Fisica medica - Forze conservative ed energia potenziale

AB BA AB BA

Forze conservative ed energia 13

potenziale

 

Ora si sposti il corpo m da A B lungo il percorso (2)

   

W (2) W (2) W (2) W (1) (*)

AB BA AB AB

 Questa proprietà è molto importante, perché permette di

semplificare problemi complicati per il calcolo di W fatto da

una forza conservativa.

 Si osservi che i punti A e B sono arbitrari così come i percorsi

  F

(1) e (2) la (*) ha validità generale conservativa.

Forze conservative ed energia 14

potenziale

 Esempio: Una massa m si sposta da AB lungo un percorso

E’ presente solo

curvilineo generico. la forza peso; B

si calcoli il lavoro W (1).

AB (1) h

P

Si consideri un percorso (2) formato da



un tratto orizzontale A C più il tratto (2)

A C

 

verticale C B. P mg

 

W (1) W W

AB AC CB 

  

W 0 poichè P AC (spostamento) 

AC 



       

W F d mg CB mgh cos mgh

CB    

W (2) W W mgh

AB AC CB Forze conservative ed energia 15

potenziale

Il lavoro W (1) compiuto dalla F (peso costante) è pure

AB

 

W (1

) mgh

AB y B

(1)



Infatti, il percorso (1) può essere x h



approssimato da una serie di scalini y 

P mg



su cui, lungo i tratti x

: (2)

  

W 0 essendo P x A x

C



La somma dei tratti verticali y è proprio h



    



W (1) P y cos mgh

AB 

 Quindi: W (1) = W (2) la forza di gravità è perciò

AB AB

conservativa.

 Invece, per la forza i attrito, il lavoro da essa compiuto dipende

dal percorso seguito e quindi tale forza non è conservativa.

Forze conservative ed energia 16

potenziale

Energia potenziale

 Si consideri un sistema isolato costituito dall’insieme di un corpo

di massa m + k x

 La configurazione del sistema cambia quando m si muove lungo

l’asse x. 



 Se la massa della molla è E del sistema è uguale a E

m c c

del corpo di massa m. i

Nell'esperimento descritto l' E di m è:

c v 0



i 2

E 1 2 m

v . Essa diventa = 0 quando k

c 0 m



la molla è compressa, poichè v 0. x

f



i 2

E ritorna pari a E 1 2 m

v quando la molla si estende ed m

c c 0



ripas

sa dalla posizione x 0.

Forze conservative ed energia 17

potenziale

 Durante la compressione della molla, l’ E è diminuita e si è

c

trasformata in qualcosa che raggiunge il suo valore max,

quando la molla è completamente compressa.

 Questo qualcosa è l’energia potenziale (U) o di configurazione

 Si può parlare di energia potenziale solo in presenza di forze

conservative!!! E

 Se l’E è variata di al variare della configurazione del

c c l’energia potenziale (U) deve

sistema (i.e. mentre m si muove),

cambiare della stessa quantità, ma in senso opposto tale che:

         

f i

E U 0 E E U U 0

c c c f i

      

f i

E U E U E U cost E

c f c i c M



E energia meccan

ica

M Forze conservative ed energia 18

potenziale

 Quindi, in presenza di forze conservative, si ha che

E U

qualsiasi del sistema è compensata da una

c

uguale, ma di segno opposto tale che E + U = cost.

c

 Nell’esempio:

l’E è associata ad m poiché la massa della molla è m

.

c

Invece, la U è associata alla molla in quanto è la

molla a deformarsi e quindi ad esercitare una forza F.

Forze conservative ed energia 19

potenziale

Lavoro ed energia potenziale

 Sia F una forza conservativa che agisce su un corpo di massa m.



Dal teorema dell’energia cinetica il lavoro compiuto da F è:

E

W = c

 

 Essendo F conservativa una U tale che:

           

E U 0 E U W U

c c



 Quindi, per valutare basta calcolare il lavoro W compiuto

U

dalla forza conservativa F.

 F non dipende dal percorso seguito, ma solo dai due punti

estremi della traiettoria percorsa dal corpo m.

Forze conservative ed energia 20

potenziale

 Si è visto che se una forza variabile dipende solo dalla posizione

(e non dalla velocità oppure dal tempo), per un problema 1D:

 

 x

 f

W F x dx

x

i

dove (x , x ) sono gli estremi della traiettoria.

i f  

      x



Poichè W U U F x dx

f

x

i U

 Questa relazione mostra che si può calcolare solo se F

dipende dalla posizione di m, cioè dalla configurazione del

sistema. Forze conservative ed energia 21

potenziale

 La U(x) è definita a meno di una costante: infatti, si sposti m

 

sotto l’azione di una forza conservativa

da x x

0    

   

       

U U x U x U x U x U

f i f i

  

essendo U W

   

 

U x U x W

f i

quindi per conoscere la U(x) è necessario fissare un certo

valore ad U(x ).

i

 In generale, si sceglie U(x ) = U(x ), dove x corrisponde alla

i 0 0

configurazione in cui la F(x) = 0 , cioè quella configurazione

in cui il sistema è in equilibrio.

