Fisica Nucleare e Subnucleare

A

0 A

ct =

A cosh Ψ

sinh Ψ 0 0

− −

x = (ct sinh Ψx ) cosh Ψx

A A A A

cosh Ψ

0

calcoliamo la velocità del punto A visto dal sistema S

dx

A

v =

A dt

A

= c tanh Ψ

= costante

0 0

cosa implica quanto ottenuto? Che dato che il punto in S è in quiete la velocità del sistema S visto da

0

S coincide con v . Abbiamo ottenuto, senza assumerlo all’inizio, che il sistema S e S si muovono di moto

A

rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. Prende il nome di boost.

Avendo ottenuto tanh Ψ possiamo ottenere gli elementi di matrice di Λ

v/c

tanh Ψ = = βγ (2.1)

sinh Ψ = p q

2 2

− v

1 tanh Ψ −

1 2

c

1

1 =

cosh Ψ = = γ (2.2)

p q

2 2

− v

1 tanh Ψ −

1 2

c

da cui 

 γ βγ 0 0

βγ γ 0 0





Λ= 

 0 0 1 0



 0 0 0 1

0

Abbiamo riepilogando le seguenti trasformazioni dal sistema S al sistema S (attenzione si assume sempre che

0

sia il sistema S in moto rispetto a S. 0 0

x = γ(x + βct )

0 0

ct = γ(ct + βx ) 0

→ −v

e le trasformazioni inverse si hanno mandando v (con v la velocità di moto relativo del sistema S

0

rispetto a S). Questo cambio di segno implica semplicemente che adesso assumiamo il sistema S fisso e S in

moto rispetto a questo. 0

−

x = γ(x βct)

0 −

ct = γ(ct βx)

2.1 Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze 0

Consideriamo in primis il fenomeno della dilatazione dei tempi. Consideriamo due eventi che nel sistema S

avvengono nello stesso luogo a tempi diversi (processo di ”nascita” e ”morte” di una particella per esempio).

Cosa vede un osservatore fermo nel sistema S? 0 0

ct = γ(ct + βx )

1 1 1

0 0

ct = γ(ct + βx )

2 2 2

0 0

= x si ha

dato che x 1 2 0 0

∆t = γ∆t > ∆t

0

dove ∆t è indicato anche con ∆τ con τ il tempo proprio, il quale è il tempo segnato da un orologio solidale

con il corpo considerato. 0

Consideriamo adesso il fenomeno della contrazione delle lunghezze. Abbiamo un corpo in quiete nel sistema S

disposto parallelamente all’asse x. Dato che vogliamo ricavarne la lunghezza si ha

0 0 0

−

∆x = x x

2 1

la quale, essendo il corpo in tale sistema in quiete, non deve essere necessariamente compiuta prendendo i due

punti allo stesso istante.

Consideriamo adesso il sistema S. La misura dello stesso oggetto è definita come

−

∆x = x x

2 1

0 0 0 0

−

= γ(x + βct ) γ(x + βct )

2 2 1 1

12 CHAPTER 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

0 0

non conosciamo però i due tempi t e t . A tal fine, dato che il corpo nel sistema S è in moto la misura deve

1 2

essere compiuta istantaneamente, cioè −

0 = c(t t )

2 1

0 0 0 0

−

= γ(ct + βx ) γ(ct + βx )

2 2 1 1

da cui dopo diversi passaggi 0

∆x 0

< ∆x

∆x = γ

2.2 Quadrivettori 0

→

Un quadrivettore controvariante è tale se questo si trasforma passando da un sistema S S con le trasfor-

mazioni di Lorentz.

Il quadrivettore che individua un punto nello spazio quadridimensionale è

µ

x = (ct, x, y, z, ) (2.3)

= (ct, x) (2.4)

o in generale un quadrivettore A è nella forma µ 0

A = (A , A)

che si trasforma con le trasformazioni di Lorentz nella seguente maniera

0x 00

x

A = γ(A + βA )

00 0x

0

A = γ(A + βA )

2.2.1 Prodotto scalare e vettore covariante e controvariante

Introduciamo un prodotto scalare. Nello spazio 3D una possibile scelta è, indicando con d la distanza tra due

punti 2 ·

d = ∆x ∆x

X

= ∆x ∆x δ

i j ij

i,j

mentre nello spazio 4D ne definiamo uno tale che sia la norma quadra di Minkosky.

2 2 2 2 2 2

− − −

d = c ∆t ∆x ∆y ∆z

X µ ν

= g ∆x ∆x

µν

µ,ν µ ν

= g ∆x ∆x

µν

dove si è usata la convenzione di Einstein in cui gli indici ripetuti se uno in basso e l’altro in alto sottendono

una somma su essi.

Che cose g ? Non è altri che l’elemento della seguente matrice

µν  

1 0 0 0

−1

0 0 0

 

g =  

−1

0 0 0

 

−1

0 0 0 µ

si ha che g applicato ad un quadrivettore controvariante lo renda covariante, cioè nello specifico g ∆x =

µν µν

∆x (la somma su µ fa sparire tale indice)

ν 2 µ ν

d = g ∆x ∆x

µν ν

= ∆x ∆x

ν ×

= covariante controvariante

= invariante

Più in dettaglio si ha      

1 0 0 0 ct ct

−1 −x

0 0 0 x

µ      

g ∆x = =

µν      

−1 −y

0 0 0 y

     

−1 −z

0 0 0 z

2.2. QUADRIVETTORI 13

2.2.2 Quadrivelocità

Consideriamo la velocità euclidea dx dy dz

v =( , , )

dt dt dt

e osserviamo come questa si trasformi mediante le trasformazioni di Lorentz. Si ha

dx

v =

x dt 0 0

γ(dx + βcdt )

= γ 0 0

(cdt + βdx )

c 0

v + v 0

x

= 0

v v

0

1 + x

2

c

dy

v =

y dt 0

dy

= βc

0 0

γ(dt + dx )

0

v

1 y

= 0

v v

γ 0

1 + x 2

c

0

dove v è la velocità con cui si muove il sistema S rispetto a S.

