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Fisica I – Appunti Appunti scolastici Premium

Appunti di Fisica I. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: La fisica è una “scienza sperimentale”, Misura di grandezze fisiche, Leggi fisiche, Equazioni dimensionali, Grandezze fisiche “scalari” e “b”, Cinematica del punto,... Vedi di più

Esame di Fisica I docente Prof. M. Dodero

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ESTRATTO DOCUMENTO

In Natura esistono solo quattro tipi di forze:

 Forze gravitazionali (si esercitano fra le masse: agiscono a livello macroscopico);

 Forze elettromagnetiche (si esercitano fra le cariche: agiscono fra le molecole; mantengono

unito l’atomo e sono responsabili delle “forze di attrito”);

 deboli: si trovano nei “decadimenti radioattivi”);

Forze deboli (o interazioni nucleari

 (si esercitano all’interno del nucleo atomico).

Forze nucleari

L’ordine di grandezza dell’intensità di queste forze è notevolmente diverso. Se poniamo idealmente

l’intensità delle forze nucleari pari a “1”, avremo che l’intensità delle forze deboli e dell’ordine di

-7 -2

10 , quella delle forze elettromagnetiche è dell’ordine di 10 e quella delle forze gravitazionali è

-38

dell’ordine di 10 . L’intensità di queste forze, però, varia notevolmente in base alla distanza che

divide i “corpi” sui quali agisce: l’intensità della forza gravitazionale, ad esempio, è inversamente

proporzionale al quadrato della distanza, mentre le forze nucleari sono molto forti solo per particelle

particolarmente vicine, ma decrescono molto rapidamente all’aumentare della distanza.

In realtà due oggetti non si “toccano” mai, infatti, quando la distanza fra di essi è

Nota: sufficientemente piccola, entrano in azione le forze elettromagnetiche: le cariche di segno

opposto di attirano e quelle dello stesso segno si respingono. I contatti fra due corpi (a

livello macroscopico) sono solo “apparenti”.

Il concetto di “campo”

Per spiegare come avvenga l’interazione fra due oggetti sottoposte alle varie forze, nell’Ottocento

Faraday introdusse il concetto di “campo”.

Ogni oggetto genera intorno a sé un campo (gravitazionale, elettrico, ecc.) che esiste in maniera del

tutto indipendente rispetto alla presenza di altri oggetti e che si estende all’infinito.

Per esempio: il Sole, possedendo una massa “M” genera intorno a sé un “campo gravitazionale” che

esiste comunque indipendentemente dalla presenza della Terra o di altri corpi celesti. Se inseriamo

la Terra all’interno del campo gravitazionale generato dal Sole vediamo che su di essa viene

esercitata una forza F che “attira” la Terra verso il Sole.

Una situazione analoga si ha per le forze elettromagnetiche che generano un “campo elettrico”.

Prodotto scalare 

a b = c c è uno scalare

c = a b cos

b Se: a = i a + j a + k a

x y z

b = i b + j b + k b

 x y z

a allora: a b = i (a b ) + j (a b ) + k (a b )

x x y y z z

 = 0, cioè quando i due vettori sono “paralleli”.

Il valore massimo si ottiene quando

Il valore minimo si ottiene quando  , cioè quando i due vettori sono “ortogonali”.

= ½

LAVORO DI UNA FORZA

Consideriamo un oggetto puntiforme di massa “m” che si muova sotto l’azione di una forza (il

concetto di “lavoro” è sempre legato a uno spostamento). dell’oggetto m

dW = lavoro infinitesimo della forza F che causa uno spostamento di ds

ds

m  – http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica  22

dW = F ds = F ds cos  è una “grandezza scalare”

dW

F Nel SI il lavoro di misura in Joule ( J ): 1 J = 1 N 1 m

(nel sistema cgs si misurava in erg: dina cm)

Osservazione:

Tenendo conto delle proprietà del prodotto scalare di due vettori possiamo affermare che:

- dW assume il massimo valore positivo se F e ds sono paralleli e hanno lo stesso verso;

- dW assume il massimo valore negativo se F e ds sono paralleli, ma hanno verso opposto;

- dW assume valore nullo se F e ds sono ortogonali (ad esempio forza peso che agisce su un

oggetto che si sposta su un piano orizzontale).

Se consideriamo un punto che si muove lungo una traiettoria finita (da un punto A ad un punto B)

possiamo definire il “lavoro finito” W svolto dalla forza F: B

B B B B A

         

W dw F ds F ds cos F dx F dy F dz

    x y z

A A A A

ENERGIA CINETICA un’energia cinetica (o di movimento) che è pari

Quando un corpo si muove con velocità v questo ha

1 2

a:  (grandezza scalare sempre positiva che si misura in “joule”).

E mv

c 2

Teorema dell’energica cinetica 2

    

dv v

   

a a a u u

ds n t t n

dt r

m 

 var iaz .

var iaz .

F direz .

v

mod . v

2 

dv v 2

     

F m a m u m u    

dv v dv dv

t n  

          

dW F ds m u m u u ds m ds m v dt m v dv

dt r  t n t

 

dt r dt dt

 

ds u ds 

t

(solo la componente tangenziale della forza compie lavoro, la componente normale NO).

f

f f f 1 1 1

 

2 2 2

        

W dW m v dv m v dv m v mv mv W E E

     f i cf ci

2 2 2

 

i i i i

Il lavoro compiuto da una forza è uguale alla differenza fra l’energia cinetica finale e quella iniziale.

L’energia cinetica varia tutte le volte che varia il “modulo” della velocità (se si cambia solo la

direzione della velocità non si hanno variazioni di energica cinetica).

Questo teorema vale per “qualsiasi tipo di forza”. Nella dimostrazione abbiamo applicato solo

l’ipotesi che la massa fosse costante (e questo è sempre vero nella “dinamica classica”), non

abbiamo fatto alcuna ipotesi sulla natura della forza, quindi possiamo dire che vale per ogni F.

– http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 23

Forze conservative il lavoro da essa svolto dipende SOLO dai punti “iniziale” e “finale”

Una forza è conservativa se

dello spostamento e NON dalla traiettoria seguita (es. forza peso, forze elastiche, ecc.).

Dimostriamo che la “forza peso” è una forza conservativa

 f

  

p m g j                

dw p ds ( m g j ) ( i dx j dy ) m g dy W m g dy m g y m g y

 i f



 

ds i dx j dy i

Il lavoro effettuato dipende solo dalla coordinata “y” del punto iniziale e del punto finale, non dalla

traiettoria percorsa, quindi possiamo affermare che la forza pesò è una forza conservativa.

ENERGIA POTENZIALE (o energia di posizione)

L’energia potenziale di un punto materiale dipende dalla sua “posizione” ed è “associata” alla

presenza di una “forza conservativa”. Anche questa si misura in Joule.

