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2 2 2

2 2 2

  

1 v sen 1 v sen v sen

2 0 0 0

      

y 0 v sen t g t g

max 0 2

2 g 2 g 2 g

 Dal momento che la curva è simmetrica il tempo di volo sarà esattamente (in assenza di attrito)

v sen

0

t 2

il doppio del tempo necessario a raggiungere y , cioè: ;

max volo g

formula di duplicazione del seno

2 2

  

v sen cos v sen 2

0 0

  

Risulta quindi immediato calcolare la gittata: x 2 ;

max g g

 Possiamo inoltre determinare l’angolo per il quale si ottiene la massima gittata (a parità di altre

condizioni): il valore “massimo” di x 

si ottiene quando sen 2 = 1, cioè quando = 45°.

max

Moto circolare ds

ds = r d v =

v dt

ds

r d velocità angolare (misurata in rad/s)

 =

v

d dt

O r ds d  

= r v = r

dt dt

La velocità angolare non è una grandezza scalare, ma vettoriale; oltre a definirne il modulo occorre

quindi indicarne anche la direzione e il verso: la direzione è ortogonale al piano del movimento

mentre il verso è determinato secondo la “regola della mano destra” tenendo conto della seguente

relazione:   

v = r (dove il segno indica il prodotto vettoriale fra due vettori).

Lezione 5 (5 ottobre 1999)

Moto circolare uniforme v

v  = = costante

v = costante r

a n L’accelerazione ha solo la componente “normale”

a v (diretta in ogni punto verso il centro della circonferenza).

n a n

O

v 2 2 2

v r 2

a = = = r

n r r

quindi lo è anche l’accelerazione

Da notare che, essendo una circonferenza, il raggio è costante,

normale (e di conseguenza l’accelerazione totale).

Equazione oraria del moto circolare uniforme

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Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 10

Si tratta di calcolare l’angolo  in funzione del tempo.

 

Poniamo, come condizioni iniziali: t = 0 e = .

0 0

            

d dt da cui, integrando ambo i membri : d dt cost t

  0

Moto circolare uniformemente accelerato

v = r dv d d 

a = = ( r) = r = r

v t dt dt dt

a a t 2

 =

O accelerazione angolare (misurata in rad/s )

a n Schema riassuntivo

RETTILINEO CIRCOLARE

Moto uniforme x = x + v t   

= + t

0 0

v = v + a t   

= + t *

0 0

Moto uniformemente accelerato 2 2

x = x + v t + ½ a t    

= + t + ½ t **

0 0 0 0

d

               

* Condizioni iniziali: t = 0; = d dt cost t

 

0 0 0

dt   

** Condizioni iniziali: t = 0; =

0 0

 

d d 1 2

               

t ......... t t

0 0 0

dt dt 2

Moto circolare e oscillazioni armoniche

y C B

D A Il punto “A” si muove di moto circolare

r uniforme con velocità angolare  venendosi a

trovare successivamente nei punti B, C, D ecc.

 r x

-r D’ C’ B’ A’ ,

  

Se supponiamo = 0 abbiamo = t

0

Se esaminiamo le proiezioni sull’asse x delle varie posizioni del punto (A’, B’, ecc.) ci accorgiamo

che la “x” oscilla fra “- r” e “r” mentre il punto compie la sua traiettoria circolare.

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A’ = r cos  

Osserviamo che: = r cos t. 

In generale possiamo affermare che: x = x cos ( t + )

0 0

Questa equazione rappresenta il moto di un punto materiale che oscilla da “- x ” a “x ”.

0 0

In questo caso la  prende il nome di “pulsazione del moto armonico”.

Si ottiene un risultato analogo considerando le proiezioni sull’asse y: y = y 

sen ( t + )

0 0

Definiamo “periodo” (che indichiamo con “ T ”) il tempo impiegato dalla particella ad effettuare un

movimento periodico completo (da - x a x e ritorno).

0 0

tempo impiegato per compiere un intero giro (moto circolare)

T per compiere un’oscillazione completa (moto

tempo impiegato oscillatorio)

 

2

   

Se il moto è uniforme, si ha: t , cioè: t da cui otteniamo: T=

 

1

Definiamo “frequenza” (che indichiamo con “ f ”) l’inverso del periodo: f = T

La frequenza indica quanti giri (nel caso di moto circolare) o quante oscillazioni complete (nel caso

-1

di moto oscillatorio) vengono effettuate in un secondo. Si misura in “hertz” ( 1 hz = 1 s ).

 

Poniamo = 0 e consideriamo x = x cos ( t + ).

0 0 0

(il corpo parte alla massima distanza dall’origine).

Per t = 0 abbiamo x = x

0

x

x 0 1 3

1 T t

T T

T

4 4

2

- x 0 dx

Consideriamo ora la velocità:     

v x sen t

0

xt

La quantità “ -  ” prende il nome di “ampiezza della velocità” e dipende dall’ampiezza

x

0

dell’oscillazione ( x 

) e dalla pulsazione del moto armonico ( ).

0

x massima velocità

x 0 1 3

1 t

T

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Appunti trovati in rete scaricati

T da Quelli di Informatica T

T 12

4 4

2

- x 0 dv 2 2

       

Osserviamo che: a x cos t x

0

dt

L’accelerazione è proporzionale allo spostamento x, quindi anche la forza che causa l’accelerazione

dovrà essere proporzionale a x. Inoltre questa forza tende a riportare l’oggetto nella posizione di

“equilibrio” centrale. Per questo viene definita come “forza di richiamo”.

Equazione differenziale del moto armonico

2

dv d x 2

     , possiamo dire che un’equazione differenziale del secondo

Considerando che a x

2

dt dt

2

d x 2

ordine del tipo       

x avrà come soluzione: x x cos ( t ) .

0

2

dt

RELATIVITA’ GALILEIANA

Ci poniamo il problema di come legare le varie grandezze fisiche nei diversi sistemi di riferimento.

Ogni fenomeno, infatti, “appare” in modo diverso in base al sistema di riferimento considerato.

