Fisica sperimentale D

−G

⟺

i 0 k

( )=0 =

Imponendo come condizione iniziale R

[ ]

−R

G t

L

i= 1−e

Per cui il risultato sarà che è un andamento esponenziale: infatti intanto che la

R

corrente inizia a fluire, essendo variabile nel tempo genera un campo magnetico, a sua volta

variabile, responsabile di una forza elettromotrice indotta (in accordo con la legge di Faraday) che

si oppone all’aumento della corrente. Affinché l’intensità di corrente si stabilizzi al valore costante

G/R ci vuole del lavoro: in termini energetici possiamo dire che il lavoro elettrico fornito dal

generatore è uguale alla somma tra il lavoro per generare il campo magnetico e il lavoro dissipato

per effetto joule dalla resistenza.

Il processo di scarica è analogo; l’unica differenza è che nell’equazione del circuito non appare G,

−R

G t

L

i= e

pertanto è un’equazione differenziale omogenea il cui risultato sarà R

Circuito RLC dQ

−i=

definiamo innanzitutto dt

Q di

G+ −L −Ri=0

l’equazione del circuito è C dt

di Q

G=L Ri−

+

dt C

1) Supponiamo che il circuito non abbia il generatore:

di Q

L +Ri− =0

dt C

Deriviamo rispetto al tempo e riduciamola in forma normale

2

d i R di 1 i=0

+ −

2 L dt C

d t

vediamo dunque che si tratta di un’equazione differenziale al second’ordine. Risolvendola, si

1 R =γ

presenteranno due casi, che analizzeremo dal punto di vista fisico. Chiamiamo ,detto

2 L

√ 1 =ω

coefficiente di smorzamento, e , detta pulsazione propria. Avremo dunque:

0

LC

γ ∆> 0

>ω

• Se l’equazione caratteristica della differenziale avrà e la soluzione

0

i(t) sarà dovuta a contributi esponenziali. Questo significa che la corrente fluisce grazie

al condensatore che prende il ruolo del generatore. È un processo di scarica del

condensatore, dunque, e la corrente si esaurisce in un certo transitorio: essa non riesce a

“caricare” l’autoinduttanza per cui non ci sarà un ulteriore campo magnetico che genererà

altra corrente. È uno smorzamento forte: non c’è oscillazione.

γ <ω

• Se l’equazione caratteristica della

0 Δ< 0

differenziale avrà e la soluzione è data da

contributi sinusoidali: otteniamo dunque una

corrente oscillante. Ma l’effetto è quello di uno

smorzamento debole: la resistenza, che dissipa

energia per effetto Joule, funge da forza d’attrito.

Quindi abbiamo una situazione in cui il

condensatore carica l’autoinduttanza, che a sua volta carica il condensatore, fino a che la

resistenza non dissipa tutta l’energia e la corrente si esaurisce.

2) Consideriamo ora il generatore: questo è il caso di un’oscillazione armonica forzata.

ω=ω

L’andamento della corrente è ad impulso: con 0

i

abbiamo una condizione di risonanza e assume il valore

massimo (tanto maggiore quanto minore è la resistenza). In tal

condizione quindi il circuito è puramente resistivo perché

corrente e forza elettromotrice sono in fase tra loro (un circuito

puramente resistivo è un circuito in cui compaiono solo 2

resistenze, induttanza e capacità si annullano a vicenda). Viene introdotto il fattore Q detto

fattore di qualità, che determina la larghezza della curva: esso è tanto maggiore quanto più

stretta è la risonanza. I sintonizzatori sfruttano la condizione di risonanza per amplificare i

segnali deboli.

Illustrare i principi fisici su cui si basa un reticolo di diffrazione, specificando i parametri che lo

caratterizzano.

Un reticolo di diffrazione è una lastra di N fenditure di larghezza D poste a distanza a detto passo

del reticolo. Essa è posta a grande distanza sia dalla sorgente sia dallo schermo, affinché le onde

di incidenza siano piane (onda piana = tutti i fronti d’onda sono piani). Facendo incidere l’onda sul

reticolo si otterrà una figura di diffrazione solo se la lunghezza d’onda è dell’ordine di D o minore:

essa è un fenomeno per cui si ha una deviazione del raggio luminoso dal cammino rettilineo

dipendente dalle dimensioni della fenditura. L’interferenza è un fenomeno per il quale due onde

coerenti (differenza di fase costante), monocromatiche (stessa lunghezza d’onda), i cui campi

elettrici non sono perpendicolari tra loro, danno luogo ad una figura caratterizzata da un’intensità

non dovuta alla sola somma delle due intensità delle due onde ma anche ad un termine (detto di

interferenza) che può arrivare a raddoppiarla o ad annullarla del tutto.

