Flusso emisfero

Calcolo del flusso del campo elettrico attraverso un emisfero

Flusso di E - Legge di Gauss

Calcolare il flusso (_E) attraverso un emisfero di raggio R. Il campo E è uniforme e parallelo all'asse dell'emisfero.

Per definizione, il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie è espresso come:

Φ(E) = ∫_S E × n dS (*)

dove n è il versore normale alla superficie S considerata. Questo integrale di superficie implica che la superficie in questione deve essere divisa in elementi infinitesimi di area dS. Per ogni elemento, deve essere valutata la quantità scalare E × n dS e si deve effettuare la somma di tali quantità per l'intera superficie. Allora, sviluppando la (*):

Φ(E) = ∫_S E cosθ dS

Essendo E costante e uniforme, posso portarlo fuori dal segno di integrale:

Φ(E) = E [ ∫_S cosθ dS

Poiché n dS cosθ è la proiezione di n dS su E, così la quantità dS cosθ (essendo dS ⊥ n dS) sarà la proiezione su una superficie ⊥ E. Quindi:

∫ cosθ dS = area di base dell'emisfero = π · r².

Allora:

Φ(E) = E · π · r².

Il risultato è prevedibile e visibile a colpo d'occhio.