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Teorema di riduzione di Gauss
Anche se faccio operazioni, le coordinate sono sempre gli stessi vettori visti come elementari. Ogni matrice operazionale può essere ridotta a una matrice scalare attraverso una sequenza di operazioni che possono essere eseguite una volta su una base diversa.
Dimostrazione mediante l'esecuzione di un algoritmo meccanico:
10 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 2 7 0 0 0 0
Esempio:
0 3 0 7 0 0
Risultato:
0 1 0 0 0 0
Una matrice che ha 4 righe ha come rango 2. Passando alla seconda colonna, trovo 1, il primo pivot che devo mettere sulla prima riga. Scambio la prima riga con la seconda. Il massimo possibile è 4, anche il numero di 3. Sotto i pivot devono esserci tutti zeri, trovo un -2, devo sostituire la quarta riga con qualcosa che mi renda il -2 uguale a zero. Le colonne linearmente indipendenti saranno 4 quindi il rango sarà 4.
metterò lei stessa + alfa per la prima riga. Alfa lo scelgo in modo che la somma faccia zero. Alfa=24. Cerco il secondo pivot, che non può essere sulla stessa riga del primo pivot.5. Sostituisce 3 e 4 con qualcosa non metto uguale ma metto una freccia, 3-2 e 4-2
ALGORITMO DI GAUSS PASSAGGI 6. Trovo il terzo pivot, ma sotto c’è un -4 che devo far diventare zero
7. La 4 diventa 4-2(3^).
I. dila 'coefficiente sarà scambiodoDeterminare ilprima nulla dall' talecolonna ilMedianteSX 7il Pivot righecolonna di portiamoattonullanon nonprimo unoe :, .Pivot sulla prima riga combinazionitutti Pivot2 sostituendo PivotlinearipariRendere ladileelementi al delsottozero righetrovataa gli esse rigaconcon. .fissato identificatigiàila PIVOT3 Tenendo Pivot 1 2i ignorandoapplichiamoilche passi matricecontiene e sulla cherighesaltoriga leottenuto contengono .,. fermal' eridivil' 7-tutteiterativo trovo righealgoritmo sono di luiultimoquando altre
sottopivotsi se sonoe , .TESTI TIPICI CHE COMPAIONO NEI TEMI D’ESAMEESERCIZIO L’immagine di un polinomio generico con coefficienti generici, sia un polinomio di grado minore, uguale a 3>Èf t.c.fi E)'IRTX (→ IR a)] I[Sia )astaaazx +aotanx -1: za✗ a.an+ = ✗ ×-1 +=3 ,>}} {mate }È?• )( E ditt nullitàcalcolarescrivere rango= 1 × ×con ee,, KerfImfbasiDeterminare• perper eF calcolato sul poliniìomio 1, significa scegliere a0=1 e gli altri coeficcienti =0, a0 non compare mai. F(x) avrà a1 =1 e il resto uguale a zero, f(x^2) significa prendere a2 =1 e il resto = 0ÈÈfcx 1×7=2×2fa f-f- Questi vettori f(1)… generano l’immagine di f, costituiscono un insieme di generatori per l’immagine, per trovare una basex2) )) ✗ += (0 = ✗+= ,,, dobbiamo prendere l’insieme più grande possibile che sia anche linearmente indipendente.°° 0MÈ o
Quindi la matrice che sulla base canonica rappresenta f, avrà come vettori le coordinate dei vettori immagine f(cx) = [70 7 0] rispetto alla base canonica. F(1) è il vettore nullo, le sue coordinate sono [0]. E così via. Questa è la matrice:0 | 0 | 2 |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
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0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
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0 | 0 | 0 |
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0 | 0 | 0 |
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0 | 0 | 0 |
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0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |