Fisica Medica - Forze conservative ed energia potenziale
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FORZE CONSERVATIVE ED
ENERGIA POTENZIALE
Forze conservative ed energia 1
potenziale
Forze conservative
Si consideri un corpo di massa m che viene lanciato con
lungo l’asse x, contro una molla. Si consideri nullo
velocità v 1
l’attrito tra m ed il piano orizzontale.
v 1 L'energia cinetica iniziale è:
1
i 2
E m
v .
c 1
2
x
0 F x Quando m comprime la molla,
v 1 v e quindi E diminuiscon
o.
1 c
Forze conservative ed energia 2
potenziale
Quando v sta per invertire il
F x 1
verso (i.e. max compressione)
E si annulla:
c
0
v 0 E 0
1 c
Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F è alla fine della
1
compressione, da 0 a x , pari all'area del triangolo in figura che
1 1
2
risulta: W kx x kx 0
1 2 2
F x
O W
1
kx Forze conservative ed energia 3
potenziale
Dal teorema dell'energia cinetica
:
1
f i 2
W E E E 0 m
v ;
1 c c c 1
2
dalla compressione della molla:
1
2
W k
x
1 2
1 1 1 1
2 2 i 2 2
W m
v k
x E m
v kx W
1 1 c 1 1
2 2 2 2
i
E W 0
c 1
cioè l'e
nergi a cin etica iniziale si è trasformata tutta in lavoro
di compressione. Forze conservative ed energia 4
potenziale
Pagine 3 e 4 con integrali Quando v sta per invertire il
F x 1
verso (i.e. max compressione)
E si annulla:
c
0
v 0 E 0
1 c
Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F è alla fine della
1
compressione, da 0 a x : 1 1
x
x x
2 2
W F ( x ) dx kx dx k x kx 0
1 0 0 2 2
0
Dal teorema dell'energia cinetica
1
f i 2
W E E E 0 m
v
1 c c c 1
2
1 1 1 1
2 2 i 2 2
W m
v kx E m
v kx W
1 1 c 1 1
2 2 2 2
cioè l'energia cinetica iniziale si è trasformata tutta in lavoro
di compre
ssione. Forze conservative ed energia 5
potenziale
La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua
posizione di riposo, spingendo m 0.
F x
v 2
0
v cresce E 0
2 c
F x 0
v 3 0
Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F ( x ) kx nello
2
spostamento da x 0 è pari all'area del triangolo:
1 1 1
2
W F ( x ) x x kx 0 x k
x 0
2 f i
2 2 2
In questo caso W è >
0, essendo la forza e lo spostamento
2
paralleli e concordi nel verso delle x negative.
Forze conservative ed energia 6
potenziale
Dal teorema dell'energia cin etica:
1
f i 2
W E E E m
v 0
2 c c c 2
2 f
Il lavoro fatto dalla forza elastica è pari all'energia cinetica fina le E
c
1 1
2 2 f
W k
x m
v E
2 2 c
2 2
cioè il lavoro W f
atto d a
lla forza elastica si è trasformato in E .
2 c
Forze conservative ed energia 7
potenziale
Pagine 6 e 7 con integrali
La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua
posizione di riposo, spingendo m 0.
F x
v 2
0
v cresce E 0
2 c
F x 0
v 3 0
Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F da x 0 è:
2 1 1
x
0 0 x
2 2
W F ( x ) dx kx dx k xdx k x kx 0
2 x x 0 2 2
0
Dal teorema dell'energia cinetica
1
f i 2
W E E E m
v 0
2 c c c 2
2
1 1
2 2 f
W m
v kx E
2 2 c
2 2
cioè il lavoro W fatto dalla forza elastica si è trasformato in E .
2 c
Forze conservative ed energia 8
potenziale
Si osservi che nel punto x 0, l'energia cinetica iniziale è
1 2
E = m
v .
c 1
2 1
2
Quando m ripassa per x 0, E = m
v e risulta
c 2
2
1 2
essere uguale alla precedente m
v .
1
2
Infatti, si è t ro
v
a
to che: 1 1
2 2
m
v m
v
1 1 1 2
2 2
2 2
W m
v kx
1 1
2 2
= v v
1 2
1 1
2 2
W m
v kx
2 2 W W W W 0
2 2 1 2 1 2
Forze conservative ed energia 9
potenziale
Quindi si è trovato che:
a) W W 0 W 0
1 2 tot
b) Quando m ritorna in x 0 dopo un'andata e ritorno, la sua
E è ridiventata pari a quella iniziale e W 0
c totale
F
Una che soddisfa queste condizioni dicesi forza conservativa.
Esempi di forze conservative sono:
a) la forza elastica ( F kxi );
b) la forza peso ( F mg ); m m
1 2
c) la forza di gravitazione universale ( F G u );
r
2
r
q q
1 2
d) la forza di Coulomb ( F k u ).
r
2
r
Forze conservative ed energia 10
potenziale
base all’Ec):
Prima definizione (in una forza è conservativa se
l’energia cinetica di un corpo su cui agisce la forza, dopo ogni
percorso chiuso, torna ad assumere il suo valore iniziale.
