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di tipo termodinamico.

SCAMBI DI CALORE E LAVORO: supponiamo che la massa e la composizione di un sistema non

cambino; un caso comune è quello in ci non tutto il calore trasferito al sistema viene assimilato come energia

interna, ma una parte contribuisce all'aumento di volume. Una variazione di volume corrisponde sempre

all'esecuzione di un lavoro. Per cui se Q è la quantità di calore fornita al sistema, L è il lavoro rappresentato

dall'aumento di volume, quindi la restituzione di parte del calore all'ambiente. Q – L è il corrispondente del

calore trasformato in energia interna. Ogni trasferimento di energia subito da un sistema va preso col segno

positivo o negativo a seconda che l'energia sia ricevuta o ceduta dal sistema, infatti qualsiasi tipo di energia

ricevuta va ad aumentare l'energia interna del sistema mentre qualsiasi tipo di energia ceduta diminuisce la

sua energia interna.

Si tenga conto che il lavoro termodinamico è sempre associato a una variazione di volume, per cui nelle

trasformazioni isocore (a V costante) il sistema non esegue ne riceve lavoro.

LAVORO MECCANICO: fino ad ora abbiamo parlato solo di lavoro e calore termodinamico ma entrano in

gioco anche altre forme di energia come l'energia meccanica (cinetica e potenziale). Se viene eseguito lavoro

su un corpo, o su un sistema meccanico, questo lavoro si ritrova come aumento dell'energia cinetica dei

componenti del sistema (vedi Mulinello di Joule).

CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA

PRINCIPIO GENERALE DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA: se un sistema scambia energia (come

calore, energia radiante o lavoro), l'energia che esso possiede varia; l'energia ricevuta da un sistema aumenta

l'energia che esso possiede mentre un sistema che cede energia all'esterno, lo fa a spese dell'energia che esso

contiene.

E' opportuno sottolineare che anche lo scambio di materia modifica l'energia di un sistema (la materia infatti

contiene energia).

DEFINIZIONE DI SISTEMA: un sistema si dice:

CHIUSO: se non può scambiare massa ma può scambiare energia con l'ambiente.

– ISOLATO: se non può scambiare ne massa ne energia con l'ambiente.

– APERTO: se può scambiare massa ed energia con l'ambiente.

Si può quindi dire che l'energia non si crea ne si distrugge ma si trasforma e si trasferisce. L'energia totale di

un sistema isolato si mantiene costante, anche se può trasformarsi da una forma all'altra. Se invece il sistema

scambia energia con l'esterno, la sua energia varia nella stessa misura.

FUNZIONE DI STATO DELL'ENERGIA INTERNA: l'importanza concettuale dell'energia interna risiede

nel fatto che mentre il calore scambiato e il lavoro eseguito da un sistema nel passaggio da uno stato iniziale

a uno finale dipendono entrambi dalla particolare trasformazione che si esegue tra i due stati, l'energia

interna, invece, non dipende dalla particolare trasformazione, ma solo dagli stati iniziale e finale. Per cui si

può dire che l'energia interna è una funzione di stato:

Una funzione di stato dipende solo dallo stato del sistema, e non dal modo in cui tale stato viene

– raggiunto attraverso processi fisici anche molto diversi; in una trasformazione di un sistema da uno

stato a un altro, la variazione di una funzione di stato del sistema dipende solo da 2 stati, iniziale e

finale, e non dalle modalità della trasformazione che porta dall'uno all'altro.

Tanto il calore scambiato quanto il lavoro eseguito da un sistema in una trasformazione

– termodinamica non sono funzioni di stato; l'energia interna di un sistema, invece, in qualsiasi

trasformazione termodinamica, è una funzione di stato.

Per questo motivo non si parla di calore immagazzinato in un sistema, in quanto quello che si immagazzina è

l'energia interna. Inoltre a seconda della particolare trasformazione che si segue per passare da uno stato

iniziale a uno finale, il sistema scambia quantità diverse di calore e di lavoro, ma la stessa quantità totale di

energia, data dalla somma algebrica dei 2: Q + L = Δε (int)

L'energia interna è una grandezza macroscopica che rappresenta un valore medio sui costituenti microscopici

del sistema; in questo caso la somma delle energie immagazzinate nei componenti microscopici del sistema.

L'energia interna dipende ovviamente dai valori dei parametri che definiscono lo stato termodinamico del

sistema: nei casi più semplici P,V,T più altri parametri come concentrazioni, magnetizzazione, etc. La forma

esatta di questa funzione è molto complessa e non è definibile in forma generale nella maggior parte dei

sistemi fisici:

GAS IDEALE: il gas ideale è un sistema termodinamico semplificato in cui si possono calcolare

– parametri e funzioni termodinamiche. L'energia interna in questo caso è facilmente calcolabile in

base al fatto che le interazioni tra molecole sono trascurabili. In un gas monoatomico l'energia

interna è data dalla somma delle energie cinetiche di tutte le molecole o moltiplicando l'energia

cinetica media per il numero totale di molecole (Numero di moli x Numero di Avogadro = numero di

molecole): ε(int) = 3/2N Na Kb T + costante = 3/2N R T + costante

In un gas biatomico invece è:

ε(int) = 5/2N Na Kb T + costante = 5/2N R T + costante

Per cui posso concludere che in un gas ideale, l'energia interna dipende solo dalla sua massa (il num

di moli) e dalla sua temperatura assoluta, ma non dipende dal volume che esso occupa (ne dalla

pressione).

CALORI SPECIFICI: sappiamo che per ogni sistema termodinamico esistono infiniti calori

specifici, tra cui risultano importanti quelli corrispondenti a uno scambio di calore a volume costante

(cv) e a pressione costante (cp). Consideriamo una mole di gas monoatomico; se essa scambia calore

a volume costante non esegue lavoro e la quantità di calore scambiata (Q = cv ΔT) è uguale alla

variazione dell'energia interna: cv ΔT = 3/2 R ΔT

da cui ottengo: cv = 3/2 R

In un gas biatomico sarà: cv = 5/2 R

Tenendo conto dei 2 risultati si vede che l'energia interna di qualsiasi gas ideale si scrive come:

ε (int) = N cv T + costante = m cv T + costante

Si osservi che la variazione di energia interna in un gas perfetto in qualsiasi trasformazione dipende dal

calore specifico a volume costante e dalla variazione della temperatura.

Da questi valori posso ricavare la relazione tra i 2 calori specifici cv e cp; infatti se espando una mole di gas

dal volume V1 a V2 a pressione costante fornendo calore, con un aumento della temperatura da T1 a T2

ottengo:

Q = cp (T2 – T1) mentre il lavoro eseguito è L = P(V2 -V1) = R(T2 – T1). La relazione infine è:

cp – cv = R

TRASFORMAZIONI ADIABATICHE: sono un'altra importante categoria di trasformazioni termodinamiche

in cui il sistema non scambia calore con l'esterno. Ovviamente è un'astrazione in quanto non è possibile

riprodurre un ambiente che sia un isolante perfetto. Il primo principio per una trasformazione adiabatica si

riduce a: L = Δε (int)

METABOLISMO DEGLI ORGANISMI VIVENTI

Un organismo vivente è un sistema aperto che scambia costantemente materia ed energia con l'ambiente,

mantenendosi in uno stato stazionario grazie al flusso di materia ed energia che lo attraversa. La fonte di

energia degli animali è solo l'energia interna contenuta nei cibi, in sostanza energia chimica, immagazzinata

nei legami chimici delle molecole organiche. Il valore calorico di un alimento è definito come il calore

sviluppato dalla combustione di un grammo di esso.

Il primo principio della termodinamica fornisce un primo quadro dei processi metabolici. L'energia interna

utilizzata dall'organismo in un dato tempo si può determinare attraverso il volume di ossigeno che ha

utilizzato nei processi metabolici. Solo una frazione dell'energia che questi processi generano è convertita in

lavoro utile, mentre la rimante è convertita in calore. Se una persona in un intervallo di tempo Δ t svolge un

lavoro L e sviluppa una quantità di calore Q, ciò viene fatto a spese di un consumo di energia interna

metabolica: L/ Δ t + Q/ Δ t = - Δ ε(int)/ Δ t

E' proprio la diminuzione dell'energia interna dell'organismo che è compensata dall'assunzione di energia

interna con gli alimenti.

