Fisica sperimentale D

Fisica sperimentale

Si illustrino i metodi per la misura di un campo magnetico

Per misurare un campo magnetico è possibile sfruttare l’induzione magnetica. È noto che, ponendo una spira in un campo magnetico con un dato valore, e poi in un altro con differente valore, in questa scorrerà una corrente. La variazione di un campo magnetico, infatti, genera corrente (legge di Faraday).

Supponiamo quindi di avere un materiale ferromagnetico circolare con un traferro, e che all’esterno del traferro non ci sia campo magnetico. Poniamo una spira in posizione 1: qui c’è il campo magnetico B, per cui misurando il flusso in questa posizione Φ = B · S avremo (S = superficie che ha per contorno la spira).

Spostiamo ora la spira in posizione 2: qui B = 0. La spira subisce dunque una variazione di flusso ΔΦ = Φ₂ − Φ₁ = −B che provoca una forza elettromotrice indotta e la circolazione conseguente di corrente:

f.e.m. = iR = −dΦ/dt

Sapendo che per andare dalla posizione 1 alla posizione 2 è necessario un intervallo di tempo t possiamo integrare l’intensità di corrente per ottenere la carica:

q = ∫ i dt = −1/R ∫ dΦ = 1/R (Φ₁ − Φ₂) = BS/R

È dunque possibile ricavare il valore del campo B perché è direttamente proporzionale alla carica q.

Nel caso in cui all’infuori del traferro il campo non fosse nullo si deve procedere solamente all’interno del traferro ruotando la spira di 180° e dimezzando il risultato.

Si definisca il vettore di Poynting, dandone le unità di misura e si discuta come esso sia legato all’energia trasportata da un’onda elettromagnetica

Il vettore di Poynting è un vettore che descrive il flusso di energia – energia per unità di superficie per unità di tempo – associato alla propagazione di un campo elettromagnetico. È definito come S = E × H.

Indicando il flusso dell’energia elettromagnetica attraverso un’unità di superficie è cioè un’intensità, e si misura in J/(s m²) = W/m² (il flusso dell’energia è una potenza per unità di superficie).

Affinché l’energia si conservi (principio di conservazione), la variazione dell’energia elettromagnetica W dev’essere uguale ed opposta alla somma della potenza trasportata dall’onda con il flusso attraverso la superficie di propagazione del vettore di Poynting (il flusso di un’intensità attraverso una superficie è una potenza).

W = ∫_V u_em dV = ∫_V [ε₀E²/2 + B²/(2μ₀)] dV

Con u_em = densità di energia elettromagnetica (joule su volume).

dW/dt + ∫_Σ P · n dΣ = −∫_Σ S · n dΣ

Quindi il vettore di Poynting è un’importante relazione tra il campo elettrico e il campo magnetico perché viene definito proprio sulla base di questa relazione che esprime il principio di conservazione dell’energia. Si può vedere bene che il suo flusso è uguale alla potenza totale trasportata dall’onda; esso è dunque, come già detto, un’intensità che si può esprimere anche come S = c u_em (con c = velocità della luce).

Si enunci la legge di Faraday e se ne discuta l’importanza sia teorica sia pratica

Oppure anche: la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa è uguale ed opposta alla variazione del flusso del campo magnetico; il rotore del campo elettrico è diverso da zero. La legge di Faraday ci mostra dunque chiaramente che il campo elettrico non è conservativo perché rotazionale e perché la circuitazione dipende dalla linea, quando invece si era visto che il campo elettrostatico lo è.

Il campo elettrostatico è un caso particolare del campo elettromagnetico, quindi: quando non sono presenti correnti stazionarie, cariche e magneti in moto, variazioni di flusso il campo elettrico prescinde da quello magnetico e mantiene la sua conservatività. In caso contrario, campo elettrico e campo magnetico sono inscindibili.

Questa legge mette in relazione, infatti, i due campi: la variazione del campo magnetico è uguale ed opposta alla circuitazione, che è la forza elettromotrice. Si genera cioè una forza elettromotrice, che chiameremo indotta, opposta alla variazione che la causa, ed è responsabile della circolazione di una corrente che prima non c’era.

Facciamo alcuni esempi:

• Avvicinando e allontanando un magnete ad una spira le linee del campo magnetico tagliano la spira (flusso tagliato) e ci sarà un passaggio di corrente: più il magnete si avvicina, maggiore è il numero delle linee di campo che tagliano la spira e maggiore sarà l’intensità della corrente indotta; allontanandosi, la corrente scorrerà nel verso opposto. Se il magnete rimane fermo, cioè se non c’è moto relativo tra magnete e circuito, non c’è corrente che circola nella spira. [Linee di campo in numero costante che si muovono]
• Le linee di forza sono assenti quando l’interruttore è aperto. Quando si chiude l’interruttore, facendo passare la corrente nel circuito di destra, il campo magnetico comincia a crescere da zero e il numero di linee di forza che attraversano la seconda spira va aumentando (flusso concatenato). L’aumento di linee di forza attraverso la spira induce una corrente e una f.e.m. Quando la corrente nella spira di destra si stabilizza raggiungendo un valore costante, il numero di linee di forza non varia più e scompaiono la corrente e la f.e.m. indotte. [Linee di campo ferme ma che variano di numero nel tempo]

La legge di Faraday quindi sottolinea il legame tra campi magnetici variabili e campi elettrici variabili. In ambito non stazionario è dunque impossibile parlare di campo elettrico e campo magnetico come due entità separate. Il segno meno della legge è dovuto alla conservazione dell’energia: la forza elettromotrice indotta si oppone alla causa che la genera altrimenti si avrebbe corrente infinita.