La “relatività galileiana” si basa su due postulati fondamentali:

1. Gli intervalli di tempo sono gli stessi, misurati nei diversi sistemi di riferimento (t t’);

=

2. Le lunghezze sono uguali, misurate in tutti i sistemi di riferimento (l = l’).

Queste considerazioni sono valide solo per oggetti che abbiano una velocità molto inferiore a quella

8

della luce (fino a un valore  

v = 0,1 0,2 C con C = velocità della luce = 3 10 m/s).

r = vettore di posizione del punto P nel

v

y y’ R di riferimento “ o ”

sistema

P r’ = vettore di posizione del punto P nel

sistema di riferimento “ o’ ”

r r’ oo’ = distanza fra le origini dei due sistema

di riferimento (non costante)

o  x’

x

o’ v = velocità relativa: di quanto si sposta,

R

nell’unità di tempo, l’origine o’ rispetto a o

z z’     

dr dr ' d

   

Per la regola della somma fra vettori si ha: quindi: ( oo ' ) da cui: v v ' v

 

r r ' oo ' R

dt dt dt

v’ o’ .

con v = velocità nel sistema di riferimento o e = velocità nel sistema di riferimento

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Per quanto riguarda l’accelerazione possono verificarsi due diversi casi:

1. Il sistema o’ si muove con velocità uniforme v rispetto al sistema o

R

 

   

d v d v

d v d v ' R R

  

da cui, visto che 0 si ricava: 

a a '

dt dt dt dt

Nei due sistemi si ha la stessa “legge del moto”.

2. Il sistema o’ si muove rispetto al sistema o con velocità v non costante

R

    

 d v

d v d v R 

   

da cui otteniamo: a a a R

dt dt dt

L’accelerazione non è la stessa in tutti i sistemi di riferimento. Nel sistema di riferimento o’

possono esserci delle accelerazioni dipendenti da che vengono chiamate anche “accelerazioni

a R

fittizie” in quanto non provocate dall’azione di nessuna forza (v. esempio del tram che frena).

Lezione 6 (11 ottobre 1999)

Le trasformazioni di Galileo furono messe in crisi da esperimenti effettuati nell’Ottocento con i

quali si dimostrò che la luce si propaga nel vuoto sempre alla stessa velocità in qualunque sistema

di riferimento. L’errore è dovuto proprio ai due postulati. Ad altissime velocità (prossime a quelle

della luce) si ha una “dilatazione dei tempi” e una “contrazione delle lunghezze”.

D I N A M I C A

La dinamica è la parte della fisica che studia le cause che producono il movimento dei corpi.

Le leggi della dinamica di Newton

La dinamica classica (di Newton) si basa sull’ipotesi che la massa inerziale di un corpo sia costante

(indipendentemente dalla sua velocità). In realtà, secondo la teoria relativistica, la massa di un

m

m

corpo dipende dalla sua velocità nel seguente modo: C = velocità della luce

v 2

v m = massa di riposo

1 2

C

m m

  

Se poniamo v = 0,1 C otteniamo: m m .

v 2 0

,

99

0

,

1

C

 

1  

C

 

Risulta quindi evidente che, per valori molto inferiori alla velocità della luce, è possibile

considerare la massa come se fosse costante e applicare le leggi della dinamica di Newton.

Risulta evidente, tanto

8000 dal grafico quanto dalla

7000 formula, il motivo per il

corpo quale nessun corpo

6000 materiale può essere

5000 accelerato ad una

del 4000 velocità pari a quella

massa della luce.

3000 – http://informatici.altervista.org

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Infatti se v = C si

2000 annulla il denominatore

della frazione quindi la

1000 massa tende all’infinito.

Dinamica classica

La dinamica classica si prefigge lo scopo di scoprire le cause che determinano una “accelerazione”

nei corpi causandone il movimento o, al contrario, arrestandone il moto.

Queste “cause” prendono il nome di “forze” e sono determinate dalle interazioni fra i corpi.

LE TRE LEGGI DELLA DINAMICA DI NEWTON

I) PRINCIPIO D’INERZIA

Un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo e uniforme fino a che non intervenga

una causa (forza) esterna a modificare questo stato di quiete o di moto rettilineo e uniforme.

(Nota: lo stato di quiete è un particolare stato di moto rettilineo e uniforme con v costante = 0).

In un “sistema accelerato” non vale il principio d’inerzia: lo stato di un corpo può cambiare anche

senza che si verifichi alcuna interazione fra i corpi (v. esempio del tram).

Un sistema di riferimento viene definito “sistema di riferimento inerziale” se è possibile verificare

che in quel particolare sistema di riferimento è valido il principio d’inerzia (almeno nei confronti

del tipo di esperimento che si intende effettuare). Il pianeta terra, per esempio, può essere

considerato un sistema inerziale per certi esperimenti (ad esempio oscillazione del pendolo in un

periodo di tempo relativamente breve) e non per altri (ad esempio oscillazione del pendolo in un

periodo di tempo relativamente lungo: v. esperimento del pendolo di Foucault).

Osservazione

Se un sistema di riferimento è inerziale allora tutti i sistemi di riferimento che si muovono con

velocità costante (moto rettilineo e uniforme) rispetto ad esso sono sistemi di riferimento inerziali.

Massa inerziale

Definiamo “massa” (inerziale) di un oggetto l’inerzia che ha l’oggetto stesso a cambiare il suo stato

di quiete o di moto rettilineo e uniforme. Quando si applica una “forza” a un oggetto questo

acquista un’accelerazione che è “inversamente proporzionale” alla sua massa inerziale. A parità di

forza applicata, quindi, un oggetto con massa inerziale maggiore acquisterà un’accelerazione

minore di uno con massa inerziale inferiore.

F a

m 1

1 a m

1 2 

= >> m << a

F a m

a

m 2 1

2

2

Per misurare la massa si utilizza una “massa campione”. Si applica la stessa forza sia alla massa

campione che a quella in esame. Si misurano le accelerazioni ottenute e si ricava il valore della

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m a

c c

massa cercata nel seguente modo: m (m e a indicano rispettiv. massa e accelerazione del

c c

a

campione).

Inoltre si verifica sperimentalmente che l’accelerazione acquistata dal corpo ha la stessa direzione e

lo stesso verso della forza applicata. Anche la forza, infatti, è una grandezza vettoriale.

II) SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA

La seconda legge della dinamica è una diretta conseguenza di quanto appena detto.

ad un corpo di massa “m” è uguale al prodotto della massa per l’accelerazione

La forza applicata  

acquistata dal corpo. In pratica si ha: .

 

F m a

Se ad un corpo si applicano più forze per ognuna è valida la legge di Newton. L’accelerazione

 n

acquistata dal corpo è determinata dalla “risultante” di tutte le forze applicate:  

m a F .

i

i 1

Ovviamente se si ha un “equilibrio di forze”, cioè se la risultante delle forze applicate è “nulla” si

avrà un’accelerazione uguale a zero.

III) PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE

S m e m interagiscono fra loro

1 2 cioè esercitano delle forze uno sull’altro

m

m 1

1 è un sistema isolato

S

F

F non ci sono influenze esterne sui due corpi

21

12

F è la forza esercitata da m su m (agisce su m )

12 2 1 1

F è la forza esercitata da m su m (agisce su m )

21 1 2 2

Il principio di “azione e reazione” afferma che queste due forze sono uguali in modulo e direzione,

ma hanno verso opposto: F = - F .

12 21

FORZA PESO 2

P = m g g = 9,8 m/s = accelerazione di gravità (forza con la quale la Terra e un oggetto si

attraggono). Come approssimazione

m consideriamo “piana”

la superficie terrestra,

g ma in realtà non lo è! P la Terra attira l’oggetto

forza con la quale

superficie terrestre

superficie terrestre P forza con la quale l’oggetto attira la Terra

La forza è una grandezza fisica “derivata”. -2

“Equazione dimensionale”: [F] = [M] [a] = [M L T ]

-2

Nel sistema MKS (normalmente utilizzato) si ha: F = Kg m s = 1 N (newton)

-2

Nel sistema CGS (ormai in disuso) si ha: F = gr cm s = 1 d (dina)

QUANTITA’ DI MOTO – http://informatici.altervista.org

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Definiamo “quantità di moto” di un oggetto il prodotto della sua massa per la velocità.

p = m v p è parallelo al vettore velocità e quindi tangente in ogni punto alla traiettoria percorsa

Nota 

  d v

 

F m a m

Nella dinamica classica (nella quale si suppone che la massa sia costante) si ha: .

dt

Nella dinamica relativistica, invece, la massa varia in funzione della velocità. Quindi l’applicazione di una forza

 

d p d

 

F ( m v )

non influisce solo sulla velocità di un corpo, ma sulla sua “quantità di moto”: .

dt dt

Quest’ultima è la definizione “corretta” di forza, valida sia per la dinamica classica che per quella relativistica.

Se ci troviamo in un sistema isolato come quello considerato in precedenza, abbiamo:

   

 

d p d p d p d p

1 2 1 2

  da cui, per il “principio di azione e reazione” si ha:  

F e F

12 21

dt dt dt dt

Si verifica uno “cambio di quantità di moto”: la quantità di moto persa (o guadagnata) dall’oggetto

uno viene guadagnata (o persa) dall’oggetto due.

   

d p d p d

1 2

Osserviamo anche che:      

0 ( p p ) 0 la somma delle quantità di moto

1 2

dt dt dt  

non varia rispetto al tempo (derivata nulla) quindi possiamo affermare che: p p è costante.

1 2

Principio di conservazione della quantità di moto

moto è costante. Infatti l’esempio da noi considerato su un

In un sistema isolato la quantità di

sistema isolato di soli due oggetti, può essere esteso al caso di un sistema isolato di “n particelle”.

    

n

Si avrà quindi:      

p p ......... p p costante p (quantità di moto totale del sistema).

1 2 n i

1

i

Attenzione! La quantità di moto delle singole particelle può variare (e in generale varia). È solo la

quantità di moto totale a rimanere costante.

Esempio

Un fucile di massa m = 5 Kg spara un proiettile di massa m = 20 gr a una velocità v = 100 m/s.

f p p

Calcolare la velocità di rinculo del fucile.

Condizione iniziale: p + p = 0 Condizione finale: p + p = 0

f p f p

  2 2

m v

    

2 10 10

p p

       

m v m v 0 v 0

, 4 m/s (con verso opposto rispetto a v ).

p

f f p p f m 5

f

Lezione 7 (12 ottobre 1999)

Vincoli: forze vincolari N = forza dovuta al

EQUILIBRIO DI FORZE

P = m g vincolo del piano

N che “bilancia” la

formza peso:

piano orizzontale perfettamente rigido P+ N= 0

(non subisce deformazioni)

P

= “reazione del vincolo”: forza esercitata dal piano sul blocco.

N – http://informatici.altervista.org

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(all’interno del piano sono presenti delle “forze molecolari” che a loro volta controbilanciano la

forza N evitando che il piano si deformi). In realtà la bilancia non misura P,

N= P= m g ma N che, su un piano orizzontale,

è esattamente uguale a P.

La bilancia funziona con la forza

“peso”, ma è poi tarata per dare il

N valore della “massa”.

bilancia è importante che il piano sia perfettamente orizzontale

Questo tipo di bilancia funziona creando un

equilibrio tra i “momenti” delle forze peso.

Se invece ci si trova su un piano inclinato bisogna scindere la forza P nelle sue due componenti P e

n

P . In questo caso non si avrà più N = P, bensì N = P .

t n

N  

P = P cos = m g cos

n

P

t  

P = P sen = m g sen

t

P N = P

n n

P 

In questo caso la forza con la quale il blocco schiaccia il piano non è più la forza peso, ma solo la

sua componente “normale” rispetto al piano (P ).

n

Non solo il modulo, ma anche la direzione di N è uguale alla direzione di P (ovviamente con verso

n

opposto) e non a quella di P.

La componente normale del peso è equilibrata dalla reazione del vincolo: P + N = 0.

n

La componente P invece tende ad accelerare il corpo lungo la direzione del piano.

t .

In assenza di forze frenanti (forze di attrito) si ha: P = m a, da cui: a = g sen

t

L’angolo  è l’angolo formato dal piano sul quale scorre il blocco rispetto alla direzione orizzontale

(su un piano orizzontale si ha quindi a = g sen 0 = 0 non si ha alcuna accelerazione dovuta

all’azione della forza peso). All’aumentare dell’angolo  si ha un aumento del modulo della

e, di conseguenza, un aumento dell’accelerazione e una diminuzione della forza con

componente P t  

la quale il blocco schiaccia il piano (caso limite: piano verticale  = 90° a = g e N = 0).

I VINCOLI PIU’ FREQUENTI

FILO

Esaminiamo il caso di un oggetto appeso ad un filo “inestensibile” (cioè che non si allunga quando

vi si appende un oggetto) a sua volta fissato a un piano indeformabile.

