Fisica Moderna - Appunti

Università degli Studi di Genova

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di studi in Fisica

Dispense del corso di fisica moderna

Carlo Maria Becchi
Massimo D’Elia
Dipartimento di Fisica, Università di Genova, via Dodecaneso 33, 16146 Genova

Introduzione

Negli ultimi anni del XIX secolo, lo sviluppo delle tecniche e il raffinamento degli apparecchi di misura produssero una messe di nuovi dati la cui interpretazione comportò la nascita di numerosi problemi riguardanti, sia la formulazione delle leggi note, sia la trattazione della nuova fenomenologia. In particolare, vanno ricordate l’interpretazione di Einstein-Lorentz del principio di Galileo che afferma l’equivalenza di tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse, la nascita della fisica atomica alla luce della teoria dei quanti e la conseguente riformulazione della teoria statistica della materia.

Numerosi esperimenti avevano portato alla nuova fisica, fra questi ricordiamo molto schematicamente i risultati di Michelson circa l’indipendenza della velocità della luce dal sistema di riferimento, quelli di Hertz sull’effetto foto-elettrico, la rivelazione degli spettri a righe della radiazione atomica, la misura della distribuzione in frequenza dell’energia emessa da un forno ideale, il famigerato corpo nero, e in generale le violazioni dell’equipartizione dell’energia alle basse temperature.

Il corso di Fisica Moderna, ben distinto da quella sviluppata nel corso del XIX secolo, e da quella che, iniziata negli anni '30 del secolo XX e riguarda la natura delle Interazioni Fondamentali e la fisica della materia in condizioni estreme, si prefigge lo scopo di introdurre in modo quantitativo, seppure sommario e necessariamente schematico, gli aspetti principali della relatività ristretta, fisica dei quanti e delle sue applicazioni alla teoria statistica della materia.

Testi Consigliati

• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di Fisica - Fisica Moderna. Casa Editrice Ambrosiana.
• K. Krane, Modern Physics - 2nd edition. John Wiley Inc.

Le onde elettromagnetiche nel vuoto

Lo scopo di questa sezione è richiamare alcuni aspetti basilari della fisica delle onde elettromagnetiche e della luce che saranno essenziali per la comprensione dei temi trattati negli altri capitoli.

Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche

Le equazioni di Maxwell nel vuoto e in assenza di sorgenti si scrivono:

\(\nabla \cdot \vec{E} = 0\)
\(\nabla \cdot \vec{B} = 0\)
\(\nabla \times \vec{H} = \dot{D}\)
\(\nabla \times \vec{E} = -\dot{B}\)

dove \( \vec{B} = \mu_0 \vec{H} \) e \( \vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} \) e il punto sopra il simbolo del vettore indica come al solito la derivata temporale.

Vogliamo ora considerare una soluzione di tali equazioni nel caso particolare in cui i campi dipendano solo dalla coordinata \( x \). Supponendo allora \( \vec{E}(x, t) = E(x, t)\hat{z} \) e \( \vec{B}(x, t) = B(x, t)\hat{y} \), si ha che le prime due equazioni di Maxwell sono automaticamente soddisfatte mentre le rimanenti si riscrivono:

\(\frac{\partial \vec{H}(x, t)}{\partial x} = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)
\(\frac{\partial \vec{E}(x, t)}{\partial x} = \mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}\)

che combinate insieme portano alla seguente equazione per \( E(x, t) \):

\(\frac{\partial^2 E(x, t)}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E(x, t)}{\partial t^2}\)

con \( c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \), e ad una equazione analoga per \( H(x, t) \).

Per studiare le soluzioni dell’equazione 3 passiamo alle variabili

\( u = x - ct \)
\( v = x + ct \)

Da

\(\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial}{\partial v}\)
\(\frac{\partial}{\partial t} = -c\frac{\partial}{\partial u} + c\frac{\partial}{\partial v}\)

si ricava facilmente che

\(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2}{\partial u \partial v}\)

Quindi, posto \( E(x, t) = E(u, v) \), abbiamo che la Eq. 3 si riscrive

\(\frac{\partial^2 E(u, v)}{\partial u \partial v} = 0\)

da cui segue che \( E(u, v) = E^-(u) + E^+(v) \). Quindi \( E(x, t) \) è scrivibile come sovrapposizione di due soluzioni distinte,

\( E(x, t) = E^-(x - ct) + E^+(x + ct) \).

La sola assegnazione di \( E(x, t) \) al tempo \( t_0 \),

\( E(x, 0) = E^-(x) + E^+(x) \),

chiaramente non individua univocamente la soluzione, in quanto è sempre possibile sottrarre una funzione arbitraria a \( E^-(x) \) ed aggiungerla a \( E^+(x) \).