METABOLISMO BASALE: energia interna (potenza metabolica basale) che l'organismo utilizza durante il

sonno per mantenere le funzioni vitali. Si esprime in energia nell'unità di tempo e per unità di massa

corporea. LAVORO MECCANICO ed ENERGIA CINETICA

TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA: il lavoro eseguito da una forza qualsiasi (Lf) che agisce su un

corpo è uguale alla variazione dell'energia cinetica del corpo (vale per qualsiasi forza):

Lf = integrale di F> d s> = Δε(cin) = ½ m v2^2 – ½ m v1^2

Ciò è comprensibile per il fatto che una forza che agisce su un corpo imprime un'accelerazione e pertanto

modifica la sua velocità ed energia cinetica. Ovviamente se il lavoro è positivo, anche l'accelerazione è

positiva e la sua energia cinetica aumenta, mentre se il lavoro è resistente, esso viene eseguito a spese

dell'energia cinetica propria del corpo.

Nei sistemi reali dobbiamo però sempre tener conto delle forze d'attrito, che dissipano energia meccanica. Il

lavoro eseguito dall'attrito è resistente e porta a una diminuzione dell'energia cinetica del corpo e della sua

velocità. (2 corpi che sfregano provocano attrito che aumenta la loro energia interna, dovuta al moto di

agitazione delle molecole, aumentando la loro temperatura). L'energia cinetica a causa dell'attrito viene

quindi trasformata in energia interna.

FORZE CONSERVATIVE: per certi tipi di forze il lavoro meccanico è una funzione di stato (dello stato

meccanico del sistema). Una forza si dice conservativa quando il lavoro che essa esegue dipende solo dalla

posizione iniziale e finale, ma non dipende dal cammino percorso tra le 2 posizioni. Nel caso di forze

conservative possiamo aggiungere il lavoro che esse eseguono nella formula come differenza dei valori di

una funzione nei punti iniziale e finale: questa funzione si chiama ENERGIA POTENZIALE, corrispondente

alla forza specifica nella posizione in cui si trova il sistema. Per cui il lavoro eseguito da una forza

conservativa si può esprimere come differenza di una funzione di energia potenziale nei punti iniziale e

finale.

TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA: in un sistema meccanico soggetto

solo a forze conservative si conserva l'energia meccanica totale, cioè la somma dell'energia cinetica e

potenziale: ε(meccanica totale) = ε1(cin) + ε1(pot) = ε2(cin) + ε2(pot)

Questo è il caso puramente meccanico in cui non si ha dissipazione di energia, ma è solo un'astrazione in

quanto in natura non agiscono mai solo forze conservative (l'attrito non può essere eliminato

completamente). QUALITA' DELL'ENERGIA e IRREVERSIBILITA'

La qualità dell'energia e l'irreversibilità dei processi reali sono regolate dal 2 principio della termodinamica.

Per i processi reali, irreversibili, si tratta di stabilire in quale verso essi procedono spontaneamente in

determinate condizioni termodinamiche. Per ogni specifico processo irreversibile, reale, si introduce un

processo del tutto ideale, chiamato trasformazione reversibile, tra gli stati iniziale e finale, che possa essere

percorso in entrambi i sensi, attraverso i medesimi stati termodinamici (non avviene nella realtà). Dal

confronto tra questa trasformazione ideale e quella reale si può trarre la conclusione sulla direzione spontane

a di quest'ultima. Questo confronto introduce una nuova funzione di stato detta ENTROPIA.

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA (Enunciato di Kelvin): è impossibile realizzare una

macchina termica che, funzionando in modo ciclico, assorba calore da un'unica sorgente e lo converta

integralmente in lavoro; qualsiasi macchina termica ciclica deve disporre di almeno 2 sorgenti di calore a

temperature diverse, dalla più calda delle quali assorbe ad ogni ciclo una determinata quantità di calore, che

in parte utilizza per generare lavoro, ma in parte deve necessariamente cedere alla sorgente a temperatura più

bassa.

DIAGRAMMA DEL FLUSSO ENERGETICO: una macchina assorbe dalla sorgente a T più alta una

quantità di calore Q1, ma solo una parte di questo calore viene trasformata in lavoro L, mentre la parte

rimanente Q2 = Q1 – L viene ceduta alla sorgente a temperatura più bassa T2 < T1. Ne segue che il lavoro

utile fornito dal motore termico è uguale alla quantità netta di calore ricevuto:

L = Q1 – Q2

Sappiamo quindi che un motore di una macchina ci è tanto più utile quanto maggiore è il lavoro che ci

fornisce o quanto più piccola è la quantità di calore Q2 che non utilizza, cioè che esso cede alla sorgente

fredda, anche se essa non può mai essere ridotta a 0.

ɳ

RENDIMENTO: di un motore termico è il rapporto tra il lavoro utile che esso genera e la quantità totale di

energia Q1 che gli viene fornita: ɳ = L/Q = (Q1 – Q2)/Q1 = 1 – Q2/Q1 ɳ

il secondo principio stabilisce che deve sempre essere < 1

Q2 non può mai essere ridotto a 0, cioè la macchina non può mai utilizzare interamente tutto il calore che le

viene fornito.

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA (Enunciato di Clausius): il calore passa

spontaneamente solo da corpi a temperatura più alta a corpi a temperatura più bassa, ossia è impossibile una

trasformazione il cui unico risultato è il passaggio di calore da un corpo a temperatura più bassa ad uno a

temperatura più alta.

IRREVERSIBILITA': ogni processo termodinamico in determinate condizioni procede spontaneamente in un

verso, mentre non procede spontaneamente nel verso opposto. Il passaggio di calore è un esempio, come un

gas che si espande quando ha a disposizione un volume maggiore, mentre non avviene il processo inverso. I

processi irreversibili sono fondamentali in natura (i fenomeni vitali sono processi irreversibili). I processi

meccanici sono reversibili mentre quelli termodinamici no.

MACCHINA IDEALE di CARNOT: il fluido è contenuto in un cilindro C chiuso da un pistone P, le cui

pareti sono perfettamente isolanti e inerti, cioè non scambiano calore con il fluido interno ne lo lasciano

passare all'esterno; il fondo del cilindro è invece perfettamente conduttore, ma può venire chiuso da un fondo

F anch'esso perfettamente isolante. Il ciclo inizia quando il pistone è abbassato, il volume è minimo e la

pressione è massima, con la temperatura del fluido esattamente uguale a quella della sorgente calda, T1:

togliendo il fondo isolante del cilindro e ponendolo a contatto termico con la sorgente a temperatura

superiore T1. Si espande in modo infinitamente lento il fluido alla temperatura costante T1, assorbendo così

il calore Q1 dalla sorgente calda ed eseguendo un lavoro positivo di espansione. Terminata questa espansione

isoterma, per eseguire un ciclo occorre eseguire la compressione del fluido. Si chiude il cilindro con il fondo

isolante e si esegue un'ulteriore espansione adiabatica, infinitamente lenta, in cui il fluido si raffredda ed

esegue ulteriore lavoro. Quando il fluido raggiunge la temperatura T2 si toglie il fondo isolante e si mette in

contatto termico con la sorgente fredda., comprimendo in modo infinitamente lento, finchè il fluido ha

scambiato la quantità di calore Q2. Infine si esegue una nuova compressione adiabatica infinitamente lenta

chiudendo nuovamente il cilindro con il fondo isolante F, in cui il fluido si riscalda da T1 a T2; a questo

punto il ciclo si chiude e ricomincia la fase iniziale.

Il ciclo della macchina di Carnot è dunque costituito da 2 trasformazioni isotermiche reversibili

(un'espansione a temperatura T1 ed una compressione a temperatura T2 < T1) alterne e 2 adiabatiche

reversibili (un'espansione che raffredda il fluido da T1 a T2 ed una compressione che lo riscalda da T2 a T1).

Il rendimento di una macchina ideale che funzioni tra 2 temperature T1 e T2 assegnate non dipende dalla

natura del fluido con cui essa opera, ma solo dalle temperature T1 e T2:

ɳ (ideale) = 1 – T2/T1 = (T1 – T2)/T1

TRASFORMAZIONE REVERSIBILE: considerando il caso limite in cui un gas si espande in modo

infinitamente lento, la trasformazione risulta composta da una successione di stati di equilibrio, cioè è una

trasformazione reversibile. Quando la trasformazione viene eseguita lentamente, ma non in modo

infinitamente lento, è composta da stati molto vicini allo stato di equilibrio ma non lo sono esattamente; si

parla di TRASFORMAZIONI QUASISTATICHE. Per reversibile si intende anche una trasformazione che

può essere eseguita in entrambi i versi (la trasformazione inversa deve ripercorrere i medesimi stati percorsi

all'andata).