Viceversa la forza dicesi non conservativa.
Se invece m torna nella sua posizione iniziale (x = 0) con
energia cinetica minore (v < v ), allora la capacità di compiere
2 1
lavoro è diminuita lungo il percorso chiuso. ed almeno una delle
forze agenti su m non è conservativa.
Esempi di forze non conservative sono:
a) la forza di attrito dinamico;
b) la forza di resistenza di un mezzo (es.: aria, acqua) in cui m
si muove. Forze conservative ed energia 11
potenziale
Seconda definizione (in base al lavoro W): una forza è
conservativa se il lavoro (W) compiuto dalla forza su m, che si
muove su un percorso chiuso è uguale a zero (W = 0). Viceversa,
la forza non è conservativa.
Per il teorema dell’energia cinetica, questa seconda definizione è
equivalente alla prima def. Infatti, se lungo un percorso chiuso:
E 0 W fatto dalla forza lungo il percorso è W 0.
c T T
Se una f di attrito, W è sempre 0 poichè f è sempre
f
opposta allo spostamento d punto x del percorso.
v
d F F : forza elastica
m
f k f : forza di attrito
x
0 x
Forze conservative ed energia 12
potenziale
Proprietà delle forze conservative
Sia una forza conservativa che agisce su di un corpo di massa
F
m, che si sposta tra due punti A e B qualsiasi.
Si può dimostrare che il lavoro fatto da è indipendente dal
F
percorso seguito per andare dal punto A al punto B.
Supponiamo di andare da A B lungo il
B percorso (1) e di ritornare in A lungo il
percorso (2).
A Percorso (1) + percorso (2) = percorso chiuso.
Se F è conservativa W = 0 lungo il percorso chiuso
F
W (1) W (2) 0 W (1) W (2)
AB BA AB BA
Forze conservative ed energia 13
potenziale
Ora si sposti il corpo m da A B lungo il percorso (2)
W (2) W (2) W (2) W (1) (*)
AB BA AB AB
Questa proprietà è molto importante, perché permette di
semplificare problemi complicati per il calcolo di W fatto da
una forza conservativa.
Si osservi che i punti A e B sono arbitrari così come i percorsi
F
(1) e (2) la (*) ha validità generale conservativa.
Esempio:consideriamo la forza peso agente su m che vogliamo
spostare da AB lungo un percorso curvilineo generico. B
W (1) è difficile!
AB (1) h
P
Si consideri un percorso (2) formato da
un tratto orizzontale A C più il tratto (2)
A C
verticale C B. P mg
Forze conservative ed energia 14
potenziale
W (1) W W
AB AC CB
W 0 poichè P AC (spostamento)
AC
W F d mg CB mgh cos mgh
CB
W (2) W W mgh
AB AC CB
Il lavoro W (1) compiuto dalla F (peso costante) è pure
AB
W (1
) mgh
AB y B
(1)
Infatti, il percorso (1) può essere
x
approssimato da una serie di scalini h
P mg
su cui, lungo i tratti x
: y
(2)
W 0 essendo P x A x
C
La somma dei tratti verticali y è proprio h
W (1) P y cos mgh
AB Forze conservative ed energia 15
potenziale
Quindi: W (1) = W (2) la forza di gravità è perciò
AB AB
conservativa.
Nel caso della forza di attrito, il lavoro da essa compiuto dipende
dal percorso seguito in quanto tale forza non è conservativa.
Forze conservative ed energia 16
potenziale
Energia potenziale
Si consideri un sistema isolato costituito dall’insieme di un corpo
di massa m + k x
La configurazione del sistema cambia quando m si muove lungo
l’asse x.
Se la massa della molla è E del sistema è uguale a E
m c c
del corpo di massa m. i
Nell'esperimento descritto l' E di m è: v 0
c k
i 2
E 1 2 m
v . Essa diventa = 0 quando m
c 0 x
la molla è compressa, poichè v 0.
f
i 2
E ridiventa pari a E 1 2 m
v quando la molla si estende ed m
c c 0
rip
assa dalla posizione x 0.
Forze conservative ed energia 17
potenziale
Ciò fa capire che durante la compressione della molla, l’ E è
c
diminuita e si è trasformata in qualcosa che raggiunge il suo
valore max, quando la molla è completamente compressa.
Questo qualcosa chiamasi energia potenziale (U) o di
configurazione.
Si può parlare di energia potenziale solo in presenza di forze
conservative! E
Se l’E è variata di al variare della configurazione del
c c
si muove), l’energia potenziale (U)
sistema (i.e. mentre m deve
cambiare della stessa quantità, ma in senso opposto tale che:
f i
E U 0 E E U U 0
c c c f i
f i
E U E U E U cost E
c f c i c M
E energia meccan
ica
M Forze conservative ed energia 18
potenziale
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kalamaj di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica medica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Foggia - Unifg o del prof Fratello Angelo.
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