Fisica sperimentale B

F F

y x

Possono essere linee qualsiasi, a patto che non si tocchino mai tra loro (teorema dell’esistenza ed

unicità della soluzione di Cauchy), altrimenti il campo avrebbe due direzioni nello stesso punto, il

che non ha senso.

Il campo elettrico ha due tipi di cariche: negativa e positiva. Le linee di campo escono da quella

positiva ed entrano in quella negativa, sempre. Non esistono pertanto linee chiuse.

Possiamo matematicamente dimostrare che il campo elettrico non ha linee chiuse: prendiamo il

caso del campo elettrico generato da una carica puntiforme in un piano.

1 Q

́

E r

= ́

4π ε 3

r

0

√ 2 2

r= x y

+ in un generico piano cartesiano per cui risulta

1 Q

́

E x u y u

= ( ́ + ́ )

x y

4π ε 3

0 2 2 2

( )

x y

+

Dall’equazione differenziale delle linee di campo otteniamo (dopo le semplificazioni possibili)

dy dx

=

y x

Che ha come risultato logy = logx +c  logy = logx + logA  y=Ax che è un fascio di rette.

Un altro motivo per cui possiamo dire che le linee del campo non sono chiuse è legato alle

equazioni di Maxwell, in particolare alla legge di Gauss:

ρ

́ ́

E=

∇∙ ε o

il che equivale a dire che il flusso attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale

alla carica generante il campo. Cioè, esiste la carica isolata e le linee del campo sono aperte,

perché se fossero chiuse il flusso sarebbe nullo dato che la quantità di linee di campo in entrata

dovrebbe essere uguale a quella in uscita.

Una superficie equipotenziale è una superficie sulla quale il potenziale V del generico campo

vettoriale è costante, e non si compie mai lavoro muovendosi su di essa. Questa definizione

implica che il campo dev’essere conservativo affinché esista potenziale. Il campo magnetico non è

mai un campo conservativo per cui non può avere superfici equipotenziali. Il campo elettrico è

conservativo solo nell’ambito dell’elettrostatica. Qui, affinché il potenziale sia costante, essendo

proporzionale a 1/r allora r dev’essere costante: cioè i punti devono essere equidistanti. Le

superfici equipotenziali si presentano dunque come circonferenze o sfere concentriche. Le linee di

forza e il campo elettrico risultano in direzione radiale, in modo che il campo sia sempre

perpendicolare alla superficie. Se non fosse sempre perpendicolare alla superficie, infatti, esso

avrebbe una componente parallela sulla superficie, che quindi presenterebbe una differenza di

potenziale tra i punti, in contraddizione con la definizione di equipotenziale.

Si enunci la legge di Gauss per il campo elettrico, mettendone in evidenza il significato fisico e

l’importanza sia concettuale sia pratica e chiarendone gli eventuali limiti di validità.

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla

carica che genera il campo, qualunque sia la superficie.

❑ Q

∫ ́

Φ= E n dS=

́ ε

S 0

Oppure in forma differenziale

ρ

́ ́

E=

∇∙ ε 0

Questa legge vale per ogni superficie chiusa ed orientata, perché può essere approssimata ad una

superficie gaussiana (per esempio una sfera). Da un punto di vista fisico essa indica l’esistenza

della carica isolata e che le linee del campo sono aperte. Non ci sono limiti di validità.

Si scrivano le equazioni di Maxwell relative al campo elettrostatico in vuoto, chiarendone il

significato fisico e gli eventuali limiti di validità.

Legge di Gauss

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla

carica che genera il campo, qualunque sia la superficie.

❑ Q

∫ ́

Φ= E n dS=

́ ε

S 0

Oppure in forma esponenziale

ρ

́ ́

E=

∇∙ ε 0

Questa legge vale per ogni superficie chiusa ed orientata, perché può essere approssimata ad una

superficie gaussiana (per esempio una sfera). Da un punto di vista fisico essa indica l’esistenza

della carica isolata e che le linee del campo sono aperte. 1

I limiti di validità sono due: innanzitutto la legge vale solo per dipendenze da perché nella

2

r

dimostrazione viene definito l’angolo solido proporzionale a tal quantità. In secondo luogo, non si

può matematicamente sapere se la superficie che si sta prendendo in considerazione sia

superficialmente carica o se c’è un intero corpo, ad esempio una sfera, ad esserlo. Infatti il flusso

del campo in un punto qualsiasi all’esterno di una sfera superficialmente carica e di una sfera

completamente carica è esattamente lo stesso.

Legge di Faraday-Neumann-Lenz (nell’elettromagnetismo)

oppure in forma differenziale

Questa legge dice che se il flusso del campo magnetico varia nel tempo si genera una corrente

elettrica (la circuitazione del campo altro non è che la forza elettromotrice), e viceversa: a correnti

variabili corrispondono campi magnetici variabili.

Ma nell’elettrostatica la corrente è stazionaria, per cui non si generano campi magnetici variabili. Il

rotore di E risulta dunque nullo e il campo elettrico è irrotazionale e conservativo quindi. Esiste

dunque un potenziale elettrico il cui gradiente è uguale al campo.

