b b det A' ' ' c c

A ' ' '= A

colonna, infine, si ottiene , da cui .

1 2 =b −b

= 1 2 2 1

13

c c

1 2

Si pone quindi

1 1 1+3

+1 +2 .

detA=(−1) a detA a detA a detA detA detA a detA

+(−1) +(−1) =a −a +

1 11 2 12 3 13 1 11 2 12 3 13

detA a

Osservo: Per il calcolo di , il segno da assegnare al termine dipende dalla posizione

ij

a

di ij

( )

+ − + − +

− + − + −

A

Esempio: = + − + − +

5 − + − + −

+ − + − +

detA

Osservo: Il valore di è indipendente dalla riga/colonna rispetto alla

quale esso viene calcolato.

A∈M

Osservo: Data una matrice triangolare superiore – per cui si ha, cioè,

(ℝ)

n n

∏

j i⇔ a detA= a

- vale .

< =0

ij ii

i=1

rg A det A

Definizione: è il massimo ordine di un minore di A tale da avere .

≠0

c ji

Osservo: Le trasformazioni operabili sulle righe e/o sulle colonne non influiscono sulla relazione

= detA

, ma alterano il valore di .

detA 0

≠ 3

,(2,0 ,−1)}

Esercizio: Completare l'insieme in una base di .

{(1,3,4) ℝ

3

,(2,0 ,−1) , v}

Se l'insieme è una base di , i tre vettori sono

{(1,3,4) ℝ

linearmente indipendenti, perciò il rango della matrice che li contiene è massimo:

ciò equivale a dire che il suo determinante è diverso da 0.

Studiamo dunque il determinante della matrice B:

( )

1 3 4

B= 2 0 −1

a b c ( ) ( )

3 4 1 3

Si ha, rispetto alla seconda riga, , ossia

detB=−2 det det

+

b c a b

detB=−2 detB≠0

: poiché deve valere ,

(3c−4b)+b−3a=−6c+9b−3a

3b−a≠0 . Basterà quindi trovare un vettore che soddisfi

−6c +9b−3a≠0 ⇔−2c+

v=(0,0 ,1)

tale condizione – es. .

A , B detAB

Domanda: Date , quanto valgono ?

∈M (ℝ)

n

In alcuni casi la risposta è immediata:

{

detB=0⇒ ker B⊃{0}⇒ ker AB⊃{0}⇒det AB=0

detA=0⇒ ker A⊃{0}⇒ ker AB⊃{0}⇒ det AB=0

Nel caso, invece, in cui entrambe le matrici abbiano determinante non nullo,

detAB≠0

si ha : poiché entrambe le matrici sono degli isomorfismi, anche

detAB≠0

la matrice composta AB è un isomorfismo, da cui .

detAB detAB=detA⋅detB

Per il calcolo di , vale

Data la definizione di determinante, introduciamo un metodo “algoritmico” per definire l'inversa

−1

M

di una matrice ( ovviamente nel caso )

det M

∈M (ℝ) ≠0 ⇔∃M

n

detM

1 – Calcolo ̃

M

2 – Si costruisce la matrice , detta matrice dei cofattori, ossia la matrice dove

∈M (ℝ)

n

m

l'elemento è il determinante della matrice ottenuta eliminando da M la i-esima riga e la

̃ ij i+ j

j-esima colonna, secondo la formula m det M

̃ =(−1)

ij ij

T

̃

3 – Si traspone la matrice dei cofattori, ottenendo M

1 T

−1 ̃

M M

4 – Si calcola M^-1 nel seguente modo: = ⋅

detM

Per comprendere meglio il metodo, presentiamo un esempio.

( )

2 0 1

A=

Esempio: 0 3 2

0 1 4

Applichiamo il metodo dei cofattori:

( )

3 2

1 +1

1 – detA=(−1) ⋅2⋅det =2⋅10=20

1 4 ( )

detA detA detA

=10 =0 =0

11 12 13

2 – Calcoliamo i cofattori: si ottiene :

detA detA detA

=−1 =8 =2

21 22 23

detA detA detA

=−3 =4 =6

31 32 33

( )

10 0 0

̃

A=

applicando i segni appropriati si ottiene 1 8 −2

6

−3 −4

( )

10 1 −3

T

̃

A

3 – Trasponiamo la matrice dei cofattori: = 0 8 −4

0 6

−2

( )

1 1 3

−

2 20 20

1 4 1

T

̃

A= A

4 – Calcoliamo la matrice inversa di A: 0

⋅ = −

detA 5 5

1 3

0 − 10 10

Introduciamo, inoltre, la regola di Cramer, molto utile nella risoluzione di equazioni del tipo

