Fluidodinamica

Concetti fondamentali

Fluidi come continui

I fluidi sono sostanze composte da molecole. Lo spazio tra di esse è occupato da aria. Dunque per poter agevolare lo studio dei fluidi, si suppone che essi siano considerabili come corpi continui. Questo significa che le proprietà intensive dei fluidi (come densità, pressione, temperatura) varino con continuità da un punto ad un altro. Per quale motivo è possibile sfruttare questa ipotesi? Per la maggior parte dei problemi pratici, la minima scala di osservazione è enormemente maggiore di quella molecolare, sicché ogni (piccolo) volume di interesse contiene un grandissimo numero di molecole; associando a tale volume opportune caratteristiche della materia contenuta, le proprietà così definite medie variano con continuità nello spazio e al variare delle dimensioni del volume medesimo. Un’applicazione di questa ipotesi ci permette di interpretare la definizione di densità: Densità Media = = ⟹ ≡ lim→

In termini di coordinate cartesiane è scrivibile come: = , , ,

Linea di corrente (Streamline) vs di fumo (Streakline) vs di percorso (Pathline)

- Velocità = = , , , = %&̂ + )*̂ +

• Una linea di corrente di un dominio fluido in movimento è il luogo dei punti tali che il vettore velocità della particella fluida è tangente alla curva stessa: . ) ,=. % ,
• Una linea di fumo è costituita da tutte le particelle fluide che sono passate precedentemente in uno stesso punto dello spazio: = , , , ; = , , ,
• Una linea di percorso è il luogo dei punti occupati da una stessa particella nel suo movimento: =% , , ; =)

Campo tensoriale

Le forze agenti su un fluido sono di due tipologie: (attrito, pressione) e superficiali (gravitazionali ed elettromagnetiche). Le forze superficiali sono causate dalle tensioni: 1$ 2 Sia una porzione di superficie in un punto del fluido, orientata dal versore 4. La forza agente su può essere scomposta in: e .

Definiamo dunque:

• Sforzo Normale = ? = lim 515 @ →B 5A
• Sforzo di Taglio = E = lim 617 5 @ →B 5A , , ,

Se ci poniamo in un sistema ortogonale la tensione in un punto è data da:

? E EGG GH GIE ? E? = JF HG HH HIE E ?IG IH II

dove, per esempio, nel caso dell’asse: 49? = lim 51GGK @ →BK GL 4E = lim H18 GH @ →B GL 4KK E = lim I17 GI @ →B GL

Viscosità

In un fluido le tensioni sono dovute alla viscosità. Considero il caso di due lastre piane con un fluido in quiete: %4G alla lastra superiore, poiché il fluido si muova con costante. Applico una forza. Lo scorrimento relativo provoca uno sforzo di taglio: 4E = lim G1HG @ →B HM

Inoltre ho: %PN = %∙. → =QN= ∙ P E ; S= UR TGH H 6 produce: Lo sforzo di taglio ci si chiede dunque che relazione ci sia fra di essi.

Fluidi Newtoniani

Legge di proporzionalità: E ∝ .GH Z: [ `\∙]^ _ La costante di proporzionalità è viscosità dinamica. E = Z .GH `a: [ ^ _] A volte si sfrutta viscosità cinematica.

Fluidi non Newtoniani

I fluidi non Newtoniani sono quelli in cui la tensione a taglio non è direttamente proporzionale al grado di deformazione. La legge di questi fluidi è: .%

Indice di scorrimento E = ,b c d , = Indice di consistenza.GH

Che può essere riscritta come: .% .% .% .%5 5ghE = ,b = ,f ∙ =i η = Viscosità apparente c f. . . .GH E.I Bingham sono fluidi che comportano come solidi sotto un certo Il corrispondente modello di taglio è:.%= E + ZE .HG H k

Classificazione dei fluidi

Le forze viscose si possono considerare o meno, rispetto a quelle di pressione, valutando il numero di Reynolds:

+nlm = Z che è il rapporto tra le forze di inerzia e quelle viscose. o lmo lm elevato, effetti d’inerzia dominanti. basso, effetti viscosi dominanti.

