Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Appunti

Fondamenti di Algebra Lineare e

Geometria

Appunti tratti dalle lezioni del prof. Bruno Chiarellotto

Alessandro Ramon

Indice

Numeri Complessi 1

Spazi Vettoriali 7 Dai Naturali ai Complessi

In , si hanno l'operazione somma “ + ” e l'operazione prodotto “ ”.

⋅

ℕ

Esse sono commutative: {

a+ b=b+ a

a⋅b=b⋅a

e associative: { a+b)+c=a+(b

( +c)=b+(a+c )

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c )=b⋅(a⋅c)

Definizione: In vi è un elemento neutro per la somma:

ℕ a ,∃b∈ℕ∣ a+b=a b=0

∀ ∈ℕ

ed esiste un elemento neutro neutro per la somma:

a ,∃b∈ℕ∣ a⋅b=a b=1

∀ ∈ℕ

a ,∄d a+b=0

Primo limite di : ∀ ∈ℕ ∈ℕ∣

ℕ

Si introducono quindi i numeri interi .

ℤ

In , somma e prodotto sono abeliane e commutative, come in , esistono i relativi

ℤ ℕ

elementi neutri, e ogni elemento ammette opposto.

a ,∃d a+b=0 b=−a

∀ ∈ℕ ∈ℕ∣

a ,∄d a⋅d

Limite di : ∀ ∈ℕ ∈ℕ∣ =1

ℤ

Si introducono quindi i numeri razionali .

ℚ

In , somma e prodotto sono abeliane e commutative, come in , esistono i relativi elementi

ℚ ℕ

neutri, ogni elemento ammette opposto, e ogni elemento ammette reciproco:

1

a ,∃d a⋅b=1 b=

∀ ∈ℕ ∈ℕ∣ a

Definizione: Un insieme in cui somma e prodotto siano abeliane, in cui esistano i

relativi elementi neutri e in cui ogni elemento ammetta opposto e reciproco è

denominato “ campo ”.

2 2 √

Limite di : L'equazione non ammette sempre soluzione! (es. )

x x x=± 2∉ℚ

ℤ =a =2⇒

Si introducono quindi i numeri reali .

ℝ

In , somma e prodotto sono abeliane e commutative, come in , esistono i relativi elementi

ℝ ℕ

neutri, ogni elemento ammette opposto, e ogni elemento ammette reciproco.

Inoltre, è ora possibile risolvere equazioni che implichino l'utilizzo di numeri al di fuori di ,

ℚ

2

ma anche ha un limite: un'equazione del tipo non è risolvibile in !

x a>0

ℝ ℝ

=−a

Si introduce, quindi, l'impiego dei numeri complessi .

ℂ

Capitolo 1

Numeri Complessi

I numeri complessi sono coppie ordinate di numeri reali:

a≠b a , b)≠( b , a)

⇒(

Come si svolgono le operazioni di somma e prodotto in ?

ℂ

, b)+( c , d , b+d

Addizione: (a )=(a+c )

, b)⋅(c , d , ad+ bc)

Moltiplicazione: (a )=(ac−bd

L'elemento neutro per la somma è , l'elemento neutro per il prodotto è .

(0,0) (1,0)

Ogni numero complesso ammette opposto:

, b)+( c , d , d)=(−a ,−b)

(a )=(0,0)⇔(c

e reciproco: 1 a b

, b)⋅(c , d , d)= ,−

(a )=(1,0)⇔(c =( )

, b) 2 2 2 2

(a a a

+b +b

1 7 5 7 5

,− ,−

Esempio: =( )=( )

74 74

2 2 2 2

(7,5) 7 7

+5 +5 , 0)

N.B: Ogni numero reale è una coppia ordinata !

(r

2

Domanda: Vale quindi un'equazione del tipo ?

x a>0

=−a , b)

Se x è un numero complesso, esso si descrive nella forma .

(a

2

, b)

Esiste dunque un numero tale che valga ?

, b)

(a (a =−1

2 2 2, 2 2

Ma : è quindi evidente che può

, b) a ab+ab)=(a , 2 ab)=(−1, 0)

(a =( −b −b

, b)=(0,1)=i

essere solo .