Si scriva l’equazione che traduce in forma matematica il principio di conservazione della carica elettrica e si mostri che essa è contenuta nelle equazioni di Maxwell

Il principio di conservazione della carica elettrica è matematicamente espresso dall’equazione di continuità: il flusso della densità della corrente elettrica è uguale ed opposta alla variazione della carica (rho è la densità volumica di carica).

Quindi la carica non si crea né si distrugge, ma si sposta da un corpo all’altro. Questa formula è contenuta nell’equazione di Ampère-Maxwell: ρ = ε₀ ∇·E.

Dalla legge di Gauss per il campo elettrico ricaviamo e sostituiamola nell’equazione di continuità:

j = −∂ρ/∂t = −ε₀ ∂(∇·E)/∂t

Portando tutto al primo membro e raccogliendo nabla otteniamo:

∇·[j + ε₀ ∂E/∂t] = 0

Ma ∇ × B = μ₀j (legge di Ampère), per cui ∇ × B = μ₀j + μ₀ε₀ ∂E/∂t.

Che è la legge di Ampère-Maxwell. La corrente di spostamento è un termine correttivo della legge di Ampère che tiene conto della conservazione della carica elettrica: la legge di Ampère vale solo in ambito stazionario, quando la divergenza della densità di corrente è nulla.

Si discuta la cosiddetta pressione di radiazione

La pressione di radiazione è la pressione esercitata da un’onda elettromagnetica sulla superficie Σ che si interpone sul suo cammino. Essa è dovuta al fatto che l’onda trasporta, oltre all’energia, anche quantità di moto.

P = <F>/A

La sua unità di misura è N/m², quindi Pa. Il valor medio della forza è dato dal rapporto tra la quantità di moto trasportata e l’intervallo di tempo. Dato che la quantità di moto è legata al vettore di Poynting possiamo vedere che:

• Se la superficie è completamente trasparente alla radiazione non subisce pressione di radiazione.
• Se è completamente riflettente assorbirà il doppio della quantità di moto trasportata dall’onda, per cui P = 2u_em.
• Se assorbe completamente la radiazione P = u_em.

Si definisca la corrente di spostamento e se ne giustifichi l’introduzione nell’ambito delle equazioni di Maxwell

In elettrostatica vale la legge di Ampère ∇ × B = μ₀j_c che ha come limite di validità la divergenza di j_c nulla, cioè l’ambito statico, appunto. È dunque necessario ridefinire questa legge in modo che valga nell’elettromagnetismo, quando il flusso della densità di corrente elettrica attraverso una superficie è uguale ed opposta alla variazione della densità volumica di carica contenuta in quella superficie (quando la corrente non è stazionaria).

Introducendo questa equazione di continuità nella legge di Ampère otteniamo j_s.

Dove l’ultimo termine è = densità di corrente di spostamento.

La circuitazione è proporzionale alla corrente concatenata!

Questa legge afferma che alla variazione della corrente, e quindi del campo elettrico, corrisponde una variazione del flusso del campo magnetico. E viceversa. Anche in assenza di correnti di conduzione può esserci una variazione del campo elettrico, attribuibile ad una variazione del campo magnetico. Il vettore j_s non è associato al moto della cariche.

Prendiamo per esempio un circuito con un condensatore. Sappiamo che durante il processo di carica si accumulano una quantità di carica dq su un’armatura e una quantità –dq sull’altra. Tra le armature c’è del materiale isolante e non c’è mai corrente di conduzione.

Calcoliamo, sulla base della sola legge di Ampère, la circuitazione su una linea chiusa concatenata al filo in cui c’è corrente: essa è proporzionale alla corrente di conduzione che passa. Se ora la calcoliamo all’interno del condensatore essa è nulla. Se la calcoliamo sul bordo dell’armatura rimane indeterminata: come possiamo dire che la linea è concatenata alla corrente? È evidente che non esiste continuità.

Con la legge di Ampère-Maxwell invece c’è continuità, perché tra le armature c’è una variazione di campo elettrico associata alla corrente di spostamento, uguale alla corrente di conduzione. Nonostante non sia costituita dal moto di cariche elettriche reali, tale corrente permette di soddisfare l'equazione di continuità, dal momento che il flusso della densità di corrente di spostamento è pari alla corrente che alimenta il condensatore.

Un altro problema si pone se la legge di Ampère viene applicata in ambito non stazionario: il processo di carica del condensatore, che ha un andamento esponenziale, non può essere spiegato. L’andamento esponenziale è dovuto al fatto che la corrente, a mano a mano che accumula la carica