Si scrivano le equazioni di Maxwell relative al campo induzione magnetica in vuoto, chiarendone il

significato fisico e gli eventuali limiti di validità.

Teorema di Gauss

́ ́

B

∇∙ =0

Dal momento che la divergenza del campo è nulla allora B è solenoidale. Un campo solenoidale

ha le linee di forza chiuse, infatti il flusso è nullo: attraverso una superficie chiusa le linee che

entrano sono uguali in numero a quelle che escono. Esse sono chiuse perché non esistono

monopoli magnetici. Non ci sono cariche quantizzate come per il campo elettrico: la presenza degli

effetti magnetici in un materiale è dovuta alle correnti microscopiche al suo interno (cariche mobili

generano campi magnetici).

Legge di Ampère-Maxwell ́ ́ ́

B=μ j

∇ ∧

In elettrostatica vale la legge di Ampère che ha come limite di validità la

0 c

divergenza di j nulla, cioè l’ambito statico, appunto. È dunque necessario ridefinire questa legge in

c

modo che valga nell’elettromagnetismo, quando il flusso della densità di corrente elettrica

attraverso una superficie è uguale ed opposta alla variazione della densità volumica di carica

contenuta in quella superficie (quando la corrente non è stazionaria). Introducendo questa

equazione di continuità nella legge di Ampère otteniamo

́

j

Dove l’ultimo termine è = densità di corrente di spostamento

s

Questa legge afferma che alla variazione della corrente, e quindi del

campo elettrico, corrisponde una variazione del flusso del campo

magnetico. E viceversa. Anche in assenza di correnti di conduzione può esserci una variazione del

́

j

campo elettrico, attribuibile ad una variazione del campo magnetico. Il vettore non è

s

associato al moto della cariche.

Prendiamo per esempio un circuito con un condensatore. Sappiamo che durante il processo di

carica si accumulano una quantità di carica dq su un’armatura e una quantità –dq sull’altra. Tra le

armature c’è del materiale isolante e non c’è mai corrente di conduzione.

Calcoliamo, sulla base della sola legge di Ampère, la circuitazione su una linea chiusa concatenata

al filo in cui c’è corrente: essa è proporzionale alla corrente di conduzione che passa. Se ora la

calcoliamo all’interno del condensatore essa è nulla. Se la calcoliamo sul bordo dell’armatura

rimane indeterminata: come possiamo dire che la linea è concatenata alla corrente? È evidente

che non esiste continuità. Con la legge di Ampère-Maxwell invece c’è continuità, perché tra le

armature c’è una variazione di campo elettrico associata alla corrente di spostamento, uguale alla

corrente di conduzione. Nonostante non sia costituita dal moto di cariche elettriche reali, tale

corrente permette di soddisfare l'equazione di continuità, dal momento che il flusso della densità di

corrente di spostamento è pari alla corrente che alimenta il condensatore.

Un altro problema si pone se la legge di Ampère viene applicata in ambito non stazionario: il

processo di carica del condensatore, che ha un andamento esponenziale, non può essere

spiegato. L’andamento esponenziale è dovuto al fatto

che la corrente, a mano a mano che accumula la carica

su un’armatura, provoca una variazione del campo

elettrico: quest’ultimo è responsabile della generazione

di un campo magnetico, inducente una forza elettromotrice che si oppone alla carica del

condensatore. Ma questa spiegazione può essere data solo in ambito elettromagnetico: abbiam

parlato di campi variabili, elettrico e magnetico inscindibili tra loro.

Si discuta il moto di una particella carica in un campo magnetico statico e uniforme.

Supponiamo che B sia diretto lungo l’asse z e sia statico e uniforme e che ci sia una particella

carica a velocità v = ( v ; v ; v ). La particella subirà l’effetto della forza di Lorentz (la forza peso è

x y z

trascurabile):

́ ́

F v B

=q ́ ∧

Dato che F = ma possiamo eguagliare i secondi membri tra di loro. Nello spazio otterremo che:

́

{

m a v B)

́ ́

=q( ∧

x x

́

m a v B)

́ =q( ́ ∧

y y

́

m a v B)

́ =q( ́ ∧

z z

Il prodotto vettoriale tra v e B risulta essere ( v B ; -v B ;

y x

0 ): la velocità in z è costante, non essendo soggetta

alla forza di Lorentz perché forza, campo e velocità

formano una terna destrorsa, ed in questo caso, lungo

l’asse z, v è parallelo a B.

Sapendo che l’accelerazione è la derivata della velocità

otteniamo:

{ δ v x

m v B

=q y

δt

δv y

m v B

=−q x

δt δv z

m =0

δt δ v y

Derivando la prima equazione e sostituendo con il secondo membro della seconda

δt

otteniamo l’equazione differenziale del moto armonico

2

d v x 2 ❑

v

+ω =0

x

2

dt

Da cui

v Acos ωt+ φ v

( )

= =−Asen(ωt +φ)

x y 2 2 2 2

v v A

+ = =cost=v

Vediamo quindi che perché la f