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EQUILIBRIO DI FORZE

T tensione del filo 

T+ P= 0 T+ m g = 0

P= m g

Esaminiamo ora quali forze agiscono nel filo:

T’ T’ + P + T = 0  T’ + m g + T = 0

Se consideriamo “trascurabile” la massa del filo

rispetto al resto del problema si ottiene:

T’  T

P= m g forza peso del filo

T reazione della tensione del filo

(forza esercitata dal blocco sul filo)

La tensione applicata dal blocco al filo si trasmette al soffitto: un filo inestensibile di massa

trascurabile trasmette semplicemente la tensione da un punto ad un altro.

Per ogni forza si può identificare una “azione” e una corrispondente “reazione” (uguale e contrario

secondo il terzo principio della dinamica). Non sempre però ci interessa conoscerle entrambe.

Nel caso del filo attaccato al soffitto, per esempio, non ci interessa la forza di reazione esercitata

dalle forze molecolari presenti all’interno della struttura del soffitto che ne impediscono la

deformazione o il crollo.

GUIDA CIRCOLARE ORIZZONTALE

Esaminiamo il caso di un oggetto che si muove all’interno di una “guida circolare” posta su un

piano orizzontale. Il corpo è vincolato dalla presenza della guida a compiere un percorso circolare.

Supponiamo inoltre che la guida sia “indeformabile”.

Supponiamo v = costante

Affinchè la pallina compia un percorso circolare è necessario

2

che si abbia una accelerazione “centripeta”: a = (v / R)

c

R La Forza centripeta necessaria per ottenere questa accelerazione

2

è fornita dal vincolo della guida: F = (m v ) / R.

c

F

c ’

A questa ovviamente corrispondere una forza di reazione F

c

(uguale in modulo e direzione, ma di verso opposto) che è la

v forza esercitata dalla pallina sulla guida.

LE FORZE DI ATTRITO – http://informatici.altervista.org

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Fino ad ora abbiamo sempre considerato delle superfici perfettamente “lisce” che non opponessero

nessuna resistenza al movimento degli oggetti.

Nella realtà però ciò non accade mai a causa della presenza delle “forze di attrito”.

Se immaginiamo di appoggiare un oggetto su un piano e poi di inclinare gradualmente il piano

stesso vediamo che il corpo non si mette in movimento fino a quando non raggiungiamo un certo

angolo di inclinazione (che varia in base alle caratteristiche del piano e dell’oggetto).

Fino a quando il corpo non si mette in movimento significa che la componente P della forza peso

t

(quella che dovrebbe determinare l’accelerazione del corpo) è esattamente equilibrata dalle “forze

di attrito”. In questo caso si parla di “attrito statico di strisciamento”, cioè di un attrito che si

manifesta su un oggetto fermo quando cerchiamo di metterlo in movimento facendolo strisciare.

La forza di attrito non è costante: aumenta proporzionalmente alla forza applicata fino a quando non

si raggiunge una situazione di “attrito massimo” oltre la quale il corpo inizia a muoversi.

F

a il corpo inizia a muoversi

F max

as da questo punto non si ha più

attrito statico, ma attrito dinamico

o F

Attrito dinamico

Attrito statico

Il valore “F (forza di attrito massimo) dipende da due componenti:

max”

as

 la forza (N = P ) che il corpo esercita sul piano di scorrimento;

n

 il “coefficiente di attrito statico” ( ): un parametro che dipende dalle caratteristiche delle

s

superfici che vengono a contatto.

  

Quindi: F max = N ; (possiamo anche dire che in ogni momento si ha F N).

as s as s

La direzione del vettore F è sempre uguale (ma di verso opposto) a quella della forza che causa il

as

movimento del corpo al quale F si oppone.

as

Attrito dinamico di strisciamento

A differenza della forza di attrito statico, la forza di attrito dinamico è costante.

  indica il “coefficiente di attrito dinamico” e N = P

Si ha: F = N (dove ).

ad d d n

Misura del coefficiente di attrito statico  

P = P cos = m g cos

N n

F

as  

P = P sen = m g sen

P t

t   

F N = P

P as s s n

n P   

F m g cos

as s

 – http://informatici.altervista.org

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Fino a quando l’oggetto non si muove significa che c’è “equilibrio di forze” nelle due direzioni:

 “ortogonale” al piano: P + N = 0

n

 “parallela” al piano: P + F = 0

t as  ,

Dalla seconda relazione otteniamo che F max = P , ma si ha anche F max = m g cos

as t as s

     .

quindi: m g sen = m g cos = tg

s s

Il “coefficiente di attrito” è determinato dal rapporto fra due forze, quindi risulta adimensionale.

Altri tipi di attrito

Oltre al tipo di attrito fin qui esaminato, ne esistono altri due tipi:

 attrito causato da un corpo che “rotola” (per esempio una ruota che gira). Il suo

attrito volvente: valore è generalmente molto basso.

 attrito viscoso: attrito esercitato da un fluido (un gas o un liquido) su un corpo che si muove

all’interno di esso. La direzione della forza di attrito è opposta a quella del

vettore v che indica la velocità di movimento del corpo.

Si ha: F = k v

av 

= coefficiente geometrico (“cx” dipende dalla forma dell’oggetto)

k

 = viscosità del fluido (dipende dalle caratteristiche del fluido stesso)

Esaminiamo il caso di un corpo in caduta libera in un fluido

-k v

m g 

Si ha: m a = F cioè:

m a = m g -k v

f l u i d o

la velocità iniziale uguale a zero: l’attrito, di conseguenza, sarà nullo. All’aumentare

Consideriamo

della velocità si avrà un progressivo aumentare dell’attrito viscoso. Ad un certo punto però la forza

di attrito viscoso controbilancerà esattamente la forza peso.

A questo punto (cioè quando mg - kv = 0) l’accelerazione diventa nulla e la velocità resta costante.

A causa della presenza dell’attrito viscoso, quindi, un corpo in caduta libera non può acquistare una

velocità superiore ad una certa velocità limite (dipendente dal coefficiente geometrico del corpo e

m g

v

dal coefficiente di attrito viscoso del fluido): .

max  

k

Lezione 8 (18 ottobre 1999)

Tipi di forze in Natura – http://informatici.altervista.org

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In Natura esistono solo quattro tipi di forze:

 Forze gravitazionali (si esercitano fra le masse: agiscono a livello macroscopico);

 Forze elettromagnetiche (si esercitano fra le cariche: agiscono fra le molecole; mantengono

unito l’atomo e sono responsabili delle “forze di attrito”);

 deboli: si trovano nei “decadimenti radioattivi”);

Forze deboli (o interazioni nucleari

 (si esercitano all’interno del nucleo atomico).