In presenza di una “forza conservativa” possiamo dire che: W = E - E .

pi pf

Ad esempio, nel caso precedentemente considerato, della forza peso si ha E = m g y + c

p

“c” è una costante che dipende dal valore di riferimento rispetto al quale calcoliamo l’altezza y (il

suo valore è praticamente ininfluente in quanto lavorando su “differenze” di energia potenziale e

non su valori assoluti la costante viene “eliminata” e non influisce sul risultato finale).

Teorema di conservazione dell’energia totale meccanica (vale solo per le forze conservative)

Quando sul moto di un corpo agiscono SOLO forze conservative si ha:

      

W E E E E da cui si ottiene : E E E E

cf ci pf pi ci pi cf pf

Se definiamo l’energia totale meccanica come: E = E + E , possiamo affermare che, durante un

c p

moto sotto l’azione di forze conservative, l’energia totale meccanica si mantiene costante.

Possiamo anche dire che:     

W E E .

c p

Si ha uno trasformazione di “forme di energia”: ciò che viene perso come energia cinetica viene

acquistato come energia potenziale e viceversa.

Lezione 9 (19 ottobre 1999)

Abbiamo dimostrato che la forza peso è una forza costante.

 

Sappiamo anche che la forza peso: p m g è una forza costante in modulo, direzione e verso

(nell’ipotesi di essere sufficientemente vicino alla superficie terrestre da poter tralasciare la

curvatura della Terra e la variazione di g in base alla distanza dal centro della Terra).

È possibile estendere la dimostrazione effettuata per la forza peso a tutte le forze costanti

(prendendo un sistema di riferimento diretto secondo la direzione della forza stessa) e affermare

che: le forze “costanti” sono tutte “conservative”.

Quindi, in presenza di forze costanti, vale il “principio di conservazione dell’energia meccanica”.

Macchina di Atwood Ipotesi: - la carrucola non gira (altrimenti si avrebbe un consumo di

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Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 24

energia cinetica per far girare la carrucola);

2T non sono presenti “forze di attrito” di nessun genere;

-

- la massa del filo è trascurabile;

Proviamo a calcolare la velocità delle due masse (si noti che è la stessa per entrambe) quando la

h h).

massa m è scesa di (quindi, analogamente, la massa m sarà salita di

2 1

 

1 2 h ( m m ) g

2 2 1

          

Supponiamo v 0

, si avrà : h a t t v a t 2 h a 2 h

0 

2 a ( m m )

2 1

Lo stesso risultato si potrebbe ottenere effettuando delle “considerazioni energetiche”, cioè

applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica (si noti che è possibile in quanto

nel sistema agisce solo la forza peso che è una forza conservativa).

Si tenga conto che le considerazioni energetiche devono essere fatte sul “sistema” nella sua totalità

e non sulle singole masse.

(    )  (    )

E E E E E E E E

c

1 c 2 p

1 p 2 i c 1 c 2 p 1 p 2 f

1 2

0  0    (  )  (   )  (   )

m gh m gh m m v m g h h m g h h

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

2 (  )

m m g

1 2 2 1

(  )  (  )  (  ) da cui :  2 

m m v m g h m g h v h

1 2 1 2

2 (  )

m m

2 1

Pendolo semplice Abbiamo un filo di massa trascurabile con, appeso al fondo, un oggetto di

massa “m”. Il moto di quest’ultimo è vincolato a causa della presenza del

filo. L’oggetto percorre una traiettoria circolare di raggio “l”

Nella posizione di equilibrio si ha: T + m g = 0 T = m g

  .

In generale si ha: T = P = m g cos e P = m g sen

n t

l È immediato verificare che la tensione massima si ha nel punto di

equilibrio, mentre, all’aumentare dell’angolo  si ha una corrispondente

diminuzione del modulo di T. Se, idealmente, fosse possibile raggiungere

una posizione orizzontale si annullerebbe la tensione del filo.

T Invece, dal momento che a = P / m, si verifica che il modulo

t

P h

t dell’accelerazione aumenta all’aumentare dell’angolo . Nella posizione

1

P

n di equilibrio si ha invece accelerazione nulla.

h

mg 0 In assenza di attrito il pendolo si muoverebbe all’infinito tra  e -.

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Conservazione dell’energia

In qualunque punto del movimento del pendolo (trascurando la presenza delle forze di attrito) si ha:

1 2

    0      2   2 (

1  cos  )

E E E E mgh mv mgh v g h g l

ci pi cf pf 1 0

2

In assenza di forze dissipative il pendolo compie delle “oscillazioni persistenti” intorno alla propria

posizione di equilibrio.

Se fossero presenti delle forze dissipative si avrebbero invece delle “oscillazioni smorzate”.

Piccole oscillazioni

Quando l’angolo  è abbastanza piccolo (cioè sia tale che “sen   ”) si può dimostrare che le

oscillazioni compiute dal pendolo sono delle “oscillazioni armoniche”.

2 2

d t d t g g

 sen         sen     da cui si ha :    sen(   

)

a g l l t

0

2 2

dt dt l l

è l’accelerazione angolare; 

( è la pulsazione del pendolo; il segno - compare perché la forza che

agisce sul pendolo è una “forza di richiamo” che tende a riportarlo nella posizione di equilibrio,

quindi l’accelerazione ha sempre verso opposto a quella nella quale avviene il movimento).

g

2

Si ha anche   cioè la pulsazione del pendolo è determinata solo dal valore di g e dalla

l 

2 l

lunghezza del filo (non dipende dalla massa attaccata al filo) e si ha: .

  

T 2

 g

(Un pendolo lungo 1 m ha un periodo di oscillazione di circa 2 secondi).

Se gli angoli sono più grandi le oscillazioni sono sempre periodiche, ma non sono più armoniche.

Forze elastiche “contrastano le deformazioni”.

Sono delle forze che

Quando si deforma un oggetto si creano al suo interno delle forze proporzionali alla deformazione

stessa che, una volta eliminata la forza che l’aveva causata, tendono a eliminare la deformazione

ritornando alla situazione iniziale (sempre che non sia stata superata la caratteristica di “elasticità”

propria del corpo che è stato deformato).

Un classico esempio è quello di una “molla”.

Ipotesi: - la massa della molla è trascurabile;

m è la lunghezza della molla “a riposo”;

- l

l Si ha: - la molla è stata allungata di “x”

F - è una “forza di richiamo” che tende a riportare la

F

molla nella sua situazione di “equilibrio” (a riposo);

m – http://informatici.altervista.org

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l + x 26

k x (k è detta “costante elastica” e dipende dal materiale con cui è costruita la molla)

Si ha: F = -

Energia potenziale elastica f f 1 1

2 2

            

dW F d l k x d x k x dx W dW k x dx kx kx

  i f

2 2

i i

Il lavoro compiuto dipende solo dall’allungamento della molla: la forza elastica è una forza

conservativa. 1 2 

Definiamo “energia potenziale elastica”:  

E kx cost W = E - E = E - E .

pi pf cf ci

p 2

Vale il principio di conservazione dell’energia meccanica.

