Fluidodinamica: riassunto del corso

Sistema Continuo

Regione dello spazio all'interno del quale le proprietà fisiche variano con continuit^a, da punto a punto.

Un sistema continuo materiale è un sistema continuo a cui è associata una massa.

Definiamo la densità:

f = lim (Δm/ΔV)

f = ρ = ρ(t, x, y, z)

Sui sistemi continui agiscono:

• Forze di volume: distribuite nel volume occupato.

Se le vogliamo per unit^a di massa:

d_B = g d_m, g = lim ΔB/Δm

• Forze di superficie: applicate alla frontiera A = ∂V del sistema.

F = ∫_A d_F = lim ΔF/ΔA

Calcolati d_B e d_F per calcolare le risultanti:

B = ∫_V d_B = ∫_V b d_V

F = ∫_A d_F = ∫_A f d_A

Definiamo le tensioni:

Consideriamo un elemento S_An soggetto ad una risultante SF:

SF = Sf_n ^{n^} + Sf_t ^{t^}

Ammetteremo che esistano finiti i limiti:

τ = lim Sf_t/S_An → 0/S_An

Analizziamo le tensioni in un piano O(x, y, z) e considerando S_Ax normale all'asse x:

σ_xx = lim Sf_x/S_Ax → 0/S_Ax

τ_xy = lim Sf_y/S_Ax

τ_xz = lim Sf_z/S_Ax

Teorema di Cauchy

Le componenti dello sforzo relativo alla giacitura di normale _ni rispetto a un sistema prefissato possono essere espresse come:

dove

Considerando un elemento infinitesimo dV calcoliamo la risultante dR, che sarà la somma delle forze di volume dB e di quelle di superficie date dalla tensione dR = dB + df.

Risultante forze di volume

dB = ρ_ig_idxdydz

Per il calcolo delle forze di superficie avrò 3 contributi: dfx, dfy, dfz. Consideriamo il disegno per il calcolo di dfx.Quindi il dfx sarà

• dT_x
• dT_y
• dT_z

Percio:

• df_x = ^∂σ_xx/_∂x + ^∂T_yx/_∂y + ^∂T_zx/_∂z dx
• df_y = ^∂T_xy/_∂x + ^∂T_yy/_∂y + ^∂T_zy/_∂z dy
• df_z = ^∂T_xz/_∂x + ^∂T_yz/_∂y + ^∂T_zz/_∂z dz

Per calcolarne la risultante in ogni direzione:

R_i = B_i + F_i = ∫_V (ρg_i + ^∂T_ij/_∂xj) dV

Solitamente distinguiamo

M < 0,3 Flussi incomprimibili

0,3 ≤ M < 1 Flussi subsonici

M > 1 Flussi supersonici

Se M=0 Flusso di questo fluido incomprimibile d'...

Per determinare ed esaminare il moto dei fluidi esistono 2 metodologie:

Metodo _LAGRANGIANO o _MATERIALE Consiste nell'esprimere le incognite fisiche legandole a un determinato elemento e tenendo conto dei vettori velocità dei singoli fluidi per esaminarne il comportamento e in modo da determinare la traiettoria dell'elemento stesso.

Metodo _SPAZIALE o _EULERIANO Consiste nel fissare l'attenzione su un punto dello spazio attraversato dal fluido e calcolare le incognite sulla base delle grandezze fisiche che caratterizzano il volume vl a giacente.

Solitamente utilizziamo il 2° metodo, il primo metodo si preferisce quando si ha quindi a che fare nella meccanica dei continui che materiali consistono nel seguire il destino di un singolo elemento fluido in ciascun istante.

Solitamente configurazioni geometriche tutte a non invariata dinamica con il metodo lagrangiano.

Descrizione traiettoria delle configurazioni C^t a C⁰ Metodo Lagrangiano

x = φ (X^Y,t) Y = γ (X^Y,t) Z = ζ (X^Y,t)

Generica veliocità φ = Φ (X^Y,t)

Metodo Euleriano

x = x (x,y,z,t) y = y (x,y,z,t) z = z (x,y,z,t)

Generica quantità φ = Φ (x,y,z,t)

In questo caso le x, y, z assumono il significato di coordinate del punto di osservazione

Chiaramente è possibile passare dalle rappresentazioni lagrangiana a quella euleriana.

Per ogni punto P(x,y,z) ... deve risultare per ogni quantità φ = Φ (x,y,z,t)

dφ/dt = ∂φ/∂x + Δφ

Equazioni di Bilancio

Solitamente non è necessario conoscere l'andamento del campo di moto su tutto il dominio considerato. Infatti è sufficientemente individuare una regione finitadello spazio, detta Volume di controllo.