(a

La prima coordinata di un numero complesso è la sua componente reale, mentre la sua seconda

coordinata è la sua componente immaginaria: un numero complesso si può quindi esprimere nella

forma , b)=a+b⋅i

(a

2

Esercizio: Risolvere l'equazione x x

+ +1=0

0

Poiché vale , l'equazione dovrà essere risolta in .

Δ=1−4=−3< ℂ

√ 3 i

−1±

√ 2

√ √

Varrà quindi .

3 i 3 i x

Δ= −3= = ⇒ =

√ 1 , 2 2

Introduciamo, dunque, il teorema fondamentale dell'algebra:

Teorema: Per ogni polinomio P(x) a coefficienti complessi di grado n, esistono n soluzioni

dell'equazione P(x) = 0 Notazione Trigonometrica

Poiché ogni numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali, esso è rappresentabile in un

piano, detto piano di Argand – Gauss, ed esprimibile secondo una funzione trigonometrica:

a b

√ √

2 2 2 2

, b)= a a b cos , senα)

(a +b ( +i⋅ )= + (cosα +i⋅sen α)=ρ( α

√ √

2 2 2 2

a a b

+b + Vale, quindi, l'uguaglianza:

, sen k sen 2 k

ρ(cos α α)=ρ(cos (α+2 π), (α+ π))

Esercizio: Trasformare il numero (7,5) in forma trigonometrica.

7 5 7 5

√ 5 2 √

i= 7 , 74 ,

(7,5)=7+5 +5 ( )= ( )

√ √ √ √

5 2 5 2 74 74

7 5 7

+ +5

Come si svolge il prodotto tra complessi nella forma trigonometrica?

Il calcolo avviene secondo il metodo:

, b)⋅(c , d cos i⋅sen i⋅sen

(a )=ρ ( α+i⋅sen α)⋅ρ (cos β+ β)=ρ ⋅ρ [cos (α+β)+ (α+β)]

1 2 1 2

1+i

Esercizio: Trasformare il numero in forma trigonometrica.

√ 3+i

1+i −1

√ 3+i)

Osservo: =(1+i)⋅(

√ 3+i √

Esiste, dunque, un numero che sia il reciproco di :

3+i

√ 3 i π π

√ , da cui

3+i)=2

( ( + )=2(cos +i⋅sen )

2 2 6 6

π π

2(cos x .

+i⋅sen )⋅ρ (cos +i⋅senx)=1

x

6 6

π π π π

Ma 2(cos x x x)]=1 .

+i⋅sen )⋅ρ (cos +i⋅senx)=2ρ [cos ( + )+i⋅sen ( +

x x

6 6 6 6

1

Poiché , deve valere necessariamente , e quindi dovrà valere

ρ =

−1≤cos α≤1 x 2

π π

x=0 x=−

necessariamente anche .

+ ⇒

6 6

Varrà quindi la relazione:

1+i 1 1

π π −π −π π π

√ 2(cos cos( . . .=

= +i⋅sen )⋅ ( )+i⋅sen( ))= (cos +i⋅sen )

4 4 2 6 6 12 12

√ √

3+i 2

z=a+i⋅b z=a−i⋅b

Definizione: Dato un numero complesso , il suo coniugato è .

z=ρ(cos senβ) z=ρ(cosβ,−sen

Nella forma trigonometrica, ,

β, β)

2

Osservo: z⋅z=ρ n

Esercizio: Risolvere l'equazione x =z n n n

z=ρ(cos i⋅sen

Soluzione: Pongo e , da

x

α+ α) =[t (cos β+i⋅sen β)] =t [cos (n β)+i⋅sen (n β)]

cui ottengo l'equazione:

n

t cos(nβ)+i⋅sen(nβ))=ρ(cos

( α+i⋅sen α)

k

α+2 π

n

√ k ... , n−1

si ha quindi: e , con .

t β= =0,1,

= ρ n

3

Esempio: x =1 3 3 3

1=(cos 0+i⋅sen 0)

