Fondamenti di algebra lineare e geometria

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Appunti di Fondamenti di algebra lineare e geometria basato su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Giusteri, dell’università degli Studi di Padova - Unipd, facoltà di ingegneria, Corso di laurea in ingegneria aerospaziale. Scarica il file in formato PDF!

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Giusteri Giulio Giuseppe

Università Università degli Studi di Padova

Publisher gattielisa

A.A. 2021-2022

72 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Teorema di riduzione di Gauss

Anche se faccio operazioni, le coordinate sono sempre gli stessi vettori visti come elementari. Ogni matrice operazionale può essere ridotta a una matrice scalare attraverso una sequenza di operazioni che possono essere eseguite una volta su una base diversa.

Dimostrazione mediante l'esecuzione di un algoritmo meccanico:

Esempio:

0 3
0 7
0 0

Risultato:

0 1
0 0
0 0

Una matrice che ha 4 righe ha come rango 2. Passando alla seconda colonna, trovo 1, il primo pivot che devo mettere sulla prima riga. Scambio la prima riga con la seconda. Il massimo possibile è 4, anche il numero di 3. Sotto i pivot devono esserci tutti zeri, trovo un -2, devo sostituire la quarta riga con qualcosa che mi renda il -2 uguale a zero. Le colonne linearmente indipendenti saranno 4 quindi il rango sarà 4.

metterò lei stessa + alfa per la prima riga. Alfa lo scelgo in modo che la somma faccia zero. Alfa=24. Cerco il secondo pivot, che non può essere sulla stessa riga del primo pivot.5. Sostituisce 3 e 4 con qualcosa non metto uguale ma metto una freccia, 3-2 e 4-2

ALGORITMO DI GAUSS PASSAGGI 6. Trovo il terzo pivot, ma sotto c’è un -4 che devo far diventare zero

7. La 4 diventa 4-2(3^).

I. dila 'coefficiente sarà scambiodoDeterminare ilprima nulla dall' talecolonna ilMedianteSX 7il Pivot righecolonna di portiamoattonullanon nonprimo unoe :, .Pivot sulla prima riga combinazionitutti Pivot2 sostituendo PivotlinearipariRendere ladileelementi al delsottozero righetrovataa gli esse rigaconcon. .fissato identificatigiàila PIVOT3 Tenendo Pivot 1 2i ignorandoapplichiamoilche passi matricecontiene e sulla cherighesaltoriga leottenuto contengono .,. fermal' eridivil' 7-tutteiterativo trovo righealgoritmo sono di luiultimoquando altre

sottopivotsi se sonoe , .TESTI TIPICI CHE COMPAIONO NEI TEMI D’ESAMEESERCIZIO L’immagine di un polinomio generico con coeﬃcienti generici, sia un polinomio di grado minore, uguale a 3>Èf t.c.fi E)'IRTX (→ IR a)] I[Sia )astaaazx +aotanx -1: za✗ a.an+ = ✗ ×-1 +=3 ,>}} {mate }È?• )( E ditt nullitàcalcolarescrivere rango= 1 × ×con ee,, KerfImfbasiDeterminare• perper eF calcolato sul poliniìomio 1, significa scegliere a0=1 e gli altri coeficcienti =0, a0 non compare mai. F(x) avrà a1 =1 e il resto uguale a zero, f(x^2) significa prendere a2 =1 e il resto = 0ÈÈfcx 1×7=2×2fa f-f- Questi vettori f(1)… generano l’immagine di f, costituiscono un insieme di generatori per l’immagine, per trovare una basex2) )) ✗ += (0 = ✗+= ,,, dobbiamo prendere l’insieme più grande possibile che sia anche linearmente indipendente.°° 0MÈ o

Quindi la matrice che sulla base canonica rappresenta f, avrà come vettori le coordinate dei vettori immagine f(cx) = [70 7 0] rispetto alla base canonica. F(1) è il vettore nullo, le sue coordinate sono [0]. E così via. Questa è la matrice:

corrispondono l' =indica immaginedei le colonne che per ,Per l'immagine e per il nucleo Per il definizionelamatricenucleo operiamo scriviamosulla suanon , { È21+2<=0 Fao:{ }}{ E--12<7×+24×4 °f- =↳IRTXJ →(Kerf ( )) oC- ossia= ) anaa( opcx astaan: p = = -,}± an +2<=0 23=0FaoÈ4-20 an sop ✗✗= ++ PRINCIPIO DI IDENTITA’ DEI POLINOMI tutte le coordinate devono essere uguali a zero,I polinomi che appartengono al nucleo devono avere la relazione trovato sopra tra i vari coeﬃcienti{ }ÈKerf Sottospazio scritto nella forma parametrica20+4×+22×4 IR ERZoeaz →2sa 23=0an FORMA PARAMETRICA:= = -} , ,,{ ! }è òo EIR= aotanx a -10 an:- , , Per trovare generatori metto a0=1 e a1=0 il secondo a=0 e a1=1….Ottengo due generatori, siccome la nullità ovvero la dimensione del}{ nucleo è pari a 2 se trovi un generatore con 2 elementi so già diÈ >20--1,4=0/20--0

<→Generatori anzi a. ×: -, sicuro che quella è una base perchè sono nella quantità giusta non c’è nulla da scartare. Per cui questa è base per il nucleoBASE IL NUCLEO✗ESERCIZIO { }< È >Ì -1×4,4×+2×2 Abbbiamo scritto un insieme di generatori ma non sappiamo se è una base o meno.5base di ]EIRcalcolare [dimensione i 5=e +< ×✗ _ ,, #{ ? }? Stiamo cercando il numero di vettori linearmente indipendenti, se li metto nella matrice so che il"coordinate Ecalcoliamo le =su ×a. ×× ×, numero delle colonne indipendenti è uguale, calcolando il rango scopro quanti generatori di Ssono indipendenti2 400 00405 20402I 0402O YI I 0 IIIOIl ✓5 ←☒☒E →II # 0 0 5 5noo 01 05→O2 - -¢ o 5=3A a)/rk =3= dim02 00 OI I 0a oo0 OooO a ,z _0 000 00000 0 00o0 O000oo 00 0-7lo0O 0007I 7 -1Ci o a -5| --Il sottospazio S ha dimensione 3, ho 3 generatori

linearmente indipendenti e una base per S è data dai vettori di S nella posizione corrispondente ai pivot, primo, secondo e terzo:

{ 4×+2×7×4"2×-1×2 ANNOTAZIONI FATTE IN CLASSE: se io dovessi cercare nella sottomatrice che ottengo ignorando le 3 righe dei 3SBase /per ×+, , pivot che ho già trovato sotto ho tutti zeri e non ci sono più numeri diversi da zero, quindi non c’è un quarto pivot. IlNon è l’unica base per S, è una -5 è sulla stessa riga del 3 pivot provato non si può mettere in quarta riga. In una base devo avere vettorilinearmente indipendenti che posso trovare tramite riduzione a scala.STABILIRE L’APPARTENENZA O MENO DI UN VETTORE A UN SOTTOSPAZIOESEMPIO }!{ °!" " :( > ?oIR Wc- vewov : iE Matrice che ha sulle prime colonne quelle della matrice di A, sull’ultima le coordinate del vettore v3 40 3 40 1220 ) (a)) vfw220la Aggiungere la

colonna aumenta il numero diA rklalvO rk/ è >= vettoriINDIPENDENTE dagliv altrivi e= se ,111 111 colonne linearmente indipendentiO007 007 O rklalv ) rklaVEW )se = 340 13 4 3 40 107# ↳ I→3 È40 1 ' ☒ → -43I☒ -43°° -430 Iv '-43 → 0-430 -43 - )scala OridurreBasta /(rka =3 aa RK22 vao == ° ° ^ O'13 0 1 0-431 µ00' DI111 -☒ →o - ° °° °0 10007 o0 Wo 1a o ✓ eDETERMINARE LE EQUAZIONI DI UN SOTTOSPAZIO/ } }%) >&{< Sono linearmente indipendenti lo si vede subito perchè il secondo ha degli zeri dove il primo ha degli 1 e il contrario.Wi EIRsiano -_ }{ (f) }<WE > IRc- Se fosse uguale a 3 non apparterebbe allo stesso sottoaspazio)( )¥ ( ) ÌÌ¥ ( 10 ✗>IR YWn devoc- =il rk 2 rkgenerico che imporree IMPONGO Onscrivo siavettore =zin ,. 2-no10 ✗ X10I☒→Y - 01 Yon Io voglio che il rango sia uguale a 23=/ avrei Pivot =3Z rko✗se -2-no o ×z@

- Questa è l'equazione del sottospazio ₂-₁₁-₀rk = L impongo avere per Abbiamo un'unica questione perché W1 ha dimensione 2 e siamo

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