Fisica sperimentale A

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F F Fx y z∂x ∂y ∂z ( )∂ E ∂ E ∂ E⃗ P P P=− + + =−grad

Il vettore F possiamo anche esprimerlo come F i j k E P∂ x ∂ y ∂ z

Dove grad significa gradiente, la forza è quindi il gradiente dell’energia potenziale cambiato di segno.

TEOREMA DELLA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

“se le forze agenti sono conservative l’energia meccanica definita come la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale si mantiene costante”

−EL=EDim. per il teorema dell’energia cineticak; f k ;i−L=E −E poiché si tratta di una forza conservativaP ;f P ; i−E =E −E + =E +E E E E

Quindi k ; f k; i P ;i P ;f k ; f P ;f k ;i P ;i

Per tanto la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale è sempre la stessa nei punti iniziali e finali. La somma di queste due energie (cinetica e potenziale) viene chiamata energia totale.

FORZA DI

GRAVITÁVerifica della conservazione dell'energia meccanica nella forza di gravità (forza conservativa): ¹/₂mv² = mgh E_z = h - gt Sappiamo che dove la quota in realtà è P: ¹/₂mv² + mgh = E Sappiamo anche che dove la velocità è K: ¹/₂mv² + mgh = K L'energia totale della particella, pur essendo in funzione del tempo, è indipendente dal tempo, ovvero costante. FORZA ELASTICA Verifica della conservazione dell'energia meccanica nella forza elastica (forza conservativa): F_elastica = -kx dL = Fdx Se la molla subisce un allungamento infinitesimo, la forza compie un lavoro infinitesimo: dL = -kxdx = -kL L'energia totale della particella, pur essendo in funzione del tempo, è indipendente dal tempo, ovvero costante. - So che il moto di una massa collegata ad una molla segue la legge oraria x(t) = Asin(ωt) ¹/₂kA²sin²(ωt) = E - So che la

La velocità di una massa collegata a una molla segue la legge:

v(t) = ωAcos(ωt)

in quanto sappiamo che:

K = 1/2mω^2A^2cos^2(ωt)

E(t) = K + 1/2mω^2A^2sin^2(ωt) + 1/2kA^2cos^2(ωt)

L'EQUILIBRIO MECCANICO

Equilibrio significa che le forze agenti su un punto materiale si annullano e se la condizione iniziale è di quiete non si produce alcun moto.

Affinché una forza F sia uguale a 0 vi è bisogno che la derivata dell'energia potenziale sia uguale a 0, ovvero che il nostro corpo si trovi nei punti d'equilibrio cioè i punti di massimo o di minimo dell'energia potenziale.

3 casi d'equilibrio:

F > 0 [(dE/dx) < 0]

F < 0 [(dE/dx) > 0]

OSCILLAZIONI FORZATE

Le si osserva quando si aggiunge una forza alla massa di un oscillatore armonico.

F(t) = Fsin(ωt)

Questa nuova forza prende il nome di "forzante".

si tratta dunque di una forza che varia nel tempo con una legge sinusoidale che arriva ad avere un valore massimo F e che ha una frequenza ω. Avendo questa nuova forza si deve riscrivere l'equazione della dinamica: d^2x/dt^2 = -kx + F*sin(ωt)/m Soluzione possibile considerando x= A*sin(ωt): d^2x/dt^2 + (ω^2)*x = F*sin(ωt)/m Dal grafico si può notare come se la frequenza del termine forzante è prossima a quella di oscillazione libera allora l'ampiezza di A cresce. Se invece la frequenza del termine forzante si allontana anche l'ampiezza A diminuisce. Frequenze molto minori di ω abbiamo uno sfasamento nullo. Frequenze molto maggiori di ω hanno uno sfasamento che tende al valore limite (π/180°). In un oscillatore armonico può poi agire anche l'attrito, l'unico tipo di attrito che può esserci è quello viscoso cioè quello proporzionale.

alla velocità. La presenza dell'attrito fa sì che l'ampiezza delle oscillazioni diminuisca progressivamente nel tempo, per questo motivo si parla di oscillazioni smorzate (l'attrito rende più smussata la curva).

SISTEMI DI PARTICELLE

3° principio della dinamica: "se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora il corpo B esercita una forza uguale e contraria sul corpo A. Le due forze sono dirette come la congiungente dei due corpi (supposti puntiformi)".

QUANTITÀ DI MOTO

P = m * v

Per la legge fondamentale della dinamica sappiamo che F = m * a = m (dv / dt).

m * dv / dt = F

P = m * v

Energia cinetica: K = 1/2 * m * v^2

Conservazione della quantità di moto

Supponiamo di avere un sistema di due particelle nel quale vale il terzo principio della dinamica.