Forze nucleari

L’ordine di grandezza dell’intensità di queste forze è notevolmente diverso. Se poniamo idealmente

l’intensità delle forze nucleari pari a “1”, avremo che l’intensità delle forze deboli e dell’ordine di

-7 -2

10 , quella delle forze elettromagnetiche è dell’ordine di 10 e quella delle forze gravitazionali è

-38

dell’ordine di 10 . L’intensità di queste forze, però, varia notevolmente in base alla distanza che

divide i “corpi” sui quali agisce: l’intensità della forza gravitazionale, ad esempio, è inversamente

proporzionale al quadrato della distanza, mentre le forze nucleari sono molto forti solo per particelle

particolarmente vicine, ma decrescono molto rapidamente all’aumentare della distanza.

In realtà due oggetti non si “toccano” mai, infatti, quando la distanza fra di essi è

Nota: sufficientemente piccola, entrano in azione le forze elettromagnetiche: le cariche di segno

opposto di attirano e quelle dello stesso segno si respingono. I contatti fra due corpi (a

livello macroscopico) sono solo “apparenti”.

Il concetto di “campo”

Per spiegare come avvenga l’interazione fra due oggetti sottoposte alle varie forze, nell’Ottocento

Faraday introdusse il concetto di “campo”.

Ogni oggetto genera intorno a sé un campo (gravitazionale, elettrico, ecc.) che esiste in maniera del

tutto indipendente rispetto alla presenza di altri oggetti e che si estende all’infinito.

Per esempio: il Sole, possedendo una massa “M” genera intorno a sé un “campo gravitazionale” che

esiste comunque indipendentemente dalla presenza della Terra o di altri corpi celesti. Se inseriamo

la Terra all’interno del campo gravitazionale generato dal Sole vediamo che su di essa viene

esercitata una forza F che “attira” la Terra verso il Sole.

Una situazione analoga si ha per le forze elettromagnetiche che generano un “campo elettrico”.

Prodotto scalare 

a b = c c è uno scalare

c = a b cos

b Se: a = i a + j a + k a

x y z

b = i b + j b + k b

 x y z

a allora: a b = i (a b ) + j (a b ) + k (a b )

x x y y z z

 = 0, cioè quando i due vettori sono “paralleli”.

Il valore massimo si ottiene quando

Il valore minimo si ottiene quando  , cioè quando i due vettori sono “ortogonali”.

= ½

LAVORO DI UNA FORZA

Consideriamo un oggetto puntiforme di massa “m” che si muova sotto l’azione di una forza (il

concetto di “lavoro” è sempre legato a uno spostamento). dell’oggetto m

dW = lavoro infinitesimo della forza F che causa uno spostamento di ds

ds

m  – http://informatici.altervista.org

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dW = F ds = F ds cos  è una “grandezza scalare”

dW

F Nel SI il lavoro di misura in Joule ( J ): 1 J = 1 N 1 m

(nel sistema cgs si misurava in erg: dina cm)

Osservazione:

Tenendo conto delle proprietà del prodotto scalare di due vettori possiamo affermare che:

- dW assume il massimo valore positivo se F e ds sono paralleli e hanno lo stesso verso;

- dW assume il massimo valore negativo se F e ds sono paralleli, ma hanno verso opposto;

- dW assume valore nullo se F e ds sono ortogonali (ad esempio forza peso che agisce su un

oggetto che si sposta su un piano orizzontale).

Se consideriamo un punto che si muove lungo una traiettoria finita (da un punto A ad un punto B)

possiamo definire il “lavoro finito” W svolto dalla forza F: B

B B B B A

         

W dw F ds F ds cos F dx F dy F dz

    x y z

A A A A

ENERGIA CINETICA un’energia cinetica (o di movimento) che è pari

Quando un corpo si muove con velocità v questo ha

1 2

a:  (grandezza scalare sempre positiva che si misura in “joule”).

E mv

c 2

Teorema dell’energica cinetica 2

    

dv v

   

a a a u u

ds n t t n

dt r

m 

 var iaz .

var iaz .

F direz .

v

mod . v

2 

dv v 2

     

F m a m u m u    

dv v dv dv

t n  

          

dW F ds m u m u u ds m ds m v dt m v dv

dt r  t n t

 

dt r dt dt

 

ds u ds 

t

(solo la componente tangenziale della forza compie lavoro, la componente normale NO).

f

f f f 1 1 1

 

2 2 2

        

W dW m v dv m v dv m v mv mv W E E

     f i cf ci

2 2 2

 

i i i i

Il lavoro compiuto da una forza è uguale alla differenza fra l’energia cinetica finale e quella iniziale.

L’energia cinetica varia tutte le volte che varia il “modulo” della velocità (se si cambia solo la

direzione della velocità non si hanno variazioni di energica cinetica).

Questo teorema vale per “qualsiasi tipo di forza”. Nella dimostrazione abbiamo applicato solo

l’ipotesi che la massa fosse costante (e questo è sempre vero nella “dinamica classica”), non

abbiamo fatto alcuna ipotesi sulla natura della forza, quindi possiamo dire che vale per ogni F.

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Forze conservative il lavoro da essa svolto dipende SOLO dai punti “iniziale” e “finale”

Una forza è conservativa se

dello spostamento e NON dalla traiettoria seguita (es. forza peso, forze elastiche, ecc.).

Dimostriamo che la “forza peso” è una forza conservativa

 f

  

p m g j                

dw p ds ( m g j ) ( i dx j dy ) m g dy W m g dy m g y m g y

 i f



 

ds i dx j dy i

Il lavoro effettuato dipende solo dalla coordinata “y” del punto iniziale e del punto finale, non dalla

traiettoria percorsa, quindi possiamo affermare che la forza pesò è una forza conservativa.

ENERGIA POTENZIALE (o energia di posizione)

L’energia potenziale di un punto materiale dipende dalla sua “posizione” ed è “associata” alla

presenza di una “forza conservativa”. Anche questa si misura in Joule.

