Fisica Moderna - Appunti

Etrasformazione di Lorentz

Etrasformazione di Lorentz che fa passare da un protone con energia inmin2uno a riposo, cioè risolvendo: E 2m + µ1 min√ = = .22− 2mc 2m1 βL’impulso totale del sistema nel centro di massa è, come abbiamo detto, nulloe l’energia totale E . Invece nel laboratorio l’impulso totale è ottenuto conminla trasformazione di Lorentz appena considerata e vale: ss 21 (2m + µ)E Eβ min min√ − −= 1 = (2m + µ)c 1P =L 2 2−2− c 1 β c 4m1 β 2m + µ q 24mµ + µ .c= 2mQuesta è anche la risposta al nostro quesito dato che, nel laboratorio tuttol’impulso è portato dal protone del fascio.Un modo alternativo di ottenere lo stesso risultato senza far uso esplicitodelle trasformazioni di Lorentz consiste nell’osservare che, se E è l’energiaL2E2 −totale nel laboratorio, P è invariante ed è quindi eguale alla stessaLL 2cespressione calcolata nel centro di massa.

Sostituendo P con zero e E con L LE si ha:min 2EL2 2 2−(2m−P = + µ) c .L 2cScrivendo E come la somma dell’energia protone del fascio che ha impulsoLq 22 2 2 4P : P c + m c e di quella del protone a riposo mc , si ha l’equazione perL L 27P :L 21 q 2 22 22 2 2 4 −(2m− = + µ) c .P P c + m c + mcL L2cche porta allo stesso risultato ottenuto prima.Esercizi e problemi −121. Una particella materiale ha energia totale pari a 2.5 10 Joule e im-−21 ×pulso pari a 7.9 10 Newton sec; calcolarne la massa a riposo e lavelocità v. √ 2 2 2 2E −c p pc−30 8Soluzione: ' '9 10 kg , v = 2.85 10 m/sec.m = 2c E2. Un elettrone urtando un protone può dare vita a un processo di fusionein cui tutta l’energia disponibile viene acquisita dal neutrone risultante.9L’energia di riposo del protone vale 0.938 10 eV , quelle del neutrone e9 5dell’elettrone valgono rispettivamente 0.940 10 eV e 5 10 eV .

Qual è la velocità di un elettrone che produce il processo considerato urtando un protone a riposo. Soluzione: l'energia necessaria è pari a (0.940 - 0.938) 10 eV a cui bisogna aggiungere l'energia cinetica del neutrone finale che è dell'ordine di 10^-9 eV; quindi trascurabile rispetto a (0.940 - 0.938) 10 eV; questo è dunque, con buona approssimazione il valore dell'energia totale E = 2 * 10 eV dell'elettrone. La sua velocità è quindi v = c * √(1 - (m_e^2 / E^2)) = 2.9 * 10^8 m/sec. Il risultato esatto si ottiene esponendo E = c * √(m_e^2 + m_p^2). Il sistema costituito da un elettrone e un positrone, la copia dell'elettrone con massa eguale e carica opposta, si annichila a riposo in due fotoni. Ricordando che la massa dell'elettrone è 9 * 10^-31 kg, calcolare la lunghezza d'onda di ciascun fotone. Spiegare perché lo stesso sistema non si annichila in un solo.

fotone.−13Soluzione: 'λ = h/mc 4.2 10 m . Nel sistema di riposo l’eventuale unicofotone prodotto del decadimento dovrebbe portare energia ma non impulso.28 34. Un’astronave fotonica la cui massa di riposo iniziale è M = 10 kgriceve la spinta meccanica da un fascio di luce (fotoni) emesso nelladirezione opposta al moto la cui potenza, nel sistema dell’astronave, è15pari a W = 10 W att; qual è la derivata della massa a riposo rispettoal tempo proprio? E quale l’accelerazione dell’astronave nel sistema incui il moto è incipiente?dM 2 −2 3 2Soluzione: ' '= W/c 1.1 10 kg/sec , a = W/M c 3.3 10 m/sec .dt o5. Come cambia la massa di 1 g di rame se viene scaldato da 0 C ao o100 C sapendo che il calore specifico del rame è pari a 0.4 Joule/g C.2 −16Soluzione: '∆M = C∆T /c 4.4 10 kg .6. Un fotone di energia E colpisce un elettrone a riposo e produce unacoppia elettrone-positrone in modo tale che, dopo l’urto,

I due elettroni e il positrone si muovono con lo stesso impulso. Sapendo che la massa delle particelle è pari a m = 9 * 10^-31 kg, calcolare l'energia del fotone in eV e l'impulso comune alle tre particelle finali. E = 4mc * 3.2 * 10^-13 Joule, p = mc * 3.6 * 10^-3 N/m³c^-2.

