Fisica statistica ed informatica – Potenziale elettrostatico

Potenziale elettrostatico (per carica puntiforme)

Posta una carica +Q in un punto origine, calcoliamo il lavoro fatto da una forza applicata per portare una carica +q da un punto A ad un punto B in condizioni di equilibrio:

F_ap = costante, v = 0, F_R = 0

E = Q / 4πε₀r²

F_el = qE

F_ap = −F_el

+Q

W_ap,A→B = lavoro della forza applicata per portare la carica da A a B

W_el,A→B = lavoro della forza elettrica per portare la carica da A a B

W_ap,A→B = −W_el,A→B (1)

W_ap,A→B = ∫_A^B F_ap ⋅ dl = −∫_A^B qE ⋅ dl = − qQ / 4πε₀ ∫_A^B r ⋅ dl / r³ (2)

Osservando che: r ⋅ dl = r dl cos θ = r dr, quindi r ⋅ dl / r³ = dr / r²

W_ap,A→B = −qQ / 4πε₀ ∫_rA^r_B dr / r²

Dalla (2) ⇒ (3)

W_ap,A→B = qQ / 4πε₀ (1/r_B − 1/r_A) (3)

Per (1) e per (3):

W_el,A→B = qQ / 4πε₀ (1/r_A − 1/r_B) (4)

Il lavoro non dipende dal percorso ma solo da r_A e r_B, quindi W_A→B della forza elettrica è conservativa.

Energia potenziale elettrostatica

Si può quindi definire una funzione energia potenziale elettrostatica U_el:

ΔU_el = −∫ F_el ⋅ dl = −qQ / 4πε₀ (1/r − 1/r_rif)

Se poniamo r_rif = ∞, U_el(r_rif) = 0 ed otteniamo:

U_el(r) = −∫_∞^r F_el ⋅ dl = −∫_∞^r qE ⋅ dl = qQ / 4πε₀r (5)

• Se le cariche hanno lo stesso segno, U_el è positivo.
• Se le cariche hanno segno opposto, U_el è negativo.

(Come il potenziale gravitazionale):