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Ø L compiuto dal sistema non dipende solo dagli stati iniziale e

finale, ma anche dagli stati intermedi e quindi dal particolare

cammino seguito nel piano PV.

Ø Si ottiene un risultato analogo se si calcola il flusso di Q durante

il processo. Cioè il calore che fluisce nel sistema dipende da

come il sistema viene riscaldato. Es.: Q che fluisce varia se il

sistema è riscaldato a T = cost., a P = cost. oppure a V = cost.

Ø Quindi il calore ceduto o assorbito da un sistema non dipende

solo dallo stato iniziale e finale del sistema stesso, ma anche

dagli stati intermedi, cioè dal percorso tra i ed f.

Ø Questo è un risultato sperimentale: sia L che Q dipendono dal

percorso della trasformazione termodinamica.

Trasformazioni termodinamiche e 10

Primo principio della termodinamica

Il 1° principio della termodinamica

Ø Si consideri un sistema che passi da uno stato di equilibrio

iniziale i ad uno stato di equilibrio finale f tale che il calore

assorbito dal sistema sia Q ed il lavoro da esso compiuto sia L.

Si compia la trasformazione da i ad f lungo diversi percorsi.

Ø Se si calcola percorso la differenza Q - L, si trova che essa è

sempre la stessa, qualunque sia il percorso o la trasformazione

per passare da i ad f.

Ø Quindi, sebbene Q ed L separatamente dipendano dal percorso

della trasformazione, la differenza Q - L dipende unicamente

dallo stato iniziale e finale (di equilibrio).

Ø Un caso analogo si aveva in meccanica quando si calcolava il

lavoro in presenza di forze conservative. Ciò implicava

l’esistenza di una funzione delle coordinate spaziali del punto:

Trasformazioni termodinamiche e 11

Primo principio della termodinamica

i.e. la energia potenziale tale che U - U = L non dipendeva dal

i f

percorso seguito, ma solo dai valori iniziale e finale della energia

potenziale U.

Ø Quindi, se un sistema compie una trasformazione da i ad f , la

differenza Q - L dipende solo dalle coordinate iniziali e

finali (P, V, T).

Ø Pertanto, deve esistere una funzione (U) delle coordinate TD, il

cui valore finale meno quello iniziale ( ) è pari a Q - L.

ΔU

Questa funzione è detta energia interna U ⇒

U - U = ΔU = Q - L 1° principio della termodinamica

f i

Q è considerato positivo se entra nel sistema;

L è considerato positivo se compiuto dal sistema;

Trasformazioni termodinamiche e 12

Primo principio della termodinamica

COMMENTI:

Ø U è una funzione di stato cioè è una grandezza il cui valore

dipende solo dallo stato fisico del sistema: P, V, T; composizione

chimica e stato di aggregazione (gas, liquido).

Ø Il I principio della TD non è altro che la legge di conservazione

dell’energia per i sistemi termodinamici:

la quantità di Energia totale che il sistema riceve (i.e. il calore

ΔQ scambiato) è uguale alla somma di energia interna del

sistema (cioè la ΔU) + l’energia che il sistema cede all’esterno

(i.e. Lavoro).

Ø In termini infinitesimi: dU dQ dL

= −

Trasformazioni termodinamiche e 13

Primo principio della termodinamica

Ø Il primo principio della TD si applica processo che avviene in

natura fra stati di equilibrio.

Ricordiamo che un sistema TD è in uno stato di equilibrio

quando sono noti i parametri P, V, T, etc.

Ø Questa legge vale anche se gli stati intermedi del sistema

durante la trasformazione da i ad f (di equilibrio) non sono

stati di equilibrio: Cioè vale anche per le Trasfomaz. Irreversibili.

Ø Infine, il 1° principio afferma che in ogni processo TD

l’energia si conserva, ma non ci dice niente sulla possibilità

che il processo avvenga o no.

Trasformazioni termodinamiche e 14

Primo principio della termodinamica

Le 4 trasformazioni della termodinamica:

isocora, isobara, isoterma, adiabatica

Ø In termodinamica si fa uso di 4 trasformazioni reversibili per

descrivere tutti i processi termodinamici conosciuti, tra stati di

equilibrio termodinamico.

a) TRASFORMAZIONI ISOCORE (V = cost)

Ø Queste avvengono a V = cost tra due

P stati di equilibrio TD nel piano PV e

f (V , P , T )

f f f si osserva un aumento di T pari a ΔT (es.

vapore nella pentola a pressione).

i (V , P , T )

i i i Ø Consideriamo n moli di gas perfetto:

In questa trasf. essendo ΔV = 0 => L = 0.