In una situazione fisica reale è possibile che si debbano considerare contemporaneamente più

energie potenziali diverse (ad esempio nel caso di un oggetto “appeso” a una molla), in questo caso

  

si può affermare che:     cioè si ha :   costante

E E E E E E .

ci pi cf pf c p

Lezione 10 (25 ottobre 1999) k x prende il nome di “legge di Hooke”.

La relazione: Forza elastica F = -

La costante elastica “k” si misura in N/m.

Quando si sposta un oggetto attaccato a una molla dalla sua “posizione di equilibrio” il sistema

“molla + massa” acquista energia. Dal momento che vale il principio di conservazione dell’energia

meccanica è evidente che questa “energia acquisita” deve essere fornita dall’esterno.

L’aumento di energia del sistema è uguale al “lavoro” compiuto dalle forze esterne.

Per effetto delle forze esterne che comprimono o allungano la molla il sistema acquista una certa

1 2

“energia potenziale iniziale” pari a k x (in questo momento si ha E = max e E = 0).

p c

0

2

Quando si elimina l’azione delle forze esterne lasciando l’oggetto libero di muoversi quest’ultimo

sarà soggetto all’azione di una “forza di richiamo” che tenderà a riportare l’oggetto nella posizione

di equilibrio. Il sistema perderà gradualmente energia potenziale che si trasformerà in energia

cinetica. Una volta raggiunta la posizione di equilibrio si avrà: E = 0 e E = max.

p c

Il sistema continua comunque a muoversi nella stessa direzione ritrasformando gradualmente

energia cinetica in energia potenziale fino a raggiungere la posizione “-x ” nella quale si avrà

0

nuovamente E = max e E = 0.

p c

È evidente che il sistema avrà velocità massima nel punto di equilibrio e nulla nei due punti estremi;

per l’accelerazione invece si avrà un massimo nei due estremi e zero nel punto di equilibrio.

In assenza di forze di attrito il sistema oscilla indefinitamente tra la posizione x e la posizione -x .

0 0

Si può dimostrare che si tratta di “oscillazioni armoniche”.

2 2

d x F kx d x k

         cos(   

)

a x x x t

0

2 2

dt m m dt m

k m

 

dove la pulsazione è uguale a , da cui si ottiene che il periodo T è uguale a 2 .

m k

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Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 27

 che compaiono nell’equazione del moto armonico dipendono dalle condizioni iniziali

I valori x e

o

del sistema. Il periodo di oscillazione invece dipende solo dalle caratteristiche del sistema (massa e

costante elastica della molla), ma, come nel caso del pendolo, non dipende dall’allungamento x .

0

Il tempo impiegato per compiere un’oscillazione completa (in assenza di attrito) è indipendente

dall’ampiezza dell’oscillazione stessa (se l’oscillazione è più ampia risulterà maggiore la velocità).

Nella realtà la presenza delle forze d’attrito genera delle “oscillazioni smorzate” fino a fermare il

sistema nella sua posizione di equilibrio (si ha: presenza di attrito viscoso).

   

F k x v

2 2

oscillazione “teorica” (senza attrito) oscillazione “smorzata”

d x dx d x k dx

         

F m a m kx da cui si ricava : x .

2 2

dt dt dt m m dt

La soluzione di questa equazione differenziale del secondo ordine corrisponde all’equazione del

“moto armonico smorzato”. Il fattore di smorzamento (che dipende dalla velocità e dalla massa

dell’oggetto) causa l’introduzione nella soluzione di un esponenziale negativo.

Massa “appesa” a una molla

Per misurare le forze spesso si usa un “dinamometro” il cui principio di funzionamento è basato

sulla “misura” dell’allungamento di una molla sotto l’azione di una forza.

Posizione di equilibrio

Situazione iniziale la molla si è

la molla si allunga sotto allungata di una

l l + x

l’azione della forza peso: quantità “x” tale

che P = F

F

P = m g P = m g

Si raggiunge la posizione di equilibrio quando la forza peso è bilanciata esattamente dalla forza

mg

elastica della molla, quindi si avrà:   

mg kx da cui : x .

eq eq k

Nella situazione iniziale si ha: E = 0 - E = 0 - E = max.

cinetica pot.molla pot.peso

Quando l’oggetto viene lasciato libero la molla si allunga verso il basso: si ha una perdita di energia

potenziale della forza peso che si trasforma in energia cinetica e energia potenziale elastica.

Una volta raggiunta la posizione di equilibrio l’oggetto continuerà a muoversi trasformando

l’energia cinetica acquistata in energia potenziale elastica raggiungendo una posizione simmetrica a

quella iniziale rispetto al punto di equilibrio (allungamento totale: l + 2x ).

eq

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In questo caso si ha un bilancio della “conservazione dell’energia” con due diverse energie

potenziali (peso e elastica).

1 1 2 mg

2 2

       

mgh mgh kx mg ( h h ) kx x 2x (x = allungamento totale

i f i f eq



2 2 k

x

molla)

Interazione gravitazionale e “legge di gravitazione universale”

Prese due masse puntiformi poste a una certa distanza “r” fra queste due masse si esercita una forza

di tipo attrattivo direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al

m m

1 2

quadrato della distanza:   

F F G

21 12 2

r -11 2 2

(G = costante di gravitazione universale = 6.67 10 N m / Kg ; la misura di questa costante è

molto “delicata” in quanto bisogna supporre che le due masse interagiscano solo fra di loro, senza

interferire con altre masse del mondo esterno).

Osservazione

Il concetto di “massa gravitazionale” è teoricamente diverso da quello di “massa inerziale”.

Infatti la “massa gravitazionale” è la proprietà di un oggetto che fa sì che esso interagisca con altri

oggetti attraendoli e venendo a sua volta attratto da essi.

La “massa inerziale” invece è l’inerzia che ha un corpo a cambiare il suo stato di quiete o di moto

rettilineo e uniforme.

In realtà si può dimostrare che hanno lo stesso valore, si può quindi parlare genericamente di

“massa” senza distinguere tra “inerziale” e “gravitazionale”.

Supponiamo che una delle due masse sia ferma (per esempio se è molto maggiore dell’altra oppure

se è fissata). Consideriamo solo la forza che agisce sulla massa in movimento.

m 2

F

m 1 

m m

1 2

 

F G u u : versore

r r

2

r

La Forza di gravità è una “forza centrale”, ciò diretta sempre verso uno stesso punto che viene detto

“centro di forza” (sarebbe centrale anche se avesse verso opposto).

