Fisica statistica ed informatica – Potenziale elettrostatico

Potenziale elettrostatico

( per carica puntiforme)

Posta una carica +Q in un punto origine, calcoliamo il lavoro fatto da una

r r r

per portare una carica + q da un punto A ad un punto B in

( r ) ( r )

F 0 A B

ap r

r =

= costante, )

condizioni di equilibrio ( v F 0

R

r r

E d l B

• r

A )

Q

1

q =

0 E r

πε 2

4 r

r 0

r r

r r =

r F q E

r el 0

r B r r r r

A = − ⇒ = −

F F F q E

ap el ap 0

• + Q r

=

W F

lavoro della per portare la carica da A a B

→B

ap , A ap

r

=

W F

lavoro della per portare la carica da A a B

→B

el , A el

= −

W W

(1) → →

ap , A B el , A B r r

r r r r

r r

r r r

∫ ∫ ∫ )

q Q 1

B B B

= ⋅ = − ⋅ = − ⋅

0

W F d

l q E d

l r d

l

(2) → πε

r r r

, 0

ap A B ap 2

4 r

r r r

0

A A A

osservando che: r

d l

θ r

) θ

⋅ = ⋅ ⋅ =

r d l 1 dl cos dr

r r r

+

r r d r r

∫

q Q q Q

1 1 1

B

= − = = −

0 0

W dr W ( )

Dalla (2)⇒ (3) → →

πε πε

,

ap A B A B

2

4 4 r r

r

r

0 B A

0

A 1

r r

r

r

∫ q Q 1 1

B

⇒ = ⋅ = −

0

W q E d

l ( )

Per (1) e per (3) (4) → πε

r

el , A B 0 r r

4

r 0 A B

A r

Il lavoro non dipende dal percorso ma solo da r e r quindi ,

W F

A B el

el

la forza elettrica, è conservativa. :

Si può quindi definire una funzione energia potenziale elettrostatica U el

r r

r

r

∫ q Q 1 1

∆ = − ⋅ = −

0

U F d

l ( )

el el πε

r r r

4

r 0 rif

rif r

r = ∞ =

= ∞

se poniamo ed otteniamo:

U r

( ) 0

r

rif el rif

r r r

r r

r r r

r

r r

r r

∫ ∫ ∫

r

q Q 1 ⇒

= − ⋅ = ⋅ = − ⋅ = − ⋅

0

(5) q E d

l

U r F d l

( ) U ( r ) q E d l

πε el 0

el el 0

∞ ∞ ∞

r

4 0

♦ U

Se le cariche hanno lo stesso segno, è positivo,

el

♦ U

Se le cariche hanno segno opposto, è negativo

el

(come il potenziale gravitazionale): r

r

r