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Trasformazioni termodinamiche e primo principio della termodinamica
U Q L 0 Q LΔ = − = ⇒ =In queste trasformazioni tutto il calore Q trasferito ad un sistematermodinamico viene trasformato in lavoro.P Ø Consideriamo n moli di gas perfettoi che si espande isotermicamente (T = cost)PV = cost da V a V .i ff VL fL PdV= ∫ViV V Vi f Trasformazioni termodinamiche e 19Primo principio della termodinamicaSe il gas è perfetto: VnRT nRT dVV V ff fP L dV L nRT nRT ln= ⇒ = ⇒ = =∫ ∫V V V VV Vi i i§ Si noti che quando il gas si espande (V > V ): L > 0f iViceversa, quando il gas è compresso (V < V ): L < 0.f iCiò è in accordo con la convenzione sul segno di L nel 1°principio della TD.Ø In pratica, si esegue una trasformaz. isoterma espandendo ocomprimendo lentamente il sistema (cilindro + pistone), acontatto con un serbatoio termico (a T = cost) in modo che:Ø il calore prodotto dal gas nella compressione lenta sia assorbitodal termostato a T = cost;
termodinamicae) TRASFORMAZIONI ISOBARE (ΔP = 0).Ø Dicesi isobara una trasformazione TD che avviene a pressione costante.Ø In questo caso, il lavoro compiuto dal sistema è dato da:L = P(Vf - Vi)Ø Dal 1° principio della termodinamica:U Q L U LΔ = − ⇒ Δ = − ⇒U U L U U L− = − ⇒ = − ⇒f i f ise L 0 U U (T )> → < ↓f ise L 0 U U (T )< → > ↑f iØ Cioè se il processo isobaro compie del lavoro (L>0), ciò avviene a spese della sua U che diminuisce.Ø Se, invece, del lavoro esterno è compiuto sul sistema (L<0), la sua U aumenta a spese del lavoro esterno.termodinamicaØ
Per esempio, un gas che si espande adiabaticamente compie lavoro verso l'esterno e la sua U diminuisce e la T ↓ Questo processo può essere usato per raggiungere basse T. Inversamente, una compressione adiabatica provoca un aumento di U e quindi la T (es. pompa di bicicletta). ↑Ø
Altri esempi di espansioni adiabatiche:
- espansione di gas in un motore a combustione interna;
- compressione dell'aria in un motore Diesel.
L'importanza dei processi adiabatici sta nel fatto che le macchine termiche reali producono L mediante processi di espansione che sono in realtà trasformazioni adiabatiche.
Trasformazioni termodinamiche e 22
Primo principio della termodinamica
Caso particolare di processo adiabatico: l'espansione libera
VUOTO GAS
GAS
GAS P ?P = 0 P ? fi f
Stato di equilibrio iniziale Stato di equilibrio finale
Se si apre la valvola, il gas si espande liberamente nel vuoto. A causa
dell'isolamento termico, questo processo è adiabatico e, poiché le pareti del recipiente sono rigide, non viene eseguito alcun lavoro né sul sistema, né dal sistema L = 0 → U = Q - L = 0 Dal 1° principio della termodinamica: ΔU = Q - L Nell'espansione libera U = U(T) = cost → ΔU = 0 → Q = L Trasformazioni termodinamiche e 23 Primo principio della termodinamica • L'espansione libera non è una trasformazione reversibile, perché avviene molto rapidamente. Infatti, aperta la valvola, non si ha più alcun controllo sul sistema. Quindi P, V, T degli stati intermedi non hanno valori ben definiti. Cioè il sistema passa attraverso stati che non sono di equilibrio e quindi la trasformazione non può essere rappresentata da una curva analitica nel piano PV. P1V1 = nRT1 ; P2V2 = nRT2 → P1V1 = P2V2 Se V2 = 2V1 → P1 = 2P2 Trasformazioni termodinamiche e 24 Primo principio della termodinamica sEspressdai punti A e C nel piano PV sarà una curva che si trova sopra l'isoterma a temperatura T e sotto l'isoterma a temperatura T'. La rappresentazione grafica dell'isoterma nel piano PV è un ramo di iperbole equilatera. Trasformazioni termodinamiche e Primo principio della termodinamica: Considero nel piano PV un punto A da cui si faccia espandere un gas perfetto isotermicamente fino al punto B (T = T'). Dallo stesso punto A si faccia espandere lentamente lo stesso gas perfetto in modo adiabatico fino a raggiungere lo stesso volume finale Vf. Poiché nell'espansione adiabatica il gas si è raffreddato, il punto C deve trovarsi su di una isoterma a temperatura T < T'. Quindi, il grafico di una trasformazione adiabatica che passa dai punti A e C nel piano PV sarà una curva che si trova sopra l'isoterma a temperatura T e sotto l'isoterma a temperatura T'.Per un punto A del PV costante, il piano PV è più ripida dell'isoterma che passa per lo stesso punto.