FORMULAZIONE QUANTITATIVA DEL SECONDO PRINCIPIO: relativa alle macchine termiche;

tenendo conto che tra tutte le macchine termiche che operano tra le stesse temperature T1 e T2, la macchina

ideale è quella che ha rendimento massimo: ɳ ɳ

<= (ideale)

e in forma esplicita: (Q1 – Q2)/Q1 <= (T1 – T2)/T1

FUNZIONE DI STATO ENTROPIA: il concetto di entropia è uno dei più complessi in fisica. Immaginiamo

una ruota ideale, su cui scorre l'acqua di massa M (o peso M g) che si conserva. Essendo la ruota ideale,

sfrutterà tutta l'energia meccanica potenziale dell'acqua ε(pot) = M g h; posso quindi esprimere la quantità

conservata nell'azione della ruota idraulica: M g = ε(pot)/h

Considero questa espressione un'indicazione per scegliere una grandezza termodinamica che possa

conservarsi nel funzionamento della macchina termica, ottenendo:

Q/T

che chiamerò FLUSSO DI ENTROPIA attraverso la macchina. Tanto maggiore è Q e la T finale della

trasformazione, tanto maggiore è il grado di irreversibilità della trasformazione.

Applicando questa considerazione al ciclo di una macchina termica ideale reversibile, concludo che:

Q1/T1 = Q2/T2

Ciò conferma che il flusso della quantità Q/T che entra nella macchina ideale è uguale a quello che esce.

Poichè la successione delle trasformazioni adiabatiche ed isoterme reversibili con cui si passa dallo stato

iniziale i a quello finale f è arbitraria (Q/T ha lo stesso valore per trasformazioni reversibili diverse tra gli

stessi stati), ricavo che la quantità indicata non dipende dalla trasformazione ma solo dagli stati iniziale e

finale. Introduco quindi una nuova funzione di stato,detta ENTROPIA, la cui variazione tra i due stati è

definita come: ΔS(i-f) = Sf – Si = ∑ Qi/Ti

Si tratta una trasformazione reversibile qualsiasi come una successione di infinite trasformazioni adiabatiche

ed isoterme reversibili infinitesime, cioè quando la sommatoria diviene un integrale definito:

ΔS(i-f) = Sf – Si = ∫dQ/T

il valore dell'integrale, calcolato lungo una trasformazione reversibile qualsiasi che connette 2 stati

determinati, non dipende dalla particolare trasformazione, ma dipende solo dagli stati i ed f: tale valore viene

quindi definito come la differenza della nuova funzione di stato entropia tra i due stati i ed f.

L'unità di misura dell'entropia è il J/K.

La funzione di stato entropia dipende dalle grandezze termodinamiche che definiscono lo stato, ma il suo

valore per uno stato termodinamico è determinato a meno di una costante additiva arbitraria: come sempre,

questa costante additiva arbitraria viene espressa come il valore dell'entropia di uno stato termodinamico di

riferimento arbitrario.

CALCOLO DELLA VARIAZIONE DELL'ENTROPIA: calcolo della differenza di entropia tra 2 stati

termodinamici. L'entropia è espressa in funzione delle grandezze macroscopiche che definiscono lo stato del

sistema; a seconda dello stato iniziale e finale, la variazione di entropia del sistema dipenderà da una o più di

queste grandezze. Il calcolo della variazione di entropia va eseguito lungo una trasformazione reversibile tra

2 stati, ma dato che l'entropia è una proprietà dello stato termodinamico, quello che si trova rappresenta la

differenza di entropia tra i 2 stati a prescindere dalla trasformazione con cui si passa dall'uno all'altro.

VARIAZIONE di ENTROPIA di UN SISTEMA in UNA TRASFORMAZIONE ISOTERMA: considerando

il caso di una trasformazione isoterma reversibile, sappiamo che la T rimane costante nella trasformazione e

si porta fuori dall'integrale: ΔS (isoterma) = 1/T ∫d Q(reversibile) = Q (rev)/T

L'entropia dello stato finale è maggiore di quella dello stato iniziale se il sistema riceve calore, mentre

diminuisce se il sistema cede calore al termostato.

CICLO REVERSIBILE: prendiamo in considerazione un sistema che subisca una trasformazione

termodinamica reversibile chiusa, ovvero un ciclo reversibile, in cui il sistema alla fine della trasformazione

torna allo stato iniziale. La variazione di entropia di un sistema che esegue una trasformazione ciclica

reversibile è nulla.

ENTROPIA E IRREVERSIBILITA': se consideriamo una macchina termica reale, irreversibile, la relazione

da cui partire è: Q1/T1 + Q2/T2 < 0

Confrontiamo questa relazione con quella per trasformazioni reversibili. Consideriamo quindi un ciclo

particolare in cui si vada dallo stato iniziale i allo stato finale f mediante 2 trasformazioni irreversibili, ma si

ritorni da f a i mediante le 2 solite trasformazioni reversibili: l'intero ciclo ha carattere irreversibile per cui

vale sempre la formula suddetta, ma il secondo termine non è altro che la differenza di entropia tra gli stati i

ed f, per cui la relazione si può scrivere come:

Sf – Si = ΔSif > Q1/T1

Il primo membro, costituito da trasformazioni reversibili, è indipendente dalla particolare scelta delle

trasformazioni, mentre al secondo membro si sceglie una trasformazione irreversibile qualsiasi, che si

scompone in una successione di trasformazioni irreversibili infinitesime, in ciascuna delle quali si scambia la

quantità di calore dQ(irr) alla temperatura T. Si giunge allora alla conclusione:

ΔSif = Sf – Si > ∫dQ(irr)/T

Questo dimostra che la differenza di entropia di un sistema tra 2 stati i ed f è il valore massimo che può

assumere l'integrale al secondo membro (essa sarebbe misurata proprio dall'integrale solo se il processo che

conduce da i ad f fosse reversibile); in altre parole, fissati 2 stati, e quindi fissata la differenza di entropia, la

quantità di calore degradata, ovvero restituita all'ambiente a T più bassa è maggiore di quella che sarebbe

stata se la trasformazione fosse stata reversibile.

LEGGE DI AUMENTO DELL'ENTROPIA: in qualsiasi trasformazione che avvenga in un sistema isolato,

l'entropia del sistema non può mai diminuire: aumenta sempre nelle trasformazioni irreversibili e rimane

costante nelle trasformazioni reversibili. In un sistema isolato in cui avvengano trasformazioni irreversibili,

queste devono procedere nel verso che comporta un aumento di entropia del sistema.

CONSIDERAZIONI SUGLI ESSERI VIVENTI

Un organismo vivente, dal punto di vista del secondo principio, è un sistema che crea spontaneamente

ordine; inoltre ha la capacità di crescere ed aumentare il sistema organizzato. Un organismo vivente è un

sistema il cui funzionamento porta a una diminuzione dell'entropia (sistema anti-entropico). Tuttavia un

organismo vivente non è un sistema isolato (in cui l'entropia non può diminuire ma solo aumentare) ma è un

sistema che si mantiene in uno stato stazionario mediante un flusso di materia ed energia che lo attraversa. Si

può dire che l'entropia dell'organismo diminuisce perchè scarica entropia nell'ambiente.

RENDIMENTO DELLE ATTIVITA' UMANE: la potenza con cui viene svolto un lavoro è P = L/ Δt, la

potenza metabolica effettivamente utilizzata per l'attività è la differenza tra la potenza metabolica totale

utilizzata dall'organismo e la potenza metabolica basale (quella utilizzata per mantenere le funzioni vitali):

η = (L/Δt)/(Δε(totale)/Δt – Δε(basale)/Δt)

Bisogna anche puntualizzare che un organismo non funziona come una macchina termica: esso trasforma

l'energia chimica di alta qualità degli alimenti direttamente in lavoro, senza passare per la forma intermedia

di energia termica.

ENTROPIA e PROBABILITA': uno stato termodinamico (macroscopico) è compatibile con un grandissimo

numero di stati dinamici diversi (microscopici). Se un sistema ha a disposizione un gran numero di stati

microscopici tende ad occuparli (tendenza al disordine molecolare). La probabilità Wa di uno stato

macroscopico A è uguale al numero di stati microscopici distinti che corrispondono allo stato macroscopico.

Lo stato di equilibrio di un sistema termodinamico è lo stato più probabile.

DEFINIZIONE PROBABILISTICA DELL'ENTROPIA: sappiamo che l'entropia di 2 moli di gas è il doppio

dell'entropia di una mole dello stesso gas alle stesse condizioni. La probabilità di un sistema A + B è invece il

prodotto delle probabilità dei 2 sistemi singoli. Queste 2 proprietà si conciliano se l'entropia è proporzionale

al logaritmo della probabilità. In base a questo Boltzmann realizzò questa definizione:

S = Kb lnW

dove Kb è la costante di Boltzmann.