In presenza di una “forza conservativa” possiamo dire che: W = E - E .

pi pf

Ad esempio, nel caso precedentemente considerato, della forza peso si ha E = m g y + c

p

“c” è una costante che dipende dal valore di riferimento rispetto al quale calcoliamo l’altezza y (il

suo valore è praticamente ininfluente in quanto lavorando su “differenze” di energia potenziale e

non su valori assoluti la costante viene “eliminata” e non influisce sul risultato finale).

Teorema di conservazione dell’energia totale meccanica (vale solo per le forze conservative)

Quando sul moto di un corpo agiscono SOLO forze conservative si ha:

      

W E E E E da cui si ottiene : E E E E

cf ci pf pi ci pi cf pf

Se definiamo l’energia totale meccanica come: E = E + E , possiamo affermare che, durante un

c p

moto sotto l’azione di forze conservative, l’energia totale meccanica si mantiene costante.

Possiamo anche dire che:     

W E E .

c p

Si ha uno trasformazione di “forme di energia”: ciò che viene perso come energia cinetica viene

acquistato come energia potenziale e viceversa.

Lezione 9 (19 ottobre 1999)

Abbiamo dimostrato che la forza peso è una forza costante.

 

Sappiamo anche che la forza peso: p m g è una forza costante in modulo, direzione e verso

(nell’ipotesi di essere sufficientemente vicino alla superficie terrestre da poter tralasciare la

curvatura della Terra e la variazione di g in base alla distanza dal centro della Terra).

È possibile estendere la dimostrazione effettuata per la forza peso a tutte le forze costanti

(prendendo un sistema di riferimento diretto secondo la direzione della forza stessa) e affermare

che: le forze “costanti” sono tutte “conservative”.

Quindi, in presenza di forze costanti, vale il “principio di conservazione dell’energia meccanica”.

Macchina di Atwood Ipotesi: - la carrucola non gira (altrimenti si avrebbe un consumo di

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energia cinetica per far girare la carrucola);

2T non sono presenti “forze di attrito” di nessun genere;

-

- la massa del filo è trascurabile;

Proviamo a calcolare la velocità delle due masse (si noti che è la stessa per entrambe) quando la

h h).

massa m è scesa di (quindi, analogamente, la massa m sarà salita di

2 1

 

1 2 h ( m m ) g

2 2 1

          

Supponiamo v 0

, si avrà : h a t t v a t 2 h a 2 h

0 

2 a ( m m )

2 1

Lo stesso risultato si potrebbe ottenere effettuando delle “considerazioni energetiche”, cioè

applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica (si noti che è possibile in quanto

nel sistema agisce solo la forza peso che è una forza conservativa).

Si tenga conto che le considerazioni energetiche devono essere fatte sul “sistema” nella sua totalità

e non sulle singole masse.

(    )  (    )

E E E E E E E E

c

1 c 2 p

1 p 2 i c 1 c 2 p 1 p 2 f

1 2

0  0    (  )  (   )  (   )

m gh m gh m m v m g h h m g h h

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

2 (  )

m m g

1 2 2 1

(  )  (  )  (  ) da cui :  2 

m m v m g h m g h v h

1 2 1 2

2 (  )

m m

2 1

Pendolo semplice Abbiamo un filo di massa trascurabile con, appeso al fondo, un oggetto di

massa “m”. Il moto di quest’ultimo è vincolato a causa della presenza del

filo. L’oggetto percorre una traiettoria circolare di raggio “l”

Nella posizione di equilibrio si ha: T + m g = 0 T = m g

  .

In generale si ha: T = P = m g cos e P = m g sen

n t

l È immediato verificare che la tensione massima si ha nel punto di

equilibrio, mentre, all’aumentare dell’angolo  si ha una corrispondente

diminuzione del modulo di T. Se, idealmente, fosse possibile raggiungere

una posizione orizzontale si annullerebbe la tensione del filo.

T Invece, dal momento che a = P / m, si verifica che il modulo

t

P h

t dell’accelerazione aumenta all’aumentare dell’angolo . Nella posizione

1

P

n di equilibrio si ha invece accelerazione nulla.

h

mg 0 In assenza di attrito il pendolo si muoverebbe all’infinito tra  e -.

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Conservazione dell’energia

In qualunque punto del movimento del pendolo (trascurando la presenza delle forze di attrito) si ha:

1 2

    0      2   2 (

1  cos  )

E E E E mgh mv mgh v g h g l

ci pi cf pf 1 0

2

In assenza di forze dissipative il pendolo compie delle “oscillazioni persistenti” intorno alla propria

posizione di equilibrio.

Se fossero presenti delle forze dissipative si avrebbero invece delle “oscillazioni smorzate”.

Piccole oscillazioni

Quando l’angolo  è abbastanza piccolo (cioè sia tale che “sen   ”) si può dimostrare che le

oscillazioni compiute dal pendolo sono delle “oscillazioni armoniche”.

2 2

d t d t g g

 sen         sen     da cui si ha :    sen(   

)

a g l l t

0

2 2

dt dt l l

è l’accelerazione angolare; 

( è la pulsazione del pendolo; il segno - compare perché la forza che

agisce sul pendolo è una “forza di richiamo” che tende a riportarlo nella posizione di equilibrio,

quindi l’accelerazione ha sempre verso opposto a quella nella quale avviene il movimento).

g

2

Si ha anche   cioè la pulsazione del pendolo è determinata solo dal valore di g e dalla

l 

2 l

lunghezza del filo (non dipende dalla massa attaccata al filo) e si ha: .

  

T 2

 g

(Un pendolo lungo 1 m ha un periodo di oscillazione di circa 2 secondi).

Se gli angoli sono più grandi le oscillazioni sono sempre periodiche, ma non sono più armoniche.

Forze elastiche “contrastano le deformazioni”.

Sono delle forze che

Quando si deforma un oggetto si creano al suo interno delle forze proporzionali alla deformazione

stessa che, una volta eliminata la forza che l’aveva causata, tendono a eliminare la deformazione

ritornando alla situazione iniziale (sempre che non sia stata superata la caratteristica di “elasticità”

propria del corpo che è stato deformato).

Un classico esempio è quello di una “molla”.