Consideriamo un fluido non viscoso ed incomprimibile: Le linee di corrente sono simmetriche. Poiché il flusso di massa attraverso due linee di corrente è costante, dovunque esse si aprano, la velocità deve decrescere, e viceversa. In prossimità dei punti e abbiamo velocità basse, al contrario in sono elevate. I punti e sono detti di ristagno. Dal teorema di Bernoulli si ricava:

1 .r = o+.+ Quest’equazione evidenza la relazione inversa fra pressione e velocità. Poiché il fluido non è viscoso, non ho resistenza dovuta all’attrito. Questo è irrealistico. Abbiamo assunto elevato , per dire che l’attrito è trascurabile. Ci chiediamo come si possa collegare quest’assunzione con la realtà: la condizione di p richiede che la velocità sia nulla ovunque sulla superficie, ma la teoria non viscosa ci dirà che la velocità è elevata in Prandtl ipotizzò che, anche se l’attrito è trascurabile, in generale per un alto numero di Reynolds, esiste sempre uno strato limite, nel quale l’attrito è significante e, su tutto il suo spessore, la velocità aumenta rapidamente da zero al valore non viscoso, che la teoria dei fluidi non viscosi ha predetto. Nello strato limite abbiamo attrito e quindi resistenza! v Comunemente accade che si forma una scia; nel punto (detto di separazione) le particelle del fluido sono spinte fuori e causano una scia. p 2 Tornando al caso non viscoso, le particelle da a vanno da una zona di bassa ad alta pressione. Questo gradiente di pressione contrario, costringe le particelle ad andare giù. Se adesso aggiungiamo che le particelle si muovono in uno strato limite di attrito che rallenta il fluido, le particelle possono essere portate a fermarsi ed in seguito portate via dalle particelle che seguono, formando una scia. Essa sarà sempre in bassa pressione e la parte frontale della sfera sempre in alta pressione. Quindi la sfera avrà una discreta resistenza di pressione anche detta resistenza di forma.

Ricapitolando: I motivi della separazione sono due: l’attrito dello strato limite, che scorre sotto le particelle ed il gradiente di pressione contrario. Se facciamo la sfera a forma di goccia, la pressione aumenterà lentamente a tal punto che le particelle non sono costrette a separarsi dall’oggetto fino quasi a raggiungere la fine dell’oggetto. Si nota che la scia è molto più piccola (la pressione non è bassa quanto prima) portando ad avere una resistenza di pressione minore. L’unico effetto negativo è l’aumento di area che porta ad attrito.

Idrostatica

L’equazione di base dell’idrostatica

L’obiettivo di questo paragrafo è ottenere un’equazione per calcolare il campo della pressione in un fluido statico. Dedurremo questo dall’esperienza quotidiana, cioè che la pressione aumenta con la profondità. Per fare questo w4$ = xy applichiamo la seconda legge di Newton ad un elemento infinitesimo di fluido di massa: e volume: Su di esso agiranno forze di volume e forze di superficie.

• Forze di Volume (gravitazionale): .4$ = {$. = {$ . = {$ . . .z
• Forze di Superficie: | = | , , | Nella statica non ci sono tensioni di taglio e quindi, le uniche forze di superficie sono quelle di pressione. La pressione è un campo scalare, . Sia la pressione sul baricentro per determinare la pressione sulle facce si sfrutta la serie di Taylor, la pressione sulle facce sinistra e destra vale: •| •| •| .9 = | o| = | + o =|+ bo cK • • 2 • 2~ ~•| •| . •| .8| = | + o =|+ = | +b+ cK • • 2 • 2• •7Dunque la forza di pressione è data dal prodotto della quantità di pressione e l’area su cui agisce ed il versore, che ne indica la direzione:7•| .9.4$ = + . . *̂ƒ| bo c„HK • 2‚,~8 .•|.4$ . . o*̂= + b c„ƒ|K H 2•7 ‚,•Per le altre facce si ottengono gli stessi risultati, così combinando tutte le forze agenti sull’elementino, si ha:•| . .•|.4$ = o . . &̂ + + . . o&̂ +b| c b| c• 2 2•‚ •| . •| .+ o . . *̂ + + . . o*̂ +b| c b| c• 2 • 2•| . .•|w,-y wo,-y+ o . . + + . .b| c b| c• 2 2•Si ottiene: •| •| •| ,-c #$|..4$ = o &̂ + *̂ + . . . = o… . .b • • •‚Nel calcolo della forza quello che conta è la variazione di pressione.La forza totale agente sul fluido è:.4$ .4$ .4$ #$|y. #$|y.= + = w{$ o … . . = w{$ o …z ‚ 4$ = x$. = x$ .x$ = 0, .Per una particella di fluido la seconda legge di Newton dà che:Per un fluido statico vale: quindi:.4$ = x$ = 0.

