Fisica sperimentale D

FISICA SPERIMENTALE D

Si illustrino i metodi per la misura di un campo magnetico.

Per misurare un campo magnetico è possibile sfruttare l’induzione magnetica. È noto che,

ponendo una spira in un campo magnetico con un dato valore, e poi in un altro con differente

valore, in questa scorrerà una corrente. La variazione di un campo magnetico, infatti, genera

corrente (legge di Faraday).

Supponiamo quindi di avere un materiale ferromagnetico circolare con un

traferro, e che all’esterno del traferro non ci sia campo magnetico. Poniamo una

spira in posizione 1: qui c’è il campo magnetico B, per cui misurando il flusso in questa posizione

Φ=B ∙ S

avremo (S = superficie che ha per contorno la spira). Spostiamo ora la spira in

∆ Φ=Φ ∙ S

−Φ =−B

posizione 2: qui B = 0. La spira subisce dunque una variazione di flusso 2 1

che provoca una forza elettromotrice indotta e la circolazione conseguente di corrente:

f . e.m 1 ( )

−dΦ −dΦ

f . e. m= i= =

dt R R dt

Sapendo che per andare dalla posizione 1 alla posizione 2 è necessario un intervallo di tempo t

possiamo integrare l’intensità di corrente per ottenere la carica:

t t t

1 1 BS

( )

−dΦ −1

∫ ∫ ∫

idt=q= dt dΦ= Φ

( )

= −Φ =

1 2

R dt R R R

0 0 0

È dunque possibile ricavare il valore del campo B perché è direttamente proporzionale alla carica

q.

Nel caso in cui all’infuori del traferro il campo non fosse nullo si deve procedere solamente

all’interno del traferro ruotando la spira di 180° e dimezzando il risultato.

Si definisca il vettore di Poynting, dandone le unità di misura e si discuta come esso sia legato

all’energia trasportata da un’onda elettromagnetica.

Il vettore di Poynting è un vettore che descrive il flusso di energia – energia per unità di superficie

per unità di tempo – associato alla propagazione di un campo elettromagnetico. È definito come

́ ́ ́

˄

S E H

=

Indicando il flusso dell’energia elettromagnetica attraverso un’unità di superficie è cioè un’intensità,

J W

=

e si misura in (il flusso dell’energia è una potenza per unità di superficie).

2 2

sm m

Affinché l’energia si conservi (principio di conservazione), la variazione dell’energia

elettromagnetica W dev’essere uguale ed opposta alla somma della potenza trasportata dall’onda

con il flusso attraverso la superficie di propagazione del vettore di Poynting (il flusso di un’intensità

attraverso una superficie è una potenza).

❑ [ ]

1 1 B 1 1 B

2 2

∫

W ε E dV ε E u

= + =u =u +u =u

0 0 e m e m em

2 2 μ 2 2 μ

0 0

V

Con u = densità di energia elettromagnetica (joule su volume)

em [ ]

❑

dW ́

∫

P+ S ∙ n d Σ

=− ́

dt Σ

Quindi il vettore di Poynting è un’importante relazione tra il campo elettrico e il campo magnetico

perché viene definito proprio sulla base di questa relazione che esprime il principio di

conservazione dell’energia. Si può vedere bene che il suo flusso è uguale alla potenza totale

trasportata dall’onda; esso è dunque, come già detto, un’intensità che si può esprimere anche

́

S u

=c

come (con c = velocità della luce).

em

Si enunci la legge di Faraday e se ne discuta l’importanza sia teorica sia pratica.

oppure anche : la circuitazione del campo elettrico

lungo una linea chiusa è uguale ed opposta alla variazione del flusso del campo magnetico; il

rotore del campo elettrico è diverso da zero. La legge di Faraday ci mostra dunque chiaramente

che il campo elettrico non è conservativo perché rotazionale e perché la circuitazione dipende

dalla linea, quando invece si era visto che il campo elettrostatico lo è. Il campo elettrostatico è un

caso particolare del campo elettromagnetico, quindi: quando non sono presenti correnti

stazionarie, cariche e magneti in moto, variazioni di flusso il campo elettrico prescinde da quello

magnetico e mantiene la sua conservatività. In caso contrario, campo elettrico e campo magnetico

sono inscindibili. Questa legge mette in relazione, infatti, i due campi: la variazione del campo

magnetico è uguale ed opposta alla circuitazione, che è la forza elettromotrice. Si genera cioè una

forza elettromotrice, che chiameremo indotta, opposta alla variazione che la causa, ed è

responsabile della circolazione di una corrente che prima non c’era. Facciamo alcuni esempi:

• Avvicinando e allontanando un magnete ad una spira le linee del campo magnetico

tagliano la spira (flusso tagliato) e ci sarà un

passaggio di corrente: più il magnete si avvicina,

maggiore è il numero delle linee di campo che

tagliano la spira e maggiore sarà l’intensità della

corrente indotta; allontanandosi, la corrente

scorrerà nel verso opposto. Se il magnete rimane

fermo, cioè se non c’è moto relativo tra magnete e circuito, non c’è corrente che circola

nella spira. [Linee di campo in numero costante che si muovono]

• Le linee di forza sono assenti quando l’interruttore è aperto. Quando si chiude l’interruttore,

facendo passare la corrente nel circuito di destra, il campo magnetico comincia a crescere

da zero e il numero di linee di forza che attraversano la seconda spira va aumentando

(flusso concatenato). L’aumento di linee di forza attraverso la spira induce una corrente e

una f.e.m. Quando la corrente nella spira di destra si stabilizza raggiungendo un valore

costante, il numero di linee di forza non varia più e scompaiono la corrente e la f.e.m.

indotte. [Linee di campo ferme ma che variano di numero nel

tempo]

La legge di Faraday quindi sottolinea il legame tra campi magnetici variabili e

campi elettrici variabili. In ambito non stazionario è dunque impossibile parlare di

campo elettrico e campo magnetico come due entità separate. Il segno

meno della legge è dovuto alla conservazione dell’energia: la forza elettromotrice indotta si oppone

alla causa che la genera altrimenti si avrebbe corrente infinita.