Energia potenziale gravitazionale

Dimostriamo che il lavoro fatto dalla forza gravitazionale dipende solo dal punto iniziale e da

quello finale e non dal percorso compiuto.

m 2   

m m m m m m

1 2 1 2 1 2

           

dW F ds G u ds G ds cos G dr

r

2 2 2

r r r

r i m 2

 r dr è la proiezione dello spostamento ds in direzione radiale.

m f

1

f f  

dr G m m G m m

1 2 1 2

     

W dW G m m : il lavoro svolto non dipende dalla traiettoria.

 

1 2 2

r r r

i i f i – http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 29

m m

1 2

Possiamo quindi definire l’energia potenziale gravitazionale:  

E G e affermare che,

p r

come nei casi precedenti si ha: W = E - E .

pi pf

La forza gravitazionale è una forza centrale. Si può dimostrare che tutte le forze centrali sono

conservative (si può applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica).

la forza peso (studiata in precedenza) è un caso particolare di “interazione gravitazionale”.

Nota:

Conoscendo il valore della massa e del raggio della Terra è possibile calcolare il valore di g.

24

m m m 5 .

98 10 Kg m

11

T T

      

P G mg g G 6 . 671 10 9,8313... .

 

2 2 2 2

R R s

6

6 .

37 10 m

T T

In realtà è abbastanza facile calcolare sperimentalmente il valore di g.

Questo procedimento è stato applicato in senso inverso per calcolare la massa della Terra.

Lezione 11 (26 ottobre 1999)

Relazione tra forza ed energia potenziale (nelle Forze Conservative).

f : il lavoro compiuto dipende solo dal punto iniziale e da quello finale.

   

W F ds E E

 pi pf

i  coordinate spaziali “cartesiane”

Energia di posizione: E = f (x, y, z)

p 

E , ) coordinate spaziali “sferiche”

= f (r,

p

(r  

= raggio della terra, = latitudine, = longitudine)

Superfici equipotenziali

Una “superficie equipotenziale” è il luogo dei punti nei quali si ha E = costante.

p

La forma della superficie equipotenziale dipende ovviamente dall’equazione che esprime E .

p

Esempio: Forza peso E = m g y (solo funzione di y)

p

Le superfici equipotenziali sono dei piani paralleli alla superficie terrestre.

m m

1 2

 

Forza gravitazionale E = G (solo funzione di r)

p r

In questo caso è più pratico utilizzare le coordinate polari.

Le superfici equipotenziali sono delle superfici sferiche.

Si osserva anche che il vettore di una forza conservativa è diretto sempre ortogonalmente alla sua

superficie equipotenziale e punta nel verso nel quale l’energia potenziale decresce.

Infatti se ci muoviamo lungo una superficie equipotenziale si ha E = costante e quindi W = 0.

p

     

Dal momento che W F ds F ds cos 0 si deve avere necessariamente = 90° (assumendo che

sia lo spostamento che la forza abbiano modulo diverso da zero).

che esprime l’energia potenziale è possibile ricavare il vettore della

Conoscendo la formula

corrispondente forza conservativa F. – http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 30

f è il “differenziale

Infatti visto che: possiamo dire che la quantità

    

W F ds E E F ds

 pi pf

i

esatto” della funzione E cambiato di segno.

p

  

E E E

p p p

   

dE dx dy dz variazione della funzione E al variare di x, y e z (di dx, dy e

p

p   

x y z gradiente di E

dz). p

   

F i F j F k F   

E E E

 

 x y z p p p

  

       

F ds F dx F dy F dz dx dy dz

  

x y z   

x y z

  

  

ds i dx j dy k dz

  

E E E

p p p

       

da cui si ha: F F F cioè : F grad ( E ) .

x y z p

  

x y z

“gradiente di E ” è una grandezza vettoriale.

Nota: E è una grandezza scalare, mentre il

p p

Si ha un gradiente ogni volta che si ha una “variazione” nella grandezza considerata.

Dal momento che F = - grad (E ) si può dire che il gradiente è sempre ortogonale alla superficie

p

verso nel quale l’energia potenziale aumenta.

equipotenziale e punta nel

(grafici dell’energia potenziale)

Punti di Equilibrio

Disegniamo una ipotetica curva che rappresenti un energia potenziale funzione della sola x:

A I punti A e B sono detti “punti di equilibrio”.

E p In questi punti la risultante delle forze applicate è nulla.

Un corpo inizialmente fermo in uno di questi punti vi può

rimanere indefinitamente, cioè fino all’intervento di una forza

che sia in grado di “allontanarlo”.

un punto di equilibrio è un

E punto nel quale la derivata

p

   

F i 0 parziale si annulla, è quindi

x un punto di “massimo”

B oppure di “minimo”.

x x x

A B

Il punto A è un “punto di equilibrio instabile”: non appena un corpo inizialmente fermo in A si

sposti, per una causa qualsiasi, in una delle due direzioni le forze legate all’energia potenziale

tenderanno ad allontanarlo definitivamente dal punto di equilibrio.

Il punto B è un “punto di equilibrio stabile”: non appena un corpo inizialmente fermo in B si sposti,

per una causa qualsiasi, in una delle due direzioni le forze legate all’energia potenziale tenderanno a

riportarlo nella posizione di equilibrio stabile.

F < 0 F > 0

A

E p – http://informatici.altervista.org

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B

Lavoro su una linea chiusa (circuitazione di F)

Una forza conservativa compie un lavoro nullo agendo lunga una linea chiusa.

i f     

W F ds E E 0

 pi pf

In generale, quando si parla di “circuitazione”, non è detto che ci si riferisca ad un “lavoro”.

Si ha la “circuitazione di un vettore” quando si calcola l’integrale lungo una curva chiusa del

prodotto scalare del vettore stesso per il vettore ds.

Il vettore potrebbe non essere una forza, ma un vettore qualsiasi. In questo caso quindi non si parla

più di “forze conservative”, ma di “campo conservativo”.

FORZE NON CONSERVATIVE (Le Forze di Attrito)

Dimostriamo che le forze d’attrito non sono conservative, cioè che il lavoro da esse svolto

“dipende” dalla traiettoria percorsa.

Nota: Le forze di attrito hanno sempre la stessa direzione del movimento, ma con verso opposto;

quindi l’angolo compreso tra i vettori “forza” e “spostamento” sarà di 180° ( radianti).

f f

           

dW F ds F ds cos F ds W dW F ds F S

 

a a a a a 1

i i

rappresenta la “lunghezza del percorso” compiuto tra

(S i e f; abbiamo anche supposto, per

1

semplicità di calcolo, che la forza fosse costante, ma questa ipotesi non è necessaria).