Poiché e ,

x cos cos 3 3

=[ρ( δ+i⋅sen δ)] =ρ ( δ+i⋅sen δ)

dovrà valere: 0+2 k π

3

√ k 2

1 e , con

δ= =0,1,

ρ= 3 { x cos 0+i⋅sen 0)=(1,0)

=(

1 √

2 2 1 3

π π

x i⋅sen ,

=(cos + )=(− )

2 3 3 2 2 √

4 4 1 3

π π

x cos ,−

=( +i⋅sen )=(− )

3 3 3 2 2

2

Esercizio: Risolvere l'equazione x x

+2 +i=0 √ 4−4 i

−2+ Δ −2+

√ √

Soluzione: Risolvendo, si ottiene x 1−i

= = =−1+

1 , 2 2 2

√

Trovo, quindi, le soluzioni dell'equazione :

t= 1−i

2

√

t= 1−i⇒ t =1−i=(1,−1)

1 i 7 7

π π 2 2

√ √

2( 2(cos

ma e ,

t 2α 2

(1,−1)= − )= +i⋅sen ) =ρ (cos +i⋅sen α)

4 4

√ √

2 2

perciò si ha { 7 7

π π

4

√

t 2 , sen

= (cos )

1 8 8

15 15

π π

4

√

t 2(cos , sen

= )

2 8 8

da cui si ottiene { 7 7

π π

4

√

x 2(cos , sen

=−1+ )

1 8 8

15 15

π π

4

√

x 2( cos , sen

=−1+ )

2 8 8

3 √

Esercizio: Risolvere l'equazione 3−i

(z−i) = 7 7

π π

3 √

x 3−i=2(cos

z−i=x

Soluzione: Pongo , da cui . Si ottiene quindi:

= +i⋅sen )

4 4

{ 7 7

π π

3

√

x 2 , sen

= (cos )

1 12 12

5 5

π π

3

√

x 2(cos , sen

= )

2 4 4

23 23

π π

3

√

x 2 , sen

= (cos )

3 12 12

da cui si ricava { 7 7

π π

3

√

z 2 , sen

= (cos )+i

1 12 12

5 5

π π

3

√

z 2(cos , sen

= )+i

2 4 4

23 23

π π

3

√

z 2(cos , sen

= )+i

3 12 12

Notazione Esponenziale

Un numero complesso può anche essere descritto come una funzione esponenziale:

i⋅β

z=( a , b)=ρ(cosβ , sen β)=ρ⋅e

Il calcolo nella forma esponenziale diventa:

{ i⋅Γ i⋅Ω i(Γ +Ω)

z⋅c=ρ⋅e ⋅μ⋅e =ρ⋅μ⋅e

3 i⋅Ω 3 3 3 i Ω

z e

=(ρ⋅e ) =ρ

2

Esercizio: Trovo z∈ℂ z

∣ =z

z∈ℂ z=(x , y i⋅y x+ i⋅y)( x

Soluzione: : pongo dunque .

⇒ )=x+ ( +i⋅y)=x−i⋅y

2 2

Ma : eguaglio dunque le parti reali e le parti

x y

(x+i⋅y)( +i⋅y)=x − +2i⋅xy

immaginarie: { {

2 2 2 2

x y x y

− =x − =x

⇒

2 i⋅xy y x+1)=0

=−i⋅y (2

y=0

Per , si ha : {

{ 2 2

x x

−x=0 −x=x (x−1)=0 z=(1,0)∨z=(0,0)

⇒ ⇒

y=0 y =0

1

x=−

Per , si ha

:

2

{ {

1 1 3

2 2

y y

− =− = √ √

1 3 1 3

4 2 4 z=(− , ,−

⇒ ⇒ )∨z=(− )

2 2 2 2

1 1

x=− x=−

2 2 2

Si hanno, quindi, quattro soluzioni per l'equazione .

z =z

2

Osservo: L'equazione è a tutti gli effetti un'equazione di grado 2, ma ha 4 soluzioni!

z =z

Il coniugio, infatti, non funziona come una normale equazione.