FLUTTUAZIONI e IRREVERSIBILITA': fino ad ora abbiamo considerato solo i 2 stati estremi, quello di

equilibrio in cui le molecole sono egualmente distribuite tra 2 metà di un recipiente e quella meno probabile

in cui si trovano dallo stesso lato. Vi sono però molti altri stati in cui le molecole si trovano più in un lato che

nell'altro; chiamiamo questi stati fluttuazioni rispetto all'equilibrio. Le fluttuazioni tuttavia sono tanto più

improbabili quanto esse sono grandi; in quanto sono fenomeni anti entropici e momentanei, dopo i quali il

sistema tende a tornare verso lo stato più probabile. Possiamo quindi definire l''irreversibilità macroscopica

come: l'irreversibilità macroscopica è una questione di probabilità: l'evoluzione spontanea di un sistema

– verso stati più probabili, ovvero realizzabili con un numero maggiore di configurazioni

microscopiche, e che hanno quindi entropia maggiore. L'evoluzione più probabile è quella verso lo

stato di equilibrio macroscopico, che è quello più probabile. Sono però possibili comportamenti anti

entropici, cioè fluttuazioni momentanee verso stati meno probabili (entropia minore) che sono tanto

più rare quanto più grandi. ENERGIA LIBERA

Molte trasformazioni termodinamiche avvengono in sistemi non isolati e spesso hanno luogo cambiamenti di

stato che comportano cambiamenti dell'energia interna del sistema. Se il sistema non è isolato dobbiamo

tener conto non solo della tendenza spontanea del suo stato ma anche degli scambi di energia con l'ambiente

circostante, che sono regolati dal 1 principio della termodinamica.

TRASFORMAZIONI ISOTERME: la variazione di entropia in una trasformazione isoterma irreversibile è:

cioè

T ΔS >= Q

Ma il lavoro che esegue il sistema nella trasformazione è dato dal primo principio per cui

L = Q – Δε(interna) <= T ΔS – Δε(interna)

che posso scrivere come

L <= - ΔF

in cui F è l'energia libera di Helmholtz

F = ε(interna) – T S

Pertanto il lavoro massimo che si può ricavare in una trasformazione isoterma è minore della diminuzione

dell'energia libera nella trasformazione e può essere uguale a questa diminuzione solo per trasformazioni

reversibili.

Se aggiungo la condizione che la trasformazione isoterma avviene a volume costante allora il lavoro

termodinamico è nullo e ΔF <= 0. Da ciò stabilisco che in trasformazioni a T e V costanti l'energia libera di

Helmholtz diminuisce sempre.

L'evoluzione irreversibile di un sistema verso lo stato di equilibrio è il risultato di 2 tendenze contrastanti:

una tendenza a una struttura più ordinata, costituita dalla tendenza dell'energia interna del sistema a

diminuire, ed una tendenza ad una struttura più disordinata costituita dalla tendenza dell'entropia del sistema

ad aumentare; a seconda delle condizioni termodinamiche in un sistema prevale l'una o l'altra tendenza.

TRASFORMAZIONI ISOTERME ISOBARE: molte trasformazioni avvengono preferibilmente a pressione

costate anziché volume costante. Se la P è costante il lavoro eseguito dal sistema si esprime come:

L = P ΔV

da cui secondo la formula P ΔV <= -ΔF

ΔF + P ΔV <= 0

Definisco adesso una nuova funzione di stato detta ENERGIA LIBERA DI GIBBS

G = ε(interna) – T S + P V = F + P V

In trasformazioni a T e P costante l'energia libera di Gibbs diminuisce sempre. Lo stato di equilibrio

termodinamico a T e P costanti è quello che possiede energia libera di Gibbs minima (ΔG = 0)

I FLUIDI

Le proprietà meccaniche di un fluido non dipendono dalla sua massa complessiva m ma dalla sua densità,

ovvero la massa dell'unità di volume del fluido: d = m/V

La densità è un parametro di ogni sostanza omogenea. In relazione all'equazione di stato dei gas ideali si può

scrivere come: d = m/V = M P/ R T

per cui la densità di un gas a T costante aumenta con la pressione, mentre a P costante diminuisce se aumenta

la pressione. Questa relazione ha poca importanza per quanto riguarda sostanze solide o liquide.

PESO SPECIFICO: il peso specifico è il peso dell'unità di volume:

p(spec) = m g/V = d g

PRESSIONE IN UN FLUIDO: di solito sulla superficie di un fluido agisce una pressione esterne; inoltre in

ogni punto di un fluido vengono esercitate delle pressioni dalle altre porzioni del fluido stesso. La pressione

in un punto di un fluido si trasmette in tutte le direzioni nel fluido con la stessa intensità (isotropia delle

pressioni o Principio di Pascal); e se questo è in equilibrio macroscopico, si esercita perpendicolarmente a

qualsiasi superficie che si consideri.

EQUILIBRIO NEI FLUIDI PESANTI: Se un fluido è posto in un campo gravitazionale, ogni sua porzione è

soggetta ad una forza peso, ed esercita quindi questa forza sulle porzioni del fluido sottostanti. In altre

parole, il peso del fluido determina una pressione al suo interno: tale pressione, dovuta al solo peso, è

chiamata Pressione Idrostatica.

Per calcolare la pressione idrostatica in un punto del fluido, consideriamo una superficie piana di area A

passante per il punto e calcoliamo il peso del fluido sovrastante: poiché la forza peso è verticale, si considera

la superficie normale al peso, cioè orizzontale. Se il punto si trova a profondità h e il fluido ha densità d si

ottiene: P(idr) = m g/A = d V g/A = d A h g/A = d g h

LEGGE DI STEVINO: in un punto a profondità h in un fluido la pressione idrostatica è proporzionale alla

profondità e alla densità del fluido. (perchè il sistema sia in equilibrio la pressione deve essere uguale in tutti

i punti ad una stessa profondità).

Poichè sulla superficie libera del fluido si esercita una pressione esterna P0 e poiché anch'essa si propaga

inalterata in tutto il fluido, la pressione totale a profondità h nel fluido vale:

P = P0 + P(idr) = P0 + d g h

PRESSIONE ATMOSFERICA: la pressione atmosferica normale è uguale alla pressione idrostatica

esercitata da una colonnina di mercurio alta 76 cm. Poichè la pressione atmosferica è esercitata dalla colonna

d'aria sovrastante, è evidente che essa diminuisce all'aumentare della quota, fino ad annullarsi

completamente al limite superiore dell'atmosfera.

SPINTA DI ARCHIMEDE: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta Fa (spinta di Archimede) dal

basso verso l'alto pari al peso di un volume di liquido uguale a quello del solido (o pari al peso del liquido

spostato dal corpo): Fa = dL V g

dove dL è la densità del liquido (dL V è la massa del volume di liquido).

Le azioni del fluido su un dato volume al suo interno sono dovute alla pressione che il liquido esercita su

ogni porzione della superficie. Il motivo è che la pressione aumenta con la profondità nel fluido e che su ogni

superficie si esercita sempre perpendicolarmente ad essa. Così la forza totale che la pressione esercita sulla

faccia inferiore, diretta verso l'alto, risulta maggiore della forza che la pressione esercita sulla faccia

superiore, diretta verso il basso.

Dobbiamo tenere presente anche che la spinta di Archimede si esercita anche quando un corpo non è

completamente immerso; in tal caso essa non è proporzionale all'intero volume del corpo, ma solo al volume

immerso, che determina il volume dell'acqua che viene spostata dall'immersione.

FLUIDO IDEALE: si definisce fluido ideale (dal punto di vista meccanico) un fluido incomprimibile e non

viscoso. Consideriamo liquidi in cui la velocità in ogni punto rimane costante nel tempo.

FLUIDO REALE: presentano viscosità e le caratteristiche del moto possono variare notevolmente. La

viscosità è la forza d'attrito che agisce su strati adiacenti di fluido ed ostacola il loro scorrimento. Finchè le

velocità del fluido sono basse si può rappresentare come un flusso laminare (lamine che scorrono l'una

sull'altra con attrito). Quando il liquido incontra un ostacolo avviene un cambiamento di moto turbolento in

cui lo sforzo che si esercita tra le lamine diviene così forte che esse non riescono più a scorrere e si ripiegano

dando luogo a vortici.