Ipotesi: - la massa della molla è trascurabile;

m è la lunghezza della molla “a riposo”;

- l

l Si ha: - la molla è stata allungata di “x”

F - è una “forza di richiamo” che tende a riportare la

F

molla nella sua situazione di “equilibrio” (a riposo);

m – http://informatici.altervista.org

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l + x 26

k x (k è detta “costante elastica” e dipende dal materiale con cui è costruita la molla)

Si ha: F = -

Energia potenziale elastica f f 1 1

2 2

            

dW F d l k x d x k x dx W dW k x dx kx kx

  i f

2 2

i i

Il lavoro compiuto dipende solo dall’allungamento della molla: la forza elastica è una forza

conservativa. 1 2 

Definiamo “energia potenziale elastica”:  

E kx cost W = E - E = E - E .

pi pf cf ci

p 2

Vale il principio di conservazione dell’energia meccanica.

In una situazione fisica reale è possibile che si debbano considerare contemporaneamente più

energie potenziali diverse (ad esempio nel caso di un oggetto “appeso” a una molla), in questo caso

  

si può affermare che:     cioè si ha :   costante

E E E E E E .

ci pi cf pf c p

Lezione 10 (25 ottobre 1999) k x prende il nome di “legge di Hooke”.

La relazione: Forza elastica F = -

La costante elastica “k” si misura in N/m.

Quando si sposta un oggetto attaccato a una molla dalla sua “posizione di equilibrio” il sistema

“molla + massa” acquista energia. Dal momento che vale il principio di conservazione dell’energia

meccanica è evidente che questa “energia acquisita” deve essere fornita dall’esterno.

L’aumento di energia del sistema è uguale al “lavoro” compiuto dalle forze esterne.

Per effetto delle forze esterne che comprimono o allungano la molla il sistema acquista una certa

1 2

“energia potenziale iniziale” pari a k x (in questo momento si ha E = max e E = 0).

p c

0

2

Quando si elimina l’azione delle forze esterne lasciando l’oggetto libero di muoversi quest’ultimo

sarà soggetto all’azione di una “forza di richiamo” che tenderà a riportare l’oggetto nella posizione

di equilibrio. Il sistema perderà gradualmente energia potenziale che si trasformerà in energia

cinetica. Una volta raggiunta la posizione di equilibrio si avrà: E = 0 e E = max.

p c

Il sistema continua comunque a muoversi nella stessa direzione ritrasformando gradualmente

energia cinetica in energia potenziale fino a raggiungere la posizione “-x ” nella quale si avrà

0

nuovamente E = max e E = 0.

p c

È evidente che il sistema avrà velocità massima nel punto di equilibrio e nulla nei due punti estremi;

per l’accelerazione invece si avrà un massimo nei due estremi e zero nel punto di equilibrio.

In assenza di forze di attrito il sistema oscilla indefinitamente tra la posizione x e la posizione -x .

0 0

Si può dimostrare che si tratta di “oscillazioni armoniche”.

2 2

d x F kx d x k

         cos(   

)

a x x x t

0

2 2

dt m m dt m

k m

 

dove la pulsazione è uguale a , da cui si ottiene che il periodo T è uguale a 2 .

m k

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 che compaiono nell’equazione del moto armonico dipendono dalle condizioni iniziali

I valori x e

o

del sistema. Il periodo di oscillazione invece dipende solo dalle caratteristiche del sistema (massa e

costante elastica della molla), ma, come nel caso del pendolo, non dipende dall’allungamento x .

0

Il tempo impiegato per compiere un’oscillazione completa (in assenza di attrito) è indipendente

dall’ampiezza dell’oscillazione stessa (se l’oscillazione è più ampia risulterà maggiore la velocità).

Nella realtà la presenza delle forze d’attrito genera delle “oscillazioni smorzate” fino a fermare il

sistema nella sua posizione di equilibrio (si ha: presenza di attrito viscoso).

   

F k x v

2 2

oscillazione “teorica” (senza attrito) oscillazione “smorzata”

d x dx d x k dx

         

F m a m kx da cui si ricava : x .

2 2

dt dt dt m m dt

La soluzione di questa equazione differenziale del secondo ordine corrisponde all’equazione del

“moto armonico smorzato”. Il fattore di smorzamento (che dipende dalla velocità e dalla massa

dell’oggetto) causa l’introduzione nella soluzione di un esponenziale negativo.

Massa “appesa” a una molla

Per misurare le forze spesso si usa un “dinamometro” il cui principio di funzionamento è basato

sulla “misura” dell’allungamento di una molla sotto l’azione di una forza.

Posizione di equilibrio

Situazione iniziale la molla si è

la molla si allunga sotto allungata di una

l l + x

l’azione della forza peso: quantità “x” tale

che P = F

F

P = m g P = m g

Si raggiunge la posizione di equilibrio quando la forza peso è bilanciata esattamente dalla forza

mg

elastica della molla, quindi si avrà:   

mg kx da cui : x .

eq eq k

Nella situazione iniziale si ha: E = 0 - E = 0 - E = max.

cinetica pot.molla pot.peso

Quando l’oggetto viene lasciato libero la molla si allunga verso il basso: si ha una perdita di energia

potenziale della forza peso che si trasforma in energia cinetica e energia potenziale elastica.

Una volta raggiunta la posizione di equilibrio l’oggetto continuerà a muoversi trasformando

l’energia cinetica acquistata in energia potenziale elastica raggiungendo una posizione simmetrica a

quella iniziale rispetto al punto di equilibrio (allungamento totale: l + 2x ).

eq

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In questo caso si ha un bilancio della “conservazione dell’energia” con due diverse energie

potenziali (peso e elastica).

1 1 2 mg

2 2

       

mgh mgh kx mg ( h h ) kx x 2x (x = allungamento totale

i f i f eq



2 2 k

x

molla)

Interazione gravitazionale e “legge di gravitazione universale”

Prese due masse puntiformi poste a una certa distanza “r” fra queste due masse si esercita una forza

di tipo attrattivo direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al

m m

1 2

quadrato della distanza:   

F F G

21 12 2

r -11 2 2

(G = costante di gravitazione universale = 6.67 10 N m / Kg ; la misura di questa costante è

molto “delicata” in quanto bisogna supporre che le due masse interagiscano solo fra di loro, senza

interferire con altre masse del mondo esterno).

Osservazione

Il concetto di “massa gravitazionale” è teoricamente diverso da quello di “massa inerziale”.

Infatti la “massa gravitazionale” è la proprietà di un oggetto che fa sì che esso interagisca con altri

oggetti attraendoli e venendo a sua volta attratto da essi.