Capitolo 2

Spazi Vettoriali

Uno spazio vettoriale è un insieme V di vettori a cui sia

associata un'operazione: (V, +) tale che l'operazione sia

abeliana e associativa, in cui vi sia l'elemento neutro e ogni

elemento abbia opposto.

Questo implica che in uno spazio vettoriale deve valere il

seguente sistema:

{ v v v

+ =v +

1 v 2 2 v 1

v v v v v

( + )+ =v + (v + )=v + (v + )

1 v 2 v 3 1 v 2 v 3 2 v 1 v 3

0

∃0 ∈V∣v + =v

v v v

w∈V∣v w=0

∃ + v v

In uno spazio vettoriale, inoltre, deve essere possibile l'azione dei numeri reali:

{ 1⋅v=v

(α⋅β)⋅v=(α⋅v )⋅β

v v

α(v + )=α + α⋅v

1 v 2 1 v 2

v=α v v

(α+β) + β

v

Domanda: L'elemento neutro è unico? 0 '

Per assurdo, suppongo che esista un secondo elemento neutro .

v

v 0 0 '

Si ha quindi, , ma per definizione di elemento neutro:

+ =v=v +

v v v v

{

0 ' 0 '

+ =0

v v v v

0 0 '

+ =0

v v v v

0 '=0 ' 0 0 ' 0 '=0

da cui si ricava: , dunque .

+ =0 + =0

v v v v v v v v v v

0

Soluzione: è il solo elemento neutro!

v v v=v

Domanda: Esiste un vettore ?

∈V ∖{0 }∣v +

v v

Per assurdo, suppongo che possa esistere tale vettore.

0 0 w=0 v)+ w=(v w=0

Poichè e , pongo , da

+ =0 ∃w∈V∣v + (v + )+

v v v v v v v v v v

v w)=0 v

cui : deve valere, quindi, .

+ (v + =0

v v v v

v

Soluzione: .

∄v ∈V ∖ {0 }∣v + =v

v v 0⋅v

Domanda: A cosa è uguale ? E ?

α⋅0 v

0⋅v=(0+0)⋅v=0⋅v 0⋅v 0⋅v=0

+ ⇒

v v

0

α⋅0 =α⋅(0 + )=α⋅0 + α⋅0 ⇒α⋅0 =0

v v v v v v v v v

0⋅v=0

Soluzione: α⋅0 =0

v v v

Domanda: A cosa è uguale ?

β⋅v + (−β)⋅v

v

β⋅v + (−β)⋅v=[β+(−β)]⋅v=0⋅v =0

v v

Soluzione: β⋅v + (−β)⋅v=0

v v

Si osserva spesso che nel mondo fisico la relazione tra

causa ed effetto non è biunivoca.

Si pensi, ad esempio, a una partita di biliardo: come si

può vedere nell'esempio, azioni diverse portano ai

medesimi risultati.

È legittimo, quindi, porsi la seguente domanda: v=β v

Domanda: Dato un certo scalare e un qualsiasi vettore v, esiste ?

α≠β∣α

β v=βv

Utilizzo il risultato appena ottenuto - : se vale , allora

β⋅v + (−β)⋅v=0 α

v v

v v v v

deve valere necessariamente anche .

α + (−β )=β + (−β )

v v

v v

Si ottiene, dunque, : poiché , posso dividere per

α + (−β )=(α−β)v=0 α≠β

v v

α−β

, da cui si ottiene .

v=v

α−β =0 v

α−β

v v v

Soluzione: Per ,

≠0 ∄α≠β∣α =β

v

v v=βv

Per ,

=0 α ∀ α∈ℝ

v

Definizione: Considero uno spazio vettoriale (V, +) contenente un solo vettore v.

Poichè V è uno spazio vettoriale vale il sistema

{ v v=v

+

v

v v=v v

(v + )+ + (v + )=v

v v v v

α⋅v=v

α⋅β⋅v=( α⋅β)⋅v=v

v

Tutto ciò può valere solo per !

=0 v

Si ricava, dunque, che uno spazio vettoriale contenente un solo vettore è lo spazio

vettoriale nullo .