PORTATA: per un fluido che scorre in un condotto, si definisce portata R come il volume di fluido che passa

in 1 s attraverso una sezione del condotto. Se in una sezione A del condotto, il fluido possiede velocità v, e in

un intervallo di tempo Δt la sezione si sposta di una distanza Δl = v Δt, il volume del liquido che è passato è

V = A Δl e la portata è: R = V/Δt = A Δl/Δt = A v

l'unità di misura è il m^3/s.

Se il fluido è incomprimibile, il suo volume non varia con la pressione o velocità per cui risulta che nel moto

stazionario di un fluido incomprimibile la portata è costante in tutte le sezioni del condotto, o di un tubo di

flusso.

TEOREMA DI BERNOULLI: consideriamo un generico condotto in cui scorre un fluido e calcoliamo

l'energia totale per unità di volume del fluido. Indichiamo con h l'altezza della porzione di fluido che

consideriamo rispetto ad una quota di riferimento, con v la velocità con cui essa si muove nel condotto e con

P la pressione a cui è soggetta da parte delle altre porzioni del fluido e dell'eventuale pressione esterna.

L'energia potenziale e l'energia cinetica per unità di volume della porzioni di fluido valgono:

ε(pot)/V = m g h / V = d g h

ε(cin)/V = ½ m v^2 / V = ½ d v^2

La pressione P esegue un lavoro nel movimento del fluido e poiché il lavoro è dato da P ΔV allora la

pressione P costituisce il lavoro per unità di volume. Possiamo quindi concludere che deve conservarsi

l'energia totale per unità di volume del fluido, cioè la somma della sua energia cinetica e potenziale e del

lavoro eseguito per unità di volume dalla pressione, cioè per tutte le porzioni del fluido deve essere:

ε(tot)/V = P + d g h + ½ d v^2 = costante

Questa legge costituisce il TEOREMA DI BERNOULLI. Se applicato a 2 sezioni a e b di un tubo il teorema

risulta: Pa + d g ha + ½ d va^2 = Pb + d g hb + ½ d vb^2

Il risultato si applica a 2 sezioni qualsiasi del condotto. Nel moto stazionario di un fluido ideale, la quantità

di energia totale ha lo stesso valore in qualsiasi sezione del condotto, o di qualsiasi tubo di flusso.

CASO LIMITE DELL'IDROSTATICA: se il fluido è in quiete, cioè v = 0 in tutte le sezioni, allora si ottiene

per 2 quote diverse ha e hb: Pa + d g ha = Pb + d g hb

CONDOTTO ORIZZONTALE: se il condotto è orizzontale (ha = hb) il teorema si esprime come:

Pa + ½ d va^2 = Pb + ½ d vb^2

La pressione risulta minore nelle sezioni in cui un condotto orizzontale si restringe e minore dove il condotto

si allarga. LE ONDE

Le onde costituiscono uno dei fenomeni più comuni in natura. La propagazione del movimento sotto forma

di onde è un processo che riguarda fenomeni più diversi. Un'onda è un fenomeno periodico che possiede la

proprietà ulteriore di propagarsi nello spazio.

ESEMPIO DI UNA CORDA TESA: se prendo una corda tesa e ne fisso un'estremità ad un punto fisso,

mentre imprimo un colpo all'altra estremità, si genera una gobba che si propaga verso l'estremo fisso della

corda. Se sollevo l'estremità A, questa solleva la porzione B adiacente comunicando ad essa l'energia cinetica

che abbiamo impresso ad A; allo stesso modo, la deformazione e l'energia cinetica vengono trasmesse per

contatto alle porzioni adiacenti successive C, D, E..etc. Quando abbassiamo l'estremità A, la porzione B

continua a salire fino all'altezza massima raggiunta da A, per poi venire a sua volta abbassata, e così via per

le porzioni successive. Nella propagazione di una deformazione lungo una corda tesa non vi è propagazione

di materia ma solo di energia: questo è vero per tutti i tipi di onde, e costituisce la caratteristica fondamentale

del moto ondoso.

Le vibrazioni delle corde consentono di vedere la varietà delle forme ondose che possono venire generate e

propagarsi; infatti la forma della deformazione che si propaga dipende da come viene mossa l'estremità A

della corda:

Onda Impulsiva: un solo impulso che genera una sola gobba che si propaga

– Onda Piana: è il contrario di un onda impulsiva, in quanto è un onda indefinita. Se è generata da un

– oscillatore armonico si parla di Onda Piana Sinusoidale.

Onda Trasversale: deformazione che si propaga in modo ortogonale alla direzione della molla o della

– corda.

Onda Longitudinale: deformazione che si propaga in maniera parallela alla direzione della molla

ONDE ACUSTICHE: all'interno dell'aria e dell'acqua si generano comunemente onde longitudinali, di

compressione e di decompressione. Quando la membrana vibra, oscillando verso l'alto e verso il basso, essa

genera delle compressioni e dilatazioni del mezzo a contatto, le quali quindi si propagano con velocità

determinata dalle proprietà elastiche del mezzo. Le onde acustiche sono onde longitudinali.

CARATTERISTICHE DI UN'ONDA: un'onda trasversale come un onda longitudinale può essere

considerata come la composizione di 2 movimenti indipendenti, ovvero un moto armonico semplice e un

moto rettilineo uniforme, che avviene perpendicolarmente alla direzione del moto armonico nelle onde

trasversali, e nella stessa direzione del moto armonico nelle onde longitudinali.

Si hanno pertanto 3 grandezze fisiche che caratterizzano un'onda: la frequenza υ, l'ampiezza A del moto

armonico e la velocità del moto rettilineo, che è la velocità di propagazione v dell'onda.

Al posto della frequenza si può anche utilizzare il periodo T = 1/υ che è il tempo in cui viene compiuta

un'oscillazione completa.

LUNGHEZZA d'ONDA: la lunghezza d'onda λ è la distanza percorsa dall'onda mentre compie

un'oscillazione completa, cioè nell'intervallo di tempo di un periodo:

λ = v T = v/υ

Un fascio di onde di solito contiene onde con frequenze diverse. Quando tutte le onde che compongono un

fascio hanno una sola fase si dice monocromatico.

ENERGIA TRASPORTATA DA UN'ONDA: l'energia trasportata da un'onda è proporzionale al quadrato A^2

della sua ampiezza ed al quadrato υ^2 della sua frequenza:

ε = ½ d υ^2 A^2

e la potenza che essa trasporta è: P = ½ d υ^2 A^2 v

SOVRAPPOSIZIONE DELLE ONDE: il principio di sovrapposizione è alla base di tutte le proprietà delle

onde e distingue nettamente il moto ondoso da quello dei corpuscoli materiali. Se considero 2 onde

impulsive che si propagano su una corda in versi opposti, nei punti in cui esse si incrociano le loro ampiezze

si sommano algebricamente, per assumere poi nuovamente la forma originaria.

INTERFERENZA DELLE ONDE: è una conseguenza diretta del principio di sovrapposizione; esso si

verifica quando si sovrappongono 2 o più onde monocromatiche. Nel caso unidimensionale 2 onde

monocromatiche della stessa frequenza e in concordanza di fase sommano le loro ampiezze nel punto in cui

si incontrano; mentre in opposizione di fase le loro ampiezze si annullano. In più di una dimensione invece

avvengono fenomeni più complessi; la sovrapposizione di 2 moti oscillatori monocromatici della stessa

frequenza possono dare origine in alcuni punti dello spazio ad un'intensità maggiore e in altri ad

un'attenuazione (l'energia totale si conserva). Per fare ciò le onde devono essere monocromatiche, con la

stessa frequenza e originate da sorgenti coerenti, cioè che abbiano una differenza di fase costante, la quale si

mantenga costante nel tempo.

DIFFRAZIONE: ogni punto dello spazio, messo in vibrazione dal fronte d'onda che lo raggiunge, diviene a

sua volta sorgente di vibrazioni per i punti contigui, e quindi di onde che si propagano nello spazio, con le

stesse caratteristiche di quella giunta nel punto. Questo criterio caratterizza la propagazione ondosa, ed è

noto come Principio di Huygens. Si deve anche dire che qualsiasi ostacolo che si frappone sul fronte d'onda

genera un fenomeno di diffrazione.

ONDE STAZIONARIE: in un mezzo vibrante di lunghezza L (tipicamente un tratto di corda) con gli estremi

fissi possono formarsi solo onde stazionarie tali che L sia un multiplo intero di mezze lunghezze d'onda, cioè:

λn = 2L/n con n = 1,2,3..