V = V

i f V

Trasformazioni termodinamiche e 15

Primo principio della termodinamica

Ø Per il 1° principio della termodinamica:

ΔU = Q - L , ma L 0 U Q

= ⇒ Δ =

Cioè, nelle isocore tutto il calore trasferito al sistema

termodinamico va in aumento di energia interna: ΔU > 0.

1 Q

Δ

Ø Per un gas: c Q nc T

= ⇒ Δ = Δ

v v

n T

Δ

essendo U Q U n

c T (*)

Δ = Δ ⇒ Δ = Δ

v

Ø La (*) ha validità generale: i.e. se la T di un gas cresce di ΔT, la

sua energia interna aumenta di U nc T

Δ = Δ

v

Trasformazioni termodinamiche e 16

Primo principio della termodinamica

b) TRASFORMAZIONI ISOBARE (P = cost)

Ø Queste avvengono a P = cost tra due stati di equilibrio TD.

Ø (es. gas riscaldato in un cilindro con pistone scorrevole;

palloncino gonfiato a pressione atmosferica).

Ø Consideriamo n moli di gas perfetto:

Ø Dal 1° principio della termodinamica:

P U Q L con L 0

Δ = − ≠

i f

P = P

i f Ø Sia Q > 0 (cioè Q è trasferito al gas).

L = p ΔV Ø Per un gas dalla definizione di c ⇒

p

1 Q

V

V V Δ

i f c Q nc T

= ⇒ = Δ

p p

n T

Δ

Trasformazioni termodinamiche e 17

Primo principio della termodinamica

Ø Il lavoro compiuto dal sistema è dato dall’area del rettangolo al

disotto dell’isobara: P

( )

L P V P V V 0

= Δ = − > i f

f i P = P

i f

Ø La variazione ΔU è sempre: L = p ΔV

U nc T

Δ = Δ

v V

V V

i f

Quindi, il Q trasferito, in parte viene trasformato in lavoro L ed

in parte serve ad aumentare l’energia interna di una quantità ΔU.

Q U L nc T nc T P V

= Δ + ⇒ Δ = Δ + Δ

p v

Trasformazioni termodinamiche e 18

Primo principio della termodinamica

c) TRASFORMAZIONI ISOTERME (T = cost)

Ø Nelle trasformazioni isoterme essendo T = cost ΔT = 0

⇒ ⇒

U nc T 0

Δ = Δ =

v

Dal 1° principio della termodinamica:

U Q L 0 Q L

Δ = − = ⇒ =

In queste trasformazioni tutto il calore Q trasferito ad un sistema

termodinamico viene trasformato in lavoro.

P Ø Consideriamo n moli di gas perfetto

i che si espande isotermicamente (T = cost)

PV = cost da V a V .

i f

f V

L f

L PdV

= ∫

V

i

V V V

i f Trasformazioni termodinamiche e 19

Primo principio della termodinamica

Se il gas è perfetto: V

nRT nRT dV

V V f

f f

P L dV L nRT n

RT ln

= ⇒ = ⇒ = =

∫ ∫

V V V V

V V

i i i

§ Si noti che quando il gas si espande (V > V ): L > 0

f i

Viceversa, quando il gas è compresso (V < V ): L < 0.

f i

Ciò è in accordo con la convenzione sul segno di L nel 1°

principio della TD.

Ø In pratica, si esegue una trasformaz. isoterma espandendo o

comprimendo lentamente il sistema (cilindro + pistone), a

contatto con un serbatoio termico (a T = cost) in modo che:

Ø il calore prodotto dal gas nella compressione lenta sia assorbito

dal termostato a T = cost; o viceversa, nella espansione

lenta il Q L viene fornito dal termostato a T = cost.

→ Trasformazioni termodinamiche e 20

Primo principio della termodinamica

d) TRASFORMAZIONI ADIABATICHE (ΔQ = 0).

Ø Dicesi adiabatica una trasformazione TD che avviene senza

scambio di Q con l’esterno.

In pratica ciò si realizza o con recipienti isolati o con

trasformazioni molto rapide ΔQ = 0.

Ø Dal 1° principio della termodinamica:

U Q L U L

Δ = − ⇒ Δ = − ⇒

U U L U U L

− = − ⇒ = − ⇒

f i f i

se L 0 U U (T )

> → < ↓

f i

se L 0 U U (T )

< → > ↑

f i

Ø Cioè se il processo adiabatico compie del lavoro (L>0), ciò

avviene a spese della sua U che diminuisce.