Trasformazioni termodinamiche e 26
Primo principio della termodinamica
Dimostraz. eq. di Poisson di un gas perfetto
Ø Quando un sistema termodinamico subisce una trasformazione adiabatica (i.e. ΔQ = 0), il primo principio della termodinamica diventa: dU = -dL
Ø Il lavoro dovuto ad una variazione di volume dV è: dL = PdV
Ø Ricordiamo che per un gas perfetto: PdV = nCv dT
Trasformazioni termodinamiche e 27
Primo principio della termodinamica
Ø Differenziando l'equazione di stato dei gas perfetti PV = nRT si ha: d(PV) = PdV + VdP = nRdT
Ø Ricaviamo dT: PdV + VdP + dT = nR
Ø Uguagliando le due espressioni di dT: PdV + VdP = 0
c Rn c n R
vvRPdV c PdV VdP 0 RPdV c PdV c VdP 0( )+ + = ⇒ + + = ⇒v v vPdV c R c VdP 0 c PdV c VdP 0( )+ + = ⇒ + = ⇒v v p v
Trasformazioni termodinamiche e 28Primo principio della termodinamicac p PdV VdP 0+ =cv c p :dividendo per PV e ricordando che γ = cvdV dP 0γ + =V Pintegrando:dV dP cost ln V ln P costγ γ+ = ⇔ + =∫ ∫V P ( )ln V ln P cost ln V P costγ γ+ = ⇒ ⋅ = ⇒costPV e cost (equazione di Poisson)γ = =Ø Questa è l’equazione di una trasformazione adiabatica per un gasperfetto. La costante è proporzionale alla quantità di gas.
Trasformazioni termodinamiche e 29Primo principio della termodinamicaP PV = nRTPV costγ = V
Trasformazioni termodinamiche e 30Primo principio della termodinamicaL compiuto da un gas perfetto in una trasf. adiabaticaØ Calcoliamo il lavoro in funzione di T:dU dQ dL ed essendo dQ 0 dU dL= − = ⇒ = −dU nc dT dL nc
dTricordo che = ⇒ = − ⇒v vse L 0 T 0 (il gas si raffredda)> ⇒ Δ <⎧L = -nc ΔT ⎨v se L 0 T 0 (il gas si riscalda)< ⇒ Δ >⎩ Trasformazioni termodinamiche e 31Primo principio della termodinamicaØ Calcoliamo il lavoro in funzione di P e V:CPV cost P P CVγ γ−= ⇒ = ⇒ =V γ CV Vf f 1 1L PdV C V dV V Vγ γ γ− −⎡ ⎤= = = −∫ ∫ ⎣ ⎦f i1V V γ−i i P CV γ−⎧ =⎪ f fessendo ⇒⎨ P CV γ−=⎪⎩ i iCV V CVV P V PVγ γ− −− −f f i i f f i iL = = ⇒1 1γ γ− −PV P V nR−i i f f ( )L T T= = −i f1 1γ γ− −Trasformazioni termodinamiche e 32Primo principio della termodinamicaCalori specifici molari di un gas perfettoØ Chiamasi calore specifico molare di un gas la Q
La formula necessaria per aumentare di 1K la temperatura di una mole di gas è:
Ø Per un gas si usano due calori specifici molari: cp e cV.
Il calore specifico è definito come:
Ø Si considerino n moli di un gas ideale in un cilindro a pressione P, volume V = costante e temperatura T.
Ø Si fornisca al gas, aumentando lentamente la temperatura della sorgente di ΔQ fino a T + ΔT.
Di conseguenza, la pressione passa da P a P + ΔP.
Trasformazioni termodinamiche:
Primo principio della termodinamica:
P1V1 + ΔQ = P2V2 + ΔW
Isocora:
P1 + ΔP, V, T
T1 + ΔT
ΔV = 0
ΔQ = ΔU
Ø Per definizione di cV si ha:
ΔQ = n cV ΔT
Trasformazioni termodinamiche:
Primo principio della termodinamica:
ΔQ = ΔU + ΔW
+ = ΔV dalla definizione di c Q nc T⇒ Δ = Δ ⇒V V VU nc T U nc TΔ = Δ ⇒ =V V↓vale gas ideale e trasformazione che porti allo stess o T.∀ ∀ ΔTrasformazioni termodinamiche e 35Primo principio della termodinamicacCALORE SPECIFICO :PØ Si consideri il gas nel cilindro precedente (P, V, T) e si riscaldinole n moli di gas perfetto della stessa con una trasformazioneΔTisobara. P
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