Fisica statistica ed informatica – Campo magnetico

Principio di sovrapposizione e Teorema di Ampere

Il principio di sovrapposizione afferma che il campo magnetico generato da una corrente è dato dalla somma dei campi magnetici generati da ogni singola corrente.

Se la corrente i₁ genera un campo magnetico B₁ e la corrente i₂ genera un campo magnetico B₂, il campo magnetico totale in ogni punto dello spazio è dato da B = B₁ + B₂.

Il Teorema di Ampere è la generalizzazione di questa affermazione, ossia che i campi magnetici sono creati da cariche in movimento, ovvero da correnti. Questo teorema si applica solo a correnti costanti nel tempo.

Discutiamo qui il caso stazionario. Si ricorda che le correnti stazionarie possono esistere solo in circuiti chiusi, quindi in casi stazionari le linee di corrente sono chiuse. Pertanto, se scegliamo una linea geometrica arbitraria chiusa Γ, le linee di corrente rispetto ad essa possono essere concatenate (non possono essere sfilate da Γ) o non concatenate (possono essere allontanate indefinitamente da Γ).

Applicando il Teorema di Ampere, possiamo calcolare il campo magnetico generato da una corrente stazionaria utilizzando l'integrale di linea di Ampere: B⋅dl = μ₀ I, dove B è il campo magnetico, dl è un elemento di lunghezza sulla linea chiusa Γ, μ₀ è la permeabilità magnetica del vuoto e I è la corrente che attraversa la superficie delimitata da Γ.

concatenata con ,1 1 2ΓI non concatenata con1 3ΓI concatenata con2 1 Γ Γnon concatenata con ,I 2 2 3Γ ΓI concatenata con ,3 2 3ΓI non concatenata con3 1 r r r r= + + .

Se ci sono correnti esisterà un campo B B B B1 2 3r rΓ in elementi possiamo calcolare, per ogni , ilDivisa una curva dl dlrr θ⋅ = ⋅ ⋅termine , quindi sommando tutti i contributiB dl B dl cosotteniamo: rr∫ ∫θ⇒ = ⋅Bdl cos B d lΓ Γ 2rr ∑∫ µ⋅ =B dl I

Si trova che (teorema di Ampere) ossia la0 cΓcircuitazione del campo magnetico lungo una curva chiusa dipende solo e.soltanto dalle correnti concatenate I cs sia creato, per il principio di sovrapposizione, da tutte

Questo nonostante Ble correnti presenti!!

Il teorema di Ampere è una proprietà del campo “mediata” lungo una curva,contrariamente al principio di sovrapposizione che fornisce una proprietàpuntuale del campo.

I1I Γi2 1 n 2 I3dl Γ 1B Γ 3∑ le correnti concatenate possono essere positive o negative.Nella I c ΓFissato un verso positivo di percorrenza della curva resta fissata, con laΓregola della mano destra, il verso della normale n all’area racchiusa daΓall’interno di è concorde con n, I è positivaSe il verso Ic cΓSe il verso I all’interno di è disconcorde con n, I è negativac cr r rr r r( ) ( )∫ ∫ ∫µ µ µ⋅ = − ⋅ = − ⋅ =Quindi B d l I I B dl I I B d l I, ,1 2 2 3 3o o oΓ Γ Γ1 2 3Osservazione: Il teorema di Ampere dice anche che il campo magnetico nonè conservativo. 3Giustifichiamo il teorema di Ampere nel caso di un filo rettilineo infinitopercorso da corrente i.I° situazione: il filo percorso da corrente è interno alla linea di circuitazioneΓ Γ Γ, corrente concatenata. con . La linea coincide

con una line di campo diraggio r. µrr iB ∫ ∫ ∫ 0⋅ = =B dl Bdl dlπcir cir cir 2 r• dlI µ µi i∫ π µ0 0= = ⋅ =dl 2 r i c.v.d0π πcir2 2r rII° situazione; il filo percorso da corrente è esterno alla linea dellaΓ Γcircuitazione , ovvero la corrente non concatenata con la linea chiusa .Γ è costituita da due tratti radiali (tratto 1 e 3) e due tratti lungo due linee diforza ( tratto 2 e 4) di raggio rispettivamente r” e r’ ( vedi figura).r r r r rr r r r r∫ ∫ ∫ ∫ ∫⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅B dl B dl B dl B dl B dl(1) Γ(2) 1 2 3 4r r rr r r∫ ∫⋅ = ⋅ = ⊥B dl 0 e B d l 0 perchè B d l(4) 1 3I • r rr r∫ ∫⋅ =B dl B" dl perchè B parallelo a dl ,r’ 2 2(3) r rr rΓ ∫ ∫⋅ = −B dl B ' dl perchè B antiparallelo a d l ,r’’ 4 4µ^µi i₀ = con B" e B 'π π² r " 2 r 'µ µrr i idl dl∫ ∫ ∫ ∫ ∫0 0⋅ = − = −quindi " 'B dl B dl B dl ππΓ 2 4 2 42 " 2 'r rdl α=ma per definizione di radiante e osserviamo chedr α= = ⇒2 / 4 / 'lunghezza ( ) r" lunghezza ( ) rµ µ µrr i ii dl dl∫ ∫ ∫ ∫ ∫ α αα α0 0 0⋅ = − = − = − =( ) ( ) ( ) 0 c.v.dd dB dl π π πΓ 2 4 2 42 " ' 2 2r r 4

Applicazione: Campo di un filo cilindrico infinito percorso da corrente i

Consideriamo un cilindro di raggio R percorso da una corrente I uscente.

π 2R

La corrente è distribuita uniformemente nella sezione con densità J=I/

Per conservare la simmetria cilindrica nello spazio sede del campo B, le linee di forza devono essere delle circonferenze concentriche e coassiali al cilindro e l’intensità

del campo deve essere la stessa in tutti i punti distante rdall'asse. Corrente uscente Br e• •• •• •• Lineer• • •i chiuse• • •• • R rR Γ unaApplichiamo il teorema di Ampere, prendendo come lineacirconferenza (coincidente con una linea di forza) di raggio r < Rir rr rµ µ• = ⇒ =∑ ∑B dl i essendo B // dl Bdl i∫ ∫Γ Γc c0 0µ π µ⇒ = ⇒ =∑ ∑ma B costante B dl i B 2 r i∫Γ c i c0 02 2I Ir Ir2 2 i iπ π πµ= • = • = ⇒∑ i J r r quindi : B 2 rc i i i 02 2 2πR R Rµ I0= →B r il campo B è direttamente proporzionale a r (per r Re π µ= ⇒ =∑ i i B 2 r iIl calcolo della circuitazione è identico, mentre

c e 0µ I0 →= il campo B è inversamente proporzionale ad r ( per r>R)

2) B π2 r(Entrambe le formule danno lo stesso valore di B (massimo) per r = R)

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