Fisica Medica - Forze conservative ed energia potenziale

FORZE CONSERVATIVE ED

ENERGIA POTENZIALE

Forze conservative ed energia 1

potenziale

Forze conservative

 Si consideri un corpo di massa m che viene lanciato con

lungo l’asse x, contro una molla. Si consideri nullo

velocità v 1

l’attrito tra m ed il piano orizzontale.

v 1 L'energia cinetica iniziale è:

1



i 2

E m

v .

c 1

2

x

 

0 F x Quando m comprime la molla,

v 1 v e quindi E diminuiscon

o.

1 c

Forze conservative ed energia 2

potenziale

Quando v sta per invertire il

 

F x 1

verso (i.e. max compressione)

E si annulla:

c

0   

v 0 E 0

1 c

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F è alla fine della

1

compressione, da 0 a x , pari all'area del triangolo in figura che

1 1

  

    

2

risulta: W kx x kx 0

1 2 2

F x

O W

1

 kx Forze conservative ed energia 3

potenziale

Dal teorema dell'energia cinetica

:

1

     

f i 2

W E E E 0 m

v ;

1 c c c 1

2

dalla compressione della molla:

1

  

2

W k

x

1 2

1 1 1 1

         

2 2 i 2 2

W m

v k

x E m

v kx W

1 1 c 1 1

2 2 2 2

  

i

E W 0

c 1

cioè l'e

nergi a cin etica iniziale si è trasformata tutta in lavoro

di compressione. Forze conservative ed energia 4

potenziale

Pagine 3 e 4 con integrali Quando v sta per invertire il

 

F x 1

verso (i.e. max compressione)

E si annulla:

c

0   

v 0 E 0

1 c

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F è alla fine della

1

compressione, da 0 a x : 1 1

  x

 

       

x x

  2 2

W F ( x ) dx kx dx k x kx 0

 

1 0 0 2 2

0



Dal teorema dell'energia cinetica

1

      

f i 2

W E E E 0 m

v

1 c c c 1

2

1 1 1 1

        

2 2 i 2 2

W m

v kx E m

v kx W

1 1 c 1 1

2 2 2 2

cioè l'energia cinetica iniziale si è trasformata tutta in lavoro

di compre

ssione. Forze conservative ed energia 5

potenziale

 La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua



posizione di riposo, spingendo m 0.

 

F x

v 2

0  

v cresce E 0

   2 c

F x 0

v 3 0  

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F ( x ) kx nello

2 

spostamento da x 0 è pari all'area del triangolo:

 

1 1 1

  

       

2

W F ( x ) x x kx 0 x k

x 0

2 f i

2 2 2

In questo caso W è >

0, essendo la forza e lo spostamento

2

paralleli e concordi nel verso delle x negative.

Forze conservative ed energia 6

potenziale

Dal teorema dell'energia cin etica:

1

      

f i 2

W E E E m

v 0

2 c c c 2

2 f

Il lavoro fatto dalla forza elastica è pari all'energia cinetica fina le E

c

1 1

  

2 2 f

W k

x m

v E

2 2 c

2 2

cioè il lavoro W f

atto d a

lla forza elastica si è trasformato in E .

2 c

Forze conservative ed energia 7

potenziale

Pagine 6 e 7 con integrali

 La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua



posizione di riposo, spingendo m 0.

 

F x

v 2

0  

v cresce E 0

   2 c

F x 0

v 3 0 

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F da x 0 è:

2 1 1

  x

 

      

0 0 x

   2 2

W F ( x ) dx kx dx k xdx k x kx 0

 

2 x x 0 2 2

0



Dal teorema dell'energia cinetica

1

      

f i 2

W E E E m

v 0

2 c c c 2

2

1 1

  

2 2 f

W m

v kx E

2 2 c

2 2

cioè il lavoro W fatto dalla forza elastica si è trasformato in E .

2 c

Forze conservative ed energia 8

potenziale



Si osservi che nel punto x 0, l'energia cinetica iniziale è

1 2

E = m

v .

c 1

2 1

 2

Quando m ripassa per x 0, E = m

v e risulta

c 2

2

1 2

essere uguale alla precedente m

v .

1

2

Infatti, si è t ro

v

a

to che:  1 1



2 2

m

v m

v



 1 1 1 2

    2 2

2 2

W m

v kx 

 

1 1

2 2 

 

= v v

1 2

1 1

 

   

2 2

W m

v kx     

 

 2 2 W W W W 0

2 2 1 2 1 2



Forze conservative ed energia 9

potenziale

Quindi si è trovato che:

   

a) W W 0 W 0

1 2 tot



b) Quando m ritorna in x 0 dopo un'andata e ritorno, la sua



E è ridiventata pari a quella iniziale e W 0

c totale

 F

Una che soddisfa queste condizioni dicesi forza conservativa.

Esempi di forze conservative sono:

 

a) la forza elastica ( F kxi );



b) la forza peso ( F mg ); m m

  1 2

c) la forza di gravitazione universale ( F G u );

r

2

r

q q

 1 2

d) la forza di Coulomb ( F k u ).

r

2

r

Forze conservative ed energia 10

potenziale

 base all’Ec):

Prima definizione (in una forza è conservativa se

l’energia cinetica di un corpo su cui agisce la forza, dopo ogni

percorso chiuso, torna ad assumere il suo valore iniziale.

