Fluidodinamica

∆P

Questo vuol dire anche che invece di essere perpendicolare al moto, la forza di lift è

inclinata di rispetto alla perpendicolare.

Per geometria si ottiene: 2

~—

∆2 ≈ 2 ∆P ≈

~

# 21l

Il coefficiente di drag nel caso reale è: 2

~—

2 = 2 + 2 = 2 +

# #,j #,f #,j 21l

1l

è possibile incrementare aggiungendo all’ara delle “alette” di estremità (dette

winglet). Con il loro utilizzo la forza del vortice di uscita e la forza di drag sono

ridotte. 109

9. Introduzione ai fluidi comprimibili:

9.1 Ripasso di Termodinamica:

Un fluido si dice comprimibile se la variazione di densità è significativa. Nel caso di

aeriformi:

o ¯ 0.3:

< Fluido Incomprimibile.

o ¯ > 0.3 Fluido Comprimibile.

I gas sono ben rappresentabili dall’equazione di stato dei gas perfetti:

| = lÃ

l

dove è un’unica costante per ciascun gas, è data da: £∙

= universale = 8314

9l

l ,{ ∙

R

l= .")m: Costante

R ,{

¯ "Nm >

8 ¯ = Massa molecolare del gas = Q

^ ,{

7 ^ "Nm

In generale si ha: 1

% = % ), Ã .")m: ) ≡ = Volume specifico

Quindi: •% •%

.% = .Ã + .a

b c b c

•Ã •a

( B Ö ≡ •%/•Ã

Il calore specifico a volume costante è definito come: quindi:

( (

•%

.% = Ö .Ã + .a

b c

•a

( B %,

,

•%/•)

In particolare, per un gas ideale è dimostrabile che l’energia interna, è funzione

e:

solo della temperatura, quindi: BTB

.% = Ö .Ã per un gas ideale

( 110

L’entalpia di una sostanza è definita come: |

ℎ≡%+

| = lÃ, ℎ = % + lÃ. % = % Ã

ℎ

Per un gas ideale: e quindi: Dal momento che per

ℎ Ã

un gas ideale, anche deve essere una funzione della sola temperatura. Possiamo

ottenere una relazione tra e ricordando ancora una volta che per una qualsiasi

ℎ = ℎ |, Ã

semplice sostanza può essere espressa in funzione di altre due proprietà

indipendenti, ad esempio: . Dunque:

•ℎ •ℎ

.ℎ = .Ã + .|

b c b c

•Ã •|

k B

Ö ≡ •ℎ/•Ã

Dal momento che il calore specifico a pressione costante è definito come:

k k , quindi si ha che: •ℎ

.ℎ = Ö .Ã + .|

c

b •|

k B

ℎ Ã.

= 0

•ℎ/•Ã

Abbiamo mostrato che per un gas ideale è una funzione solo di Di conseguenza:

.ℎ = Ö .Ã

e:

B k .Ã

ℎ Ã, .ℎ = Ö

k

Ö Ã richiede

Dal momento che è una funzione della sola l’equazione:

k

che sia una funzione di solo per un gas ideale.

Anche i calori specifici per un gas ideale sono funzioni della temperatura, la loro

differenza è una costante per ciascun gas. Per vedere questo, da:

ℎ = % + lÃ

.ℎ = .% + l.Ã

Possiamo scrivere:

Combinando quest’equazione con:

.% = Ö .Ã

.ℎ = Ö .Ã

(

k

H

possiamo scrivere che: .Ã = .% + l.Ã = Ö .Ã + l.Ã

.ℎ = Ö

k (

111

Ö o Ö = l

Quindi: k (

Definiamo il coefficiente di dilatazione adiabatica:

Ö

Š≡ k

Ö

(

Š, Ö o Ö = l Ö Ö

k k

Š l.

Usando la definizione di possiamo risolvere l’equazione per o in

( (

,l l

termini di e Quindi: Ö = m Ö =

,o1 ,o1

k (

Anche se i calori specifici di un gas ideale può variare con la temperatura, per piccoli

intervalli di temperatura variano solo leggermente, e possono essere trattati come

costanti, quindi: R

9% o % = Œ .% = Œ .à = Ö Ã o Ã

_ _

K B

— h — h

R (

8 B

a a

ℎ o ℎ = Œ .ℎ = Œ Ö .à = Ö Ã o Ã

_ _

K < B

7 — h k k — h

< B

a a

L’entropia è definita dall’equazione:

º º

∆Á ≡ Œ .Á = c

b

à Ã

"||%¼m 8(

8(

La disuguaglianza di Clausius, dedotta dalla seconda legge, stabilisce che:

º 0

Ò Ã O

Come conseguenza della seconda legge, possiamo scrivere:

º º

Processi Reversibili .Á = , Ã.Å =

º .Å = 0

à d

.Á Â Ã.Á Â º Åm x.?xÕx

º º .Å > 0

à Processi Irreversibili .Á > , Ã.Å >

" ?Ö?

Ã

Un processo adiabatico – reversibile è anche isentropico.

112

Equazioni di Gibbs: |, ), Ã, Å, %

Un’utile relazione tra le proprietà può essere ottenuta considerando la

prima e la seconda legge insieme. Il risultato è l’equazione di Gibbs:

.% .)

