Fisica sperimentale - appunti e riassunto lezioni a mano

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

• Punto materiale: corpo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui può muoversi.
• Cinematica: ramo della meccanica che descrive il moto di un corpo.
• Traiettoria: insieme dei punti occupati successivamente dal punto in movimento ed è una curva continua nello spazio.

OP o r(t) vettore posizioneOP = OP_x + OP_y + OP_z = xi + yj + zkvettori componente

La variazione di posizione lungo la traiettoria nel tempo definisce il concetto di velocità e le variazioni della velocità con il tempo introduce la grandezza accelerazione — derivate.

Le grandezze fondamentali in cinematica sono lo spazio, la velocità, l’accelerazione e il tempo.

La quiete è un particolare tipo di moto in cui le coordinate restano costanti e quindi velocità e accelerazione sono nulle rispetto al sistema di riferimento.

MOTO RETTILINEO

Eq. moto x_p = x(t)Vettore posizione OP = x(t)iTraiettoria: asse xAsiura curvilinea: x(t)

velocità nel moto rettilineot = t₁ → x = x₁t = t₂ → x = x₂Lo spostamento del punto nell'intervallo Δt = t₂ - t₄ èΔx = x₂ - x₁.

La velocità media v_m = Δx / Δt = (x₂ - x₁) / (t₂ - t₁)[v_m]: [L] / [T]

v_m = Δx / Δt = tgα

(Più m stringo, più tende alla tangente stessa)Più pendente

Se suddividiamo l'intervallo Δx in numerosi piccoli intervalli percorsi nei

rispettivi intervalli di tempo, le corrispondenti velocità medie non sono uguali

tra loro e alla vm. Infatti, in un generico moto rettilineo la velocità non è

costante nel tempo. Δx suddiviso in un numero elevato di intervalli dx

ciascuno percorso nell’intervallo dt, definisce:

Velocità istantanea v(t) = lim_t2→t1 (x(t2) - x(t1)) / (t2 - t1) = x'_t(t1) = dx_t / dt_t

che rappresenta l'accelerata rapidità di variazione temporale della posizione

istantante considerata.

Se v > 0 Δx > 0 moto progressivo x(t2) > x(t1)

Se v = 0 Δx = 0 caso stazionario Δx = 0

Se v < 0 Δx < 0 moto regressivo x(t1) < x(t2)

Problema inverso:

Nota v(t) → x(t)

x

x(t)

x(t1)

x(t2)

t1

t2

v(t) = dx / dt

(vel)

(acc)

(spost)

x(t2) - x(t1) = ∫_t1^t2v(t)dt

x(t2) = x(t1) + ∫_t1^t2v(t)dt

condizione iniziale

Δx = ∫_t1^t2v(t)dt

vm = Δx / Δt = 1/Δt ∫_t1^t2v(t)dt

MOTO RETTILINEO UNIFORME

Se v(t) = cost -> v(t) = v

x(t) = x(t₀) + v(t - t₀)

v(t₀)dt = 0

x(t) = x(t₀) + v(t - t₀)

Se t₀ = 0

x(t) = x(0) + vt(t)

CINEMATICA NEL PIANO

Nel caso di un punto mobile nel piano, lo spostamento di P, la sua velocità e la sua accelerazione sono descritte da grandezze con caratteristiche direzionali oltre che numeriche e si chiamano vettori.

raggio vettore vettore posizione.

(t) = (t)i + (t)j

velocità vettoriale media:

m = (t + Δt) − (t) / Δt

velocità istantanea:

(t) = lim _Δt→0 (t+Δt)−(t) / Δt = d / dt

vettore spostamento:

Δ= (t+Δt)− (t)

se Δt→0 Δ→ tg alla traiettoriase Δt≠0 |PP|=|Δ − PP|

(t) = d = ds

d d

versore_s = tangente

Calcolo di (t) in rappresentazione cartesiana:

(t) = (t)i + (t)j

(t) = d / dt (x(t)i+ y(t)j)= dx / dt i+ dy / dt j

Problema inverso:

nota (t) ? (t)

(t) = d

dd= (t)dt∫_r(bo)^r(b) d= ∫_bo^b (t)dt

(t) − (b_o) = ∫_to^t (ξ)dξ

(t) = (b_o) + ∫_to^t (ξ)dξ

∫_to^t (ξ) dξ = ∫_to^t ((ξ)i+(ξ)j)dξ = ∫_to^t (ξ)dξi + ∫_to^t (ξ)dξj

MOTO CIRCOLARE UNIFORME (ω)

Traiettoria: circonferenza raggio R(t)=Rcosθi + y(ξ(t))j

(t) = Rcosθ

(t) = Rsinθ

(t) = velocità angolare

θ(t) = dθ / dt = ω = ^{csc θ}

Per O (fisso):

• V_x = 0
• V_y = 0
• V_z = 0
• u_x = u_x
• u_y = u_y
• u_z = u_z

Per O':

• u_x = dx/dt = 0
• u_y = d(ab)/dt = dr_O/dt ↔ dy - u_yO1 = -u_t
• u_t = -u_z
• u_z = -u_t + u₂

Trattazione generale per moto relativo traslatorio

r² = OO' + r¹

u² = d(OO')/dt + dr/dt

u² = u_t velocità di trascinamento

La velocità di trascinamento e la velocità rispetto al sistema di riferimento fisso di un punto del sistema di riferimento mobile che coincide, all'istante considerato, con la posizione del corpo in fase di studio.

u¹ = u₀ + u^t ↔ composizione galileiana delle velocità

Esempio: lancio oggetto da treno

u²_ext = u ↔ u_interno = 0 ↔ u²_int = u²_ext

â = d(ũ²)/dt + d(ũ¹)/dt

Se ũ² = cost. (moto rel. trasl. rett. unif.) → â_t = 0

â = â₁

Se ũ² ≠ cost. → â_t ≠ 0

Se (â_t) > |g|:

• Per O (fisso):
• â = g
• Per O':
• â = â_t + ã
• g = â_t + ã → ã* = g - â_t

r² = OO' + r¹

r² = x₂û_x + y₂û_y + z₂û_z

r¹ = x¹û_x + y¹û_y + z¹û_z

OO' = x_oû_x + y_oû_y + z_oû_z

d(r)/dt = d(OO')/dt + d(r¹)/dt = û

d(OO')/dt = (a¹û_x + a²û_y + a³û_z)

d(r¹)/dt

d/(x¹_ûx + y)

+ z²d(û_z)/dt

+ (x)('d(û₁)/dt + 'd(û₁)/dt + 'd(û₂)) = ∗