L’ambiguità scompare se assegniamo anche la derivata temporale del campo \( E(x, t) \) al tempo zero, in quanto abbiamo

\( \dot{E}(x, 0) = c[E^-(x) - E^+(x)] \),

dove l’apice indica la derivata spaziale, \( E^-(x) = \frac{dE}{dx} \).

Pertanto possiamo scrivere

\( \dot{E}(x, 0) = \frac{E^+(x, 0) + E^-(x, 0)}{2} \)

e quindi, se stabiliamo che \( E^+ \) e \( E^- \) si annullano per \( x \rightarrow -\infty \), otteniamo

\( E^+(x) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{0} dy \dot{E}(y, 0) \)

individuando così univocamente la soluzione. Naturalmente perché la soluzione abbia significato fisico bisogna che \( E^+(x) \rightarrow 0 \) per \( x \rightarrow +\infty \), e quindi che

\(\int_{-\infty}^{+\infty} dy \dot{E}(y, 0) = 0\).

Supponiamo che \( E(x, t) = E^-(x - ct) \). È chiaro allora che il segnale \( E(x, t + \Delta t) \) fotografato ad un certo istante \( t + \Delta t \) è uguale al segnale fotografato all’istante \( t_0 \), ma traslato di \( c\Delta t \) nella direzione positiva dell’asse \( x \), infatti \( x - ct = x + c\Delta t - c(t + \Delta t) \). Quindi la \( E^- \) descrive la propagazione progressiva del segnale elettromagnetico con velocità \( c \). Analogamente si vede che la \( E^+ \) descrive la propagazione regressiva.

Consideriamo come esempio il caso \( E(x, t) = E^-(x - ct) \), con \( E^- = 0 \) per \( x < 0 \) o \( x > l \) e \( E^- = A \) per \( 0 \le x \le l \). In tal caso il segnale è un’onda quadra compresa fra due fronti e questi ultimi sono le linee orarie di due punti che si muovono nella direzione positiva dell’asse \( x \) con velocità pari a \( c \). Nel caso in cui \( E(x, t) = E^+(x + ct) \) invece il segnale si propaga in senso opposto.

Un altro caso interessante è quello armonico, \( E^- = A \sin(kx + \phi) \). Supponiamo dunque \( E^-(x, t) = A \sin[k(x - ct) + \phi] \). Il segnale fotografato ad un certo istante è periodico (un’onda sinusoidale) con lunghezza \( \Lambda = \frac{2\pi}{k} \), dunque \( k = \frac{2\pi}{\Lambda} \).

Se invece consideriamo lo sviluppo temporale tramite il diagramma orario si ottiene sempre un andamento periodico con periodo dato dalla relazione \( T c = \frac{2\pi}{k} \), e quindi

\( T = \frac{\Lambda}{c} \), da cui segue per la frequenza \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{c}{\Lambda} \).

La riflessione

Supponiamo di disporre un conduttore con una faccia ortogonale all’asse \( x \) e occupante tutto lo spazio alla destra della coordinata \( x = L \) \((x \ge L)\). La presenza di cariche idealmente mobili impone che \( \vec{E} = 0 \) all’interno del conduttore. Inoltre, poiché ad una qualsiasi interfaccia la componente del campo elettrico parallela all’interfaccia è continua (va dimostrato?), ne segue la condizione, per il nostro segnale propagante (per ipotesi \( E(x, t) = E(x, t)\hat{z} \) e quindi parallelo alla superficie del conduttore),

\( E(L, t) = 0 \)

e dunque

\( E^-(L - ct) + E^+(L + ct) = 0 \).

Posto \( z = L + ct \) si ha \( L - ct = 2L - z \) e quindi la condizione si riscrive

\( E^-(z) = E^+(2L - z) \), per cui in generale la soluzione assume la forma

\( E(x, t) = E^-(x - ct) - E^-(2L - x + ct) \quad x < L \)

\( E(x, t) = 0 \quad x \ge L \)

Notiamo che, poiché \( 2L - x \) è il punto simmetrico di \( x \) rispetto al piano di simmetria \( x = L \), la soluzione, per \( x < L \), può essere vista come somma di un segnale progressivo e del suo riflesso speculare rispetto al piano \( x = L \) cambiato di segno (che chiaramente è regressivo).

Consideriamo come esempio esplicito il caso dell’onda quadra vista in precedenza, \( E = 0 \) per \( x < 0 \) o \( x > l \) e \( E = A \) per \( 0 \le x \le l \), e quindi \( E^-(x) = E^-(2L - x) = A \) per \( 2L - l \le x \le 2L \). La forma della soluzione è ben chiara dal diagramma orario qui a lato. Per \( t < (L - l)/c \) solo il segnale progressivo è presente, perché il suo riflesso speculare è ancora tutto contenuto nel semispazio \( x > L \).