La “massa inerziale” invece è l’inerzia che ha un corpo a cambiare il suo stato di quiete o di moto

rettilineo e uniforme.

In realtà si può dimostrare che hanno lo stesso valore, si può quindi parlare genericamente di

“massa” senza distinguere tra “inerziale” e “gravitazionale”.

Supponiamo che una delle due masse sia ferma (per esempio se è molto maggiore dell’altra oppure

se è fissata). Consideriamo solo la forza che agisce sulla massa in movimento.

m 2

F

m 1 

m m

1 2

 

F G u u : versore

r r

2

r

La Forza di gravità è una “forza centrale”, ciò diretta sempre verso uno stesso punto che viene detto

“centro di forza” (sarebbe centrale anche se avesse verso opposto).

Energia potenziale gravitazionale

Dimostriamo che il lavoro fatto dalla forza gravitazionale dipende solo dal punto iniziale e da

quello finale e non dal percorso compiuto.

m 2   

m m m m m m

1 2 1 2 1 2

           

dW F ds G u ds G ds cos G dr

r

2 2 2

r r r

r i m 2

 r dr è la proiezione dello spostamento ds in direzione radiale.

m f

1

f f  

dr G m m G m m

1 2 1 2

     

W dW G m m : il lavoro svolto non dipende dalla traiettoria.

 

1 2 2

r r r

i i f i – http://informatici.altervista.org

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m m

1 2

Possiamo quindi definire l’energia potenziale gravitazionale:  

E G e affermare che,

p r

come nei casi precedenti si ha: W = E - E .

pi pf

La forza gravitazionale è una forza centrale. Si può dimostrare che tutte le forze centrali sono

conservative (si può applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica).

la forza peso (studiata in precedenza) è un caso particolare di “interazione gravitazionale”.

Nota:

Conoscendo il valore della massa e del raggio della Terra è possibile calcolare il valore di g.

24

m m m 5 .

98 10 Kg m

11

T T

      

P G mg g G 6 . 671 10 9,8313... .

 

2 2 2 2

R R s

6

6 .

37 10 m

T T

In realtà è abbastanza facile calcolare sperimentalmente il valore di g.

Questo procedimento è stato applicato in senso inverso per calcolare la massa della Terra.

Lezione 11 (26 ottobre 1999)

Relazione tra forza ed energia potenziale (nelle Forze Conservative).

f : il lavoro compiuto dipende solo dal punto iniziale e da quello finale.

   

W F ds E E

 pi pf

i  coordinate spaziali “cartesiane”

Energia di posizione: E = f (x, y, z)

p 

E , ) coordinate spaziali “sferiche”

= f (r,

p

(r  

= raggio della terra, = latitudine, = longitudine)

Superfici equipotenziali

Una “superficie equipotenziale” è il luogo dei punti nei quali si ha E = costante.

p

La forma della superficie equipotenziale dipende ovviamente dall’equazione che esprime E .

p

Esempio: Forza peso E = m g y (solo funzione di y)

p

Le superfici equipotenziali sono dei piani paralleli alla superficie terrestre.

m m

1 2

 

Forza gravitazionale E = G (solo funzione di r)

p r

In questo caso è più pratico utilizzare le coordinate polari.

Le superfici equipotenziali sono delle superfici sferiche.

Si osserva anche che il vettore di una forza conservativa è diretto sempre ortogonalmente alla sua

superficie equipotenziale e punta nel verso nel quale l’energia potenziale decresce.

Infatti se ci muoviamo lungo una superficie equipotenziale si ha E = costante e quindi W = 0.

p

     

Dal momento che W F ds F ds cos 0 si deve avere necessariamente = 90° (assumendo che

sia lo spostamento che la forza abbiano modulo diverso da zero).

che esprime l’energia potenziale è possibile ricavare il vettore della

Conoscendo la formula

corrispondente forza conservativa F. – http://informatici.altervista.org

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f è il “differenziale

Infatti visto che: possiamo dire che la quantità

    

W F ds E E F ds

 pi pf

i

esatto” della funzione E cambiato di segno.

p

  

E E E

p p p

   

dE dx dy dz variazione della funzione E al variare di x, y e z (di dx, dy e

p

p   

x y z gradiente di E

dz). p

   

F i F j F k F   

E E E

 

 x y z p p p

  

       

F ds F dx F dy F dz dx dy dz

  

x y z   

x y z

  

  

ds i dx j dy k dz

  

E E E

p p p

       

da cui si ha: F F F cioè : F grad ( E ) .

x y z p

  

x y z

“gradiente di E ” è una grandezza vettoriale.

Nota: E è una grandezza scalare, mentre il

p p

Si ha un gradiente ogni volta che si ha una “variazione” nella grandezza considerata.

Dal momento che F = - grad (E ) si può dire che il gradiente è sempre ortogonale alla superficie

p

verso nel quale l’energia potenziale aumenta.

equipotenziale e punta nel

(grafici dell’energia potenziale)

Punti di Equilibrio

Disegniamo una ipotetica curva che rappresenti un energia potenziale funzione della sola x:

A I punti A e B sono detti “punti di equilibrio”.

E p In questi punti la risultante delle forze applicate è nulla.

Un corpo inizialmente fermo in uno di questi punti vi può

rimanere indefinitamente, cioè fino all’intervento di una forza

che sia in grado di “allontanarlo”.

un punto di equilibrio è un

E punto nel quale la derivata

p

   

F i 0 parziale si annulla, è quindi

x un punto di “massimo”

B oppure di “minimo”.

x x x

A B

Il punto A è un “punto di equilibrio instabile”: non appena un corpo inizialmente fermo in A si

sposti, per una causa qualsiasi, in una delle due direzioni le forze legate all’energia potenziale

tenderanno ad allontanarlo definitivamente dal punto di equilibrio.

Il punto B è un “punto di equilibrio stabile”: non appena un corpo inizialmente fermo in B si sposti,

per una causa qualsiasi, in una delle due direzioni le forze legate all’energia potenziale tenderanno a

riportarlo nella posizione di equilibrio stabile.

F < 0 F > 0

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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Fisica I. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: La fisica è una “scienza sperimentale”, Misura di grandezze fisiche, Leggi fisiche, Equazioni dimensionali, Grandezze fisiche “scalari” e “b”, Cinematica del punto, ecc.


DETTAGLI
Esame: Fisica I
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2000-2001

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Dodero Maria Adele.

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