Viceversa la forza dicesi non conservativa.

 Se invece m torna nella sua posizione iniziale (x = 0) con

energia cinetica minore (v < v ), allora la capacità di compiere

2 1

lavoro è diminuita lungo il percorso chiuso. ed almeno una delle

forze agenti su m non è conservativa.

 Esempi di forze non conservative sono:

a) la forza di attrito dinamico;

b) la forza di resistenza di un mezzo (es.: aria, acqua) in cui m

si muove. Forze conservative ed energia 11

potenziale

 Seconda definizione (in base al lavoro W): una forza è

conservativa se il lavoro (W) compiuto dalla forza su m, che si

muove su un percorso chiuso è uguale a zero (W = 0). Viceversa,

la forza non è conservativa.

 Per il teorema dell’energia cinetica, questa seconda definizione è

equivalente alla prima def. Infatti, se lungo un percorso chiuso:

   

E 0 W fatto dalla forza lungo il percorso è W 0.

c T T

 

Se una f di attrito, W è sempre 0 poichè f è sempre

f 

opposta allo spostamento d punto x del percorso.

v

d F F : forza elastica

m

f k f : forza di attrito

x

0 x

Forze conservative ed energia 12

potenziale

Proprietà delle forze conservative

 Sia una forza conservativa che agisce su di un corpo di massa

F

m, che si sposta tra due punti A e B qualsiasi.

Si può dimostrare che il lavoro fatto da è indipendente dal

F

percorso seguito per andare dal punto A al punto B.



Supponiamo di andare da A B lungo il

B percorso (1) e di ritornare in A lungo il

percorso (2).

A Percorso (1) + percorso (2) = percorso chiuso.

 

Se F è conservativa W = 0 lungo il percorso chiuso

F

    

W (1) W (2) 0 W (1) W (2)

AB BA AB BA

Forze conservative ed energia 13

potenziale

 

Ora si sposti il corpo m da A B lungo il percorso (2)

   

W (2) W (2) W (2) W (1) (*)

AB BA AB AB

 Questa proprietà è molto importante, perché permette di

semplificare problemi complicati per il calcolo di W fatto da

una forza conservativa.

 Si osservi che i punti A e B sono arbitrari così come i percorsi

  F

(1) e (2) la (*) ha validità generale conservativa.

 Esempio:consideriamo la forza peso agente su m che vogliamo

spostare da AB lungo un percorso curvilineo generico. B

W (1) è difficile!

AB (1) h

P

Si consideri un percorso (2) formato da



un tratto orizzontale A C più il tratto (2)

A C

 

verticale C B. P mg

Forze conservative ed energia 14

potenziale

 

W (1) W W

AB AC CB 

  

W 0 poichè P AC (spostamento) 

AC 



       

W F d mg CB mgh cos mgh

CB    

W (2) W W mgh

AB AC CB

Il lavoro W (1) compiuto dalla F (peso costante) è pure

AB

 

W (1

) mgh

AB y B

(1)

Infatti, il percorso (1) può essere 

x

approssimato da una serie di scalini h



 P mg



su cui, lungo i tratti x

: y

   (2)

W 0 essendo P x A x

C



La somma dei tratti verticali y è proprio h



    



W (1) P y cos mgh

AB Forze conservative ed energia 15

potenziale



 Quindi: W (1) = W (2) la forza di gravità è perciò

AB AB

conservativa.

 Nel caso della forza di attrito, il lavoro da essa compiuto dipende

dal percorso seguito in quanto tale forza non è conservativa.

Forze conservative ed energia 16

potenziale

Energia potenziale

 Si consideri un sistema isolato costituito dall’insieme di un corpo

di massa m + k x

 La configurazione del sistema cambia quando m si muove lungo

l’asse x. 



 Se la massa della molla è E del sistema è uguale a E

m c c

del corpo di massa m. i

Nell'esperimento descritto l' E di m è: v 0

c k



i 2

E 1 2 m

v . Essa diventa = 0 quando m

c 0 x



la molla è compressa, poichè v 0.

f



i 2

E ridiventa pari a E 1 2 m

v quando la molla si estende ed m

c c 0



rip

assa dalla posizione x 0.

Forze conservative ed energia 17

potenziale

 Ciò fa capire che durante la compressione della molla, l’ E è

c

diminuita e si è trasformata in qualcosa che raggiunge il suo

valore max, quando la molla è completamente compressa.

Questo qualcosa chiamasi energia potenziale (U) o di

configurazione.

 Si può parlare di energia potenziale solo in presenza di forze

conservative! E

 Se l’E è variata di al variare della configurazione del

c c

si muove), l’energia potenziale (U)

sistema (i.e. mentre m deve

cambiare della stessa quantità, ma in senso opposto tale che:

         

f i

E U 0 E E U U 0

c c c f i

      

f i

E U E U E U cost E

c f c i c M



E energia meccan

ica

M Forze conservative ed energia 18

potenziale