Fisica medica - Dipolo elettrico

V(

A)  

2 2

4 r 4 r

0 0

 è l'angolo tra l'asse del dipolo e la direzione del versore

u diretto verso il generico punto A.

r

 Proprietà:

V(A) dipende da p e non da q e separatamente.

d

Ad esempio due cariche elettriche + 2q e -2q distanti d/2

hanno momento di dipolo p = 2q · d/2 = qd, come una carica

+q e -q distanti d. Dipolo elettrico 3

 2

Il valore di V(A) decresce come 1/r , cioè V(A) decresce più

rapidamente di quello generato da una singola carica puntiforme,

il cui potenziale decresce come 1/r.

 Fisicamente, ciò è dovuto al fatto che a grandi distanze gli effetti

delle due cariche di segno opposto si neutralizzano parzialmente

e quindi la dipendenza di V(A) dalla distanza r è più debole di

quella del potenziale prodotto da una carica puntiforme Q :

1 Q

  

V r 

4 r

0 

 che dall’angolo u

Si osservi che V(A) dipende sia da r tra r



 r: /2)

e l’asse del dipolo nel piano equatoriale V( = = 0.

Il sistema ha simmetria cilindrica intorno all’asse del dipolo.

 p

Unità di misura del momento di dipolo :

 

[p] = [Q] [d] p Cm

Dipolo elettrico 4

–

4) DUE CARICHE PUNTIFORMI + Q e Q

E

Potenziale elettrico 5

 Esempi di molecole polari:

– –

+ +

p

+ - ++ --

H Cl C O

 

 

 

30 30

p p

3.4 0.4

10 10

Cm Cm +

H

+

– – –

--

+ O 105°

O C O



p 0 +

H

+



  30

p 6.2 10 Cm

Dipolo elettrico 6

(No) Campo E generato da un dipolo elettrico

Si vuole determinare il campo E prodotto da un dipolo p in un

punto A a distanza r dall'asse del dipolo:

z

+ q r  

+

 /2 -

A

r

d 

  E cos



E

E

r 



-

- q E

Per il principio di sovrapposizione, il campo E in A è:

 

E E E

  1 q 1 q 1 q

   

E E

     

2 2 2 2

4 r 4 r 4 r ( d / 2)

 

0 0 0

Dipolo elettrico 7

 perpendicolare all’asse del dipolo si ha che

Lungo la direzione r

P  E ed E

r : le componenti orizzontali di sono uguali ed

 

 

opposte, mentre lungo l’asse z si ha E (z) E (z)

 



 

 

     

 

E E (z) E (z) E 2 E sen 2 E c

os

   

 

2

d /2

   

ma cos ; pongo d / 2 a

 

 2

2

r d / 2



2 q cos 2 q 1 a 2 aq 1

   

E    

 

 

 

2 2 2 2 1 2 3 2

 

4 4 4

r a r a 2 2 2 2

r a r a

0 0 0

1 p 1 p

  

= s e r a E

 



 

3 2 3



4 4 r

2 2

r a

0 0

Dipolo elettrico 8



 per punti lontani dall’asse del dipolo

Quindi (i.e. ) il

r d  3

p è E ( r ) 1/ r .

campo prodotto da un dipolo elettrico

E

Questo perché il dipolo è formato da due cariche uguali e di

segno opposto,cosicché i loro campi elettrici, presi separatamente

a grandi distanze, quasi si compensano, ma non del tutto;

mentre di una singola carica Q puntiforme decresce come

E ( r )

2

1/r (i.e. meno lentamente)

E E p

1 –

1 +

2

r 3

r –

+q q

Q puntiforme Dipolo elettrico

r r

Dipolo elettrico 9

1 p



Proprietà

: l'espressione E mostra che il campo E

 3

4 r

0

dipende dal prodotto qd e non da q e d separatamente.

Per esempio, il campo E in un punto A non cambia se si

raddoppia Q e si dimezza d .

 p

Quindi il momento di dipolo è una proprietà fondamentale

di un dipolo elettrico, come la massa o la carica elettrica di una

particella.

Sebbene l'espressione di E ( r ) sia stata ricavata per punti della

  3

direzione r p , si dimostra che la dipendenza E ( r ) 1 r

  

3

vale A R distante da p (i.e. r d ).

p r

E

Dipolo elettrico 10

 Esempio: raddoppiando la distanza r, E(r) diminuisce di 8

volte  q

p r

 q 1 3

r

E

 : L’espressione di e V(r)

N.B. di un dipolo elettrico sono

E 

state ottenute nell’approssimazione di dipolo r d .

Tale approssimazione è appropriata per i dipoli naturali

(molecole polari), poiché la separazione tra cariche elettriche

che origina i momenti di dipolo degli atomi e delle molecole, è

piccola rispetto alle distanze interatomiche e molecolari.

Dipolo elettrico 11

Linee di forza del campo E nel piano xz di un dipolo p z

z x

Dipolo elettrico 12

Dipolo in un campo elettrico

 

a) MOMENTO TORCENTE SU UN DIPOLO IN E UNIFORME

Si consideri un dipolo elettrico p immerso in un campo E



uniforme che formi un angolo c

o

n E .

Su ciascuna carica agisce una forza

 

F qE , che sono parallele ed



hanno stesso modulo quind

i

formano una coppia, il cui momento



torcente rispetto al centro di

massa ha modulo

:

d d

   

   

F se

n F sen Fdsen

2 2



=

qEdsen

Dipolo elettrico 13



 Si ricordi che il modulo del momento di dipolo è: p = qd

 

 pEsen

Questo momento torcente tende a far ruotare il dipolo intorno ad

un asse passante per il centro di massa.

 Poiché il campo è uniforme la elettrostatica risultante agente

F



p

sul dipolo elettrico è nulla il centro di massa del dipolo



resta fermo E

in un campo uniforme un dipolo elettrico non ha moto

traslatorio. τ

In forma vettoriale, il momento rispetto al centro di massa è:

 

 

p E , questo tende ad allineare il dipolo p con E

  p

( 0

), in equilibrio stabile. 

 x E

Dipolo elettrico 14

 Rotazione di un dipolo in presenza di un campo uniforme

E



F qE  

 q F qE



q p

p 

 

q q

c

.

m

.   

F qE

  

F qE E

E 

 

 0 0

Dipolo elettrico 15