{0 }

v Matrici

M M

Una matrice è una tabella ordinata di n x m numeri reali:

∈ (ℝ)

n x m

( )

Esempio: M 3 2 5

=

1 x 3 M

Per n = m , si hanno le cosiddette matrici quadrate (ℝ)

n

( )

1 7

Esempio: M =

2 4 5 M n∈ℕ , m∈ℕ

L'insieme delle matrici è uno spazio vettoriale !

(ℝ) ∀ ∀

n x m

Per la somma, valgono le seguenti proprietà:

{ A B=B A

+ +

m m

A B)+ C= A C)=B A C)

( + + (B + + ( +

m m m m m m

0 O A

∃ ∣A + =

m m m

B=0 B={b

∃B∣A + }={−a }

m m ij ij

Nello spazio delle matrici, inoltre, è possibile l'azione dei numeri reali:

{ 1⋅A= A

(α⋅β)⋅A=(α⋅A )⋅β

A B)=α A

α( + + α⋅B

m m

A=α A A

(α +β) + β

m

Lo spazio delle matrici è, dunque, uno spazio vettoriale! n

M

N.B: Lo spazio delle matrici è equivalente allo spazio vettoriale .

(ℝ)/M (ℝ) ℝ

n x 1 1 x n

0

Esercizio: Dimostrare che l'insieme - l'insieme delle funzioni continue

C 1])

([0,

ℝ

f :[0,1]→ℝ è uno spazio vettoriale.

Soluzione: Poiché valgono le leggi degli spazi vettoriali per la somma

{ 0

f g 0,1])

+ ∈C ([

ℝ

c

f g)+ h=f h)=g f h)

( + + (g + + ( +

c c c c c c

O

∃0 =0∣f + =f

c c c

g=0 g=−f

∃g∣f + c c

e per il prodotto { 1⋅f =f

(α⋅β)⋅f =(α⋅f )⋅β

g)=α f

α(f + + α⋅g

c c

A f

(α +β)f =α + β

c

0

Si deduce che è uno spazio vettoriale.

C 0, 1])

([

ℝ

Domanda: Quando un sottoinsieme di vettori è un sottospazio vettoriale?

Se un sottoinsieme è un sottospazio, esso dovrà essere uno spazio vettoriale dotato delle

operazioni indotte dallo spazio che lo contiene.

T

Domanda: Dati (V, +) e , T è uno spazio vettoriale con le operazioni di V?

≤V

T è un sottospazio di V se in esso valgono le proprietà degli spazi vettoriali per le

operazioni indotte da V.

T 0

N.B: : ogni sottospazio contiene l'elemento neutro dello spazio che lo contiene!

≤V ⇒ ∈T

v 2 2 2 2

Esempio 1 : In , considero . C è un sottospazio vettoriale?

C={( x , y y

ℝ )∈ℝ ∣x + =1}

Risposta: No: l'elemento neutro non è contenuto in C!

2 2 2 2

Esempio 2: In , considero .

T x , y y

ℝ ={( )∈ℝ ∣x − =0}

2

Risolvendo si ottiene T x , y y∨x=−y

={( )∈ℝ ∣x= }

L'elemento neutro è contenuto in T, ma la somma non avviene sempre in T!

es. (1,−1)+ (1,1)=(2,0)∉T

T

T, dunque, non è uno spazio vettoriale!

Metodo di Verifica

T

Possiamo, dunque, introdurre un “ tester ” :Dati (V, +) e , T è un sottospazio se:

≤V

0

Pre Test - ∈T

v

t ,t ,(t t

1 - ∀ ∈T + )∈T

1 2 1 T 2

, t∈T , t∈T

2 - ∀ λ∈ℝ ∀ λ

4 4

Esercizio: In , considero S={( a ,a , a , a

ℝ )∈ℝ ∣a −a =0∧a =2⋅a }

1 2 3 4 1 4 2 3

Soluzione:Applico il tester: 0

Pre Test - :

(0,0,0,0)∈S −0 =0∧0 =2⋅0

1 4 2 3 , 2β ,β ,