Fondamenti di algebra lineare e geometria

ISOMETRIA: ISOMETRIE

mantiene inalterate le caratteristiche misurabili di una qualsiasi figura (tridimensionale o più) che, come le misure dei lati, del perimetro, degli angoli, dell'area e del volume. Inoltre essa è un'applicazione lineare.

In generale:

• è D⇒E⇒LDr ⟺ CD⇒(N, ‰) A CD⇒⊂⇒(N), ⊂(‰)⇒

Proprietà:

1. L'inverso di un'isometria è un'isometria.
2. La composizione di due isometrie è un'isometria.
3. Un'isometria è SEMPRE INIETTIVA ma non sempre suriettiva.
4. Un'isometria è SURIETTIVA se e solo se si ha: ⊂: l ⟶ l (quindi non in l, l ecc.)a a ^ _
5. Un'isometria NON sempre è diagonalizzabile.
6. ⊂(>) * ⊂(Y) A > * Y SEMPRE (poiché conserva le lunghezze).
7. La matrice A associata ad un'isometria di l è ortogonale, inoltre le colonne

di A formano una base ortonormale di l.

8) Un’isometria •: l ⟶ l è sempre invertibile.

9) Un’isometria •: l ⟶ l manda basi ortonormali in basi ortonormali.

Una isometria diretta conserva il verso di rotazione (sia orario che antiorario), mentre una isometria inversa scambia il verso con il suo opposto.

Proprietà:

1. Componendo due isometrie dirette o due isometrie inverse si ottiene un’isometria diretta.
2. Dalla composizione di un’isometria diretta e una inversa si ottiene un’inversa.

ESEMPI DI ISOMETRIE:

Dato un vettore “v” fissato in modulo (lunghezza), verso e direzione nel piano o nello spazio, una traslazione associa ad un punto P, un altro punto Q tale per cui il vettore formato dal segmento PQ sia parallelo al vettore v e abbia la stessa lunghezza e lo stesso verso. Per essere effettuata e definita, devono prima essere definite una retta “r”,

ovvero- Rotazione: l'asse di rotazione, e un angolo "α" per cui sono fissati un verso (orario o antiorario) e un'ampiezza. N.B: usualmente l'asse di rotazione è ortogonale (perpendicolare a 90°) rispetto a un determinato piano. È costituita da un punto O chiamato centro di simmetria e un segmento- Simmetria centrale: (vettore) OP caratterizzato da una certa lunghezza, direzione e verso. La simmetria centrale associa a questo vettore OP un vettore uguale in modulo e direzione ma di verso opposto: OQ. N.B: una simmetria può essere vista come una rotazione di 180° del segmento OP attorno al punto O. È costituita da una retta r chiamata asse di simmetria e un segmento (vettore)- Simmetria assiale: OP ortogonale a tale retta e caratterizzato da una certa lunghezza, direzione e verso. La simmetria assiale associa a questo vettore OP un vettore uguale in modulo e direzione ma diverso opposto anch'esso ortogonale a r: OQ. N.B:

Una simmetria può avvenire anche attraverso un piano oltre che attraverso una retta o un punto come asse di simmetria.

Il determinante può essere calcolato SOLO per una matrice QUADRATA!

DETERMINANTI

Metodi del calcolo di un determinante:

• Regola di Sarrus per le matrici quadrate di ordine 3.
• Sviluppo di Laplace per una matrice di ordine qualsiasi.

Proprietà del determinante:

1. Il determinante di una matrice quadrata è nullo SE E SOLO SE:
   • Ha una riga (o una colonna) completamente formata da elementi nulli.
   • Due righe (o due colonne) sono uguali o proporzionali.
   • Una riga (o colonna) è combinazione lineare di due o più righe (o colonne) dunque i vettori sono linearmente dipendenti.
2. Il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore che sia) è dato dal prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
3. det(N∈A) = det(N) ∗ det(∈) (chiamato Teorema di Binet)

det(N A A [det(N .^w^ w^

w^ÊËÌ (Í))5) det(N A det(N).º6) det(λA) A λ ∗ det (N).a7) Due matrici simili hanno lo stesso determinante.Il determinante è un’applicazione suriettiva!Conseguenze dell’algoritmo di Gauss sul determinante:Le operazioni elementari sulle righe NON influenzano il rango di una matrice ma, come abbiamo visto,ne INFLUENZANO IL DETERMINANTE :- Scambio tra righe ⟶ il determinante cambia segno.- Moltiplicazione di una riga per uno scalare λ ⟶ il determinante viene moltiplicato per talescalare λ.- Sommare ad una riga il multiplo di un’altra ⟶ il determinante rimane invariato.Gli autovalori e gli autovettori sono importanti per lo studio della DIAGONALIZZABILITA’ di una matriceAUTOVALORI, AUTOVETTORI E AUTOSPAZILa ricerca di autovalori e autovettori può essere fatta con le SOLE MATRICI QUADRATE!quadrata.Procedimento di ricerca degli autovalori e autovettori:Data una matrice A, trovo il suo

polinomio caratteristico. Una volta trovato le radici di tale polinomio, ho di fatto trovato gli autovalori poiché radici e autovalori coincidono. Osservo la loro molteplicità algebrica e calcolo la loro molteplicità geometrica. Se verranno rispettate tutte le condizioni delladiagonalizzabilità di A allora procedo e trovo gli autovettori relativi agli autovalori. Notando che l’insieme degli autovettori forma un autospazio, quest’ultimo corrisponderà alla matrice diagonalizzata.