1. Conservazione della Massa

   Un generico continuo materiale non può variare la sua configurazione materiale; ovvero non varia la sua massa osservandolo durante il tempo. _V(t)\( \int \rho dV \) ^d\(dt\) = 0

2. Secondo Principio della Dinamica

   La risultante delle forze eguaglia la derivata rispetto al tempo della quantità di moto \( \vec{Q} = m\vec{v} = \int \rho\vec{v}dV \) \(\frac{d\vec{Q}}{dt} = \frac{d}{dt}\)(\(m\vec{v}\)) \(\frac{d\vec{Q}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} \) La risultante sarà la somma di forze di volume, superficie ed esterne: \(\vec{F} = \int_{V(t)} \vec{f} dV + \int_{A(t)} \vec{f}dA + \sum_{n}\vec{R}_n\)

3. Equazione del Momento Angolare

   La derivata rispetto al tempo del momento angolare \( \vec{H} \) (momento della quantità di moto) eguaglia il momento risultante delle forze agenti sul sistema: \(\vec{H} = \vec{r} \times \vec{Q}=\int \vec{r} \times \rho\vec{v} dV\) \(\frac{d\vec{H}}{dt} = \frac{d}{dt} (\vec{r} \times \vec{Q}) = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{M} \) Il momento risultante sarà la somma dei momoneti risultanti delle forze di volume, superficie e l'esterne: \(\vec{M} = \int_{V(t)} \vec{r} \times \vec{g}dV + \int_{S} \vec{r} \times \vec{f}dA + \sum_{n} \vec{R}_n \)

4. Primo Principio della Termodinamica

   L'energia meccanica del sistema è la somma di tre contributi dovuti ad energia interna, potenziale e cinetica e variazione di essa nel tempo riguarda potenza termica/energetica e meccanica. Inoltre se uscirà: \(\frac{dE}{dt} = \dot{m} \left[ (h_2 - h_1) + \frac{\omega^2_1 - \omega^2_2}{2} + g(z_2 - z_1) \right] = Q - L\) La potenza meccanica \( \dot{L} \) sarà la somma del lavoro della forza di volume e di superficie più unità di tempo di contributi esterni che portano scambio con l'esterno: \(\dot{L} = \int_{V_{loc}} \frac{\vec{g}}{dt} dV + \int_{f_{act}} \vec{f} dA + \dot{W}_e\)

5. Secondo Principio della Termodinamica

   In un sistema vale la seguente relazione \(\frac{dS}{dt} = \Delta S \geq \frac{Q}{T} \) _{Entropia nel caso ideale}

Equazioni del moto in forma differenziale

a) Conservazione di massa

∫^V* dV   ∄ ⋅ ʉ² dA =     per il teorema della divergenza∫_V* ∄ ⋅ ʉ(ρφ) dV = 0

Quindi

d/dt ∫^V* ρ dV + ∫^V* ∄ ⋅ (ρφ) dV = 0

Nel caso di flusso stazionario

Continuo che   ∄ ⋅ φ = 0  volume che   

Ricordando che il volume diun continuo durante il suo motoinvai camii con un elemento rettangolareQuindi il volume del continuo non varia durante il moto

Funzione di corrente

Considerando un flusso bidimensionale e incomprimibile:   ∂V_x/^∄x + ∂V_y/^∂y = 0

Quindi possiamo rappresentare la continuità associata a una funzione  detta funzione di corrente ψ = ψ(x, y, z, t), tale che:

∂ψ_∄x V_y

∂ψ_∄y V_x

Sostituendo   V_x = -∂ψ/^∂y   V_y = ∂ψ/^∂x

∂dX V_x = 0∂dY V_y = 0

• u dY - V_xy dx = 0

V₀ dy - V_yj dx = 0V_ix dy - V_yj dx = 0

Sipenda che  dY dx + dY dy - V₄ dx - V₃ dx = 0 Possiamo dire che lungo una linea dicontiene dY = 0 quindi il numero contenutosi mantiene costante lungo essa

Considerando la portata volumetricaQ= ∂∂ V_x dx - ∂∂ V_y dY Q = -∂∂ u_yx dx - ∂∂ u dY dx

∫^{x_{2, x1}} V_j1 dy -  ∫_y2 (∫^{dx, dY}) q1 V_1^ynx₂ dx V₂V_layon ψ_kj^{dx dY} dy

La portata volumetrica fluenza tra due linee di corrente è data dalla differenzadei valori della funzione di corrente ad esse associati