Forze conservative ed energia 22

potenziale

Relazione tra forza cons. ed energia potenz. U(x)

 Moto 1D: in presenza di una F(x) conservativa si è trovato che:

   

U W

per uno spostamento infinitesimo dx :  

dU x

   

     

dU F x d

x F x dx

altra interpretazione della energia potenziale U(x):

l’energia potenziale U(x) è una funzione della posizione x,

la cui derivata cambiata di segno è proprio la F(x)

conservativa che agisce sul corpo di massa m.

Forze conservative ed energia 23

potenziale

Esempi di calcolo di U(x): 1 D

A) ENERGIA POTENZIALE PER LA FORZA DI GRAVITÀ

 Sia m la massa di un corpo che si muove verticalmente lungo

 

l’asse y, da y y , in presenza della forza di gravità P mg .

i f 

y La forza di gravità è con

servati v

a

 

y  U y associata ad essa

f 

y  

m    

 

     

y U y U y U y U y W

i x f 0 0

  

P mg      

        

U y U y P y U y mg y

f 0 0

   

 

U y U y +

mg y

f 0

Forze conservative ed energia 24

potenziale U

 In Fisica sono importanti solo le variazioni di energia



potenziale e non il valore assoluto si può associare un

valore noto di energia potenziale ad una certa configurazione

iniziale del sistema che si fa coincidere con la configurazione

di riferimento. In questo esempio, si pone: U(y) 

U ( y ) mgy

 

   

U 0 per y 0 U y mgy

i y

 l’energia totale

Nel moto verticale di un corpo di massa m, E si

T

conserva durante il moto anche se U e E variano al variare

c

della configurazione del sistema massa m + Terra.

Forze conservative ed energia 25

potenziale  

dU y d

     

    

U y soddisfa la relazione F y mgy

dy dy

   

F y mg

 Per la conservazione dell’energia meccanica, per un corpo di

massa m che si sposta da y = 0 a y = h si ha:

     

      

f i

E = U y + E = cost U y h E U y 0 E

T c c c

1 1

        

2 2 2 2 2

mgh m

v 0 m

v v v 2 gh v v 2 gh

f i f i f 0

2 2 Forze conservative ed energia 26

potenziale

B) ENERGIA POTENZIALE ELASTICA

 Consideriamo il sistema blocco-molla e k sia la costante elastica.

Durante lo spostamento di m da x a x ,

i f

F k  

m la forza elastica ( F kxi ) compie un

 

x   

x lavoro W U , dove U x è la

variazione di energia potenziale del sistema blocco-molla, tra le

due configurazioni corrispondenti a x e x .

i f

 Si ricordi che il lavoro della forza elastica durante la

  

1 2

compressione della molla di un tratto x è: W kx

2

   

1 1 1

 

           

2 2 2

 

U W kx kx U U x U x kx

f i

 

2 2 2

  1

   

      2

U x U x U U x kx

f i i 2

Forze conservative ed energia 27

potenziale

come pag. 27 con integrali

B) ENERGIA POTENZIALE ELASTICA

 Consideriamo il sistema blocco-molla e k sia la costante elastica.

Durante lo spostamento di m da x a x ,

i f

F k  

m la forza elastica ( F kxi ) compie un

 

x   

x lavoro W U , dove U x è la

variazione di energia potenziale del sistema blocco-molla, tra le

due configurazioni corrispondenti a x e x .

i f

     



          

x x x

  

U x W F x d x kx dx cos kx dx

f f f

x x x

i i i

 

1 1

x

 

    

x f

 2 2 2

k xdx k x k x x

f   f i

x 2 2

x

i i

   

1 1    

 

        

2 2

U x kx kx U x U x U x U x U

f i f i f i

2 2 Forze conservative ed energia 28

potenziale

 Come configurazione di riferimento si prende quella corrispon

dente alla posizione di equilibrio (x = 0) in cui la forza conserva

tiva elastica è nulla. 

Per questa configurazione si ponga U(x ) = 0

i 1

 

    

2

con x 0 e x x : U x 0 kx

i f 2

1

   2

U x k

x energia potenziale elastica

2

 Questo risultato vale sia per x > 0 che per x < 0 (i.e. sia che la

molla sia allungata che compressa).

U(x) m

x x -x

m m

-x x x

0

m m

Forze conservative ed energia 29

potenziale  

dU x

1

   