Per \( (L - l)/c \le t \le L/c \), entrambi i segnali, progressivo e regressivo, sono presenti: questi due interferiscono e si cancellano parzialmente. Per \( t > L/c \) infine il solo segnale regressivo è presente. L’onda quadra si è quindi riflessa (cambiando segno) alla superficie del conduttore. Notiamo che nell’istante \( t = (L - l)/(2c) \) i due segnali, progressivo e regressivo, interferiscono annullandosi del tutto, per cui si ha \( E(x, t) = 0 \). Questo chiaramente non vuol dire che la soluzione considerata è quella nulla, dimostrando ancora una volta che la sola specifica di \( E(x, t_0) \) ad un certo istante \( t_0 \) non è sufficiente a determinare la soluzione, ma che è necessaria la specifica anche di \( \dot{E}(x, t_0) \), che nel nostro caso a \( t = (L - l)/(2c) \) è appunto diverso da zero.

Il fenomeno per cui l’onda progressiva e quella riflessa si annullano ad un certo istante non accade solo per l’onda quadra ma più in generale per ogni segnale che sia simmetrico intorno ad uno (o più) punti, e l’annullamento avviene in corrispondenza del passaggio del centro di simmetria per la superficie del conduttore.

Consideriamo come secondo esempio la riflessione di un’onda incidente sinusoidale, \( E(x) = A \sin kx \). In tal caso:

\( E(x, t) = A[\sin k(x - ct) - \sin k(2L - x - ct)] \).

Possiamo scrivere

\( \sin k(x - ct) = \sin k(x - L - (ct - L)) \)

\( \sin k(2L - x - ct) = \sin k(x - L + (ct - L)) \),

e utilizzando la formula \( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta \) ottenere infine

\( E(x, t) = 2A \sin k(x - L) \cos k(ct - L) \).

Consideriamo il valore del quadrato del campo elettrico mediato sul tempo:

\( \langle E^2(x, t) \rangle = A^2 [1 - \cos 2k(x - L)] \).

Questo si annulla per \( 2k(x - L) = 2\pi n \) e quindi per \( x = L - n\Lambda/2 \) con n positivo (ricordiamo che stiamo studiando la sola regione \( x < L \)).

Esistono molti metodi di misura che permettono di rivelare il valor medio sul tempo del quadrato del campo elettrico: in questo caso essi rivelerebbero una struttura a frange di interferenza.

È chiara l’origine di tale figura di interferenza: l’onda viene riflessa dallo specchio con il segno cambiato. Allora nei punti che distano un multiplo di \( \Lambda/2 \) dalla superficie dello specchio interferiscono l’onda incidente e l’onda riflessa che ha una differenza di cammino ottico pari ad un multiplo intero della lunghezza d’onda e il segno cambiato, da cui segue appunto la cancellazione totale (interferenza distruttiva).

Consideriamo ora, invece di uno specchio ortogonale all’asse \( \hat{x} \), un filo conduttore cilindrico, di diametro molto piccolo rispetto alla lunghezza d’onda \( \Lambda \), posto parallelamente all’asse \( \hat{z} \) con l’asse in \( x = y = 0 \). Ci aspettiamo che l’onda riflessa sia quella generata dagli elettroni del filo, che in prima approssimazione genereranno un’onda con la stessa simmetria cilindrica del filo: infatti tutte le cariche del filo si muoveranno insieme perché il suo diametro è piccolo rispetto a \( \Lambda \).

In coordinate cilindriche, \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), \(\phi = \tan^{-1}(y/x)\), il campo riflesso sarà dunque, come quello incidente, parallelo all’asse \( \hat{z} \) e avrà simmetria cilindrica, cioè dipenderà solo da r e non da \( \phi \) o \( z \).

Se il segnale incidente è armonico, cioè dipende dal tempo come \( \sin(kct + \phi_0) \), dobbiamo ritenere che a grandi r \( \gg \Lambda \), sia \( E(r, t) \propto A(r) \sin[k(r-ct)+\phi_0] \).

Essendo la quantità la densità di energia trasportata dall’onda proporzionale al quadrato del campo elettrico, se vogliamo che il flusso irradiato sia costante a tutte le distanze, allora il campo \(\propto E\) deve diminuire come \( 1/r \) a grandi distanze. Questo fissa la forma funzionale della funzione \( A(r) \) e quindi abbiamo infine

\( E(x, t) \propto \frac{1}{\sqrt{r}} \sin[(k(r-ct) + \phi_0)] \).