Pertanto si ha che: .4$ #$|y= w{$ o … K̂ . #$|y w{$ o … = 0.4$ ‡K= x$ = 0. † 8 Quest’equazione scritta in componenti vale: •|9 Direzione lungo : o + { = 0 • GKK •|Direzione lungo : o + { = 0 •8 HK •|K + { = 0 Direzione lungo : o7 • I{$,Se consideriamo un sistema cartesiano con asse verticale ed ascendente, coincidente con la direzione di ma con verso opposto: •|o =0 • K̂K •| .|o =0 |=| ⟹ = o { = oŠ Peso specifico • .‡K •| Ko o { = 0†• IResitrizioni:

• Fluido in condizioni statiche.
• La gravità è l’unica forza di volume.
• L’asse è verticale ed ascendente.

Legge di Stevino

Se supponiamo che:.| = o {. k I= costante ⟹ Œ .| = o Œ {. ⟹ | o | = o { oJ / /{ = costante k I • • Poniamo il sistema sulla superficie libera. Si ottiene la legge di Stevino: | o | = {ℎ/9

Forza idrostatica su una superficie piana sommersa

Dopo aver determinato come la pressione varia in un fluido statico, possiamo esaminare la forza su una superficie sommersa in un liquido. Se il fluido è in equilibrio non ho tensioni di taglio; la forza idrostatica su ogni elementino di superficie è ortogonale ad esso. La forza di pressione su un elementino di area è: .1 = . . pressione su un elementino di area: è:.4 = |.1 La risultante delle forze agenti sulla superficie si trova sommando tutti i contributi. Dato che sono tutte perpendicolari, il modulo della risultante è:

4 = Œ .1 = Œ | + {ℎ .1 = Œ | + { sin • .1 • / /@ @ @= | Œ .1 + |{ sin • Œ .1 = | 1 + |{ sin • 1/ / •@ @1 = Momento statico sull asse , dove è la coordinata del baricentro dell area 1.‘ ‘• •

Dunque: | = Pressione assoluta rispetto 4 = | + |{ℎ = | 11 ⟹ 4 S U• al baricentro dell area 1 • / • • • ‘, ′‘ Per trovare il punto di applicazione eguaglio il momento della risultante delle forze con il momento dovuto al campo delle forze di pressione:

4 = Œ | .1 = Œ | + {ℎ .1 = Œ | + {ℎ .1 =‘ • / /@ @ @=Œ | + { sin • .1 = | Œ .1 + { sin • Œ .1 =— —/ /@ @ @= | + { sin • + 1yw˜ •—/ • G G1 + { sin • ˜ + { sin • 1 == | ™ ™ •—/ • G G= ∙ | + { sin • 1 + { sin • ˜ = 4 + { sin • ˜™ ™• / • G G • • G G™ ™ ™ ™10 ˜ Si ottiene quindi che: = + { sin • G G‘ ™ ™4• •|

Se abbiamo la stessa pressione ambiente agente sull’altro lato della supercie /4 = | 1 = {ℎ 1 = { sin • 1. possiamo usare quest’ultima equazione con trascurabile nel calcolo della forza • • • •š›šœnetta: Ed otteniamo che: ˜= + G G‘ ™ ™1• •>‘ • (ha senso perché la pressione sarà sempre maggiore più in In ogni caso basso). ,‘ .4la posizione della forza sulla Un’analisi simile può essere fatta per calcolare la lastra. Prendendo la somma dei momenti delle forze infinetesimali lungo l’asse noi otteniamo:

