Fisica Medica - Forze conservative ed energia potenziale

Forze conservative ed energia potenziale

A C verticale C B. P mgForze conservative ed energia 14potenziale W (1) W WAB AC CB   W 0 poichè P AC (spostamento) AC        W F d mg CB mgh cos mghCB    W (2) W W mghAB AC CBIl lavoro W (1) compiuto dalla F (peso costante) è pureAB W (1) mghAB y B(1)Infatti, il percorso (1) può essere xapprossimato da una serie di scalini h P mgsu cui, lungo i tratti x: y   (2)W 0 essendo P x A xCLa somma dei tratti verticali y è proprio h    W (1) P y cos mghAB Forze conservative ed energia 15potenziale Quindi: W (1) = W (2) la forza di gravità è perciòAB ABconservativa. Nel caso della forza di attrito, il lavoro da essa compiuto dipendedal percorso seguito in quanto tale forza non è conservativa.Forze conservative ed energia 16potenzialeEnergia potenziale Si consideri un sistema isolato costituito

L'energia potenziale (U) del sistema (i.e. mentre m deve cambiare della stessa quantità, ma in senso opposto tale che: ΔU + ΔE = 0)

ΔE = ΔU + ΔEc

ΔE = E - E0

ΔU = U - U0

ΔEc = Ec - Ec0

M ≡ E - energia meccanica

Forze conservative ed energia potenziale:

Quindi, in presenza di forze conservative, si ha che qualsiasi ΔE del sistema è compensata da una uguale, ma di segno opposto tale che E + U = cost.

Se la forza non è conservativa (es.: la forza di attrito) non si può associare ad essa una energia potenziale, poiché E del sistema non ritorna al valore iniziale quando il sistema ha ripreso la configurazione iniziale.

Nell'esempio, l'E m. è associata ad m poiché la massa della molla è c. Invece, la U è associata alla molla in quanto è la molla a deformarsi e quindi ad esercitare una forza F.

Forze conservative ed energia potenziale

Lavoro ed

energia potenziale

Sia F una forza conservativa che agisce su un corpo di massa m.

Dal teorema dell'energia cinetica il lavoro compiuto da F è: ΔEW = c

Essendo F conservativa una U tale che: ΔU + ΔW = 0

Ma se F è conservativa, il lavoro W non dipende dal percorso seguito, ma solo dai due punti estremi della traiettoria percorsa dal corpo m. Forze conservative ed energia potenziale

Si è visto che se una forza dipende solo dalla posizione (e non dalla velocità oppure dal tempo), per un problema 1D:

∫W F(x) dx = ∫f(x) dx

dove (x1, x2) sono gli estremi della traiettoria.

∆U = -∫F(x) dx

Poiché ∆U = -W, questa relazione mostra che si può calcolare solo se F dipende dalla posizione di m, cioè dalla configurazione del sistema. Forze conservative ed energia potenziale

Relazione tra forza cons. ed energia potenz. U(x)

equilibrio.Forze conservative ed energia potenziale

Esempi di calcolo di U(x):

1) ENERGIA POTENZIALE PER LA FORZA DI GRAVITÀ

Sia m la massa di un corpo che si muove verticalmente lungo l'asse y, da y_i a y_f, in presenza della forza di gravità P = mg.

La forza di gravità dovuta all'interazione terra-particella m è conservativa, quindi si può associare un'energia potenziale U(y) ad essa.

Si calcola la variazione di energia potenziale:

ΔU = U(y_f) - U(y_i)

ΔU = -mg(y_f - y_i)

2) In Fisica sono importanti solo le variazioni di energia potenziale e non il valore assoluto. Si può associare un valore noto di energia potenziale ad una certa configurazione iniziale del sistema che si fa coincidere con la configurazione di riferimento in cui si pone: U(y) = U(y_i) = mgy_i

configurazioni corrispondenti a x e x .i f Si ricordi che il lavoro della forza elastica durante la  1 2compressione della molla di un tratto x è: W = kx^2   1 1 1 Δ          Δ 2 2 2 U W = kx^2/2 U x U x U kxf i 2 2 2  1      Δ   2U x U x U U x kxf i i 2Forze conservative ed energia potenzialecome pag. 27 con integraliB) ENERGIA POTENZIALE ELASTICA Consideriamo il sistema blocco-molla e k sia la costante elastica.Durante lo spostamento di m da x a x ,i fF k  m la forza elastica ( F kxi ) compie un x  Δ Δx lavoro W U , dove U x è lavariazione di energia potenziale del sistema blocco-molla, tra ledue configurazioni corrispondenti a x e x .i f     Δ          x x x  U x W F x d x kx dx cos kx dxf f fx x xi i i 1 1x     x f 2 2 2k xdx k x k x xf   f

ix 2 2xi i   1 1             2 2U x kx kx U x U x U x U x Uf i f i f i2 2

Forze conservative ed energia 28potenziale Come configurazione di riferimento si prende quella corrispondente alla posizione di equilibrio (x = 0) in cui la forza conservativa elastica è nulla. Per questa configurazione si ponga U(x ) = 0i 1     2con x 0 e x x : U x 0 kxi f 21   2U x kx energia potenziale elastica2 Questo risultato vale sia per x > 0 che per x < 0 (i.e. sia che lamolla sia allungata che compressa).U(x) mx x -xm m-x x x0m mForze conservative ed energia 29potenziale  dU x1     2U x mx soddisfa la relazione F x :2 dx 2  d xd 1 1 1          2 F x kx k k 2 x kx dx 2 2 dx 2 La conservazione dell'energia meccanica E per un blocco mMche si sposta da x = 0 x = x è: m 1 1   

if 2E = EU0 + EUx + mv² + kx²M + c²M + m² + 21 = 1

2E = mv² + kx²M + m² + 2

Forze conservative ed energia potenziale

La