Dipolo elettrico - Fisica 2

IL DIPOLO ELETTRICO

Due cariche puntiformi -q e +q, coi uguali ed opposte,poste ad una distanza a, costituiscono un dipoloelettrico.

Possiamo definire ilvettore ā che ha comemodulo la distanza ae come direzione e versoorientata dalla caricanegativa a quella positiva.

Si chiama momento del dipolo il vettoreP̄ tale chep̄ = q ā, ossia è parallelo al vettore ā

Studiamo e ricaviamo il potenziale V(p) e quindi il campo elettrico(perché esso è definito come gradiente del potenziale) ad un punto postoa grande distanza dal sistema di cariche.

Consideriamo un punto P₊ posto a distanza r dal dipolo con r >> a

Calcoliamo il potenziale dovuto alle 2 cariche del dipolo, come sommadei potenziali delle cariche:

|V(P)| = \(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\) \(\frac{q}{r1}\) - \(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\) \(\frac{q}{r2}\) = \(\frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\) \((\frac{1}{r1} - \frac{1}{r2})\) = \(\frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\) \(\frac{r2 - r1}{r1r2}\)

IL DIPOLO ELETTRICO

Due cariche puntiformi -q e +q, cioé uguali ed opposte, poste ad una distanza d, costituiscono un dipolo elettrico.

Possiamo definire il vettore a che ha come modulo la distanza d e come direzione e verso orientato.

Si chiama momento del dipolo il vettore P tale che:

^{p = 9a2}, ossia è parallelo al vettore a.

Studiamo e ricaviamo il potenziale V(P) e quindi il campo elettrico (perché esso è definito come gradiente del potenziale) ad un punto posto a grande distanza dal sistema di cariche.

Consideriamo un punto P posto a distanza r dal dipolo.

Calcoliamo il potenziale dovuto alle 2 cariche del dipolo, come somma dei potenziali delle cariche:

|V(P)| = \(\frac{9}{4 \pi \epsilon_0}\) \((\frac{r_2-r_1}{r_1 r_2})\)

Calcoliamo la distanza r₂-r₁. Fissiamo un sistema di

riferimento con l'origine che sta a metà della distanza

a e tracciamo la perpendicolare da q.

Applichiamo le regole del triangolo rettangolo:

r₂-r₁ = a cos θ = a cos θ

Quindi r₂ + r₁ ≈ r₂ + a cos θ.

(r₁ + a cos θ) ≅ r₁ ² ≈ r²

Quindi:

V_P = (q/(4πε₀)) (a cos θ/r²) = (1/(4πε₀)) (q a cos θ/r²)

Siccome p = q a ⇒ q a cos θ = p • μ̂

V_P = 1/(4πε₀) (p • μ̂/r²) ⇒ POTENZIALE DI UN PUNTO POSTO A GRANDE DISTANZA r DA UN DIPOLO ELETTRICO

Osserviamo che rispetto al potenziale generato da una singola

carica puntiforme che (q/(4πε₀ r)) quello generato da un

dipolo diminuisce all'aumentare del quadrato della distanza

ossia diminuisce più rapidamente di quello generato da una

carica puntiforme.

Quantitativamente ciò è dovuto al fatto che gli effetti delle due

cariche di segno opposto parzialmente si neutralizzano.

Calcoliamo adesso il campo elettrico

supponendo di porre il punto P

lungo l'asse _z orientato dalla

carica negativa e quella

positiva, in modo tale che

p = p_z = q a² ẑ

Calcoliamo il campo E come gradiente del potenziale cioè:

E = -∇V = - [_∂V/_∂x x̂ + _∂V/_∂y ŷ + _∂V/_∂z ẑ]

Dal momento che P si trova sull'asse z, la distanza di P

dall'origine cioè OP coincide con OC, con distanza di P sull'

asse z. Quindi per |z| >> a, si ha:

V(z) ≈ _-pz/_{4πε0 1}/_z² = _-1/_{4πε0 pz}/_z² = _-1/_{4πε0 p}/_z

Se faccio le derivate parziali, ottengo:

(_∂V/_∂x x̂ = 0)   ==>   e rimane solo   ==>   -∇V = -_∂V/_∂z ẑ

- (_∂V/_∂y ŷ = 0)

= _-p/_4πε0 . _∂/_∂z (₁/_z²) = _-p/_4πε0 . _-2/_z³ ẑ

= _p/_4πε0 . ₂/_z³ ẑ CAMPO ELETTRICO DI

UN DIPOLO

POTENZIALE DI UN SISTEMA DI CARICHE NELLI APPROSSIMAZIO NE DI DIPOLO

La formula del potenziale di un punto generato da un dipolo elettrico, ove tutte due cariche puntiformi si può approssimare un sistema di cariche più complesse.

Consideriamo un sistema di cariche q_i distribuite in una regione rispettato di spazio, di dimensione d.

Detto O un qualsiasi punto interno alla regione calcoleremo il potenziale di un punto P a distanza r da O con r

Otteniamo quimi:

V(P) = ¹/_4πε0 Σ ^q_i/_r² i=1

(i=1)

Posso truncare la perpendicolare da q_i su r e dire che:

|r - ri| = d cos θ_i = d

r^1_i

Sostituisco nel potenziale e ottengo:

V(P) = ¹/_4πε0 Σ ^q_i/_r² i=1

r → più

Q_tot(sopra i=1 q_i)

Q_tot / 4πε ₀ + / r²

Dipende da come sono distribuite le cariche

= Σ_iq_id_i

POTENZA DI UN DIPOLO > una carica q_i

Possiamo verificare che, se

Q_TOT = 0

cioè la carica netta è nulla allora il momento di dipolo p non dipende dal punto O scelto.

