Fisica Tecnica - Lezioni Teoriche 16-17-18

CONDUZIONE STAZIONARIA

_cp ^∂T/_∂t = k ( ^∂2T/_∂x² + ^∂2T/_∂y² + ^∂2T/_∂z²) + q̇_g

φ = -k ∇ T

T(x, y, z, t)

φ_x = -k ^∂T/_∂x

STAZIONARIO: ^∂T/_∂t = 0

0 = k( ) + q̇_g

MONODIMENSIONALE: dipende da 1 solo coordinato spaziale

0 = k (^d2T/_dx²) + q̇_g

EQUAZIONE DI FOURIER STAZIONARIO E MONODIMENSIONALE

^d2T/_dx² = -q̇_g/k

T(x) = -^q̇_g/_2k x²/k + A x + B

CONDUIZIONE STAZIONARIA

_^∂T/∂t = k (_∂²T/∂x² + _∂²T/∂y² + _∂²T/∂z²) + _̇Qg

Φ = -k ∇T

Φ_x = -k _∂T/∂x

STAZIONARIO: _∂T/∂t = 0

0 = k ( ) + _̇Qg

MONODIMENSIONALE: dipende da 1 solo coordinato spaziale

0 = k (_d²T/d x²) + _̇Qg

EQUAZIONE DI FOURIER STAZIONARIO E MONODIMENSIONALE

RISCRIVO:

_d²T/d x² = -_̇Qg/k

T(x) = -_̇Qg/2k x² + A x + B

T(x) = -_̇Qg/2k x² + A x + B

Devo calcolare A e B applicando le condizioni al contorno

Conosco T₁ e T₂ sulla parete

1. X=0T(0)=T₁

2. X=1T(1)=T₂

Scrivo T(0)

T(0)=0+0+B → T(0)=B → B=T₁

Scrivo T(1)

T(1)=-_q>x²_g/k + A1 + B = T₂

A= [T₂-T₁]

+_q x²_f/2.k

B=T₂

2) Non è necessario conoscere la T su entrambe le

superfici, Basta sapere 1 Temperatura e un flusso termico sotto

γ_k = _γ•p -KA

Scrivo T(0)

T(0)= T₁ → B=T₁

Scrivo Φ(φ)

Φ(φ)=•p_f-KA = Φ₂

Condizioni al contorno

Ho una superficie lambita da un fluido

Il fluido si muove, necessita

CONVETTIVO

_φm = h (T - T_f)

COEFFICIENTE DI SCAMBIO TERMICO CONVETTIVO

[h] = ^w/_{m² K}

ORA VEDIAMO IL CASO

1. X=0 T (0) = T₁

2. X=λ

CONDIZIONE DI 3° GENERE

CONVETTIVA O DI ROBIN

3. B = T_f

φ = - K ^{q'' λ2}/_2K + λ A + B - T

1 + 2

UNA VOLTA CALCOLATE

IMMAGINATO DI DISEGNARLE

T (x) = A x + B

φ_x (x) = - K A

(1) flusso termico comunque negativo in (A)

(2) positivo (B)

(3) nullo (C)

(1) flusso negativo (←)

Φ = -κ dT/dx

punto in cui il flusso è nullo è il punto di massimo perché la derivata è 0

Supponiamo ora di avere pareti composte da + strati

solo che la conduttività termica K non è uniforme

MA in FOURIER avevamo detto K costante

POSSIAMO SEMPLIFICARE:

quando abbiamo un corpo composto da 2 MATERIALI:

Risolvero' prima per K₁ e poi per K₂

• RISOLVO 2 PROBLEMI

Supponiamo di avere 2 strati di materiali in parete

monodimensionale

K₁, K₂

T₁(x)

T₂(x)

→ x

K₁d²T₁∂x² = - ^q∅₁

K₂d²T₂ ∂x² = - ^q∅₂

T₁(x) = - ^q ∅₁x² / 2K₁ + AX+B

∅₁(x) = ^q∅₁ x - K₁ A

T₂(x) = - ^q ∅₂x² / 2K₂ + CX+D

∅₂(x) = ^q∅₂ x - K₂ C

HO PERÒ 4 INCOGNITE E NE HO IMPOSTE 2 in 0 e in 3 mentre

tra 2 pareti ne impongo 2 non conosco T e ∅ all'interfaccia

MA POSSO IMPORRE CONDIZIONI ALL'INTERFACCIA

• in X = D₁ ∅₁(D₁) = ∅₂(D₁) X = 0 ...
• X = D₁ T₁(D₁) = T₂(D₂) X = D₂ = D₁ + D₂ ...

PER UNA PARETE DI 3 STRATI DI MATERIALI

con

d₂T_J/dx₂ = 0

s₀ già che

T₁(x) = A x + B

T₂(x) = C x + D

T₃(x) = E x + F

φ₁(x) = -K₁A

φ