A x=b , poiché ricorre a dati prettamente numerici, calcolabili più o meno facilmente:

1

−1

A x=b x= A b x A

⇒ ⇒ =det ⋅

i b →i detA

x x detA

Il termine è la i-esima componente del vettore , e è il determinante della matrice

i b→i

b

che si ottiene sostituendo alla i-esima colonna il vettore .

f

3 4 dim Imf v

Osservo: Data l'applicazione , con , esistono una base e

ℝ → ℝ =2=r

ℝ

v w

w

una base tali che valga ( )

1 0 0

0 1 0

A =

v , w 0 0 0

0 0 0

Come trovo tali basi?

f v , … , v dim ker f

, con .

∃ker ⇒ ∃kerf ∘ < > =n−r

1 r ℝ

kerf v , … , v , … , v , v , ... , v

Si ha dunque ∘< > =<v >

1 r 1 r r n

+1

f 1≤i≤r V ' v ,… , v

poiché vale , f è iniettiva in .

(v )≠0 ∀ =< >

i 1 r

f ,… , f v

Completando l'insieme in una base di W, si ha

{ (v ) ( )}

1 r

W f v , … , f v , w , ... , w .

=< ( ) ( ) >

1 r r m

+1

Ottengo quindi: { v →w

1 1

v →w

2 2

⋮

f : v →w

r r

v →0

r+1

⋯

v →0

n

{

a 1≤i≤r

=1

Per la matrice A, dunque, si avrà .

ii

a i> r∨i≠ j

=0

ij

Per individuare tali basi si adopera la teoria degli autovalori e degli autovettori.

Capitolo 5

Autovalori ed Autovettori

f : V

Definizione: Dato l'endomorfismo , un vettore non nullo di V è un autovettore

→V

f v

di autovalore se vale .

α (v )=α ker f

Se f ha autovettori con autovalore , si ha .

α =0 ⊃{0 }

f v

Supposto che sia un autovalore, : definiamo allora l'insieme

β ∃v≠0 ∣ (v )=β

̃

V f v)=β v .

={v ∈V ∣ ( }

β ̃ ̃

Osservo: V NON è uno spazio vettoriale, poiché 0 V !

∉

β β

V ̃

0 V V

Poiché è un autovettore di qualsiasi autovalore, poniamo .

= ∪{0 }

v β β v

V è detto autospazio:

β

0

- ∈V β

V

f f v v v f v

- (v )+ (v )=β + β =β(v + )= (v + )

1 v 2 1 V 2 1 V 2 1 V 2

f v v=α f v)

- (α )=α β ( n V V

Osservo: Dato l'endomorfismo , dati gli autospazi e , si ha

End

ϕ∈ (ℝ ) α β

α≠β ⇔V ∘V

α β t t=ϕ(t t t=0

Dimostro: Assumiamo invece che .

∃t≠0 ∣ ∈V ∩V ⇒β )=α ⇒(β−α)

v v

α β

t≠0 V V

Ma e , quindi si ha un assurdo: concludo, quindi, che e

α≠β

v α β

sono in somma diretta.

A A x=α x

Osservo: ∼ϕ⇒

ϕ

B B x x

ϕ∼ϕ⇒ =α

̃ ̃ M

Si osserva che si possono ricavare gli autovalori di da ogni matrice - a

ϕ ϕ

prescindere, cioè, dalla base con cui si esprime il dominio.

Quando un numero è un autovalore?

α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x x 0

1 1 1 1 1

A x= A I A I

Osservo: =α =α ⇒ −α = ⋮

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

n n 0

x x x x x

n n n n n

A−α I x=0 x≠0 det A−α I

Si ottiene, dunque, , ma si ha , da cui :

[ ] [ ]=0

det A−α I

concludiamo che gli autovalori sono i termini .

α ∈ℝ ∣ [ ]=0

Come determiniamo gli autovalori? k

∏

det A−α I det A−α I

Sviluppando , si ottiene : le radici del

[ ] [ ]= (α−β )=P (α)

i k

i=1

polinomio, detto polinomio caratteristico di A, sono gli autovalori.

−1

Definizione: A e B sono simili se , dove H è la matrice di un

H L H A H

∃ ∈G (ℝ) ∣ =B

n

cambiamento di base. −1 −1 −1

Si ha, infatti: det B−α I H A H I H A H H I H

[ ]=det [ −α ]=det [ −α ]

−1 −