4 = Œ | .1‘ • @| Possiamo esprire come una funzione di (come si è visto prima):

4 = Œ | .1 = Œ | + {ℎ .1 = Œ | + { sin • .1 =‘ • / /@ @ @= | Œ .1 + { sin • Œ .1 =/ @ @= | + { sin • + 1y =w˜/ • G H • •1 + { sin • ˜ + { sin • 1 == | ™ ™ •—/ • G G= ∙ | + { sin • = 4 + { sin • ˜1 + { sin • ˜™ ™• / • G H • • G H™ ™ ™ ™˜ Quindi: = + { sin • G H‘ ™ ™4• •|

Se abbiamo pressione ambiente agente anche sull’altro lato della superficie /4 = | 1 = {ℎ 1 = { sin • 1. possiamo sfruttare l’equazione soprascritta con trascurabile nel calcolo della • • • •š›šœforza netta: Ed otteniamo che:˜= + G H‘ ™ ™1• •

Ricapitolando: 4 = | + |{ℎ 1 , ℎ = sin •9 • / • • •˜K = + G G‘ ™ ™1•8 •˜K = + G H‘ ™ ™17 • • Esempio: = 5 4- Spessore •- Determinare: Equazioni che goverano il sistema: | = | + {ℎ9 /K 4 = Œ | .1•K i 4 = Œ i| .1‘8 •K @K 4 = Œ | .1‘7 • @Ho pressione atmosferica da entrambi i lati, lavoro con: | = | o | = {ℎŸ /i ℎ .1,Usando per ottenere le espressioni per e si ha: ℎ = v + i sin 30° , .1 = .i ∙ +

Applicando queste equazioni all’equazione governante per la forza risultante:

12~4 = Œ { v + i sin 30° .1 = Œ { v + i sin 30° + .i• B@ 1 1= {vn+ + { sin 30° +n = {n+ + sin 30° nc = 58 ,£bv—2 2i ‘ Per la posizione della forza, calcoliamo (la distanza dal bordo più in alto della lastra): i 4 = Œ i| .1‘ • @ Quindi: 1 1 {+~ ~= Œ i| .1 = Œ i|+ .i = Œ i v + sin 30° .ii ‘ 4 4 4• • •B B@ {+ vi i {+ vn n~— ¥ — ¥= + sin 30°¦ = + sin 30°¦ = 2,22¤ ¤4 2 3 4 2 3• •B Inoltre si ha: v9 = + i = 6,22‘ ‘K sin 30°1 1 + + +8 = Œ | .1 = Œ | .1 = Œ | .1 = = 2,5K ‘ 4 4 2 24 27 • • •@ @ @

Forza idrostatica su una superficie curva sommersa

Per le superfici curve, bisognerà nuovamente derivare le espressioni per la forza risultante dall’integrazione della distribuzione della pressione sulla superficie. La forza di pressione è normale alla superficie in ogni punto, ma gli elementi delle aree infinitesimali puntano in direzioni variabili a causa della curvatura della superficie. Questo significa che invece di integrare per ogni elementino bisogna integrare per ogni elemento del vettore. La forza di pressione agente sull’elemento di area è data da: , dove il segno meno indica che la forza agisce sull’area, in direzione opposta alla normale dell’area.

La forza risultante è data da:

4$ = 4 &̂ + 4 *̂ + 4• • • •L M ©

Possiamo scrivere che: .Per valutare la componente della forza nella direzione data, consideriamo il prodotto scalare della forza con il versore nella direzione data, ad esempio il prodotto scalare di ciascuno lato dell’equazione soprascritta con il versore dà: .1$4$ .4$4 = ∙ &̂ = Œ ∙ &̂ = o Œ | ∙ &̂ = o Œ | .1 • • GL @ @ L.1$.1G . dove è la proiezione di sul piano perpendicolare all’asse ed il segno meno indica che la componente della forza risultante è nella direzione negativa.