Ø Se, invece, del lavoro esterno è compiuto sul sistema (L<0), la

sua U aumenta a spese del lavoro esterno.

Trasformazioni termodinamiche e 21

Primo principio della termodinamica

Ø Per esempio, un gas che si espande adiabaticamente compie

lavoro verso l’esterno e la sua U diminuisce e la T ↓

Questo processo può essere usato per raggiungere basse T.

Inversamente, una compressione adiabatica provoca un aumento

di U e quindi la T (es. pompa di bicicletta).

Ø Altri esempi di espansioni adiabatiche:

- espansione di gas in un motore a combustione interna;

- compressione dell’aria in un motore Diesel.

Ø L’importanza dei processi adiabatici sta nel fatto che le

macchine termiche reali producono L mediante processi di

espansione che sono in realtà trasformazioni adiabatiche.

Trasformazioni termodinamiche e 22

Primo principio della termodinamica

Ø Caso particolare di processo adiabatico: l’espansione libera

VUOTO GAS

GAS

GAS P ?

P = 0 P ? f

i f

Stato di equilibrio iniziale Stato di equilibrio finale

Se si apre la valvola, il gas si espande liberamente nel vuoto.

A causa dell’isolamento termico, questo processo è adiabatico

e, poiché le pareti del recipiente sono rigide, non viene eseguito

alcun L né sul sistema, né dal sistema L = 0

U Q L 0

Dal 1° principio della termodinamica: Δ = − =

nell’espansione libera U = U T = cost

⇒ ⇒

i f

Trasformazioni termodinamiche e 23

Primo principio della termodinamica

Ø L’espansione libera non è una trasformazione reversibile,

perché avviene molto rapidamente.

Infatti, aperta la valvola, non si ha più alcun controllo sul

sistema. Quindi P, V, T degli stati intermedi non hanno valori

ben definiti.

Cioè il sistema passa attraverso stati che non sono di equilibrio

TD e quindi la trasformazione non può essere rappresentata da

una curva analitica nel piano PV.

P PV nRT ; P V nRT

= = ⇒

i i f f

i PV P V

=

i i f f 1

f Se V 2

V P P

= ⇒ =

f i f i

2

V

Trasformazioni termodinamiche e 24

Primo principio della termodinamica

s

Espres ione di Poisson (eq. dell’adiabatica)

Ø Si è visto che l’equazione dell’isoterma nel piano PV è (legge di

Boyle): PV = cost (a T = cost)

Ø Si dimostra che l’equazione dell’adiabatica nel piano PV è:

γ

PV = cost (

equazione di Poisso n

)

c p

dove .

γ = c

v

Ø La rappresentazione grafica dell’isoterma nel piano PV è un

ramo di iperbole equilatera.

Trasformazioni termodinamiche e 25

Primo principio della termodinamica

Ø Considero nel piano PV un punto A da cui si faccia espandere un

gas perfetto isotermicamente fino al punto B (T = T ).

A B

Dallo stesso punto A si faccia espandere lentamente lo stesso

gas perfetto in modo adiabatico fino a raggiungere lo stesso

volume finale V .

f Poiché nell’espansione adiabatica il gas

P si è raffreddato, il punto C deve trovarsi

su di una isoterma a temperatura T < T .

C B

PV cost

= Quindi, il grafico di una trasformazione

adiabatica che passa per un punto A del

PV cost

γ = piano PV è più ripida dell’isoterma che

V V

V passa per lo stesso punto.

f

i Trasformazioni termodinamiche e 26

Primo principio della termodinamica

Dimostraz. eq. di Poisson di un gas perfetto

Ø Quando un sistema termodinamico subisce una trasformazione

adiabatica (i.e. ΔQ = 0), il primo principio della termodinamica

diventa: dU dQ dL dU dL

= − ⇒ = −

Ø Il lavoro dovuto ad una variazione di volume dV é ⇒

dL PdV dU PdV dU PdV 0

= ⇒ = − ⇒ + =

Ø Ricordiamo che per un gas perfetto: PdV

dU nc dT nc dT PdV 0 dT

= ⇒ + = ⇒ = −

v v nc

v

Trasformazioni termodinamiche e 27

Primo principio della termodinamica

Ø Differenziando l’equazione di stato dei gas perfetti PV = nRT si

ha: d PV d ( nRT ) PdV VdP nRdT

( ) = ⇒ + =

ricaviamo dT: PdV VdP

+

dT = nR

uguagliando le due espressioni di dT:

PdV PdV VdP PdV PdV VdP

+ + 0

− = ⇒ + = ⇒

c R

n c n R v

v

RPdV c PdV VdP 0 RPdV c PdV c VdP 0

( )

+ + = ⇒ + + = ⇒

v v v

PdV c R c VdP 0 c PdV c VdP 0

( )

+ + = ⇒ + = ⇒

v v p v

Trasformazioni termodinamiche e 28

Primo principio della termodinamica

c p PdV VdP 0

+ =

c

v c p :

dividendo per PV e ricordando che γ = c

v

dV dP 0

γ + =

V P

integrando:

dV dP cost ln V ln P cost

γ γ

+ = ⇔ + =

∫ ∫

V P ( )

ln V ln P cost ln V P cost

γ γ

+ = ⇒ ⋅ = ⇒

cost

PV e cost (equazione di Poisson)

γ = =

Ø Questa è l’equazione di una trasformazione adiabatica per un gas

perfetto. La costante è proporzionale alla quantità di gas.

Trasformazioni termodinamiche e 29

Primo principio della termodinamica

P PV = nRT

PV cost

γ = V

Trasformazioni termodinamiche e 30

Primo principio della termodinamica

L compiuto da un gas perfetto in una trasf. adiabatica

Ø Calcoliamo il lavoro in funzione di T:

dU dQ dL ed essendo dQ 0 dU dL

= − = ⇒ = −

dU nc dT dL nc dT

ricordo che = ⇒ = − ⇒

v v

se L 0 T 0 (il gas si raffredda)

> ⇒ Δ <

⎧

L = -nc ΔT ⎨

v se L 0 T 0 (il gas si riscalda)

< ⇒ Δ >

⎩ Trasformazioni termodinamiche e 31

Primo principio della termodinamica

Ø Calcoliamo il lavoro in funzione di P e V:

C

PV cost P P CV

γ γ

= ⇒ = ⇒ =

V γ C

V V

f f 1 1

L PdV C V dV V V

γ γ γ

− − −

⎡ ⎤

= = = −

∫ ∫ ⎣ ⎦

f i

1

V V γ

i i P CV γ

⎧ =

⎪ f f

essendo ⇒

⎨ P CV γ

=

⎪⎩ i i

CV V CVV P V PV

γ γ

− −

− −

f f i i f f i i

L = = ⇒

1 1

γ γ

− −

PV P V nR

i i f f ( )

L T T

= = −

i f

1 1

γ γ

− −

Trasformazioni termodinamiche e 32

Primo principio della termodinamica

Calori specifici molari di un gas perfetto

Ø Chiamasi calore specifico molare di un gas la Q necessaria per

aumentare di 1K la T di una mole di gas.

Ø Per un gas si usano due calori specifici molari: c e c .

V P

c

CALORE SPECIFICO :

V

Ø Si considerino n moli di un gas ideale in un cilindro a pressione

P, volume V = cost. e temperatura T.

Ø Si fornisca al gas, aumentando lentamente la T della

ΔQ V

sorgente fino a T + ΔT.

Di conseguenza, la P P +ΔP

Trasformazioni termodinamiche e 33

Primo principio della termodinamica

P

P + ΔP

P, V, T isocora f

T + P +

ΔT ΔP

V = cost. T +

V = cost. ΔT

P

ΔQ i T

T +ΔT

T V

O V

Ø Per definizione di c si ha:

V

Q

1 Δ

⎛ ⎞

V

c Q nc T

= ⇒ Δ = Δ

⎜ ⎟

V V V

n T

Δ

⎝ ⎠ V cost.

=

Q è il calore scambiato a V = cost.

Δ V Trasformazioni termodinamiche e 34

Primo principio della termodinamica

Ø Alla trasformazione isocora si applichi il primo principio della

termodinamica (isocora V = cost. L = 0):

Q U L U

Δ = Δ + = Δ

V

dalla definizione di c Q nc T

⇒ Δ = Δ ⇒

V V V

U nc T U nc T

Δ = Δ ⇒ =

V V

vale gas ideale e trasformazione che p

orti allo stess o T.

∀ ∀ Δ

Trasformazioni termodinamiche e 35

Primo principio della termodinamica


PAGINE

59

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3.86 MB

AUTORE

kalamaj

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Fisica Medica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (a ciclo unico - 6 anni)
SSD:
Università: Foggia - Unifg
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kalamaj di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica Medica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Foggia - Unifg o del prof Capozzi Vito.

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