Fisica sperimentale B

Fisica sperimentale

Linee di forza e superficie equipotenziale

Si definiscano i concetti di linee di forza e di superficie equipotenziale per un generico campo vettoriale. Con riferimento al campo elettrostatico si stabilisca se possono esistere linee di forza chiuse.

La linea di forza è una linea che ha per tangente in ogni suo punto il campo vettoriale di cui è linea. F è il generico campo vettoriale.

\( \frac{F \Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} \tan \alpha = \frac{F_y}{F_x} \)

\( F_y = \text{componente lungo l'asse y} \)

\( F_x = \text{componente lungo l'asse x} \)

L'equazione differenziale delle linee di campo pertanto è:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{F_y}{F_x} \)

Possono essere linee qualsiasi, a patto che non si tocchino mai tra loro (teorema dell'esistenza e unicità della soluzione di Cauchy), altrimenti il campo avrebbe due direzioni nello stesso punto, il che non ha senso.

Il campo elettrico ha due tipi di cariche: negativa e positiva. Le linee di campo escono da quella positiva ed entrano in quella negativa, sempre. Non esistono pertanto linee chiuse.

Dimostrazione matematica

Possiamo matematicamente dimostrare che il campo elettrico non ha linee chiuse: prendiamo il caso del campo elettrico generato da una carica puntiforme in un piano.

\( \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \)

In un generico piano cartesiano per cui risulta:

\( \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{Qx \mathbf{\hat{x}}}{(x^2+y^2)^{3/2}} + \frac{Qy \mathbf{\hat{y}}}{(x^2+y^2)^{3/2}} \right) \)

Dall'equazione differenziale delle linee di campo otteniamo (dopo le semplificazioni possibili):

\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)

Che ha come risultato:

\( \log y = \log x + c \Rightarrow \log y = \log x + \log A \Rightarrow y = Ax \)

Che è un fascio di rette.

Equazioni di Maxwell e legge di Gauss

Un altro motivo per cui possiamo dire che le linee del campo non sono chiuse è legato alle equazioni di Maxwell, in particolare alla legge di Gauss:

\( \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \)

Il che equivale a dire che il flusso attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica generante il campo. Cioè, esiste la carica isolata e le linee del campo sono aperte, perché se fossero chiuse il flusso sarebbe nullo dato che la quantità di linee di campo in entrata dovrebbe essere uguale a quella in uscita.

Superficie equipotenziale

Una superficie equipotenziale è una superficie sulla quale il potenziale V del generico campo vettoriale è costante, e non si compie mai lavoro muovendosi su di essa. Questa definizione implica che il campo dev'essere conservativo affinché esista potenziale. Il campo magnetico non è mai un campo conservativo per cui non può avere superfici equipotenziali. Il campo elettrico è conservativo solo nell'ambito dell'elettrostatica. Qui, affinché il potenziale sia costante, essendo proporzionale a \( \frac{1}{r} \) allora r dev'essere costante: cioè i punti devono essere equidistanti. Le superfici equipotenziali si presentano dunque come circonferenze o sfere concentriche. Le linee di forza e il campo elettrico risultano in direzione radiale, in modo che il campo sia sempre perpendicolare alla superficie. Se non fosse sempre perpendicolare alla superficie, infatti, esso avrebbe una componente parallela sulla superficie, che quindi presenterebbe una differenza di potenziale tra i punti, in contraddizione con la definizione di equipotenziale.

Legge di Gauss per il campo elettrico

Si enunci la legge di Gauss per il campo elettrico, mettendone in evidenza il significato fisico e l'importanza sia concettuale sia pratica e chiarendone gli eventuali limiti di validità.

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica che genera il campo, qualunque sia la superficie.

\( \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{Q}{\epsilon_0} \)

Oppure in forma differenziale:

\( \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \)

Questa legge vale per ogni superficie chiusa ed orientata, perché può essere approssimata ad una superficie gaussiana (per esempio una sfera). Da un punto di vista fisico essa indica l'esistenza della carica isolata e che le linee del campo sono aperte. Non ci sono limiti di validità.

Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico

Si scrivano le equazioni di Maxwell relative al campo elettrostatico in vuoto, chiarendone il significato fisico e gli eventuali limiti di validità.

Legge di Gauss

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica che genera il campo, qualunque sia la superficie.

\( \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{Q}{\epsilon_0} \)

Oppure in forma differenziale:

\( \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \)

Questa legge vale per ogni superficie chiusa ed orientata, perché può essere approssimata ad una superficie gaussiana (per esempio una sfera). Da un punto di vista fisico essa indica l'esistenza della carica isolata e che le linee del campo sono aperte.

I limiti di validità sono due: innanzitutto la legge vale solo per dipendenze da r perché nella dimostrazione viene definito l'angolo solido proporzionale a tal quantità. In secondo luogo, non si può matematicamente sapere se la superficie che si sta prendendo in considerazione sia superficialmente carica o se c'è un intero corpo, ad esempio una sfera, ad esserlo. Infatti il flusso del campo in un punto qualsiasi all'esterno di una sfera superficialmente carica e di una sfera completamente carica è esattamente lo stesso.

Legge di Faraday-Neumann-Lenz

(Nell'elettromagnetismo)

Questa legge dice che se il flusso del campo magnetico varia nel tempo si genera una corrente elettrica (la circuitazione del campo altro non è che la forza elettromotrice), e viceversa: a correnti variabili corrispondono campi magnetici variabili. Ma nell'elettrostatica la corrente è stazionaria, per cui non si generano campi magnetici variabili. Il rotore di E risulta dunque nullo e il campo elettrico è irrotazionale e conservativo quindi. Esiste dunque un potenziale elettrico il cui gradiente è uguale al campo.

Equazioni di Maxwell per il campo induzione magnetica

Si scrivano le equazioni di Maxwell relative al campo induzione magnetica in vuoto, chiarendone il significato fisico e gli eventuali limiti di validità.

Teorema di Gauss

\( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \)

Dal momento che la divergenza del campo è nulla allora B è solenoidale. Un campo solenoidale ha le linee di forza chiuse, infatti il flusso è nullo: attraverso una superficie chiusa le linee che entrano sono uguali in numero a quelle che escono. Esse sono chiuse perché non esistono monopoli magnetici. Non ci sono cariche quantizzate come per il campo elettrico: la presenza degli effetti magnetici in un materiale è dovuta alle correnti microscopiche al suo interno (cariche mobili generano campi magnetici).

Legge di Ampère-Maxwell

\( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)

In elettrostatica vale la legge di Ampère che ha come limite di validità la divergenza di j nulla, cioè l'ambito statico, appunto. È dunque necessario ridefinire questa legge in modo che valga nell'elettromagnetismo, quando il flusso della densità di corrente elettrica attraverso una superficie è uguale ed opposta alla variazione della densità volumica di carica contenuta in quella superficie (quando la corrente non è stazionaria). Introducendo questa equazione di continuità nella legge di Ampère otteniamo:

\( \mathbf{j} = \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)

Dove l'ultimo termine è la densità di corrente di spostamento.

Questa legge afferma che alla variazione della corrente, e quindi del campo elettrico, corrisponde una variazione del flusso del campo magnetico. E viceversa. Anche in assenza di correnti di conduzione può esserci una variazione del campo elettrico, attribuibile ad una variazione del campo magnetico. Il vettore non è associato al moto delle cariche.

Prendiamo per esempio un circuito con un condensatore...