Fluidodinamica: riassunto del corso

SISTEMA CONTINUO

Regione dello spazio all'interno del quale le proprietà fisiche variano con continuità di punto in punto.

Un sistema continuo materiale è un sistema continuo a cui è associata una massa.

Definiamo la densità.

f = lim (1/δV) dm = ρ(t, x, y, z)

Sul sistema continuo agiscono

• Forze di volume: Distribuite nel volume occupato

dF = b_i dV

Se le vogliamo per unità di massa

dF/g = lim (b_i/δV)

quindi b_i = ρ*g

• Forze di superficie: Applicate alla frontiera ∂A del sistema

F = ∫_V dF = ∫_A f_i dA

Calcolati dF e dτ per calcolare le risultanti

F = ∫_V dF , F = ∫_A dτ

Definiamo le tensioni:

Consideriamo un elemento SA_n soggetto ad una risultante SF:

SF = SF_n + SF_t

Ammettiamo che esistano finiti, i limiti:

σ = lim (SF_n/SAn)

Analizzando le tensioni in un piano O(x, y, z) e considerando SA_X normale all'asse x

σ_xy = lim (SF_x/SA_X)

σ_xz = lim (SF_z/SA_X)

Sistema continuo

Regione dello spazio all'interno del quale le proprietà fisiche variano con continuità da punto a punto.

Un sistema continuo materiale è un sistema continuo a cui è associata una massa.

Definiamo la densità,

Si:_V sistemi continuo agiscono

• Forze di volume

Distribuite nel volume occupato

dove b = campo di forze di volume,

Se le vogliamo per unità di massa:

• d_B

• Forze di superficie

Applicate alla frontiera A=:V del sistema

d_F =

Calcolati dB e d_F per calcolare le risultanti

B =

Definiamo le tensioni.

Consideriamo un elemento

Analizzando le tensioni in un piano

T rovina, triangolare

Ammettiamo che esistano finiti, limiti:

Analizzando le tensioni in un piano (x, y, z), e considerando

τ_xy,

τ_xz,

Tensione agente

Sezione normale

TEOREMA DI CAUCHY

Le componenti dello sforzo relativo ad una giunzioneelementare di superficie in un sistema di riferimento possonoessere espresse come:

Considerando un elemento infinitesimo dV calcoliamo il risultantedR che sarà la somma delle forze di volume dB e di quelle di superficiedate dalla tensione

Risultante forze di volumedB = b dV = g dx dy dz

Per il calcolo delle forze di superficie avrò3 contributi: df_x, df_y, df_z. Consideriamoil disegno per il calcolo di df_x.Quindi df_x sarà:

Perciò:df_x = [...] dx dy dzdf_y = [...] dx dy dzdf_z = [...] dx dy dz

Per calcolare la risultante in ogni direzione:

R_i = B_i + F_i = ∫_V (ρg_i + ∂t_ij / ∂x_j) dV

FLUIDI

Si dice FLUIDO un continuo materiale che si deforma con continuità sotto l'azione di sforzi tangenziali.

Quindi, in condizione di equilibrio _{Tensione delle tensioni pari:}

Perché quando un fluido è in equilibrio (ad es. un recipiente) ogni area infinitesima ΔA è soggetta ad una tensione normale ed a una pressione di compressione, quindi

In più _{τxx = τyy = τzz} dal principio di PASCAL, quindi:

_{τxx = -pSx} → _{τxx = -PI} = _-ρ (1 0 0)

Dalla determinazione possiamo dedurre che lo sforzo relativo ad una generica superficie di normale n_i può essere scritto come

_{τin = -p ni} → _{τin = τjj nj}, dove _τjj = -ρ (in tutte le direzioni)

La differenza con un solido sta proprio nel concetto di equilibrio. I solidi possono mantenere equilibrio sotto l'azione di sforzi tangenziali. Essi subiscono deformazioni statiche.

Solido

È in equilibrio

Fluido

Non è in equilibrio per l'insorgere di una τ sulla faccia superiore

Sperimentalmente si osserva che ad uno sforzo di taglio costante corrisponde una velocità di deformazione costante.

Relazioni Sforzo-Velocità di Deformazione

Esaminiamo il caso in cui un fluido tra due lastre piane infinite che scorrono tra loro. Con