Non vi è quindi propagazione d'onda e quindi di energia; la sovrapposizione dell'onda diretta con quella

riflessa all'estremo fa si che ogni punto oscilli con un'ampiezza diversa. In particolare vi sono dei punti detti

VENTRI che oscillano con l'ampiezza massima nelle posizioni:

x(n) = (n + ½) λ/2 con n = 0,1,2,3...

e punti che rimangono fissi (NODI) nelle posizioni

x(n') = n' λ/2 con n' = 0,1,2,3....

RIFLESSIONE: se una corda è fissata ad un estremo ad una parete rigida, le sue oscillazioni quando

giungono a questa estremità vengono riflesse; l'ostacolo rigido reagisce alla forza che l'onda esercita su di

esso con una forza uguale e contraria, per cui l'onda riflessa viene rovesciata. Il raggio incidente, il raggio

riflesso e la normale alla superficie giacciono sullo stesso piano; la direzione di propagazione incidente e

quella riflessa formano con la normale 2 angoli (angolo d'incidenza e angolo di riflessione) che risultano

uguali.

RIFRAZIONE: se un'onda di una determinata frequenza passa da un mezzo dotato di una certa densità ad un

mezzo di densità diversa, le porzioni del secondo mezzo rispondono alla deformazione con un'accelerazione

diversa dalle porzioni del primo mezzo, e ciò determina una velocità diversa con cui le deformazioni

elastiche si trasmettono nel secondo mezzo. Essendo invariata la frequenza, un cambiamento di velocità di

propagazione comporta una variazione della lunghezza d'onda dell'onda nel secondo mezzo. Consideriamo

un fronte d'onda piano di frequenza υ che si propaga nel mezzo 1 con velocità v1 ed incide obliquamente

sulla superficie di separazione piana con un mezzo 2. Una frazione della luce incidente viene riflessa, mentre

un'altra porzione penetra nel secondo mezzo e si propaga con una velocità v2 minore che nel primo mezzo.

La lunghezza d'onda dell'onda rifratta nel secondo mezzo è dunque λ2 = v2/υ. Il raggio incidente, il raggio

rifratto e la normale alla superficie di separazione tra i due mezzi giacciono sullo stesso piano; l'angolo di

incidenza e l'angolo di rifrazione soddisfano la legge:

sinθ1/sinθ2 = λ1/λ2 = v1/v2 = n21

dove n21 è l'INDICE DI RIFRAZIONE del mezzo 2 rispetto al mezzo 1.

POLARIZZAZIONE DELLA LUCE: in un'onda emessa da una sorgente il campo elettrico oscilla

perpendicolarmente alla direzione di propagazione in tutte le direzioni possibili (luce non polarizzata). Un

fascio di onde elettromagnetiche si dice invece polarizzato quando tutte le onde hanno lo stesso piano di

polarizzazione.

ONDE ACUSTICHE: le onde acustiche sono vibrazioni longitudinali, di compressione e decompressione, di

un mezzo materiale elastico. Non si propagano nel vuoto. La velocità di propagazione dipende dal mezzo in

cui si propagano e dalla sua temperatura.

ONDA SONORA: un'onda sonora è caratterizzata dall'intensità, cioè dal quadrato dell'ampiezza dell'onda,

dall'altezza, cioè dalla frequenza dell'onda, e dal timbro di un suono composto, che è determinato dalle

armoniche che accompagnano la frequenza fondamentale e dalle loro intensità. Il campo di onde sonore

percepibili dall'orecchio umano è compreso tra i 16 Hz e i 20000 Hz. Vibrazioni sotto i 16 Hz sono dette

INFRASUONI, mentre quelle superiori ai 20000 Hz sono dette ULTRASUONI.

ULTRASUONI: quando un'onda ultrasonora si propaga in un liquido causa un aumento di temperatura

dovuto ala trasformazione dell'energia acustica in energia termica. Durante questo processo si può osservare

il fenomeno della cavitazione, ovvero la formazione di bollicine, dovuto al rapido variare della pressione. Gli

ultrasuoni vengono usati anche nei SONAR; inoltre il loro effetto sugli organismi può essere dannoso.

ECOGRAFIA: si utilizzano impulsi ultrasonori ad altissima frequenza che vengono in parte riflessi dalle

superfici di separazione dei tessuti; da questi segnali di eco è possibile ricostruire un'immagine della struttura

esplorata.

EFFETTO DOPPLER: l'effetto Doppler è dovuto al moto della sorgente delle onde rispetto all'osservatore

(ad esempio la sirena di un'ambulanza). Questo effetto è utilizzato dai pipistrelli per orientarsi e cacciare;

infatti emettono ultrasuoni dalle narici ricevendo un'onda riflessa. Se l'onda riflessa proviene da una preda

mobile, la frequenza d'onda riflessa differisce da quella emessa. Il pipistrello da un lato individua la

direzione dell'onda riflessa, dall'altro traduce automaticamente questa differenza di frequenza nella velocità

relativa della preda. CAMPI DI FORZE

La struttura e le proprietà della materia e dell'intero universo sono dovute alle interazioni tra i suoi

costituenti, dovute ai campi di forze fondamentali. Una interazione è un'azione reciproca tra 2 o più corpi, in

cui ciascuno di essi agisce sugli altri; se un corpo esercita un'azione su un altro, questo a sua volta esercita

sul primo un'azione uguale e contraria.

Oggi conosciamo l'esistenza di 4 interazioni fondamentali:

GRAVITAZIONALE

– DEBOLE

– ELETTROMAGNETICA

– FORTE

CONCETTO DI CAMPO: si parla in generale di campo quando si assegna il valore di una grandezza ad ogni

punto dello spazio. E' importante distinguere campi scalari da campi vettoriali (a seconda che la grandezza in

considerazione sia scalare o vettoriale). Anche le interazioni fondamentali si definiscono attraverso campi

fondamentali, associando il valore di una certa grandezza ad ogni punto dello spazio; una determinata

quantità fisica (massa, carica elettrica, etc) è considerata la sorgente di quel campo, specificando l'entità e la

modalità della sua azione. Un'altra entità fisica posta in qualsiasi punto del campo risente di un'interazione

dovuta ad esso che si traduce in una forza attrattiva o repulsiva verso la sorgente del campo (campi di forze):

Una massa genera un CAMPO GRAVITAZIONALE che genera una forza attrattiva su qualsiasi

– massa presente

Una carica elettrica genera un CAMPO ELETTRICO che produce una forza attrattiva o repulsiva su

– qualsiasi altra carica

Una corrente elettrica o una calamita generano un CAMPO MAGNETICO che produce forze su

– altre correnti elettriche o calamite

Le particelle nucleari (protoni e neutroni) generano attorno a loro un CAMPO NUCLEARE

CAMPO GRAVITAZIONALE: si definisce campo gravitazionale generato da una massa M (sorgente) in

ogni punto dello spazio circostante la forza con cui la massa M attira un corpo di massa unitaria m = 1 Kg,

posto in quel punto.

Il campo g generato dalla massa M ad una distanza r è diretto lungo le rette radiali che escono dalla massa, è

orientato verso di essa, ed ha intensità: g = G M/r^2

dove G = 6,67 x 10^-11 N m^2 Kg^-2 è la costante di gravitazione universale.

L'intensità del campo gravitazionale si misura in N/Kg.

FORZA GRAVITAZIONALE: una massa m posta a distanza r dalla massa M è attirata da questa forza:

F> = m g>

il cui modulo è

F(gr) = G (M m)/r^2

si osservi che a sua volta la massa m genera un campo gravitazionale che a distanza r esercita sulla massa M

una forza attrattiva identica ma di verso opposto, cioè uguale e contraria a quella con cui M attira m

(PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE).

L'accelerazione di gravità della terra diminuisce all'aumentare dell'altezza h dalla superficie terrestre e vale

9,8 m/s^2.

CAMPO ELETTRICO: per definire in modo univoco il campo elettrico si opera un'astrazione. Supponiamo

di avere cariche elettriche puntiformi e di trovarsi nello spazio vuoto. Coulomb determinò la legge che regola

l'interazione tra 2 cariche elettriche abbastanza piccole con un esperimento: utilizzò una bilancia di torsione,

in cui una carica è fissa, mentre l'altra è appesa ad un braccio che può ruotare su un piano orizzontale appeso

ad un filo, il quale reagisce alla torsione con una reazione elastica proporzionale all'angolo di rotazione, per

cui raggiunge l'equilibrio quando la forza tra le 2 cariche è equilibrata dalla forza di richiamo.

