Fluidodinamica

PARTE 1

ANALISI DIMENSIONALE

DIMENSIONI

La dimensione è la misura (senza il numero) di una quantità fisica (una proprietà di un oggetto).

L'unità di misura è quello che permette di assegnare un numero a quella dimensione.

Le dimensioni fondamentali sono 7 e tutte le altre (derivate) possono essere ottenute come combinazioni di quelle fondamentali:

• lunghezza (L)
• massa (M)
• tempo (T)
• corrente elettrica (I)
• temperatura (Θ)
• quantità di materia (N)
• intensità luminosa (J)

SISTEMI DI MISURA (UDM)

OMOGENEITÀ DIMENSIONALE

Una unità dimensionale è giustificata dal fatto che le relazioni fisiche sono dimensionalmente omogenee:

• [1^o membro] = [2^o membro]
• principio dell'omogeneità dimensionale
• [] dimensioni

L'omogeneità dimensionale aggiunge dei vincoli (equazioni) che consentono di legare tra loro le variabili dimensionali del

problema: adimensionando il numero di variabili indipendenti

Per ciascun’adimensione fondamentale contenuta nel problema si aggiunge una sequenza (vincolo) ad

adimensionare il grado di complessità del sistema.

esempio tradizionale (parabolico) di un proiettile sparato da una prua.

ipotesi.

[2]^{[ax + bx2]} = [2] = [ax] = [bx²]

= [L] = [L] = [L²]

inviste che a: adimensionale e b ha dimensione di L^-1

1. Il valore di ad: influenzato dalle unità di misura scelte per x, o, la data scad., mentre lo è quello di b.
2. Utilità dei numeri adimensionali per procedere in scale-up.

(o scale-down) e riproduzione di scala (aumentare a diminuire).

12-19.02.24

esempio: MISCELAZIONE

la potenza P presa da un mescolatore di un fluido dipende da:

• diametro delle girante D - elemento da mettere in rotazione
• numero di giri N (frequenza)
• densità del fluido ρ

In un modo concettivo che supponiamo poter essere rappresentato da una legge di potenza con esponenti da determinare b_i

P = K D^b₄ N^b₂ ρ^b₃

K: adimensionale

Per l’omegento dimensionale: [P] = [D^b₁] [N] ρ^b₃

legamento dimensioni: M^b₁L^T-1 = (L)^b T^b₂ (M/l₃)^b₃

(/ [b3 + 1]

L:

/ [b₁ + 3b₂ = 2

T: / b₂ = 2

⇒ b₄ = 5, b₂ = 3, b₃ = 1

Fase 1 enunciare chiaramente il problema e contare il numero tot m

Fase 2 cercare le grandezze dimensionali fondamentali di ciascuno degli m param

Fase 3 determinare il rango r della matrice mxq (il parametro per

ad es. (ex. cinema) fondamentali, compresi q)

Fase 4 scrivere le m-r variabili ripetute

Fase 5 costruire K=m-r gruppi adimensionali e modificarli

al massimo utile

Fase 6 scrivere la relazione fondamentale e verificarla

Esempio caso miscel

Stimare la potenza P₂ che sarà spesa per movimentare la quantità di

in miscelatore al numero di giri N₂ = 350 rpm. in un olio minerale

di densità ρ₁ = 850 Kg/m³ sapendo che la potenza spesa per

movimentare acqua con lo stesso miscelatore vale

P₂ = 8 kW N₂ = 500 rpm

K =

P₂ → P₂ = P₁ (

P₁ ≤

DN22ρ2 N2 )3ρ2

SN33

P₂ = 2.8 ( ³⁵⁰ x

500 )⁸⁵⁰ = 0.816 KW

1000

Esempio cottura del Tacchino

• 1 gruppo adimensionale = funzione dei tempo di cottura
• Peso Tacchino = 4, 5, 3 ^{4, 5} 5 kg
• Tempo cuttura per 2.5 kg di Tacchino = 160 min
• tc = f(l, a)
• l: dimensioni caratteristiche del Tacchino
• a: diffusività termica
• massa della conduttività termica

Si suppone che il Tacchino ma omogeneo

σ₁ = 2

→ [ν] = L²/T

Sistema S.I.

m²s

Sistema C.G.S. m

Stokes (St) (centiStokes : cSt=0,01 Stokes)

esempio acqua (T=20°C, 1 atm) μ = 0,001 Pa s = 1 centiPoise

il catetere

γ glicerolo (20°C, 1 atm) μ = 1 cP

μ glicerolo (20°C, 1 atm) μ = 432 Poise

liquidi di atrite

olio (20°C, 1 atm) μ = 0,005 Pa s μ₀ = 8,9 x 10^-2 Pa s per gas

acqua a (20°C 1 atm) μ = 0,000588 = < 8,3 x 10^-5 Pa

liquido molto piccolo

Gas a 20°C e 1 atm μ = 20 cP (f = 10^-5 Pa s) → v > 10^-5 K

(aria) 0,01 cP

Liqu. di 20°C e 1 atm μ = 1 cP (f = 10^-3 Pa s) → v = 1 cSt (v > 10^-6 m²/s)

(acqua, benzene, metanolo)

Analisi dimensionale del MOTO TURBOLENTO

ΔP_L f (ν, D, ρ, μ, ε)

__________ | m=5+1=6 → m-ε=3

ΔP_L ν D ρ μ ε τ=3

H L 1 0 +1 0 0

L T 0 +1 -1 -1 0

H L -2 1 0 -1 0 0

T -2

__________

grado relativo di preferenze variabili ripetute variabile tecniche

Per i 5 delle variabili rendere ciascuno coeff per tutte le righe + n

associa il valore e per tutte le altre variabili rende

(b₃=0)

Prendendo in esame il parametro (b₂ e α)

b₁ 0

b₂ = 0

b₃ = 3b₁ + b₆ 0 → 0 b₃ 0

b₄ = 0

→ b₁ = 0

-b₁ = 0

b₅ = 0 | b₃ = 0

E^3/D sottbefore (o logarit) varia vol

In granchite adimensionale

questo influisce le superfici dei tubi vol diac = metri tubale

μ (b₅ = 0)

^{b₁ - b₃ b₁ = 0}

b₁ 0 0

(b₁ : b₃ 0) | b₃ = b₆

b₄ = 0

| n = (b₂ + b₅ 0) | 0 v

s = N² + v³ D²

1 = 1

ν Dρ | μ = 0

Re

a) Funzionamento di una pompa

_{gh = g h (Q, D, N, )}

m = 5

m - r = 2

gruppi adimensionali

Q = L³

volume

tempo

= g/cm³

b₁ = -3

b₂ + 3b₃ = 0

b₅ = 0

K_H = (g h)^-1 D^-2 N^-2

b₄ = -2

b₅ = 0

K_a = Q^-1 D^-3 N^-4

Q^-1

b₄ = -4

b₅ = 0

b) anche la potenza P = P (Q, D, N, )

P ≃ W : J

S²

b₅ = -1

K_el = P^-1 D^-5 N^{-3 -1}

Q = 0,06308 m³/s d₄ H₂O

K_p = 0,00116

K_a = 0,007

K_m - K_p