Abbiamo dimostrato che il lavoro svolto dalle forze di attrito è uguale alla “forza” esercitata per la

“lunghezza del percorso”. Quindi se si cambia il percorso anche il lavoro compiuto cambia.

In presenza di forze non conservative NON si può applicare il principio di conservazione

dell’energia meccanica, è comunque valido il teorema dell’energia cinetica.

         

W W W E E E E W E E

TOTALE F . cons

. F . non cons

. cf ci pi pf F . non cons . cf ci

      

( E E ) ( E E ) W E E W

cf pf ci pi F . non cons . f i F . non cons .

Non si ha più conservazione dell’energia meccanica.

– http://informatici.altervista.org

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(l’attrito fa

Dal momento che le forze di attrito producono sempre un lavoro negativo si avrà E < E

f i

perdere energia meccanica). Globalmente comunque l’energia si conserva. La parte di energia

meccanica “persa” a causa dell’attrito si trasforma in altre forme di energia (es. energia termica).

IMPULSO DI UNA FORZA

In generale le forze applicate non sono costanti, ma variano in funzione del tempo.

p

F f

d p

       

I F dt m a dt dt d p p p m v m v

    f i

f i

dt

  

t t t p

i

L’impulso di una forza è uguale alla “variazione della

quantità di moto” che essa provoca nel corpo alla quale

viene applicata.

t

Osservazione: per ottenere la stessa variazione di quantità di moto non è necessario applicare

sempre una stessa forza, è sufficiente che le due forze applicate abbiano lo “stesso impulso” (cioè

che l’area sottesa alla curva che rappresenta la variazione della forza rispetto al tempo sia la stessa).

Forze impulsive

Sono forze molto intense che agiscono per un tempo molto breve (ad esempio nel caso degli urti).

Momento della quantità di moto (o momento angolare)

piano (r, p)

z = vettore posizione

r

 = vettore della quantità di moto

p

p

L = x (prodotto vettoriale)

L r p

r 

L = r p sen

y L è un vettore ortogonale al piano (r, p) entrante nel piano

x

Momento della forza

z = vettore posizione

r

 = vettore della forza applicata

F

F

  = x (prodotto vettoriale)

r F

r  

= r F sen

y  è un vettore ortogonale al piano (r, F) entrante nel piano

x – http://informatici.altervista.org

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Relazione fra “momento angolare” e “momento della forza”

d L d d r d p

              

( r p ) p r v m v r F 0

dt dt dt dt

Conservazione del momento angolare

Vogliamo scoprire quando si “conserva” il momento angolare, cioè in quali condizioni L è costante.

 

F 0

d L 

         

L costante 0 0 r F 0 

dt  r F

Il momento angolare si conserva se non c’è nessun momento di forza, quindi se la risultante delle

forze applicate è nulla oppure è applicata parallelamente al vettore posizione (ad esempio nel caso

di una forza centrale quando l’origine è nel centro di forza).

Lezione 12 (2 novembre 1999)

Sistemi di particelle da un certo numero di “particelle puntiformi”.

Sistema discreto: sistema costituito

Sistema continuo: corpo rigido (lo trattiamo in modo analogo al caso precedente immaginando di

dividerlo in tanti elementini di massa dm ognuno dei quali sia abbastanza piccolo da poter essere

considerato puntiforme).

Centro di massa: punto ideale di un corpo nel quale (almeno per certi tipi di problemi) si può

pensare che sia “concentrata” tutta la massa del corpo (coincide con il “centro di gravità”).

Ad esempio un corpo sferico di densità uniforme avrà il centro di massa nel centro della sfera.

Centro di massa di un sistema di particelle

 immaginiamo di avere due corpi di massa “m” posti sull’asse x rispettivamente nel punto x e

1

x x

1 2

nel punto x , allora possiamo dire che: x (media aritmetica);

2 CM 2

 se invece i due corpi avessero massa diverse (rispettivamente m e m ) il centro di massa

1 2

m x m x

1 1 2 2

risulterebbe “spostato” verso la massa più grande: 

x (media ponderata);

CM 

m m

1 2

 da “n” particelle e lavorando in tre

estendendo quanto sopra a un generico sistema formato

n n

 

m r m r

i i

i i

 

i 1 i 1

dimensioni si ha:  

r (dove con r intendiamo il vettore posizione della

i

CM n M

 m

i

i 1

i-esima particella e con M la massa totale del sistema).

Centro di massa di un corpo rigido – http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 34

caso di “n” particelle. Supponiamo di dividere il corpo in tante masse

Operiamo in modo analogo al r dm

m

dm tanto piccole da poter essere considerate puntiformi e poi integriamo: r .

CM M

In realtà il calcolo non viene effettuato sulla massa, ma sul volume applicando la relazione

   rappresenta la “densità” del corpo, che può essere o meno uniforme).

dm dV (dove

Dinamica di un sistema di particelle

In un sistema di particelle possiamo distinguere due tipi di forze:

 dovuta all’interazione delle particelle fra di loro; si ha sempre un’interazione tra

forze interne:

“coppie” di particelle e, in base al principio di “azione e reazione”, si può affermare che la

sommatoria di tutte le forze interne risulta uguale a zero;

 dovute a “eventuali” interazioni delle particelle con l’ambiente esterno.

forze esterne:

Un sistema che non interagisce con l’esterno viene detto SISTEMA ISOLATO.

Quantità di moto di un sistema di particelle

F F = F (principio di azione e reazione)

1ext 12 21

m F

m 2 2ext

1 F e F non sono legate fra loro da alcuna relazione:

F

F 1ext 2ext

21

12 le reazioni a queste due forze sono estranee al sistema

considerato e quindi non ci interessano.

Quantità di moto “totale” del sistema:    

p p p m v m v .

1 2

1 2 1 2 d p

  

Ricordiamo che, in base alla II legge della dinamica, si ha: F m a .

dt

Ricaviamo la variazione della quantità di moto delle singole particelle del sistema:

d p d p

1 2

   

1 F F 2 F F

12 1

ext 21 2 ext

dt dt

di moto “totale” del sistema invece si ha:

Per quanto riguarda la quantità

d p d p

d p d p

1 2 

         

F F F F F F F .

12 1

ext 21 2 ext 1

ext 2 ext ext

dt dt dt dt d p 

In un sistema isolato (nel quale la sommatoria delle forze esterne è nulla) si avrà: 0 , cioè

dt

 costante: “la quantità di moto totale di un sistema isolato si conserva”.

p

Moto del “centro di massa”

n n

 

m r m v

i i

i i

d r p

 

i 1 Cm i 1 

    

r v il centro di massa si comporta come un

CM Cm

M dt M M

“punto materiale” che trasporta tutta la quantità di moto del sistema.