Polinomio caratteristico: ª(Œ) A det (N K λ1 )ale radici di tale polinomio corrispondonoRisolvendo il polinomio caratteristico, (ovvero le soluzioni)agli AUTOVALORI della matrice A. λ corrisponde al NUMERO DI VOLTEla molteplicità algebrica di un autovaloreMolteplicità algebrica:che l’autovalore λ annulla il polinomio caratteristico.In pratica: dato il polinomio caratteristico, una volta calcolato, si otterranno le sue

1. La somma delle molteplicità algebriche degli autovalori associati ad una matrice NON PUÒ MAI superare l'ordine della matrice.
2. Se si lavora in un campo chiuso (per esempio C) la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori coincide con l'ordine della matrice.
3. La molteplicità geometrica è SEMPRE maggiore o uguale a 1 poiché la dimensione di un autospazio non può essere nulla.
4. La somma dei valori degli autovalori coincide SEMPRE con il valore della traccia della matrice di cui si sono calcolati le radici del tipo: (r K λ), dove E A Er(λ). Ê λ ha una molteplicità geometrica calcolabile come: ogni autovalore Molteplicità geometrica: Ý) )Ê(λ A J K LM(N K λ 1 A CDEFÝ Ý a Ï ÐLa molteplicità algebrica indica quindi LA DIMENSIONE dell'autospazio relativo all'autovalore λ. ½Proprietà e : Er(n) Ê(n)1)

tali autovalori.

Legame tra Molteplicità algebrica e Molteplicità geometrica:

1. 1 ≤ E˜(λ) ≤ Er(λ) ≤ J (·)

Questo vale per ogni autovalore λ trovato. “n” è l’ordine della matrice quadrata ¶ A N.a

IMPORTANTE: se Er(λ) A 1 allora sarà NECESSARIAMENTE E˜(λ) A 1.

Condizione di diagonalizzabilità di una matrice:

3. La molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la molteplicità algebrica; ossia: mg(λ) A ma(λ) ∀λ.

La somma delle molteplicità algebriche (e dunque geometrica per la proposizione precedente) degli autovalori nel campo K (di numeri reali) è pari all’ordine della matrice. Ossia:

) ) ) ) ) )Er(λ + Er(λ + ⋯ + Er(λ A J ⇒ E˜(λ + E˜(λ + ⋯ + E˜(λ A J½ ^ ¾ ½ ^ ¾

N.B: se esiste anche un solo autovalore

immaginario (∈C) allora A non è diagonalizzabile. Una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile. N.B: RICHIAMI DI ALGEBRA – I NUMERI COMPLESSI(p.289 e seguenti) Nell'insieme dei numeri complessi è consentito effettuare l'operazione di estrazione di radice su numeri negativi. Per poter comprendere ed utilizzare questo nuovo insieme è necessaria l'introduzione di un elemento chiamato UNITÀ IMMAGINARIA. Essa è indicata con il simbolo "i" e la sua definizione è: i² = -1. In questo insieme complesso che denoteremo con il simbolo C, gli elementi sono solitamente scritti con la lettera z e si presentano nella forma: z = a + bi. OPERAZIONI CON I COMPLESSI: Dati z₁ = a₁ + bi₁ e z₂ = a₂ + bi₂, definisco: - Addizione: z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i. N.B: l'elemento neutro della somma è 0 + 0i. - Moltiplicazione: z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i. N.B: la

moltiplicazione è associativa e commutativa e l'elemento neutro è 1 A 1 + D0.

Se moltiplico due numeri puramente immaginari il risultato è sempre un numero reale. Ogni numero complesso (≠0) ammette inverso moltiplicativo. Si può dunque dire che l'insieme C è un campo.

Un'ulteriore operazione che esiste solamente nel campo dei numeri complessi è l'operazione del coniugio:

Data | A r + Ds ⇒ coniugio ⇒ |̅ A r - Ds {Ossia di fatto cambia di segno solo la parte immaginaria del numero z}

Proprietà:

1. (|̅1) A | ossia che il coniugio del coniugio dà il numero iniziale.
2. |̅ A z SE E SOLO SE z ha solo la parte reale.
3. |̅ A -z SE E SOLO SE z è immaginario puro.
4. | + |̅ A 2r.
5. | K |̅ A 2Ds.
6. | ∗ |̅ A r + s ∈ l_ _ Ó½ÒÒÒÒÒÒÒÒÒ
7. | + | A |Ô + |Ô Il coniugio della

somma è la somma dei coniugi per ogni z.^ _ ^ _8) |ÒÒÒÒÒÒ| A |Ô * |Ô Il coniugio del prodotto è il prodotto dei coniugi per ogni z.^ _ ^ _Un numero complesso z in C è caratterizzato da due fattori:||| A + s e determina la lunghezza.√rModulo: _ _tan ¯ A e determina l'angolo formato tra l'asse delle x e il vettore z.Fase o argomento: vxProprietà:1) ||| ≥ 0 ∈ l Una lunghezza non può mai essere minore di 0.Ó½||̅|2) A ||| Il modulo di z è uguale al modulo del suo coniugio.