Consideriamo due punti O e O', a distanza rispettivamente di d_i e d'_i dalla carica q_i.

Possiamo verificare che vale la relazione:

r = r_OO' + d'_i

Calcoliamo il momento di dipolo:

p = Σ q_i d_i = Σ q_i (r_OO' + d'_i) = Σ q_i r_OO' + Σ q_i d'_i = Σ q_i d_i

abbiamo verificato che coincidono

Quindi, riepilogando:

Se ho un insieme neutro di cariche, cioè

Q_TOT = 0

allora

V(P) = (1 / 4πε₀) (P ⋅ û/r²) (poiché il termine di monopolo si annullerebbe)

Se ho un insieme non neutro di cariche, cioè

Q_TOT ≠ 0

allora

V(P) = (1 / 4πε₀) (Q / r) + (1 / 4πε₀) (P ⋅ û/r²)

dove il termine preponderante è il termine di monopolo, cioè (1 / 4πε₀) (Q / r)

Per verificare ciò facciamo una stima di questi due termini:

V(P)_monopolo = ¹/_4πε0 · ^Q/_r   ≈   ^Qr/_ρ²·4πε0 · ^z_idi_i/Σdi_ir = ^Qr/_Qd = ^r/_d

Quindi abbiamo trovato:

V(P)_monopolo ≈ ^r/_d siccome r≫d   ⇒   monopolo >> dipolo

VERIFICATO

Dal momento che il potenziale di un sistema di cariche neutre dipende da come esse sono distribuite (non dal fatto che spesso

esiste un'ASIMMETRIA tra cariche positive e negative), possiamo dimostrare che se esiste un punto di simmetria, il momento di

dipolo del sistema è NULLO

Un esempio è il seguente: supponiamo di avere 3 cariche che si trovano sulla stessa retta (asse x).

Q_tot= -q + 2q - q = 0 => carica netta nulla

Quindi, se calcoliamo P_x esso non dipende dal punto O che scegliamo. Supponiamo O dove c'è la carica q₁ e calcoliamo P_x.

P₀^x = Σ_i=1³ q_id_i = q₂d₂ + q₃d₃ = -q(-ax) +0-q(ax) = 0

OSS: Anche se scegliamo O in un altro punto, P_x risulta sempre zero.

P₀^x = q₂d₂ + q₃d₃ = -q(x) + 2q(x+a)x - q(x+2a)x = = -9q x² + 2q ax² + 9q x² - 9x² - 2q ax² = [0]

Questa particolare distribuzione di carica con momento di dipolo nullo si chiama quadrupolo lineare.

Un'altra esempio di distribuzione di carica con momento di dipolo nullo e il seguente:

Q = -q +q + q - q = 0

P_x = q₂+ q₂ + q₃d₃ + q₄d₄ = = q(ax) - q(ax + b)y + q(by) + 0 = = 9a x -9a x - 9by + 9by = [0]

Questa particolare distribuzione si chiama quadrupolo bidimensionale.

Quando P=0 per il calcolo dei potenziali bisogna aggiungere altri termini:

V(P) = TERMINE DI ₁ + TERMINE DI _1² + TERMINE DI _1³ + ecc

  MONOPOLO   DIPOLO   QUADRIPOLOn=0 monopolon=1 dipolon=2 quadrupolo            ecc

Ogni termine è trascurabile rispetto a quello precedente, però se questo è nullo (come quello precedente), il successivo diventa preponderante.

Un sistema interno può quindi avere una interazione elettrica che è tanto minore, quanto maggiore è il grado di simmetria.

Forza di un dipolo elettrico

Consideriamo un dipolo formato da una carica -q posta nel punto P₁(x, y, z) e da una carica +q posta nel punto P₂(x + a_x, y + a_y, z + a_z).

Il vettore a= (a_x, a_y, a_z) congiunge P₁ e P₂.

Il momento di dipolo è P = qa

Se questo dipolo si trova in una regione in cui vi è un campo elettrico E, la sua energia potenziale elettrostatica sarà:

μ = qΔV = - q V(x, y, z) + q V(x + a_x, y + a_y, z + a_z)

≈ q [V(x+a_x, y+a_y, z+a_z) - V(x, y, z)]

≈ q [V(x, y, z) + (∂V/∂x)a_x + (∂V/∂y)a_y + (∂V/∂z)a_z) − V(x, y, z)]

≈ -q(b∇V · a) = - b∇V · qa = -E · P = -p · E

(poiché E = -b∇V)

=>μ = -p · E = -pEcosθ

Se il campo E è uniforme, sulla carica +q agirà una forza F_+q = q E e sulla carica -q agirà una forza F_-q = -q E; queste due forze costituiscono una coppia e hanno risultante nulla. Questo potrebbe indurre a pensare che queste due forze opposte tendano a separare le due cariche, rompendo il dipolo; ma ciò non accade poiché il dipolo si deve considerare come un unicum entro il quale non si può separazione, quasi come se fosse un molibdeno a distanza fissa.