Nel caso del reticolo di diffrazione,

l’intensità visibile sullo schermo è data da:

πNasenϑ πDsenϑ

2 2

sen sen

( ) ( )

λ λ

I =I 0 πasenϑ 2

πDsenϑ

2

sen ( ) ( )

λ λ

Dove il primo termine è il termine di interferenza mentre il secondo è quello di diffrazione. L’angolo

ϑ è quello definito dalla normale allo schermo (tratteggiata) passante per il centro della figura di

diffrazione (dove c’è la massima intensità) e dal raggio incidente considerato. Questo prodotto

indica che la diffrazione modula l’interferenza: solo il massimo di interferenza centrale mantiene la

sua intensità. nλ

max senϑ= con n Z

⇔ ∈

a

¿

¿

Interferenza: mλ

⟺

min senϑ= con m Z

∈ {0

Na

¿

{ λ

(2m+1)

max senϑ= con m Z

⇔ ∈

D 2

¿

¿

Diffrazione: nλ

⟺

min senϑ= con n Z

∈ {0

D

¿

{ λ

Si definisca l’angolo di Brewster, chiarendo perché esso dipenda dalla lunghezza d’onda

della radiazione incidente. π

ϑ = −φ

L’angolo di Brewster è definito come l’angolo che nel caso di onde TM

B 2

(caratterizzate da un campo trasversale magnetico) passanti da un mezzo all’altro fa in modo che

non ci sia raggio riflesso ma solo raggio trasmesso/rifratto.

riflesso tg( ϑ−φ)

E

R = =

Il coefficiente di riflessione nel caso dell’angolo di Brewster, infatti, è

π incidente tg(ϑ+ φ)

E

nullo, cioè non c’è distribuzione di campo elettrico nell’onda riflessa e quindi non esiste onda

riflessa. Inoltre vale la relazione

n sen senφ

ϑ =n

1 B 2 π

n sen sen(

ϑ =n −ϑ )

1 B 2 B

2

n sen cos

ϑ =n ϑ

1 B 2 B

n 2

tg ϑ =

B n 1

L’angolo di Brewster dipende dalla lunghezza d’onda. Se prendiamo per esempio la luce naturale,

che è composta casualmente da onde TM e da onde TE (trasversale elettrico), e la facciamo

passare in una serie di lastre con angolo di incidenza di Brewster, avremo una perdita di energia

ad ogni incidenza perché ci sarà riflessione di una parte dell’onda TE. L’onda TE trasmessa

dunque avrà energia minore, e siccome l’energia è inversamente proporzionale alla lunghezza

c

(ε =hf =h )

d’onda allora ad ogni incidenza varierà la lunghezza d’onda e per ogni lastra sarà

λ

necessario un nuovo angolo di Brewster. Dopo circa 15 lastre la componente TE è minore dell’1%

e avremo una componente polarizzata TM (non pura).

Si spieghi cosa si intende per coerenza di due sorgenti luminose e si indichi una possibile

realizzazione sperimentale per visualizzare gli effetti di due sorgenti coerenti. Si dica inoltre se la

condizione di coerenza è sufficiente per il verificarsi del fenomeno dell’interferenza.

Due onde sono coerenti se mantengono una differenza di fase costante nel tempo. Con due

sorgenti distinte è praticamente impossibile che ciò si verifichi: ogni atomo emette dei treni d’onda,

ovvero brevi impulsi di fotoni riducibili a funzioni sinusoidali monocromatiche (ogni treno ha la sua

-7 -8

lunghezza e tra un treno e l’altro, in un intervallo di tempo dell’ordine di 10 , 10 secondi, esistono

dei salti d’onda, cioè dei punti di discontinuità di tipo salto), ma i suoi tempi di emissione sono

completamente scorrelati da quelli degli altri atomi. Ci saranno differenze di fase casuali tra un

treno e l’altro, sia quando la sorgente è unica, a maggior ragione quando le sorgenti sono due.

Una possibile realizzazione sperimentale per visualizzare gli effetti di sorgenti coerenti è quello che

sta alla base dell’esperimento di Young: interponendo una lastra con fenditure molto piccole tra

sorgente e schermo questa avrà la funzione di un fronte d’onda (un piano su cui tutti i punti

risentono dello stesso campo elettromagnetico dell’onda che lo attraversa) e le

due fenditure diventano due pseudosorgenti ideali. Infatti i salti d’onda si

ripercuotono ugualmente nelle fenditure e saranno riprodotti nello stesso identico

modo, e ci sarà dunque coerenza.

La condizione di coerenza è necessaria ma non sufficiente affinché si verifichi

interferenza. Devono essere contemporaneamente soddisfatte altre due condizioni: 1) la frequenza

(e quindi la lunghezza d’onda) delle onde che devono interferire devono essere uguali; 2) i campi

elettrici delle due onde non devono essere perpendicolari tra loro (situazione ottimale nel caso in

cui siano paralleli). Al verificarsi delle tre condizioni l’intensità totale delle due pseudosorgenti ideali

́ ́

⟨ ⟩

2 ε c E E

⋅

è data dalla somma delle intensità di ognuna più un termine di interferenza che

0 1 2

può raddoppiare oppure annullare completamente l’intensità.

Si discutano le principali caratteristiche di una figura di diffrazione da una fenditura rettangolare

infinita, illuminata da un’onda piana monocromatica.

La diffrazione è un fenomeno per il quale si ha una deviazione del raggio luminoso dal cammino

rettilineo non imputabile né

a riflessione né a rifrazione

ma dipendente dalle

dimensioni della fenditura

rettangolare o dal diametro

di quella circolare.

Nel caso di una fenditura di

larghezza D e di lunghezza

I

infinita l’intensità della

luce diffratta varia a

ϑ