In un intervallo di tempo (dt) la variazione della quantità di moto (dP) di una particella su cui agisce una forza F è

uguale a: dp=Fdt legge fondamentale della dinamica espressa in funzione della quantità di moto.
dp = F * dt
dp = F * dt + *dtdp = dp * F
A BA + dp = F * dt + *dtdp = dp * F
A B BA AB = F * dt * dtdp B AB = -FF
Per il 3 principio della dinamica sappiamo che AB BA * dt - F * dt = 0
dp = F * BA BA
La quantità di moto quindi non varia per effetto delle forze reciproche tra le particelle, quindi se in un sistema fisico non agiscono forze esterne si parla di sistema isolato.
"La quantità di moto di un sistema isolato è costante. Le forze interne che agiscono fra le particelle del sistema non possono provocare variazioni della quantità di moto totale del sistema"
URTI Inizialmente le due particelle si muovono una contro l'altra con velocità V V ed in questa fase il moto è inerziale.
Le due particelle arrivano a contatto e si manifestano delle forze che provocano la variazione del moto. Questa è definita come la fase

misteriosa in quanto non siconoscono con precisione i fenomeni fisici.

Dopo l'urto le due particelle ripartono ciascuna con una diversa velocità finale V_1f e V_2f.

Per il terzo principio della dinamica la forza che agisce su una particella è sempre uguale e contraria alla forza che agisce sull'altra. Per tanto la quantità di moto in un sistema isolato si deve mantenere costante.

P = P dove P = P + P = m * V + m * V_f → i f i 1i 2i 1 1i 2 2i

P = P + P = m V + m * V_f 1f 2f 1 * 1f 2 2f

Quindi m * V + m * V = m V + m * V₁ 1i 2 2i 1 * 1f 2 2f

- Caso particolare (due corpi che dopo un urto si uniscono formandone uno solo)

Carrello fermo (V = 0) messo in moto da un proiettile

P = m * V_i i P = P m * V = (m + M) * V → →i f i f

P = (m + M) * V_f f

Essendo V = 0 abbiamo che V = (m * V_i) / (m + M) i f i

- Urti elastici (ovvero un urto nel quale agiscono solo forze conservative, nel quale vale il teorema della conservazione dell'energia meccanica)

Prima e dopo l'urto

L'energia meccanica rimane la stessa e non agiscono forze, quindi l'unica energia posseduta è l'energia cinetica che deve essere uguale prima e dopo l'urto.

1₁ + 1₂ = 1_1i + 1_2i = 1_1f + 1_2f

Adesso che ho le due equazioni posso risolvere il sistema a due incognite:

{ *V₁ + *V₂ = m₁ *V_1i + m₂ *V_2i

{ *V₁ + *V₂ = m₁ *V_1f + m₂ *V_2f

( ) ( )* -V₁ = m₁ * -V_1i + m₂ * -V_2i

( ) ( ) ( ) ( )* -V₁ * +V₂ = m₁ * -V_1i * +V_2i + m₂ * -V_2i * +V_2f

( ) ( )+ = +V₁ V₂ V₁ V₂

Dividendo le due equazioni otteniamo che:

( ) ( )-V₁ = -V₂ V₁ V₂

1_i - 2_i = V₁ - V₂

( ) ( )-m₂ m₁ 2 1 = V₂ V₁ V₂

Soluzioni:

( ) ( )-m₂ m₁ 2 1 = V₂ V₁ V₂

Se m = m

Se m << m₁ 2 1

Se m >> m₁ 2

{ {=0 =-V₁ V₂

{ =V =0V₂ V₁

i 2 f{ =VV 1 f 1 i=2V V2 f 1 i- Urti Anelastici

Si verificano quando durante un urto agiscono delle forze non conservative quindi l'energia meccanica non si conserva. Anche in un moto anelastico però la quantità di moto si conserva perché per il calcolo di questa non si fanno considerazioni sulle forze agenti. Cambia invece l'energia cinetica che prima e dopo l'urto non assume lo stesso valore, questo appunto perché durante un urto si sono verificate forze non conservative che hanno prodotto deformazioni irreversibili.

MOTI ROTAZIONALI

Una importante grandezza fisica che viene introdotta in questi nuovi moti è quella che prende il nome di momento angolare o momento della quantità di moto in quanto ha lo stesso ruolo della quantità di moto nei fenomeni traslazionali. Il momento angolare l ha un valore che dipende dal punto rispetto al quale viene valutato (o nome del punto) e la posizione rispetto al punto viene identificata con

Il vettore r si ottiene con la formula r = r*p*sin(θ)*l

Il verso del vettore l si ottiene con la regola della mano destra (se i due vettori r e p sono paralleli il momento angolare è nullo)

Il modulo del momento angolare si calcola con la formula |r*p*sin(θ)| = |( ) * p| = Dpl * |r*sin(θ)|, dove Dpl è la distanza del punto O dalla retta che individua la direzione del vettore p.

Teorema del momento angolare: Costituisce l'equivalente della legge fondamentale della dinamica per i moti. La legge fondamentale per le rotazioni invece afferma che la derivata del momento angolare è uguale al momento della forza agente.