Ã.Å = .% + |.) → .Å = +|

à Ã

ℎ = % + |) → % = ℎ o |):

Una forma alternativa può essere ottenuta sfruttando:

.% = . ℎ o |) = .ℎ o |.) o ).|

.ℎ .|

per ottenere: Ã.Å = .ℎ o ).| → .Å = o)

à Ã

| = lÃ,

Per i gas perfetti:

.% = Ö .Ã

9 .ℎ = Ö .Ã

(

k .) .|

.Ã .Ã

8 + l = Ö o l

.Å = Ö ) |

à Ã

7 k

(

Ö Ö

k

Se e sono costanti:

(

% o % = Ö o Ã

Ã

9 — h — h

ℎ o ℎ = Ö Ã o Ã

(

— h k — h

bà b) bà b|

8 Å o Å = Ö ln + l ln = Ö ln o l ln

c c c c

— — — —

à ) à |

7 — h k

h h h h

( ∆Å = Å o Å = 0

In un processo isentropico: — h )

Cioè: Ö ln à o à + l ln —

)

— h h

(

Dopo vari passaggi, si ottiene:

Å o Å = 0

— h

hg„

Ã∙ | = costante

= costante

| ∙ ) „

„ 113

9.2 Propagazione delle onde sonore:

¯:

Definisco numero di Mach + ¯ 1 Flusso Subsonico

¯≡ ¯ > 1 Flusso Supersonico

Ö <

H

Ö =

con Velocità del suono.

Considero la propagazione di un’onda sonora di forza infinitesimale attraverso un

mezzo indisturbato. Pongo un osservatore solidale in moto da poter studiare il

problema in modo stazionario: Ö.

Volume di controllo inerziale in movimento con

l’onda, velocità

Le equazioni base possono essere applicate al

volume di controllo differenziale mostrato in figura.

Equazione di continuità:

• .1$

Œ . +Ò +

##$ ∙ = 0

• Ë Ë‚

Considero il flusso:

- Stazionario.

- Uniforme in sezione.

o Ö1 + +. Öo. 1† = 0

Quindi: G

…

o Ö1 + Ö1 o . + . Ö1 o . . 1 = 0

oppure: G G

Ö

oppure: . = .

G

Seconda legge di Newton: • .1$

+ 4 = Œ . +Ò +

##$ ∙

4 •

‚ z G G

L L Ë Ë‚

114

4 = |1 o | + .| 1 = o1.|

dove: ‚

L

Sostituendola nella seconda legge di Newton:

o1.| = Ö o Ö1 + Ö o . +. Öo. 1†

G G

…

Unendola con l’equazione di continuità:

Ö1 = +. Öo. 1†

G

…

Otteniamo:

o1.| = Ö o Ö1 + Ö o . Ö1 = oÖ + Ö o . Ö1 → o1.| = o Ö1.

G G G

1

oppure: . = .|

Ö

G

Combinandola con l’equazione trovata precedentemente:

Ö

. = . ˆ Ö 1 .|

G → . = . = .| → .| = Ö . Ö =

— —

1 Ö .

‡ G

. = .| "||%¼m

†

Ö

G . = 0 → Ö ≈

. 0 → Ö 0

∞

- Solidi / Liquidi: ≠ ≠

- Gas: .|

In un’onda sonora sappiamo che avremo una infinitesima così veloce che non

Å = costante. |

permetterà alcun scambio di calore. | = | , Å ,

Le onde si propagano in modo isoentropico: Quindi, se esprimiamo

come una funzione della densità e dell’entropia, quindi:

•| •| •|

.| = . + .Å = .

b c b c b c

• •Å •

] ]

Dunque: .|

Ö =

— K̂ •| •|

. Ö = → Ö =

b c b c

—

•| • •

‡

.

.| = c

b /

K ] ]

• †

] 115 ¾

Ora possiamo applicare quest’equazione ai solidi, liquidi e gas. Per i solidi ed i liquidi

i dati sono in genere disponibili sul modulo di compressibilità , che è una misura di

(

come un cambiamento di pressione comporti una cambiamento della densità,

.| .|

¾ = =

. / .

(

Per questi mezzi: ¾

Ö= (

/

Per un gas ideale, la pressione e la densità in un fluido isentropico sono correlate da:

| |

= costante → ln = ln costante → ln | o ln = costante →

b c „

„ „ dp . .| | |

→ ln | o ln = costante → oŠ =0 → = Š → Ö = Š →

| .

γ /

| = lÃ, Ö = Šlà → Ö = Ö Ã

Ricordando: si ha: I .| .|

Nel caso di solidi o liquidi: ¾ = =

. / .

(

Cioè: ¾

Ö= (

/

9.3 Tipi di Flusso – Il cono Mach: ∆ Ö

Un emettitore puntiforme emette impulsi ogni ; ciascun impulso si propaga alla

)

velocità del suono e, così che ad ogni istante l’impulso sarà una sfera di raggio ,

centrata nel punto di emissione. Avrò quattro casi a seconda della velocità

dell’emettitore: 116

1° ) = 0 Il punto di emissione è stazionario. Gli impulsi

costituiscono un insieme di sfere concentriche.

1: ¼ = Ö∆

h

2: ¼ = 2Ö∆

—

3: ¼ = 3Ö∆

¥

3: ¼ = 3Ö∆

… 5

2° 0 ) Ö ; ¯ 1:

< < < )

Il punto di emissione si muove con subsonica.

Ö),

Gli impulsi costituiscono una serie di sfere