DEF: il campo elettrico generato da una carica elettrica puntiforme di intensità q e vettore E> diretto lungo

rette che escono dalla carica, è orientato verso la carica se essa ha segno negativo ed in verso opposto se ha

segno positivo, e in un punto distante r da essa ha intensità:

E(elettr) = k q/r^2

dove k è una costante universale il cui valore dipende dal sistema di unità di misura in cui si esprimono r e q

e dal mezzo materiale in cui è immersa la carica.

Le linee del campo sono linee che in ogni punto dello spazio sono tangenti al vettore campo elettrico E> in

quel punto.

FORZA ELETTRICA: se una carica di intensità q' si trova in un punto in cui esiste un campo elettrico E>,

essa è soggetta ad una forza elettrica: F(elettr) = q' E(elettr)

avente la stessa direzione del campo ma verso uguale od opposto a seconda che la carica q' sia positiva o

negativa. Se le cariche q e q' sono entrambe puntiformi, il modulo della forza elettrica è:

LEGGE DI COULOMB: F(elettr) = k (q q')/r^2

Si osservi che anche per le interazioni elettriche vale il principio di azione e reazione. Inoltre le linee di un

campo elettrico escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative, per cui iniziano su una carica

positiva o all'infinito e finiscono su una carica negativa o all'infinito.

L'unità di misura della carica elettrica è il Coulomb ( C ) definito come la carica elettrica che, posta nel vuoto

alla distanza di 1 m da una carica elettrica di uguale intensità, l'attira o la respinge con una forza pari a k

(costante universale nel vuoto) = 9 x 10^9 N m^2 C^-2. Il Coulomb è un'unità di misura enorme, per cui si

trovò più semplice definire come grandezza fondamentale l'unità di corrente elettrica, cioè l'AMPERE (A) ,

ovvero 1 A = 1C/1s.

Il valore della costante k viene espressa di solito per mezzo di un'altra costante:

k = ¼ π ε0 dove ε0 = 8,854 x 10^-12 C^2 N^-1 m^-2 (nel vuoto)

detta Costante Dielettrica del Vuoto.

In termini di questa costante universale, il campo elettrico generato da una carica puntiforme e la legge di

Coulomb si riscrivono:

E(elettr) = 1/(4 π ε0) q/r^2 e F(elettr) = 1/(4 π ε0) (q q')/r^2

L'unità di misura del campo elettrico risulta quindi N/C o N C^-1. L'interazione elettrica è molto più forte

dell'interazione gravitazionale.

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA SISTEMI O DISTRIBUZIONI DI CARICHE: il campo generato

da un sistema di cariche si definisce sommando vettorialmente in ogni punto dello spazio il campo generato

da ciascuna di esse.

DIPOLO ELETTRICO: è la distribuzione più semplice di cariche. Costituito da 2 cariche puntiformi di

segno opposto ma uguale valore assoluto q disposte a una distanza fissa d. Vedremo che le proprietà

elettriche del dipolo dipendono da una grandezza detta MOMENTO DEL DIPOLO ELETTRICO(p>):

p(el) = d q

(dimostrazione sul libro, multipoli e campo generato da distribuzioni di cariche, pag 373)

CONDUTTORI e ISOLANTI: i conduttori sono sostanze al cui interno le cariche elettriche sono più o meno

libere di muoversi, mentre gli isolanti (o dielettrici) sono sostanze in cui le cariche rimangono ferme dove si

sono generate. Esistono un terzo tipo di sostanze che presenta conducibilità intermedia tra i conduttori e i

dielettrici detti Semiconduttori.

CAMPO ELETTRICO in UN DIELETTRICO: l'intensità di un campo elettrico in un dielettrico è sempre

minore rispetto all'intensità nel vuoto, cioè:

ε(r) = E0(elettr)/E(elettr) > 1 dove ε(r) è la costante dielettrica relativa adimensionale

Campo elettrico e Forza elettrica in un dielettrico si esprimono come:

E(elettr) = 1/( 1/(4 π ε0 ε(r)) q/r^2

F(elettr) = 1/(4 π ε0 ε(r)) (q q')/r^2

La proprietà si spiega in base alla struttura molecolare dei dielettrici, distinguendo tra dielettrici polari e non

polari.

PROPRIETA' DELLE LINEE DEL CAMPO ELETTRICO: le linee del campo elettrico sono sempre linee

aperte, nel senso che hanno sempre origine o su una carica positiva o all'infinito, e finiscono sempre o su una

carica negativa o all'infinito; non si chiudono mai su se stesse. Questa proprietà è conseguenza del fatto che

esistono cariche elettriche positive e negative isolate.

Immaginiamo un campo elettrico e al suo interno uno spazio chiuso:

se all'interno dello spazio non vi sono cariche elettriche, tutte le linee che vi entrano devono

– necessariamente uscire

se all'interno dello spazio vi è una carica, le linee o nascono o terminano all'interno dello spazio.

Questa proprietà si esprime attraverso una nuova grandezza relativa al campo elettrico, ovvero il FLUSSO

DEL CAMPO ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE. Immaginiamo un caso semplice in cui il campo elettrico

è costante e la superficie S è piana; se il versore n^ (un versore è un vettore di modulo 1 che serve solo ad

individuare un verso senza implicare un'intensità) normale alla superficie forma un angolo θ con il vettore

E(elettr)>, il flusso del campo attraverso la superficie è dato da:

ΦS = E(elettr) S cos θ

Nel caso di una superficie qualsiasi non piana e un campo elettrico non costante, dobbiamo considerare tanti

elementi di S abbastanza piccoli da potersi considerare piani e che si possa trascurare la variazione del

campo elettrico su ciascuno di essi. Il flusso a questo punto è:

ΔΦi = Ei ΔSi cosθi

Il flusso totale attraverso la superficie S si calcola sommando i flussi elementari attraverso tutti i K elementi

di superficie ΔSi; il calcolo risulta esatto quando le aree degli elementi Δsi tendono a 0, nel qual caso il

limite della sommatoria diviene per definizione l'integrale calcolato sulla superficie S (vedi libro pag.380).

TEOREMA DI GAUSS: il flusso del campo elettrico generato da una distribuzione qualsiasi di cariche

elettriche attraverso una superficie chiusa S qualsiasi è uguale a 1/ε moltiplicato per la somma algebrica

(cariche positive col segno + e cariche negative col segno -) delle sole cariche contenute all'interno della

superficie S.

CARICHE e CAMPO ELETTRICO in UN CONDUTTORE: è facile rendersi conto delle seguenti proprietà:

In un corpo conduttore carico le cariche elettriche in equilibrio si dispongono sulla sua superficie.

– Infatti in un conduttore le cariche sono libere di muoversi, e poiché cariche dello stesso segno si

respingono, esse tendono a disporsi il più lontano possibile, quindi sulla superficie del conduttore.

All'interno di un conduttore carico in equilibrio il campo elettrostatico è nullo. Infatti all'interno di

– un conduttore non vi sono cariche.

In prossimità della superficie di un conduttore carico in equilibrio il campo elettrico è ortogonale alla

– superficie.

POTENZIALE ELETTROSTATICO: il campo elettrostatico è conservativo; il lavoro che esso esegue in uno

spostamento da un punto A a un punto B costituisce il lavoro sulla carica unitaria positiva, cioè il lavoro per

unità di carica (è detto meglio circuitazione del campo elettrico). Esso risulta indipendente dal particolare

cammino percorso tra A e B e si esprime come la variazione tra i 2 punti del Potenziale Elettrostatico (V) che

è l'energia potenziale per unità di carica:

(tra A e B) ∫ E(elettr)> d s> = εpot(A) – εpot(B) / q' = V(A) – V(B) = -ΔV(A B)

dove V(A) – V(B) è la differenza di potenziale tra i punti A e B. La sua unità di misura è il Volt (V).

ENERGIA ACQUISTATA DA UNA CARICA (Elettron-VOLT): se una carica q si sposta tra 2 punti tra i

quali vi è una ddp la sua energia elettrostatica varia di:

Δε(elettr) = q ΔV

su questa base è introdotta l'unità di misura Elettron-Volt (eV) definita come l'energia che acquista un

elettrone accelerato attraverso al ddp di 1 V.