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In un sistema isolato la quantità di moto è costante, quindi anche la velocità del centro di massa

risulta costante: “in un sistema isolato il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme”.

d v 1 d p 1

Cm 

   : “sul centro di massa agisce la risultante di tutte le forze esterne”

a F ext

Cm dt M dt M

Le forze interne non influiscono in alcun modo sul moto del centro di massa. Sono responsabili solo

del moto delle particelle all’interno del sistema.

una cassa di esplosivo che viaggia con moto rettilineo uniforme esplode sotto l’azione

Esempio:

delle forze interne dividendosi in tanti frammenti. Risulta molto complicato studiare il moto dei

singoli frammenti. Possiamo però affermare che il centro di massa dei frammenti continua a

muoversi di moto rettilineo uniforme alla stessa velocità che aveva prima di esplodere.

un missile lanciato in aria viaggia secondo la classica traiettoria parabolica del “moto del

Esempio:

proiettile”. A un certo punto esplode in tanti frammenti sotto l’azione delle forze interne. Possiamo

comunque affermare che il centro di massa dei frammenti continuerà a muoversi secondo la

traiettoria parabolica originariamente seguita dal missile. I frammenti invece si muoveranno in

traiettorie diverse sotto l’azione delle forze interne.

Energia cinetica di un sistema di particelle

L’energia cinetica totale di un sistema di “n” particelle è data dalla somma delle energie cinetiche di

n 1 2

tutte le singole particelle: 

E m v .

c i i

2

i 1

Il “teorema dell’energia cinetica”, essendo valido per ogni singola particella, vale anche per un

sistema di particelle in generale:    

E E W W W .

cf ci totale forze int forze ext .

Se le forze interne sono “conservative” si può scrivere:  

W E E da cui possiamo

int p int i p int f

   

ricavare la seguente relazione: W ( E E ) ( E E ) .

forze ext . c p int f c p int i

prende il nome di “energia interna” (o propria) di un sistema.

La quantità: E + E

c p int.

In un sistema isolato l’energia interna si conserva (si possono comunque avere trasformazioni di E c

in E e viceversa nelle singole particelle).

p

URTI

Quando due particelle si urtano si ha l’azione di forze interne di tipo “impulsivo”.

Per quanto riguarda il momento dell’urto il sistema formato dalle due particelle che si scontrano

può essere considerato “isolato”. Infatti, nel momento nel quale si scontrano, la forza dell’urto è

molto maggiore rispetto a tutte le altre forze eventualmente coinvolte. Possiamo quindi compiere

un’approssimazione e considerarla come se fosse l’unica.

Il vantaggio nel considerare il sistema come se fosse isolato consiste nella possibilità di applicare il

“principio di conservazione della quantità di moto”.

m

m 2

v

1 v situazione PRIMA DELL’URTO

1i 2i

m

m v 2 v DOPO DELL’URTO

situazione

1 1f 2f – http://informatici.altervista.org

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  

Applicando il suddetto principio si ha: m v m v m v m v

1 2 1 2

1

i 2 i 1 f 2 f

Questo principio è valido in ogni tipo di urto.

Esistono due diversi tipi di urti: “urti elastici” e “urti anelastici”.

Urti elastici

Si ha un urto “perfettamente elastico” quando due oggetti si urtano senza deformarsi.

In natura non è possibile generare un urto perfettamente elastico; ci sono però alcune situazioni che

si possono approssimare a un urto elastico (es. lo scontro di due palline di acciaio, l’urto fra due

palle da biliardo, ecc.).

In un urto “perfettamente elastico” si conserva l’energia cinetica del sistema (trascuriamo le perdite

di energia dovute all’attrito, alle onde sonore, ecc.).

Non si hanno perdite di energia dovute alla deformazione dei corpi (quando un corpo si deforma,

infatti si ha una variazione delle energie potenziali delle particelle presenti all’interno del corpo;

quindi una parte dell’energia cinetica del sistema si trasforma in energia potenziale).

Nello studio di un urto elastico possiamo quindi utilizzare due equazioni:

   

m v m v m v m v

1 2 1 2

1

i 2 i 1 f 2 f

 1 1 1 1

2 2 2 2

  

m v m v m v m v

 1 1

i 2 2 i 1 1 f 2 2 f

 2 2 2 2

Urti anelastici

Si ha un urto “anelastico” quando due oggetti urtandosi si deformano.

Gli urti anelastici possono essere di due tipi:

1. urti “endotermici” sono urti nei quali si perde E e si acquista E (sono i più frequenti)

c p

urti “esotermici”

2. sono urti nei quali si acquista E e si perde E (poco frequenti)

c p

Un urto si dice “perfettamente anelastico” se i due oggetti, dopo lo scontro, restano “uniti”.

Urti unidimensionali

Si ha un urto “unidimensionale” quando le particelle, prima e dopo l’urto, si muovono lunga una

stessa direzione fissa (ad esempio l’asse x).

Nel caso di un urto elastico unidimensionale, risolvendo le due equazioni trovate, si ottiene:

 

m m 2 m 2 m m m

1 2 2 1 2 1

   

v v v e v v v

1 f 1

i 2 i 2 f 1

i 2 i

   

m m m m m m m m

1 2 1 2 1 2 1 2

Casi particolari

 

m = m (masse uguali) v = v e v = v (i due corpi si scambiano le velocità)

1 2 1f 2i 2f 1i

(se la particella 2 fosse inizialmente ferma si avrebbe v = 0 e v = v )

1f 2f 1i

   

m >> m (bersaglio di grande massa fermo) v - v e v 0

2 1 1f 1i 2f

(la particella 1 rimbalza indietro con la stessa velocità, mentre il bersaglio resta fermo)

– http://informatici.altervista.org

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   

m << m (bersaglio di massa piccola fermo) v v e v 2 v

2 1 1f 1i 2f 1i

(la particella 1 prosegue circa con la stessa velocità e la particella 2 acquista velocità doppia)

Lezione 13 (3 novembre 1999)

Urto completamente anelastico

In questo caso si conserva la quantità di moto, ma non l’energia cinetica del sistema.

L’equazione della conservazione della quantità di moto diventa:   

m v m v ( m m ) v .

1 1

i 2 2 i 1 2 f

Infatti i due corpi, dal momento che dopo l’urto rimangono attaccati, avranno la stessa velocità

m v m v

1 1

i 2 2 i

finale che sarà uguale a 

v .

f 

m m

1 2

Osservazione: il centro di massa continua a muoversi di moto rettilineo uniforme. La sua velocità

m v m v

p 1 1

i 2 2 i

prima dell’urto era infatti (velocità finale dei due corpi rimasti

  

v v

CM f

 

m m m m

1 2 1 2

uniti e quindi anche del loro centro di massa). Durante l’urto infatti agiscono solo “forze interne”

che non influiscono sul moto del centro di massa.