0

Si noti che non si trasforma come un quadrivettore, infatti dato che ha luogo un moto traslatorio lungo x si

0

dovrebbe avere v = v . Oltretutto neanche v si trasforma correttamente.

y x

y

La quadrivelocità correttamente definita è quella in cui dt = dτ , dove τ è il tempo proprio. Tale definizione è

però valida se si considerano corpi la cui velocità v < c. Infatti assumendo v = c sostituendole nelle equazioni

0

sopra ottenute si ottiene v = c c + v 0

v =

x v

1 + 0

c

v

1 + 0

c

= c v

1 + 0

c

= c

il che implica che non esiste sistema di riferimento in cui il corpo sia in quiete, portando τ a non poter

essere definito.

Definiamo dunque ν

dx

ν

v = dτ

controvariante

= invariante

= controvariante

che risulta trasformarsi correttamente sotto le trasformazioni di Lorentz. Ricaviamone le componenti

0

dx

0

v = dτ

d(ct)

= dτ

= cγ

in cui si è sfruttato dt = dτ γ. Si noti che γ è calcolato usando la velocità v del corpo nel sistema S che è in

0

quiete in S (in cui è calcolato τ ). i

dx

i

v = dτ

i

dx dt

= dt dτ

i

dx

= γ dt

dunque la quadrivelocità è dx

ν

v = (γc, γ ) (2.5)

dt

14 CHAPTER 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

2.2.3 Quadrimpulso

Avendo definito la quadrivelocità risulta immediata la definizione del quadrimpulso come

µ µ

p = m v

0 dx

= (m γc, m γ )

0 0 dt

dx )

= (mc, m dt

in cui m è la massa a riposo, cioè la massa del corpo nel sistema di riferimento in cui questo è in quiete. Mentre

0

m = γm è usualmente indicata come massa relativistica. Risulta però un semplice artifizio matematico che

0

non viene usualmente usato. Si lascia in genere la massa a riposo m .

0

Consideriamo la componente temporale a cui moltiplichiamo c

0 2

cp = m γc

0 2

m c

0

= q 2

v

−

1 2

c 1 v

2 2 3

≈ m c + m v + o(( ) )

0 0

2 c

dove si è assunta v << c per sviluppare in serie di Taylor. 2

Si osserva che il secondo termine è pari all’energia della particella. Affermiamo dunque che m c è l’energia a

0

riposo mentre il resto del contributo energetico è l’energia cinetica K.

La componente temporale risulta dunque a meno di fattori pari all’energia del corpo considerato.

E

µ , p) (2.6)

p = ( c

2.2.4 Alcune relazioni utili

Consideriamo la norma del quadrimpulso, si ha che

2 µ ν µ

p = p p = g p p

µ µν

20 2 2 20 2 2

−

= m γ c m γ v

2 2

−

c v

20

= m 2

v

−

1 2

c

2

= m c

0

o equivalentemente 2

E

2 2

−

p = p

2

c

da cui p 2 2 2

E = (m c ) + (cp) (2.7)

0

Altre relazioni utili sono

• 2 2

− −

K = E m c = (γ 1)m c

0 0

• |p| mγv

=

0

p mγc

= β

|p| |p|c

=

0

p E

|p|c

β = E

• E m γ

0

= = γ

2

m c m

0 0

2.2. QUADRIVETTORI 15

2.2.5 Come cambiano gli angoli

0

Consideriamo due sistemi S e S in cui quest’ultimo si muove con velocità v lungo l’asse x. Abbiamo un corpo

0

0 0 0

che in S si muove con velocità v formando un angolo θ con l’ascissa.

Vogliamo ricavare l’angolo θ visto dal sistema S. A tal fine sfruttiamo

v = v cos θ

x

v = v sin θ

y v y

tan θ = v x 0

sfruttiamo le trasformazioni di Lorentz per esprimere v e v in funzione di v

x y

0 0

v

1 v + v 0

y x

tan θ = 0 0

v v v v

γ 0 0

1 + 1+

x x

2 2

c c

0 0

1 v sin θ

= 0 0

γ v cos θ + v 0

16 CHAPTER 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

Chapter 3

Esperimenti di diffusione

Il fenomeno della diffusione (o scattering) intercorre a seguito dell’interazione di particelle (i ”proiettili”) inviate

contro un ”bersaglio”, e le particelle costituenti quest’ultimo.

3.1 Esperimento di Rutherford

Il primo esperimento di diffusione è quello compiuto da Rutherford. Rutherford osservò in primis che la defles-

sione causata da campi elettrici in laboratorio erano sempre molto minori rispetto a quelle date dall’accidentale

presenza di gas nei tubi a vuoto. Questo gli fece ipotizzare che fosse presente un campo molto intenso in

prossimità degli atomi. Questo era in contraddizione con il modello di Thomson allor vigente. Questo prevedeva

−Ze.

che l’a