Si osservi che poiché il lavoro attivo è positivo, le cariche positive lasciate libere di muoversi sotto l'azione

di un campo elettrostatico, tendono a spostarsi verso punti a potenziale più basso, mentre le cariche negative

si spostano verso punti a potenziale più alto. Nel caso particolare in cui la sorgente del campo è costituita da

una carica q puntiforme, il potenziale generato dalla carica q nello spazio circostante, in un punto A distante r

dalla carica, è dato da: V(A) = 1/(4π ε0 εr) q/r + cost

E' necessario anche dire che il potenziale generato nello spazio circostante da una carica elettrica positiva

diminuisce all'aumentare della distanza dalla carica (una carica positiva unitaria è respinta e tende ad

allontanarsi); mentre il potenziale generato da una carica elettrica negativa aumenta con la distanza dalla

carica (una carica positiva unitaria è attratta e tende ad avvicinarsi).

DISTRIBUZIONI DI CARICHE: se si ha un insieme di cariche puntiformi, il potenziale in un punto P è dato

dalla somma dei potenziali generati dalle singole cariche (formula sul libro pag.390).

SUPERFICI EQUIPOTENZIALI: se ci riferiamo a un campo elettrico, tracciamo le linee del campo; se ci

riferiamo al potenziale elettrostatico si rappresentano le superfici equipotenziali, cioè le superfici sulle quali

il potenziale elettrostatico ha lo stesso valore. Infatti se una carica elettrica si sposta su una superficie

equipotenziale, il campo elettrostatico non compie alcun lavoro. Ma il lavoro elettrico è nullo quando il

vettore campo elettrico è ortogonale allo spostamento, ne segue che le superfici equipotenziali sono

ortogonali in ogni punto alle linee del campo elettrostatico, e quindi al vettore E(elettr)>.

CAPACITA' ELETTRICA: per molte applicazioni è importante poter concentrare grandi cariche elettriche

mantenendo il più basso possibile il potenziale, cioè spendere poca energia. La possibilità di caricare un

conduttore mantenendo basso il suo potenziale è espressa dal rapporto tra la carica q del conduttore e il suo

potenziale V, detto appunto Capacità Elettrica del conduttore:

C = q/V

L'unità di misura è il Farad (F) equivalente a un C/V. Un conduttore ha la capacità di 1 F se caricato con una

carica di 1 C assume il potenziale di 1 V. Dato che C è un'unità molto grande, lo è anche F e spesso si usano

sottomultipli.

Un aspetto importante della capacità è che la capacità di un conduttore aumenta se esso si trova in presenza

di un altro conduttore, anche se scarico. Infatti mentre si carica il conduttore, quello vicino si carica per

induzione elettrostatica; di conseguenza le cariche che accumuliamo sul conduttore attirano le cariche di

segno opposto del conduttore vicino, mentre allontanano quelle di segno uguale. Quando carichiamo

ulteriormente il conduttore, allontanando da esso un'ulteriore carica elettrica, eseguiamo un lavoro minore,

poiché la carica del conduttore è parzialmente schermata dalla carica indotta sul conduttore vicino. Questo

effetto risulta tanto maggiore quanto più vicina ed estesa è la superficie del secondo conduttore.

CONDENSATORI: costituiti da 2 conduttori elettrici vicini detti Armature, carichi di segno opposto, separati

da un dielettrico (la capacità elettrica è tanto più grande quanto maggiore è la costante dielettrica del

dielettrico). Servono ad ottenere elevate capacità elettriche. Possono essere di vari tipi (piani, sferici,

cilindrici, etc)

SISTEMI DI CONDENSATORI: si possono connettere elettricamente vari condensatori tra di loro in diversi

modi, per ottenere capacità desiderate. Le connessioni di base dalle quali derivano tutte quelle possibili sono

2, ovvero in Serie e in Parallelo:

CONDENSATORI IN PARALLELO: 2 o più condensatori sono connessi in parallelo quando sono

– collegate tra loro le armature che portano le cariche dello stesso segno; in tal caso la ddp è la stessa

per tutti i condensatori. Si comprende che questo collegamento equivale a unire tra loro le armature

dello stesso segno, facendo un unico condensatore le cui armature hanno un'area che è la somma di

tutte le aree; ne consegue che la capacità totale è la somma delle capacità dei singoli condensatori:

C(par) = C1 + C2 + C3...

CONDENSATORI IN SERIE: in questo caso si collegano tra loro le armature cariche di segno

– opposto; tutte le armature hanno quindi la medesima carica q, mentre si sommano le ddp tra le

armature dei singoli condensatori: ΔV = ΔV1 + ΔV2 + ΔV3...= q/C(ser) da cui segue 1/C(ser) =

1/C1 + 1/C2 + 1/C3...

ENERGIA IMMAGAZZINATA in UN CAMPO ELETTRICO: tra le armature di un condensatore carico è

immagazzinata un'energia potenziale elettrica Δε(elettr) uguale al lavoro L(elettr) necessario per separare 2

cariche elettriche di segno opposto. Questa energia si può recuperare lasciando scaricare il condensatore.

L'energia spesa per caricare un condensatore si suppone immagazzinata nel campo elettrico che è stato così

generato tra le armature. Possiamo stabilire quanto vale la densità di energia in questa regione di spazio

riferendoci alla situazione più semplice di campo costante, quale esiste tra le armature di un condensatore

piano indefinito; anche la densità di energia е(elettr) = ε(elettr)/V, cioè l'energia per unità di volume, deve

essere costante ed assume la forma:

e(elettr) = ε(elettr)/A d = ½ C (ΔV)^2 / A d = ε/2 (ΔV/d)^2 = ½ ε E(elettr)^2

Questa espressione vale: in ogni punto dello spazio in cui esiste un campo elettrico E(elettr) è immagazzinata

un'energia per unità di volume ½ ε E(elettr)^2.

MOTO DI CARICHE in un CAMPO ELETTRICO: una carica elettrica q posta in un campo elettrico

E(elettr)>, generato da altre cariche, è soggetto ad una forza: se la carica è libera di muoversi, essa acquista

un'accelerazione: a> = F(elettr)>/m = q E(elettr)>/m

che dipende dalla massa m del corpo che porta la carica.

CORRENTE ELETTRICA in un CONDUTTORE: nei conduttori le cariche sono libere di muoversi, per cui

se all'interno si genera un campo elettrico, le cariche si muovono insieme generando una corrente elettrica.

Nei conduttori metallici i portatori di carica sono elettroni; nei conduttori elettrolitici la corrente elettrica è

costituita da un doppio flusso di ioni di segno opposto, quelli positivi nel verso del campo e quelli negativi

nel verso opposto. Prima di scoprire la natura dei portatori di carica, si stabilì un verso convenzionale in cui

circola la corrente elettrica, cioè quello in cui si muovono le cariche positive.

INTENSITA' di CORRENTE: consideriamo un filo conduttore in cui circola corrente elettrica e osserviamo

una sua sezione trasversale: se Δq è la quantità di carica elettrica che attraversa la sezione nel tempo Δt,

l'intensità della corrente che circola nel conduttore è:

i = Δq/Δt

Si osservi che l'intensità di corrente è scalare e si deve definire il verso in cui essa circola in un conduttore. E'

importante distinguere le correnti elettriche continue da quelle variabili. Una corrente CONTINUA (CC)

circola sempre nello stesso verso e in particolare può risultare costante. La corrente ALTERNATA è una

corrente variabile generata da una ddp che oscilla, cambiando periodicamente di segno, e in cui i portatori di

carica si muovono alternativamente in un verso o nell'altro, eseguendo un moto armonico, quindi il verso

della corrente varia col tempo e si inverte con frequenza pari a quella di questo moto armonico. Se la

corrente è variabile, la quantità di carica che fluisce attraverso una sezione del conduttore varia col tempo,q

(t): in questo caso l'intensità è un'intensità media e dobbiamo definire il valore istantaneo:

i(t) = lim Δq/Δt = dq/dt

L'unità di misura dell'intensità di corrente è una grandezza derivata si misura in C s^-1 a cui si dà il nome di

Ampere (A): 1 A = 1 C s^-1.

PILE E BATTERIE: generano una ddp costante, che è il lavoro che essa può eseguire trasportando l'unità di

carica elettrica dal morsetto positivo a quello negativo. Poichè consideriamo ddp costanti, quindi campi

elettrici costanti, estendiamo il carattere conservativo del campo elettrostatico; il criterio fondamentale per

risolvere circuiti elettrici in CC è proprio che il lavoro eseguito dal campo elettrico per trasportare le cariche

attraverso il circuito è indipendente dal cammino percorso, cioè è lo stesso attraverso tutte le connessioni

chiuse del circuito.

LEGGE DI OHM: l'intensità di corrente i che circola in un conduttore è proporzionale alla ddp applicata ai


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DETTAGLI
Esame: Fisica
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze biologiche
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frances9013 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Baracca Angelo.

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