Potremmo anche studiare l’urto in un sistema di riferimento solidale con il centro di massa. In

questo caso la quantità di moto sarebbe uguale a zero e le due masse si muoverebbero sempre in

direzioni opposte (avvicinandosi o allontanandosi).

(ad esempio l’urto di due palle da biliardo)

Urti elastici bidimensionali

Si applicano sempre le due condizioni di “conservazione della quantità di moto” e “conservazione

dell’energia cinetica”, ma in questo caso bisogna tenere conto delle componenti della velocità.

Se lavoriamo nel piano xy otteniamo tre equazioni:

    

m v m v m v m v conservazi

one della quantità di moto lungo l' asse x

 1 2 1 2

1 xi 2 xi 1 xf 2 xf

    

m v m v m v m v conservazi

one della quantità di moto lungo l' asse y

 1 2 1 2

1 yi 2 yi 1 yf 2 yf

 1 1 1 1

 2 2 2 2

   

m v m v m v m v conservazi one dell' energia cinetica

 1 1

i 2 2 i 1 1 f 2 2 f

2 2 2 2

In generale però ci sono quattro incognite (i moduli delle due velocità finali e le loro direzioni). È

molto difficile “calcolare” i due angoli in base alle forze che agiscono nell’urto. Normalmente è più

comodo “misurare” uno dei due angoli e ricavare le altre incognite tramite le equazioni suddette.

Lezione 14 (8 novembre 1999)

Dinamica del corpo rigido

solido che supponiamo assolutamente “indeformabile” (le distanze fra le

Corpo rigido: oggetto

particelle al suo interno sono costanti).

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Traslazione

Si ha un moto di “pura traslazione” quando tutti i punti del corpo si muovono su traiettorie parallele.

In questo caso per studiare il moto del corpo rigido è sufficiente studiare il moto del centro di massa

(che è rappresentativo del moto dell’intero corpo).

Un corpo si muove in questo modo se la “forza” che causa il movimento viene applicata nel centro

di massa (in caso contrario si avrà anche un moto “rotazionale”).

Rotazione

Si ha un moto di “pura rotazione” quando tutti i punti del corpo descrivono traiettorie circolari

intorno ad un asse che viene detto “asse di rotazione”. In generale l’asse di rotazione non coincide

con il centro di massa, ma può dipendere da eventuali vincoli esterni).

In generale un corpo rigido descriverà un moto “roto-traslatorio” che può essere studiato

dividendolo in due moti distinti: una “traslazione” del centro di massa e una “rotazione” intorno ad

un asse passante per il centro di massa (se ne ha un esempio nel moto della ruota di un automobile).

forza applicata In questo caso si ha una traslazione del centro di massa, dovuta alla forza applicata

dall’auto dall’auto, che può essere studiata applicando le leggi della dinamica del punto.

Si ha inoltre una rotazione intorno al centro di massa dovuta alla presenza della

forza di attrito che non è applicata nel centro di massa, ma in un punto sul

diametro della ruota. Nello studio dei moti rotazionali non è sufficiente conoscere

forza d’attrito il valore della forza applicata, è importante conoscere il “momento della forza”

statico rispetto all’asse di rotazione:  

= r F .

asse di rotazione Le masse compiono traiettorie circolari rispetto all’asse di

rotazioni (con raggio diverso a seconda della loro posizione

all’interno del corpo e rispetto all’asse di rotazione).

r m

1 1 Tutte le traiettorie giacciono però su piani paralleli.

Il vettore (velocità angolare) è ortogonale rispetto al piano di

rotazione ed è diretto secondo l’asse di rotazione. Il suo verso è

determinato in base alla regola della mano destra.

m

r 1

2 La velocità angolare è la stessa per tutti i punti del corpo, variano

invece le velocità tangenziali che dipendono dalla distanza del

punto dall’asse di rotazione secondo la legge: 

v = x r.

Energia cinetica di rotazione

n n n

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

  

      

E m v m r m r I

c i i i i i i

2 2 2 2

  

i 1 i 1 i 1

è il “momento d’inerzia” del corpo; il suo valore dipende dalla “struttura” del corpo e dalla scelta

I 2

dell’asse di rotazione. Si misura in Kg m . Si può considerare come l’equivalente rotazionale della

“massa” di un corpo (cioè la sua inerzia a porsi in rotazione intorno ad un certo asse).

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I 2 I > I

I 2 1

1

Lavoro in un moto rotazionale

Si definisce “potenza” la quantità di lavoro compiuta per unità di tempo; si misura in Watt.

Nota: dW d d s

(Watt = Joule/s)       

P ( F d s ) F F v supponendo F costante rispetto a t.

dt dt dt

F La forza F viene applicata nel punto P a distanza “r” dall’asse di rotazione.

 Il momento della forza è:  

= r F sen = r F .

F 

 F

//

r è l’unica che tende a mettere in rotazione il corpo.

La componente F

La componente tende a “traslare” l’asse di rotazione; se questo è fissato

F

//

(oggetto vincolato) la F non ha alcun effetto.

//

Osservazione: Anche se il modulo della forza applicata è diverso da zero non è detto che si abbia un

“momento di forza” non nullo. Si ha un momento di forza uguale a zero se:

1. non si applica alcuna forza (oppure la risultante delle forze applicate è nulla);

2. si applica la forza nell’asse di rotazione (in questo caso si ha r = 0);

si applica una forza parallelamente all’asse di rotazione (si ha cioè sen 

3. = 0), in questo caso

non si ha una rotazione, ma, se il corpo non è vincolato, si potrebbe avere una traslazione.

F 

         

dW F d s F ds cos F r d d

 

ds ’ ’ è complementare a ,  ’;

(infatti quindi si ha F sen = F cos

r e inoltre si ha ds = r d).

’ 

dW d d

        

P ( d )

Si ha inoltre: dt dt dt

f (nell’ipotesi che  sia costante).

     

W d

i 1 1

2 2

Per il teorema dell’energia cinetica si ha:      

E E W I I .

cf ci f i

2 2

Il lavoro fatto dalla forza si trasforma in energia cinetica rotazionale.

Momento della quantità di moto di un corpo rigido che ruota

  dall’asse di rotazione)

v = r (r = distanza di m

i i i i

v = x = m x

p v

L R R

i i

i i

i i i

r m

i i Considerando solo i moduli si ha: L = m R v

i i i i

In generale la direzione del vettore del momento della quantità

R i di moto non coincide con l’asse di rotazione. Sull’asse si avrà

L solo una componente del vettore stesso.

i O – http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 40

Per trovare il momento della quantità di moto totale di un corpo bisogna sommare i momenti delle

quantità di moto di tutti i singoli elementini dm.

