Fisica Medica - Forze conservative ed energia potenziale

FORZE CONSERVATIVE ED

ENERGIA POTENZIALE

Forze conservative ed energia 1

potenziale

Forze conservative

 Si consideri un corpo di massa m che viene lanciato con

lungo l’asse x, contro una molla. Si consideri nullo

velocità v 1

l’attrito tra m ed il piano orizzontale.

v 1 L'energia cinetica iniziale è:

1



i 2

E m

v .

c 1

2

x

 

0 F x Quando m comprime la molla,

v 1 v e quindi E diminuiscon

o.

1 c

Forze conservative ed energia 2

potenziale

Quando v sta per invertire il

 

F x 1

verso (i.e. max compressione)

E si annulla:

c

0   

v 0 E 0

1 c

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F è alla fine della

1

compressione, da 0 a x , pari all'area del triangolo in figura che

1 1

  

    

2

risulta: W kx x kx 0

1 2 2

F x

O W

1

 kx Forze conservative ed energia 3

potenziale

Dal teorema dell'energia cinetica

:

1

     

f i 2

W E E E 0 m

v ;

1 c c c 1

2

dalla compressione della molla:

1

  

2

W k

x

1 2

1 1 1 1

         

2 2 i 2 2

W m

v k

x E m

v kx W

1 1 c 1 1

2 2 2 2

  

i

E W 0

c 1

cioè l'e

nergi a cin etica iniziale si è trasformata tutta in lavoro

di compressione. Forze conservative ed energia 4

potenziale

Pagine 3 e 4 con integrali Quando v sta per invertire il

 

F x 1

verso (i.e. max compressione)

E si annulla:

c

0   

v 0 E 0

1 c

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F è alla fine della

1

compressione, da 0 a x : 1 1

  x

 

       

x x

  2 2

W F ( x ) dx kx dx k x kx 0

 

1 0 0 2 2

0



Dal teorema dell'energia cinetica

1

      

f i 2

W E E E 0 m

v

1 c c c 1

2

1 1 1 1

        

2 2 i 2 2

W m

v kx E m

v kx W

1 1 c 1 1

2 2 2 2

cioè l'energia cinetica iniziale si è trasformata tutta in lavoro

di compre

ssione. Forze conservative ed energia 5

potenziale

 La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua



posizione di riposo, spingendo m 0.

 

F x

v 2

0  

v cresce E 0

   2 c

F x 0

v 3 0  

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F ( x ) kx nello

2 

spostamento da x 0 è pari all'area del triangolo:

 

1 1 1

  

       

2

W F ( x ) x x kx 0 x k

x 0

2 f i

2 2 2

In questo caso W è >

0, essendo la forza e lo spostamento

2

paralleli e concordi nel verso delle x negative.

Forze conservative ed energia 6

potenziale

Dal teorema dell'energia cin etica:

1

      

f i 2

W E E E m

v 0

2 c c c 2

2 f

Il lavoro fatto dalla forza elastica è pari all'energia cinetica fina le E

c

1 1

  

2 2 f

W k

x m

v E

2 2 c

2 2

cioè il lavoro W f

atto d a

lla forza elastica si è trasformato in E .

2 c

Forze conservative ed energia 7

potenziale

Pagine 6 e 7 con integrali

 La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua



posizione di riposo, spingendo m 0.

 

F x

v 2

0  

v cresce E 0

   2 c

F x 0

v 3 0 

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F da x 0 è:

2 1 1

  x

 

      

0 0 x

   2 2

W F ( x ) dx kx dx k xdx k x kx 0

 

2 x x 0 2 2

0



Dal teorema dell'energia cinetica

1

      

f i 2

W E E E m

v 0

2 c c c 2

2

1 1

  

2 2 f

W m

v kx E

2 2 c

2 2

cioè il lavoro W fatto dalla forza elastica si è trasformato in E .

2 c

Forze conservative ed energia 8

potenziale



Si osservi che nel punto x 0, l'energia cinetica iniziale è

1 2

E = m

v .

c 1

2 1

 2

Quando m ripassa per x 0, E = m

v e risulta

c 2

2

1 2

essere uguale alla precedente m

v .

1

2

Infatti, si è t ro

v

a

to che:  1 1



2 2

m

v m

v



 1 1 1 2

    2 2

2 2

W m

v kx 

 

1 1

2 2 

 

= v v

1 2

1 1

 

   

2 2

W m

v kx     

 

 2 2 W W W W 0

2 2 1 2 1 2



Forze conservative ed energia 9

potenziale

Quindi si è trovato che:

   

a) W W 0 W 0

1 2 tot



b) Quando m ritorna in x 0 dopo un'andata e ritorno, la sua



E è ridiventata pari a quella iniziale e W 0

c totale

 F

Una che soddisfa queste condizioni dicesi forza conservativa.

Esempi di forze conservative sono:

 

a) la forza elastica ( F kxi );



b) la forza peso ( F mg ); m m

  1 2

c) la forza di gravitazione universale ( F G u );

r

2

r

q q

 1 2

d) la forza di Coulomb ( F k u ).

r

2

r

Forze conservative ed energia 10

potenziale

 base all’Ec):

Prima definizione (in una forza è conservativa se

l’energia cinetica di un corpo su cui agisce la forza, dopo ogni

percorso chiuso, torna ad assumere il suo valore iniziale.

Viceversa la forza dicesi non conservativa.

 Se invece m torna nella sua posizione iniziale (x = 0) con

energia cinetica minore (v < v ), allora la capacità di compiere

2 1

lavoro è diminuita lungo il percorso chiuso. ed almeno una delle

forze agenti su m non è conservativa.

 Esempi di forze non conservative sono:

a) la forza di attrito dinamico;

b) la forza di resistenza di un mezzo (es.: aria, acqua) in cui m

si muove. Forze conservative ed energia 11

potenziale

 Seconda definizione (in base al lavoro W): una forz