Si scriva l’equazione che traduce in forma matematica il principio di conservazione della carica

elettrica e si mostri che essa è contenuta nelle equazioni di Maxwell.

Il principio di conservazione della carica elettrica è matematicamente

espresso dall’equazione di continuità: il flusso della densità della corrente

elettrica è uguale ed opposta alla variazione della carica (rho è la densità volumica di carica).

Quindi la carica non si crea né si distrugge, ma si sposta da un corpo all’altro. Questa formula è

contenuta nell’equazione di Ampère-Maxwell: ́ ́

ρ=ε E

∇∙

dalla legge di Gauss per il campo elettrico ricaviamo e sostituiamola nell’equazione

0

di continuità ́ ́

ε ∙ E ́

[ ]

j=−∂ ∇ ∂ E

́ ́ ́

0 ∙ ε

∇∙ =−

∇ 0

∂t ∂t

Portando tutto al primo membro e raccogliendo nabla otteniamo

́ ́

[ ] [ ]

∂ E ∂ E

́ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ́

j+ ε ma B j di Ampère) per cui B=μ j

∇∙ =0 ∇ ∧ =μ (legge ∇ ∧ +ε

0 0 c 0 c 0

∂t ∂t

Che è la legge di Ampère-Maxwell. La corrente di spostamento è un termine correttivo della legge

di Ampère che tiene conto della conservazione della carica elettrica: la legge di Ampère vale solo

in ambito stazionario, quando la divergenza della densità di corrente è nulla.

Si discuta la cosiddetta pressione di radiazione.

La pressione di radiazione è la pressione esercitata da un’onda elettromagnetica sulla superficie Σ

che si interpone sul suo cammino. Essa è dovuta al fatto che l’onda trasporta, oltre all’energia,

anche quantità di moto.

́

⟨ ⟩

F

P= A Σ 2

La sua unità di misura è N/m , quindi Pa. Il valor medio della forza è dato dal rapporto tra la

quantità di moto trasportata e l’intervallo di tempo. Dato che la quantità di moto è legata al vettore

́

S u

=c

di Poynting possiamo vedere che: 1) se la superficie è completamente trasparente

em

alla radiazione non subisce pressione di radiazione; 2) se è completamente riflettente assorbirà il

P=2 u

doppio della quantità di moto trasportata dall’onda, per cui ; 3) se assorbe

em

P=u

completamente la radiazione em

Si definisca la corrente di spostamento e se ne giustifichi l’introduzione nell’ambito delle equazioni

di Maxwell. ́ ́ ́

B=μ j

∇ ∧

In elettrostatica vale la legge di Ampère che ha come limite di validità la

0 c

divergenza di j nulla, cioè l’ambito statico, appunto. È dunque necessario ridefinire questa legge in

c

modo che valga nell’elettromagnetismo, quando il flusso della densità di corrente elettrica

attraverso una superficie è uguale ed opposta alla variazione della densità volumica di carica

contenuta in quella superficie (quando la corrente non è stazionaria). Introducendo questa

equazione di continuità nella legge di Ampère otteniamo

́

j

Dove l’ultimo termine è = densità di corrente di spostamento

s

La circuitazione è proporzionale alla corrente concatenata!

Questa legge afferma che alla variazione della corrente, e quindi del campo elettrico, corrisponde

una variazione del flusso del campo magnetico. E viceversa. Anche in assenza di correnti di

conduzione può esserci una variazione del campo elettrico, attribuibile ad una variazione del

́

j

campo magnetico. Il vettore non è associato al moto della cariche.

s

Prendiamo per esempio un circuito con un condensatore. Sappiamo che durante il processo di

carica si accumulano una quantità di carica dq su un’armatura e una quantità –dq sull’altra. Tra le

armature c’è del materiale isolante e non c’è mai corrente di conduzione.

Calcoliamo, sulla base della sola legge di Ampère, la circuitazione su una linea chiusa concatenata

al filo in cui c’è corrente: essa è proporzionale alla corrente di conduzione che passa. Se ora la

calcoliamo all’interno del condensatore essa è nulla. Se la calcoliamo sul bordo dell’armatura

rimane indeterminata: come possiamo dire che la linea è concatenata alla corrente? È evidente

che non esiste continuità. Con la legge di Ampère-Maxwell invece c’è continuità, perché tra le

armature c’è una variazione di campo elettrico

associata alla corrente di spostamento, uguale alla

corrente di conduzione. Nonostante non sia costituita

dal moto di cariche elettriche reali, tale corrente permette di soddisfare l'equazione di continuità,

dal momento che il flusso della densità di corrente di spostamento è pari alla corrente che alimenta

il condensatore.

Un altro problema si pone se la legge di Ampère viene applicata in ambito non stazionario: il

processo di carica del condensatore, che ha un andamento esponenziale, non può essere

spiegato. L’andamento esponenziale è dovuto al fatto che la corrente, a mano a mano che

accumula la carica