Fluidodinamica - Meccanica Dei Continui - Meccanica Del Volo

Fluido

Sostanza, liquido e gassoso, deformabile continuamente sotto l'azione di forze tangenziali, anche infinitesime.

• Se il fluido è in quiete allora è soggetto solo a forze di pressione.

Particella Fluida

Somma = media della massa delle molecole

Somma = volume del fluido

Somma è molto influenzabile dal numero di molecole.

Densità (P) = lim (Somma) dove P indica la particella fluida. _{SV->SV+ SV}

Azioni Tangenziali

y l(y) y+dy T(y) T+DT

y-dy T(y) T-DT

Tutte le grandezze attribuite al punto P (particella finita) sono una media di quelle alle molecole all'interno di SV'.

Trasporto del Calore

y l(y) y+dy u+du

y-dy u-du

• N.B. T = f (_du) ^dy = μ _dy ^{Fluido Newtoniano}
• q = f (_DT) ^dy = precedente. _{Modello di Fourier}
• veocità del suono: velocità di propagazione di perturbazioni infinitesime nel fluido
• S = cost. q = -k _dy ^{dT k = conducibilità termica}
• Gas Perfetto

q = -k _dy

_dy = _dP |_{S = cost} |_{S = cost}

Flusso incomprimibile:

Variazioni di densità legate a variazioni di pressione trascurabili

1/ρ dρ << 1 → ρ = cost. → Flus incomprimibile

dρ = ρ dlnρ = ρ (dρ/ρ + 1/2 u²)

• Se ρ = const.
• (dρ / ρ + 1/2 u²)

→ Flusso incomprimibile

• M << 1

^NB: Limite ingegneristico: M < 0,3

Coefficiente di comprimibilità:

k = 1/v ∂v/∂p|_T oppure k = 1/v ∂v/∂p|_S

Numero di Reynolds:

Re = Forze inerziali------------------- Forze viscose

• R ^(∞) >> 1

→ Forze viscose << Forze inerzia → flusso non viscoso

Numero di Prandtl:

Pr = C_pμ/K ----------------- rapporto fra diffusione viscosa e diff. termica

Aria standard:

• Aria secca a composizione fissata
• Valé la legge di Stevino: dp = −ρgdz
• Aria = gas perfetto g(z) = g_o(R_o/(R_o + z)) dove R_o = raggio terrestre
• Variazione della temperatura:
  • 0 < z < 11000 m → dT = αdz α = −0,0065 K/m
  • z > 11000 m → T(z) = T(11000 m)

"Dilatazione isotropa"

A = ₁/₃ div(r̅) I

V(t₀+dt) = [₁/₃ div(r̅) δx_e dt

Semiperiodo di primo ordine -> V(t₀+dt) = V(t₀) + ₁/₃ χ¹ div(r̅) · V₀ · dt

-> ΔV = V(t₀+dt) - V₀ ->

ΔV / V = div(r̅) dt

"Deformazione isovolumica"

Β = ( ⎛⎝ ∂u / ∂x - ₁/₃ div(r̅) ⎞⎠ ⎛⎝ 0 ⎞⎠ ⎛⎝ 0 ⎞⎠ ⎛⎝ ∂v / ∂y - ₁/₃ div(r̅) ⎞⎠ ⎛⎝ ∂w / ∂z - ₁/₃ div(r̅) ⎞⎠ )

(Β) = ( ⎛⎝ ∂u / ∂x - ₁/₃ div(r̅) ⎞⎠ ⎛⎝ 0 ⎞⎠ ⎛⎝ 0 ⎞⎠ ⎛⎝ ∂v / ∂y - ₁/₃ div(r̅) ⎞⎠ ⎛⎝ ∂w / ∂z - ₁/₃ div(r̅) ⎞⎠ )

"Distorsione pura"

C = ( ⎛⎝ 0 ⎞⎠ ⎛⎝ ₁/₂ (d⁢u⁢/⁢d⁢x ⁢+⁢ d⁢v⁢/⁢d⁢y) ⎞⎠ ⎛⎝ ₁/₂ (d⁢u⁢/⁢d⁢x ⁢-⁢ d⁢v⁢/⁢d⁢y) ⎞⎠ ⎛⎝ d⁢v⁢/⁢d⁢y + d⁢w⁢/⁢d⁢z ⎞⎠ ⎛⎝ ₁/₂ (d⁢v⁢/⁢d⁢y ⁢-⁢ d⁢w⁢/⁢d⁢z) ⎞⎠ )

"Rotazione rigida"

Ω = ( ⎛⎝ 0 ⎞⎠ ⎛⎝ ₁/₂ (d⁢v⁢/⁢d⁢x ⁢-⁢ d⁢u⁢/⁢d⁢y) ⎞⎠ ⎛⎝ ₁/₂ (d⁢u⁢/⁢d⁢x ⁢-⁢ d⁢v⁢/⁢d⁢y) ⎞⎠ ⎛⎝ ₁/₂ (d⁢v⁢/⁢d⁢x ⁢+⁢ d⁢u⁢/⁢d⁢y) ⎞⎠ 0 )

N.B. δx · Ω = ₁/₂ [ w̅ ∧ δx ] dove w̅ = rot(r̅) "verifica"

Fluido Incomprimibile:

Equazione di stato: ρ(x,t) = ρ₀ = cost.