Si può verificare che la soluzione soddisfa l’equazione delle onde a meno di termini \( \propto 1/r^2 \), che sono trascurabili a grande r.

Supponiamo ora di disporre non uno solo di tali fili conduttori, ma una serie di essi, tutti paralleli all’asse \( \hat{z} \) e intersecanti l’asse \( \hat{y} \) nei punti \( y = nd \), con \( d \ll \Lambda \), e di far incidere la solita onda piana propagantesi lungo l’asse \( \hat{x} \) e con il campo elettrico parallelo all’asse \( \hat{z} \).

Il campo elettrico riflesso dal filo n-esimo sarà allora

\( E(x, y, t) \propto \frac{1}{\sqrt{x^2 + (y - nd)^2}} \sin[k(\sqrt{x^2 + (y - nd)^2} - ct) + \phi_0] \).

La fase \( \phi_0 \) è la stessa per tutti gli n, poiché chiaramente tutti i fili vengono investiti dall’onda piana con la stessa fase.

Per distanze \( x, y \ll nd \) possiamo scrivere

\( \sqrt{x^2 + (y - nd)^2} \approx \rho(1 - \frac{2ndy + n^2d^2}{2\rho^2}) \)

dove si è posto \( \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Poniamo per semplicità \( a = \frac{kdy}{\rho} = kd \sin \theta \), dove \( \theta \) è l’angolo rispetto all’asse \( \hat{x} \) del punto \( (x, y) \) considerato, come esplicitato in figura.

Il campo risultante dalla somma dei campi riflessi dai singoli fili è

\( E \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}\sum_{n=-N}^{N} \cos na \)

\( \approx \frac{1}{\sqrt{\rho}}\sum_{n=-N}^{N} \text{cos}(k(\rho - ct) + \phi_0)\).

Si dimostra facilmente che

\( \sum_{n=-N}^{N} \cos na = \frac{\sin[(2N + 1)a/2]}{\sin[a/2]} \)

e dunque se in analogia con la riflessione dallo specchio piano calcoliamo la media temporale del quadrato del campo elettrico, troviamo

\( \langle E^2 \rangle = \frac{A^2}{\rho^2} \left( \frac{\sin[(2N + 1)\pi d \sin \theta/\Lambda]}{\sin[\pi d \sin \theta/\Lambda]} \right)^2 \).

Osserviamo che ogni volta che, al variare di \( \theta \), \( \sin[\pi d \sin \theta/\Lambda] = n\pi \), \( \langle E^2 \rangle \) appare come una frazione indeterminata perché si annullano simultaneamente numeratore e denominatore. In effetti usando la regola dell'Hopital si ha:

\( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)

e quindi l’intensità presenta massimi principali per cui

\( \langle E^2 \rangle = \frac{(2N + 1)^2A^2}{\rho^2} \).

È importante notare che in corrispondenza dei massimi principali i raggi riflessi da due fili contigui si combinano con una differenza di fase pari a un numero intero di lunghezze d’onda come è illustrato nella figura qui accanto. Questa situazione caratterizza tutti i processi di diffrazione.

Esercizi e problemi

1. Calcolate la frequenza dell’onda stazionaria fondamentale fra due piani conduttori posti a distanza L = 10 cm l’uno dall’altro.
   • Soluzione: \( \nu = c/2L \approx 1.5 \times 10^9 \text{Hz} \)
2. Su un piano conduttore ideale posto nell’origine incide un segnale dall’asse x negativo, che per \( t \rightarrow -\infty \) \[ E^-(x, t) = A e^{-(x-ct)^2/2l^2} \]. Descrivere il segnale a tempo finito.
   • Soluzione: \( E^-(x, t) = A[e^{-(x-ct)^2/2l^2} - e^{-(x+ct)^2/l^2}] \)
3. Indicare a quale angolo si ha il massimo principale (n=1) della figura di diffrazione generata da un reticolo di passo eguale a 10 cm se la lunghezza d’onda è \( \lambda = 1 \text{cm}\).
   • Soluzione: \( \theta = \text{arcsin}(\lambda/d) \approx 0.1 \text{rad} \)

La relatività ristretta

Le equazioni di Maxwell nel vuoto descrivono la propagazione di segnali elettromagnetici con velocità \( c \equiv \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \). Dato che, secondo il principio di relatività di Galileo, passando da un sistema di riferimento a un altro, le velocità si sommano come vettori, il vettore velocità del segnale luminoso in un riferimento inerziale (O) si somma vettorialmente con la velocità di O rispetto a un altro sistema inerziale O’ fornendo la velocità del segnale luminoso rispetto a O’.