Una particella di massa M = 10 kg decade, a riposo, in una particella di massa m = 4 * 10^-28 kg e un fotone. Quanto vale l'energia del fotone prodotto dal decadimento. Fornire il risultato in Joule e in MeV (milioni di elettroni-volt). Soluzione: Nel sistema di riposo il fotone e la particella di massa m devono avere impulsi opposti e uguali in modulo. La conservazione dell'energia allora si scrive M c² = m c² + p_c c + p_c, dove p_c è il comune modulo dell'impulso finale. Risolvendo per p_c, energia del fotone, si ottiene pc = 2M * 10^-29 * c = 0.42 M c = 3.78 * 10^-11 Joule = 2.36 * 10^-2 MeV.

Una particella di massa M = 10 kg decade in due particelle di uguale massa m = 3.10 kg. Se, prima del decadimento, la particella si muove con velocità v = 0.99c rispetto al laboratorio e si misurano, ovviamente nel laboratorio, le energie delle particelle prodotte dal decadimento, entro quale intervallo varia l'energia osservata di una qualunque delle due particelle al variare dell'angolo di decadimento?

Soluzione: Nel sistema del centro di massa entrambe le particelle hanno energia E = Mc²/4 e impulso P = Mv/2. Sia θ l'angolo formato dalla direzione di volo di una delle due particelle nel centro di massa e la direzione di volo della particella iniziale nel sistema del laboratorio. Dalle leggi di trasformazione di impulso ed energia ricaviamo, per l'energia di una delle particelle nel sistema del laboratorio, E' = γ(E + vcosθPc). Dobbiamo trovare il minimo e il massimo di E'.

come (p , p ) e (p , ).x y x y

La conservazione dell'impulso lungo l'asse x implica p = p/2. Inserendo questo

x p 2 2−M /4 m . Si ottiene risultato nella conservazione dell'energia si ottiene: p = cy 'infine che l'angolo fra le due particelle è pari a 2θ = 2 atan(p /p ) 0.206 rad.y x30 410.

Un fotone, particella con massa nulla, con energia E = 10 eV urta un−30elettrone a riposo con massa m = 10 kg e viene riflesso all'indietro.

Calcolate la velocità dell'elettrone e l'energia del fotone dopo l'urto.

Soluzione: Dalla conservazione dell'impulso deduciamo che il moto avviene tutto0lungo lo stesso asse. Detto p l'impulso dell'elettrone e E l'energia del fotone dopo0l'urto, ricaviamo dalla conservazione dell'impulso pc = E + E , che inserito nella0 2 2equazione di conservazione dell'energia porta infine a E = mc E/(2E + mc ) =40.96 10 /eV . Per la velocità dell'elettrone

ricaviamo invece2 0pc E + E 'c 0.039cv = = 2 0−p E + mc E2 2 2 4p c + m c −111. Una trottola di massa a riposo M = 10 kg assimilabile a un disco di−2densità uniforme e raggio R = 5 10 m ruota con velocità angolare3pari a Ω = 10 radianti/sec .Qual è la variazione dovuta alla rotazione dell’energia della trottola nelsistema in moto relativo con velocità v = 0, 9c .

Soluzione: Nel sistema di riposo del centro di massa della trottola, l’energia totalepuò xsicuramente essere determinata secondo l’approssimazione non relativistica.Infatti la velocità massima raggiunta dai punti materiali costituenti la trottola è−7'quella che si ha sul bordo, cioè ΩR = 50 m/sec 1.67 10 c. L’energia èquindi la somma delle energie di riposo e di quelle cinetiche delle singole particelle:1 12 2 2E = M c + IΩ con il momento di inerzia I = M R . Dalle trasformazionitot 2 2di Lorentz ricaviamo come l’energia totale trasforma da

un sistema all'altro: es-sendo nullo l'impulso totale nel sistema del c.m. della trottola, la trasformazione è semplicemente 1 1 10 22E = .IΩE = M c +tottot p p 22 2 2 2− −1 v 1 v/c /cD'altra parte se la trottola non fosse stata in rotazione, nel sistema in moto l'energia2Mc√totale sarebbe stata pari a : ne deduciamo che nel sistema in moto l'energia2 21−v /c 11 2√ 'IΩ 143 Joule.della trottola dovuta alla rotazione è pari a 22 21−v /c 412. Un fotone, particella con massa nulla, con energia 10 eV si muovelungo l'asse x; un altro fotone si muove lungo l'asse y con energiadoppia del primo. Calcolare le componenti della velocità del baricentro31del sistema, cioè del sistema di riferimento in cui l'impulso totale è nullo.~Soluzione: Il problema si risolve ricordando che, det