Se l’asse di rotazione coincide con un asse di simmetria le varie componenti ortogonali all’asse si

annullano per motivi di simmetria e rimane solo la componente parallela all’asse di rotazione.

(In effetti in ogni corpo esistono tre particolari assi detti “assi principali d’inerzia” per i quali vale

quanto appena detto per gli assi di simmetria.) 2 2

 

              

L L cos m R v cos m r r m r L L m r I

i asse i i i i i i i i i i i i asse i i

Se la rotazione avviene lungo uno degli assi principali d’inerzia, si può dire anche che:   

L I

(Per semplicità noi ci riferiremo sempre a situazioni di questo tipo).

Lezione 15 (9 novembre 1999)

Relazione tra “momento angolare” e “momento della forza” nel corpo rigido

d L   

     

ext int

dt   

Si può dimostrare che le forze interne non hanno momento e quindi che 0 .

int

d L d d 

            

( I ) I I da cui si ottiene : I

ext

dt dt dt

(legge della dinamica del corpo rigido equivalente alla seconda legge della dinamica: F = m a).

Schema riassuntivo

Dinamica del punto Dinamica del corpo rigido

1 1

2 2

 

E m v E I v

c c

2 2

f f

1 1 1 1

2 2 2 2

           

W F d s m v m v W d i I

 

f i f i

2 2 2 2

i i

  

p m v L I

d p d L

 

     

F m a I

dt dt

2

Esempi di calcolo del momento d’inerzia: 

I m r

i i

m = 2 Kg

m = 1 Kg 2 2 2

1 2

d d d

    2

      

1. I m m ( m m ) 3 0

, 25 0

, 75 Kg m

   

d/2

d/2 1 2 1 2

2 2 4

   

d = 1 m m = 2 Kg

m = 1 Kg 2

1 – http://informatici.altervista.org

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d = 1 m 2 2 2

     

2. I m 0 m d m d 2 1 2 Kg m

1 2 2

 

3. I molto piccolo I 0.

2

4. Corpo continuo: I r dm (questo integrale è abbastanza facile da calcolare per i corpi

m

geometrici “noti” quali sfera, cilindro, ecc.; può essere molto difficile per corpi irregolari).

Conservazione del momento angolare di un corpo rigido 

 

F 0

 

             

L I e I quindi L costante 0 0 r 0

 F // r

   

se I costante allora costante

     

Quindi se 0 I costante 

    

se I costante allora si ha : I I

1 2

1 2

Se ne ha un esempio nel caso del pattinatore che ruota (verticalmente) su sé stesso più o meno

velocemente (a parità di altre condizioni) a seconda che abbia le braccia aperte oppure chiuse.

diminuisce il suo momento d’inerzia aumentando di conseguenza la sua

Chiudendo le braccia infatti

velocità angolare. Quanto detto è vero in quanto non c’è alcun momento di forze esterne. La

chiusura delle braccia è causata da “forze interne” che non influiscono sul momento angolare.

Osservazione: la conservazione del momento angolare è completamente indipendente rispetto alla

conservazione dell’energia cinetica. Nel caso del pattinatore, per esempio, si ha un aumento di

energia cinetica dovuto al lavoro fatto dalle forze interne.

se l’asse di rotazione non è perfettamente verticale, ma è inclinato (come nel caso

Osservazione:

della trottola) si ha un “moto di precessione”. Mentre la trottola gira su stessa si ha un

contemporaneo moto “conico” dell’asse. In questo caso il momento delle forze esterne non è nullo

in quanto agisce una componente della forza peso.

Coppia di forze

Si ha una coppia di forze quando ci sono due forze uguali in modulo e direzione, ma di verso

opposto. Applicate a un corpo rigido causano solo una rotazione e non una traslazione.

F

R          

R F R F 2 ( R F ) d F con d 2 R

R

F

In generale si ha: F

d     

d F sen F b (braccio della coppia di forze)

b = d sen – http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 42

F

Lezione 16 (10 novembre 1999)

PROPAGAZIONE PER ONDE

Abbiamo due tipi di onde: “onde meccaniche” e “onde non meccaniche”.

Le onde meccaniche sono onde che necessitano di un mezzo per propagarsi. Sono esempi di onde

meccaniche le onde in una corda, le onde di pressione (onde sonore), le onde sull’acqua, ecc.

Le onde non meccaniche invece si propagano anche nel vuoto. Si tratta essenzialmente delle “onde

elettromagnetiche” (onde radio, luce visibile, raggi x, ecc.).

Le onde meccaniche si originano a causa delle caratteristiche di elasticità del mezzo nel quale si

propagano. Quando si sollecita un mezzo elastico si causa una “deformazione” in un certo punto

che viene trasmessa ai punti vicini propagandosi lungo il mezzo considerato.

Anche i gas reagiscono in modo elastico alle deformazioni (si hanno zone di compressione e

rarefazione che si propagano).

La corda di una chitarra che vibrasse nel vuoto non provocherebbe alcun effetto sul mondo esterno.

Quando invece si è in presenza di aria la vibrazione della corda crea delle onde di compressione e di

rarefazione nell’aria che, partendo dalla corda, si propagano in “tutte” le direzioni fino a

raggiungere la membrana presente all’interno dell’orecchio che inizia a vibrare trasmettendo le

informazioni ricevute al cervello che le percepisce come “suoni”.

È evidente che, per le onde meccaniche, è fondamentale la presenza di un mezzo di propagazione.

Le onde possono poi suddividersi in due classi: “onde longitudinali” e “onde trasversali”.

Nel caso delle onde trasversali la direzione di propagazione dell’onda è ortogonale alla direzione

nella quale è avvenuta la perturbazione (ad esempio: le onde in una corda).

perturbazione direzione di propagazione dell’onda

Nel caso delle onde longitudinali invece la direzione di propagazione dell’onda e la perturbazione

hanno la stessa direzione (ad esempio: onde sonore).

Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali.

Esistono anche “onde ibride” (ad esempio le onde generate da un sasso lanciato nell’acqua).

È fondamentale ricordare che le onde (di qualsiasi tipo esse siano) trasportano SOLO ENERGIA.

Non si ha MAI un trasporto di MATERIA. La materia subisce solo dei piccoli movimenti locali.

Lezione 17 (15 novembre 1999) – http://informatici.altervista.org

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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Fisica I. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: La fisica è una “scienza sperimentale”, Misura di grandezze fisiche, Leggi fisiche, Equazioni dimensionali, Grandezze fisiche “scalari” e “b”, Cinematica del punto, ecc.


DETTAGLI
Esame: Fisica I
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2000-2001

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Dodero Maria Adele.

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