Fisica statistica ed informatica – Potenziale elettrostatico

Formattazione del testo

W W(1) → →ap , A B el , A B r rr r r rr rr r r∫ ∫ ∫ )q Q 1B B B= ⋅ = − ⋅ = − ⋅0W F dl q E dl r dl(2) → πεr r r, 0ap A B ap 24 rr r r0A A Aosservando che: rd lθ r) θ⋅ = ⋅ ⋅ =r d l 1 dl cos drr r r+r r d r r∫q Q q Q1 1 1B= − = = −0 0W dr W ( )Dalla (2)⇒ (3) → →πε πε,ap A B A B24 4 r rrr0 B A0A 1r rrr∫ q Q 1 1B⇒ = ⋅ = −0W q E dl ( )Per (1) e per (3) (4) → πεrel , A B 0 r r4r 0 A BA rIl lavoro non dipende dal percorso ma solo da r e r quindi ,W FA B elella forza elettrica, è conservativa. :Si può quindi definire una funzione energia potenziale elettrostatica U elr rrr∫ q Q 1 1∆ = − ⋅ = −0U F dl ( )el el πεr r r4r 0 rifrif rr = ∞ == ∞se poniamo ed otteniamo:U r( ) 0rrif el rifr r rr rr r rrr rr r∫ ∫ ∫rq Q 1 ⇒= − ⋅ = ⋅ =

_- ⋅ = _- ⋅0(5) q E dlU r F d l( ) U ( r ) q E d lπε el 0el el 0∞ ∞ ∞r⁴ 0♦ USe le cariche hanno lo stesso segno, è positivo,el♦ USe le cariche hanno segno opposto, è negativoel(come il potenziale gravitazionale): rrrr _- + ⋅ >π⋅ = < ( q ) E d l 0,E d l Edl cos 0infatti quindi rr0_{- -} ⋅ <( q ) E d l 0,0 ∞rr Edl ●± q 0rr●+Q rFQuesto si spiega ricordando che U rappresenta il lavoro fatto da perel apportare la carica in r in condizioni di equilibrio. Tale lavoro è positivo se lecariche si respingono (ovvero sono dello stesso segno), negativo se lecariche si attraggono . 2potenziale elettrostatico (V)Si definisce l'energia potenziale elettrica= 1 C quindi:per unità di carica; ossia per qor r rr U r( )= = = ∞elV r V r r( ) con ( ) 0 per rifq r rr0 ⇒ rr ∫r = _- ⋅rr ( )V r E d lr∫ ⋅ ∞rq E dl rrrr 0

∫∞= − = − ⋅V r E d l( ) ∞q0 r rr ∞V (r ) F rè il lavoro fatto da per portare una carica unitaria da a inapcondizioni di equilibrio. ⋅1lavoro J= = = ⋅ = ⋅1 1Volt Vpotenziale ⋅1carica CUnità di misura: ⋅forza N N m J V= = = = =CampoElett rico ⋅ ⋅carica C C m C m mDa quanto detto il potenziale dovuto ad una carica puntiforme Q è dato (per 5 )r rrrr r r∫ 1Q= − ⋅ = ⋅ = = ∞( ) , V ( r ) 0 per rV r E dlda: conπε rif∞ 4 r0Sfruttando il principio di sovrapposizione, se abbiamo un insieme di cariche ilpotenziale totale è la somma algebrica dei potenziali delle singole cariche∑ ∑r v Q1= = iV ( r ) V ( r ) πεT i 4 ri0i ial limite per una distribuzione continua di caricar ∫ ∫1 dq= =V ( r ) dV dq dV., dove è la carica posseduta dal volumeπεT 4 r0Osservazioni:1)Il potenziale elettrico in un punto è una

proprietà del punto in quanto sede del campo elettrico e non dell'eventuale carica nel punto.

q2) L'energia potenziale elettrica è l'energia posseduta da una carica posta in0U = q Vun punto caratterizzato da un potenziale elettrico; el 0 3La differenza di potenziale elettrostaticoPiù utile del valore del potenziale in un punto è la differenza di potenziale∆(d.d.p) V fra due punti (solo la differenza di energia potenziale ha sensofisico). • f ∞• i r r r r rr r r r rf i i f i∫ ∫ ∫ ∫ ∫∆ = − = − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒V V V E dl ( E dl ) E d l E d l E dlf i ∞ ∞ ∞ ∞irrf∫ ∆ = − = − ⋅V V V E dl definizione di d.d.p.(6) f i iquindi la d.d.p. è il lavoro fatto da una forza applicata (l'opposto del lavoro dii funa forza elettrostatica) per portare da un punto iniziale ad un punto finale

Unacarica unitaria in condizioni di equilibrio.≡ Γ,i f,Se ossia se la carica unitaria è spostata su un cammino chiuso essendo ilcampo elettrico conservativo la d.d.p. è pari a zero cioè:rr∫ ⋅ =E dl 0(7) Teorema della circuitazione per il campo elettrico.ΓLa (7) esprime formalmente il fatto che il campo elettrico è conservativoRelazione fra lavoro e d.d.p. ∆q VSe si sposta una carica fra una , si ha che:0= ∆ = − ∆W q V W q V, mentre→ →ap , i f 0 el , i f 0 4Osservazione#1 r+ ESia, per semplicità, uniforme.‐dl• •fi ⇒La d.d.p. non dipende dal percorso cammino lungo una linea di camporr⇒ //E dl rrf f∫ ∫= ∆ = − = − ⋅ = − = − ⋅. .d d p V V V E d l Edl E d iff i i i⇒ ∆ = − ⋅[8] V E d if> ⇒ ∆ = − <poiche E 0 e la distanza da ad = d >0 0V V Vi f if f i<⇒ V Vf iQuindi il potenziale diminuisce

Spostandosi lungo le linee di campo. Ricordando il verso del moto delle cariche in E, si osserva che:

• cariche positive si muovono spontaneamente verso potenziali decrescenti
• cariche negative si muovono spontaneamente verso potenziali crescenti

Osservazione#2 rIn una regione sede di un , l'insieme dei punti dello spazio caratterizzatiEdallo stesso potenziale elettrostatico costituisce una superficieequipotenziale. ∆Per percorsi su superfici equipotenziali sia ha per definizione V = 0r rrr r rf∫⇒ ⇒≠ ≠ ⇒ ⊥∆ = − ⋅ = ; maV E dl E d l E d l0, 00ile linee di campo sono perpendicolari alle superfici equipotenziali 5Linee di campo e superfici equipotenziali:Per campo uniforme:Sistema di cariche opposte: