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Ø L’espansione libera non è una trasformazione reversibile,

perché avviene molto rapidamente.

Infatti, aperta la valvola, non si ha più alcun controllo sul

sistema. Quindi P, V, T degli stati intermedi non hanno valori

ben definiti.

Cioè il sistema passa attraverso stati che non sono di equilibrio

TD e quindi la trasformazione non può essere rappresentata da

una curva analitica nel piano PV.

P PV nRT ; P V nRT

= = ⇒

i i f f

i PV P V

=

i i f f 1

f Se V 2

V P P

= ⇒ =

f i f i

2

V

Trasformazioni termodinamiche e 24

Primo principio della termodinamica

s

Espres ione di Poisson (eq. dell’adiabatica)

Ø Si è visto che l’equazione dell’isoterma nel piano PV è (legge di

Boyle): PV = cost (a T = cost)

Ø Si dimostra che l’equazione dell’adiabatica nel piano PV è:

γ

PV = cost (

equazione di Poisso n

)

c p

dove .

γ = c

v

Ø La rappresentazione grafica dell’isoterma nel piano PV è un

ramo di iperbole equilatera.

Trasformazioni termodinamiche e 25

Primo principio della termodinamica

Ø Considero nel piano PV un punto A da cui si faccia espandere un

gas perfetto isotermicamente fino al punto B (T = T ).

A B

Dallo stesso punto A si faccia espandere lentamente lo stesso

gas perfetto in modo adiabatico fino a raggiungere lo stesso

volume finale V .

f Poiché nell’espansione adiabatica il gas

P si è raffreddato, il punto C deve trovarsi

su di una isoterma a temperatura T < T .

C B

PV cost

= Quindi, il grafico di una trasformazione

adiabatica che passa per un punto A del

PV cost

γ = piano PV è più ripida dell’isoterma che

V V

V passa per lo stesso punto.

f

i Trasformazioni termodinamiche e 26

Primo principio della termodinamica

Dimostraz. eq. di Poisson di un gas perfetto

Ø Quando un sistema termodinamico subisce una trasformazione

adiabatica (i.e. ΔQ = 0), il primo principio della termodinamica

diventa: dU dQ dL dU dL

= − ⇒ = −

Ø Il lavoro dovuto ad una variazione di volume dV é ⇒

dL PdV dU PdV dU PdV 0

= ⇒ = − ⇒ + =

Ø Ricordiamo che per un gas perfetto: PdV

dU nc dT nc dT PdV 0 dT

= ⇒ + = ⇒ = −

v v nc

v

Trasformazioni termodinamiche e 27

Primo principio della termodinamica

Ø Differenziando l’equazione di stato dei gas perfetti PV = nRT si

ha: d PV d ( nRT ) PdV VdP nRdT

( ) = ⇒ + =

ricaviamo dT: PdV VdP

+

dT = nR

uguagliando le due espressioni di dT:

PdV PdV VdP PdV PdV VdP

+ + 0

− = ⇒ + = ⇒

c R

n c n R v

v

RPdV c PdV VdP 0 RPdV c PdV c VdP 0

( )

+ + = ⇒ + + = ⇒

v v v

PdV c R c VdP 0 c PdV c VdP 0

( )

+ + = ⇒ + = ⇒

v v p v

Trasformazioni termodinamiche e 28

Primo principio della termodinamica

c p PdV VdP 0

+ =

c

v c p :

dividendo per PV e ricordando che γ = c

v

dV dP 0

γ + =

V P

integrando:

dV dP cost ln V ln P cost

γ γ

+ = ⇔ + =

∫ ∫

V P ( )

ln V ln P cost ln V P cost

γ γ

+ = ⇒ ⋅ = ⇒

cost

PV e cost (equazione di Poisson)

γ = =

Ø Questa è l’equazione di una trasformazione adiabatica per un gas

perfetto. La costante è proporzionale alla quantità di gas.

Trasformazioni termodinamiche e 29

Primo principio della termodinamica

P PV = nRT

PV cost

γ = V

Trasformazioni termodinamiche e 30

Primo principio della termodinamica

L compiuto da un gas perfetto in una trasf. adiabatica

Ø Calcoliamo il lavoro in funzione di T:

dU dQ dL ed essendo dQ 0 dU dL

= − = ⇒ = −

dU nc dT dL nc dT

ricordo che = ⇒ = − ⇒

v v

se L 0 T 0 (il gas si raffredda)

> ⇒ Δ <

⎧

L = -nc ΔT ⎨

v se L 0 T 0 (il gas si riscalda)

< ⇒ Δ >

⎩ Trasformazioni termodinamiche e 31

Primo principio della termodinamica

Ø Calcoliamo il lavoro in funzione di P e V:

C

PV cost P P CV

γ γ

= ⇒ = ⇒ =

V γ C

V V

f f 1 1

L PdV C V dV V V

γ γ γ

− − −

⎡ ⎤

= = = −

∫ ∫ ⎣ ⎦

f i

1

V V γ

i i P CV γ

⎧ =

⎪ f f

essendo ⇒

⎨ P CV γ

=

⎪⎩ i i

CV V CVV P V PV

γ γ

− −

− −

f f i i f f i i

L = = ⇒

1 1

γ γ

− −

PV P V nR

i i f f ( )

L T T

= = −

i f

1 1

γ γ

− −

Trasformazioni termodinamiche e 32

Primo principio della termodinamica

Calori specifici molari di un gas perfetto

Ø Chiamasi calore specifico molare di un gas la Q necessaria per

aumentare di 1K la T di una mole di gas.

Ø Per un gas si usano due calori specifici molari: c e c .

V P

c

CALORE SPECIFICO :

V

Ø Si considerino n moli di un gas ideale in un cilindro a pressione

P, volume V = cost. e temperatura T.

Ø Si fornisca al gas, aumentando lentamente la T della

ΔQ V

sorgente fino a T + ΔT.

Di conseguenza, la P P +ΔP

Trasformazioni termodinamiche e 33

Primo principio della termodinamica

P

P + ΔP

P, V, T isocora f

T + P +

ΔT ΔP

V = cost. T +

V = cost. ΔT

P

ΔQ i T

T +ΔT

T V

O V

Ø Per definizione di c si ha:

V

Q

1 Δ

⎛ ⎞

V

c Q nc T

= ⇒ Δ = Δ

⎜ ⎟

V V V

n T

Δ

⎝ ⎠ V cost.

=

Q è il calore scambiato a V = cost.

Δ V Trasformazioni termodinamiche e 34

Primo principio della termodinamica

Ø Alla trasformazione isocora si applichi il primo principio della

termodinamica (isocora V = cost. L = 0):

Q U L U

Δ = Δ + = Δ

V

dalla definizione di c Q nc T

⇒ Δ = Δ ⇒

V V V

U nc T U nc T

Δ = Δ ⇒ =

V V

vale gas ideale e trasformazione che p

orti allo stess o T.

∀ ∀ Δ

Trasformazioni termodinamiche e 35

Primo principio della termodinamica

c

CALORE SPECIFICO :

P

Ø Si consideri il gas nel cilindro precedente (P, V, T) e si riscaldino

le n moli di gas perfetto della stessa con una trasformazione

ΔT

isobara. P

V + ΔV

isobara

P, V, T T + ΔT f

P

P = cost. T +

P = cost. ΔT

i

ΔQ P T

T +ΔT

T V V +

O V

ΔV

Ø Si fornisca al gas, aumentando lentamente la T della

ΔQ P

sorgente da T T +

→ ΔT;

di conseguenza il V V +

→ ΔV.

Trasformazioni termodinamiche e 36

Primo principio della termodinamica

Ø Per definizione di c , si ha :

P

Q

1 Δ

⎛ ⎞

P

c Q nc T

= ⇒ Δ = Δ

⎜ ⎟

P P P

n T

Δ

⎝ ⎠ P cos

t .

=

Q è il calore scambiato a P = cost.

Δ P Trasformazioni termodinamiche e 37

Primo principio della termodinamica

Relazione di Mayer tra c e c

P V

Ø Alla trasformazione isobara (P = cost.) si applichi il primo

principio della termodinamica:

Q U L U P V V

( )

Δ = Δ + = Δ + − ⇒

P f i

Q U P V

Δ = Δ + Δ

P

Dalla definizion

e di c Q nc T

⇒ Δ = Δ ⇒

P P P

nc T nc T+P V

Δ = Δ Δ

P V

Ø Per un gas perfetto si è trovato che la U dipende solo dalla T;

essendo la stessa nei due processi

ΔT ⇒

(isocora) = (isobara) = nc

ΔU ΔU ⇒ ΔU ΔT ⇒

V

nc T nc T+P V

Δ = Δ Δ

P V

Dall’eq. di stato: PV = nRT P = cost) PΔV = nRΔT

⇒(a ⇒

Trasformazioni termodinamiche e 38

Primo principio della termodinamica

n c T n c T n R T

Δ = Δ + Δ

P V

c c R Relazione di Mayer

= +

P V J cal

Quindi: c c R > c (R 8.31 1.99 )

= + = =

P V V mol K mol K

⋅ ⋅

Ø La relazione di Mayer è esatta solo per i gas perfetti, ma è

abbastanza verificata da tutti i gas reali.

Questa risultato è valido non solo per i gas monoatomici, ma

anche per i gas poliatomici nelle condizioni di gas ideali.

: In ogni caso si ha c > c .

Ø COMMENTO P V

Infatti, a V = cost., tutto il Q assorbito dal gas per

Δ

aumentare T T + T, è immagazzinato sotto forma di U;

→ Δ Δ

mentre a P = cost., si deve fornire una ulteriore quantità di

energia termica per tener conto del lavoro compiuto per

sollevare il pistone. Trasformazioni termodinamiche e 39

Primo principio della termodinamica

Ciclo termodinamico

Ø Si consideri un gas in uno stato di equilibrio termodinamico,

rappresentato da un punto i nel piano PV.

Ø A partire dal punto i si eseguano delle trasformazioni TD

qualsiasi, facendo in modo che alla fine il gas torni nella

condizione di equilibrio iniziale nel punto i.

Ø L’insieme di tali trasform. TD chiamasi “ciclo termodinamico”.

I cicli termodinamici sono alla P i

base del funzionamento delle

“macchine termiche” e dei

“frigoriferi”.

“Il lavoro ottenuto da un ciclo

termodinamico è pari all’area

del ciclo stesso” V

Trasformazioni termodinamiche e 40

Primo principio della termodinamica

Rendimento di una macchina termica

Ø Il rendimento di una macchina termica è:

L

η = Q

H

dove L è il lavoro fatto dalla macchina e Q è il calore assorbito

H

dal termostato a temperatura maggiore.

Q Q Q

L −

H L L

1 1

η = = = − <

Q Q Q

H H H

Quindi, si avrebbe 1 Q 0

η = ⇔ =

L

Trasformazioni termodinamiche e 41

Primo principio della termodinamica

In pratica Q è sempre > 0 e quindi 1 (sem

p

re

)

η <

L

Cioè ogni macchina termica restituisce una certa Q nel

processo ciclico all’ambiente esterno (cioè termostato a

temperatura inferiore).

Q è la parte del calore assorbito dalla macchina che non riesce

L

ad essere convertita in lavoro durante il processo.

Trasformazioni termodinamiche e 42

Primo principio della termodinamica

Principio della macchina termica

Macchina termica reale Macchina termica ideale

Termostato a Termostato a

temperatura temperatura

più alta T più alta T

H H

Q Q

H H

L L

L = Q - Q L = Q

H L H

Q Q

L −

H L 1

η = = <

Q Q Q

L H H L

T T 1

− η = =

H L

(max)

Termostato a η = Q

T H

temperatura H

più bassa T

L Trasformazioni termodinamiche e 43

Primo principio della termodinamica

Principio del frigorifero

Frigorifero reale Frigorifero ideale

Termostato a Termostato a

temperatura temperatura

più alta T più alta T

H H

Q

Q + L = Q Q L

L H L

C = →∞

R 0

L Frigo

Frigo Q Q

L L

C 1

= = >

R L Q Q

H L

Q Q

T

L L

L

C m

ax

( ) =

R T T

H L

Termostato a Termostato a

temperatura temperatura

più bassa T più bassa T

L L

Trasformazioni termodinamiche e 44

Primo principio della termodinamica

Esempio di frigo reale & condizionatore d’aria)

Q H Q H

Q L

Q L Trasformazioni termodinamiche e 45

Primo principio della termodinamica

Pompa di calore

Q

L Q H

Trasformazioni termodinamiche e 46

Primo principio della termodinamica

Ciclo di Carnot

Ø Un ciclo termodinamico dicesi reversibile se è costituito da

trasformazioni reversibili.

Un ciclo reversibile importantissimo è quello di Carnot perché è

il limite teorico alla possibilità di trasformare Q L.

1° stadio:

gas perfetto in equilibrio

termodinamico nel punto a (P , V , T )

1 1 1

e subisce una espansione isoterma

fino al punto b (P , V , T ).

2 2 1

Viene assorbita una Q dal termostato a

1

temperatura T .

1

Trasformazioni termodinamiche e 47

Primo principio della termodinamica

2° stadio:

espansione adiabatica da b (P , V , T )

2 2 1

a c (P , V , T ).

3 3 2

Il gas espandendosi compie lavoro e la

sua temperatura si abbassa da T a T .

1 2

3° stadio:

il gas subisce una compressione

isoterma a T = T dal punto

2

c (P , V , T ) al punto d (P , V , T ) .

3 3 2 4 4 2

In questo processo una Q pari a Q è

2

ceduta dal gas al termostato a T = T .

2

4° stadio:

il gas subisce una compressione adiabatica dal punto

d (P , V , T ) al punto a (P , V , T ).

4 4 2 1 1 1

Il lavoro L fatto dall’esterno aumenta la U interna essendo ΔQ = 0

e quindi T sale da T a T .

2 1

Trasformazioni termodinamiche e 48

Primo principio della termodinamica

Ø Il lavoro complessivo fatto dal sistema durante l’intero ciclo è

dato dall’area a b c d.

Ø La quantità totale di energia assorbita dal sistema è Q e la

1

ΔU = 0 (infatti U è una funzione di stato) ⇒

U Q L 0 Q Q Q L

Δ = − = ⇒ = − =

T T 1 2

dove:

Q è > 0 perché Q entra nel sistema;

1 1

Q è < 0 perché Q esce dal sistema.

2 2

Ø Si può ottenere qualsiasi quantità di lavoro ripetendo il ciclo più

volte. Cioè il sistema funziona come una macchina termica.

Trasformazioni termodinamiche e 49

Primo principio della termodinamica


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59

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3.86 MB

AUTORE

kalamaj

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Fisica Medica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (a ciclo unico - 6 anni)
SSD:
Università: Foggia - Unifg
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kalamaj di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica Medica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Foggia - Unifg o del prof Capozzi Vito.

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