Fisica medica - sistemi di punti materiali

Sistemi di punti materiali

N con vel. v . M m cost. Sia r il vettore posiz. del c.m.:cmi ii 1 N m r i   im r m r .......... m r1 2 N  1 2 N i 1r cm   m m .......... m M1 2 N y v v4 1NM r r m vcm i i 3i 1 v 2r v3 5r cmO x

6NDerivando rispetto a t ambo i membri della M r r m :cm i ii 1d d r d r dr    1 2 NM r m m .......... mcm 1 2 Ndt dt dt dt N     M v m v m v .......... m v M v m vcm 1 2 N cm i1 2 N ii 1Derivando ancora rispetto a t :d d v d v d v    1 2 NM v m m .......... mcm 1 2 Ndt dt dt dt   M a m a m a .......... m acm 1 2 N1 2 Ndove a accelerazione del centro di massa.cm Sistemi di punti materiali 7 Dalla seconda legge di Newton: F m ai ii    M a F F .......... F1 2 Ncm NM a F (equazione di Newton per un sistema di parti celle).icm i 1Le forze F che agiscono sulle particelle sono in parte esternei    N N

  ( F ) e, in parte, interne F F F Fext int i int ext i 1 i 1

Per la terza legge di Newton le F sono a due a due uguali edint N   oppost e ( F F ) e quindi si elidono F 012 21 inti 1

Quindi le uniche forze effettivamente agenti su un sistema di puntiN materiali sono le F M a Fext extcm i 1

Sistemi di punti materiali 8 Esempio di forze interne ad un sistema di particelle:k km m m m1 2 1 2F F21 12xl l -0 0    F F F F 012 21 12 21N

L'equazione di Newton M a F fa capire che il c.m.extcm i 1di un sistema di particelle si muove come se tutta la massa delsistema fosse concentrata nel centro di massa e tutte le F extfossero applicate in quel punt o.Questo risultato è valido sia che si tratti di un corpo rigido,sia che si tratti di un insieme di particelle che possono esserein moto le une ris pet to alle altre.

Sistemi di punti materiali 9Sistemi di punti materiali 10Quantità di moto di una

si ha: cmΔ Δ ΔP v = = = cmM v M M acm cmΔ Δ Δt t tN∑ = ⇒ Si era visto che: M a F extcm = i 1{Δ seconda legge di NewtonNP ∑ = {F extΔ } per un sistema di particelle t = i 1 Δp = Questa equazione è l'estensione di F (valida per una Δt particella) ad un sistema di N particelle, nel caso in cui nessuna particella entri o esca dal sistema (sistema chiuso). Sistemi di punti materiali 15 = Derivando P M v rispetto al tempo: cm( )dP d d v = = = cmM v M M acm cmdt dt dtN∑ = ⇒ Si era visto che: M a F extcm = i 1{seconda legge di NewtonNdP ∑ = {F ext} per un sistema di particelle dt = i 1 dp = Questa equazione è l'estensione di F (valida per una dt particella) ad un sistema di N particelle, nel caso in cui nessuna particella entri o esca dal sistema (sistema chiuso). Sistemi di punti materiali 16

Principio di conservazione della quantità di moto

Supponiamo che la risultante delle F agenti su un sistema

diext=particelle sia uguale a zero e che M cost. (sistema isolato) cioè nessuna particella esca o entri nel sistema: dP/dt=0 => F=0 => P cost.ext

Quindi, quando la risultante delle F agenti su un sistema di punti materiali è uguale a zero, il vettore P totale del sistema resta costante.

Questo risultato, del tutto generale, chiamasi "principio di conservazione della quantità di moto": P=P (sistema chiuso ed isolato)

L'equazione vettoriale P cost. equivale a tre equazioni scalari: P=P ; P=P ; P=P lungo i tre assi cartesiani.

Può succedere che la quantità di moto si conservi solo lungo una direzione oppure due direzioni, ma non lungo i tre assi cartesiani.

Questo accade quando una delle componenti della risultante delle F è nulla lungo quella direzione.ext

Esempio: nel moto di un proiettile la quantità di moto varia solo lungo l'asse y

fiv F 0y xfi ≠v cost. F 0x yx

Sistemi di punti materiali 18

Il principio di conservazione della quantità di moto è il 2° dei grandi principi di conservazione incontrati finora (il 1° era la conservazione dell’energia).

Osservatori inerziali

Due osservatori inerziali, ciascuno nel proprio sistema di riferimento applica ad un sistema di particelle la stessa legge di conservazione.

Esempio: si consideri un sistema di particelle che si muove in assenza di F i.e. P cost. ;ext due osservatori solidali con i due sistemi di riferimento inerziali, in moto relativo tra loro, misureranno valori diversi di P totale, ma se F 0, per entrambi gli osservatori sarà P cost.

Sistemi di punti materiali 19

Esempi di conservazione della quantità di moto con F 0ext

- rinculo di un fucile;

- esplosione di una bomba;

- moto di un razzo.

In questi esempi, la p delle singole particelle può cambiare (per la presenza di forze interne),

ma la loro somma restaN costante se F 0.exti 1 Sistemi di punti materiali 20