Fisica 1 - dinamica dei sistemi di punti materiali

DINAMICA dei SISTEMI di PUNTI MATERIALI

Ci si interressa allo studio dei PUNTI NON VINCOLATI in cui le POSIZIONI RECIPROCHE SONO FINITE.

Esempio: con masse a contatto

P₁ e P₂ sono FORZE ESTERNEF₁₂ e F₂₁ sono FORZE INTERNE

EQ. MOTO

• m₁ a₁ = F₁ + F₁₂
• m₂ a₂ = F₂ + F₂₁
• m₁ a₁ + m₂ a₂ = F₁ + F₂

SOMMA delle FORZE ESTERNE

NB!

MOVIMENTO DELLA COORDINATA R = (m₁ v₁ + m₂ v₂) / (m₁ + m₂)

d²R/dt² = g, ovvero che il SISTEMA m₁ e m₂ e' come un'unica massa M = m₁ + m₂ che si accora di g.

GENERALIZZO IL PROBLEMA

TROVO CHE α MASSA:

• di^D/dt = F
• F_est + F_int

Si ha onde che

dL_O^→/dt = ∫τ_O,i^(ext)dt + ∫τ_O,i^(int)dt + (r_O x F_int)

e che le forze compiono lavoro:

∫F_O,i^(ext)dr + ∫F_O,i^(int)dr = W_AB,c^(ext) + W_AB,i + ΔE_K,P,Q

Ora possiamo scrivere:

P^→ = Σm_iv_i

L_O^→ = ΣL_O,i

F^→_(ext) = ΣF_i^(ext)

F^→_(int) = ΣF_i^(int)

τ_O^→_(ext) = Στ_O,i^(ext)

τ_O^→_(int) = Στ_O,i^(int)

W_AB^(ext) + W_AB^(int) - ΔE_K,AB

e si ottiene:

*(1) dP^→/dt = F^→_(ext) + F^→_(int)

dL_O^→/dt = τ_O^→_(ext) + τ_O^→_(int) + p^→

CM di una DISTRIBUZIONE CONTINUA di MATERIA

Per trovare si usa l'idea di DENSITÀ: MASSA e si.

IDENTIFICANO le MASSE PUNTIFORMI con PORZIONI di VOLUME INFINITESIMO.

dm = βdV

m_t = ∫dm = ∫βdV

MCM = ∫r dm = ∫βr dV

r_CM = ∫r β ͞dV / M

ESEMPIO PER 1D, 2D, 3D

1D SBARRA di METALLO

• DENSITÀ COSTANTE λ

L _CM = 1/M ∫ λ ℓ dℓ =

• DENSITÀ NON COSTANTE λ(ℓ)

λ(ℓ) = λ₀ + βℓ

M = ∫ λ(ℓ) dℓ = ∫ λ₀ + βℓ dℓ =

r_CM = 1/M ∫ λ(ℓ) dℓ =

= (L² / 2 λ₀ + βL³ / 3) / L (λ₀ + βL/2)

CONSIDERAZIONI SULLA 2^a EQ. CARDINALE

Come intendiamo cinematicamente e dinamicamente il momento angolare?

CASO 1: STUDIO

2 MASSE =

• k₁;
• sistema mossa trascurabile
• sistema ruota sul piano con w attorno ad uno dei due piani e passante per O.

STUDIO

dL_O/dt = _O^(ext)

• L_O = r₁ × r_v1 = r₂ × r_v2 = m₁ × r_v1 k₁ = mr² k₂ = mr² w²
• L_O = r₂ × r_v2 = m₂ × r_v2 k₂ = m_rk² w_k = m_rw_kw̲

=> L_O = L_O1 + L_O2 = 2m_r² w̲

Ma _O^(ext) = 0 => I_O = const => 2m_r² w̲ = const

=>

NEL CASO di un SISTEMA RIGIDO (c.d.pre-coll.)

• si scopre che si deve avere

w̲ = const

Ovvero, in assenza di _D^(ext) il sistema mantiene la sua velocità angolare invariate in modulo e direzione

STUDIO SIST. NON RIGIDO

• Le forze INTERNE possono variare tra le due masse.

• MA L_o continua ad essere const anche solo da _o^(ext)

• Lo continua a valere L_o = 2m_r² w̲ = const

=> L_o = L_o = 2m_r² w̲ = 2m_r² w̲ = 2m_r² w̲ = m_r

=> w w_i² = W

=> w = w (r/r_i)

Se Lo non si avvicina, la velocità rotazione aumenta

Esempio

lancio una penna il CM:

Form. parametro MA la penna non CM →

S - L_net,CM = O

la penna ruota quindi L diff CM la penna

→ S - L_net,CM ≠ 0

Se che

d/

dt₀

[rd_o = PC^(ext)]

dL_net,CM\

dt     d/

dt₀

[r_CM x P]

• d/

dt ([r_CM x P])

[q_CM:

CM x f F

∩ a_CM:

k∇ P]

• d/
• dL_BL,CM

dt(v_{k ex}

dt SMg_i=1 x x qⁱ x u_i) =

∑mi fi

x u₁ + r:

∑_ki=1

∑_i=1

[SMgr=,CM aq_a-CM]

CMq:

[CMx:

k∇ aq_CM] :

1=0

∑ i, CM:

→ i SM =

∑_i=1 q^[

CM x q SMLg_i=1 i_r=1 x CMF^e

[q SM_i=1 i:] x F^CM[ext]

→ r^[:

[On POSIZ del

CM rispetto ai CM

∑ SM CM [

BL CM

r_o^{(e) (ext)}

ext: =

dL_o

dt =

[r_{a,CM, ex e} X r_CM

CMx r

∑ q^e CM x :

∑ q^{[CM x F ext]}

D del [q

∩ r^ext

∑k=1 CM x q 

F x q^F ex

q Ex ex X →0 der 3¹ PRNCPL

∩ r^ext

=

∑k=1

CM:

x CM =

CM:_su. CM

et CM_CM su:

∑=T þ 

:

r

-  →

Momento angolare del:

CM= Componenti ext

momento angolare relativo a CM

• NB: Nel caso in cui manchi

p:

→

∑≠bieli

CM x F^(ext)

∑xq=0

• pes0^*l CM

filec.push

^umo

NF CM =