Bilancio masse: D

div(⃗v) = 0 => ΔV̇ = 0

Bilancio quantità di moto: (Invariato)

D⃗v/Dt = f̅ - 1/ρ ∇p + ν ∆⃗v

div(⃗v) = 0

⇒ D⃗v/Dt = f̅ - 1/ρ ∇p

Possiamo anche riscriverla mettendo in evidenza la vorticità ⃗ω = rot(⃗v)...

∂⃗v/dt + ⃗v ∇(⃗v) = f̅ - 1/ρ ∇p + ν ∆⃗v

con...

∆⃗v̇ = ∇(div(⃗v)) - rot(rot(⃗v))

=⇒ ∂⃗v/dt + ⃗ω ∧ ⃗v + ∇(v̅²/2) = f̅ - 1/ρ ∇p - ν rot(⃗ω)

Genesi della vorticità:

Δψ = 0

∇φ |_S = 0

∇φ |_S = 0

La condizione di aderenza genera vorticità!

Ricordiamo che la vorticità è legata alla rotazione rigida

(Aχ)_x = δχ. Ω = 1/2 ω̃ ∧ δχ

τ = 0: v̄_∞ = 0; t = 0+; v̄_∞ = (U,0) e v̄_Ω/PARETE = 0

Γ = ∮_S v̄ ∙ dℓ = ∮_S rot(v̄) n̂ ds = ∮_Σ ω̄̃ ∙ n̂ ds

Γ = ∫_Σ Udx - Uδx = ∫_Σ ω₂δxdy = ω₂δy - U < 0 ∀ x ∈ [0,L]

Analogamente di sotto --- ω₂δy - U > 0 ∀ x ∈ [0,L]

Quindi: ∫_Ω ω̃ dΩ = 0 = vorticità globale ∀ t

Cose che possiamo vedere anche dal teorema:

Conservazione della vorticità:

d/dt ∫_Ω ω̃ dΩ = 0

E, iniezione per t = 0 abbiamo ṽ = σ̃ -> ω̃ = 0 -> ∫_Ω ω̃ (χ̃;0) dΩ = 0

-> ∫_Ω ω̃ (χ̃,t) dΩ = consth. = 0 ∀ t

Modello semplificato flusso irrotazionale ovunque:

Δφ = 0

∇φ |_S= 0

N.B. Trascurare la vorticità equivalente e trascurare la viscosità.

La condizione di aderenza non può essere rispettata!

+ Eq. Bernoulli: ρ + 1/2 ρ v̄ ∙ v̄ = ρ∞ + 1/2 ρ U_∞²

Condizione di incompenetrabilità

Se prendo una linea di corrente sufficientemente lontana dal corpo la perturbazione del flusso assimotico é nulla quindi posso prendere un v.e. cosi fatto:

Bilancio massa:

\( \oint \rho \textbf{U} \cdot d \textbf{s} = \rho \textbf{U} A_2 - \int \rho \textbf{U} d \delta \)

\( A_1 = A_2 - \imath_{1}^{2} \right) = 0 \)

\( \Rightarrow \frac{\delta \bar{U}}{dx_c} < 0 \)

Viseversa dal punto di massimo spessore fino al bordo d’uscita:

\( \dot{u} < 0 \)

Se \( \delta \geq 0 \) allora \( \upsilon \left( \delta \right) < 0 \)

\( \dot{u} > 0 \)

Bilancio quantità di moto:

\( \frac{\partial \upsilon}{\partial t} + \upsilon \frac{\partial \upsilon}{\partial x} + \upsilon \frac{\partial \upsilon}{\partial \upsilon} = - \frac{1}{\beta} \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{\epsilon} \upsilon \frac{\partial^2 \upsilon}{\delta \upsilon^2} \)

\( \Rightarrow \frac{\partial^2 \upsilon}{\partial y^2} \delta_y^0 - \left( \frac{\partial \upsilon}{\partial y} \right)_{y=0} = \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dy} \)

Esempi:

Lastra piana

Dorso profilo alare:

Se \( \frac{\partial^2 \upsilon}{\partial y^2} \right| svu \)",

Pressione Massima

Separaione dello Strato Limite