Fisica Medica - Appunti

Moto rettilineo uniforme

Traiettoria rettilinea

• Velocità v costante

• ∆ s

! v =

∆ t

La legge oraria indica la dipendenza dello spazio dal tempo e non ha nulla a che

vedere con la traiettoria. La pendenza della curva nel grafico indica la velocità.

Se il moto è rettilineo uniforme, la curva è una retta con pendenza costante.

Se il moto non è uniforme c’è invece una pendenza variabile e in due istanti

successivi A e B, la retta congiungente è la velocità media ∆s/∆t, mentre la tangente

alla curva è la velocità istantanea.

∆ s ds

! È la derivata prima dello spazio rispetto al tempo.

v =lim =

ist ∆ t dt

∆ t→0

Accelerazione

∆ v

! a =

media ∆ t 2

∆ v dv(t) d s(t)

! a lim

= = =

ist 2

∆ t dt dt

∆ t→0

!

Moto armonico

È un moto che avviene lungo un asse (monodimensionale) con velocità variabile in

intensità e verso.

C’è un’accelerazione legata alla posizione del punto

dall’equazione:

! 2

a(t) x(t)

ω

= −

ω= pulsazione del moto

• 2 π

! = periodo

T =

• ω

ω

! = frequenza

ν =

• 2 π

Un’equazione che lega derivate diverse della stessa funzione è

detta equazione differenziale.

La soluzione dell’equazione è: ! x(t) x cos( t )

ω ϕ

= +

0

Derivata prima: ! v(t) x sin( t )

ω ω ϕ

= − +

0

Derivata seconda: ! 2 2

a(t) x cos( t ) x

ω ω ϕ ω

= − + = −

0

Condizioni al contorno (iniziali):

φ = fase iniziale, indica di quanto l’osservazione è traslata

• rispetto a quella standard (che inizia a t=0)

x = ampiezza (estensione del moto)

• 0

x x(t 0) A cos( 0 ) A cos

ω ϕ ϕ

= = = ⋅ + =

0

! v v(t 0) Asin( 0 ) Asin

ω ω ϕ ω ϕ

= = = − ⋅ + = −

0 2

a a(t 0) x

ω

= = = −

0 0

Dimensioni e unità di misura S.I.

-1

ω [t Hz (sec

T [t] sec

-1

ν [t Hz (sec

A [l] m

φ adimensionale /

!

Derivate temporali di vettori

x : posizione

! : velocità

!

x

! : accelerazione

!!

x

! Se il moto avviene non lungo una linea ma nello spazio si usano il vettore

• spostamento e il vettore posizione.

!

!

esempio: ! Moto rettilineo uniforme in direzione e

s(t) 25t i

= ⋅

verso dell'asse x !

! !

! d s(t) d25t i

⋅

! v(t) 25

i

= = =

dt dt

Se il moto avviene in due dimensioni:

•

! r

! r (t) y

- di modulo r(t) θ

- di direzione e verso dati dall’apertura θ(t)

- di componenti x(t) e y(t) x

È dato dalle equazioni del moto circolare uniforme:

r(t) rimane costante, cambia θ(t)

- θ(t) è lineare in t, quindi θ(t)=ωt (si percorrono archi uguali in tempi uguali)

- s(t) = r θ d t

θ

In generale se ω non è costante: ! velocità angolare ω (rad/sec)

- = (t)=

ω ω dt

x(t) r cos (t)

θ

=

y(t) r sin (t)

θ

= ! !

! r(t) [r cos (t)]

i sin (t)] j

θ θ

= +[r

- (t) t

θ ω

= ! !

r(t) (r cos t)

i (r sin t) j

ω ω

= +

Rappresenta l’equazione oraria del moto circolare uniforme ed è costante.

! ! !

d r (t)

v(t) (−r sin t)

i (r cos t) j

ω ω ω ω

= = + =

! Velocità lungo la circonferenza

dt

- ! !

v (t)

i v (t) j

= +

x y

! 2 2

v(t) (−r sin t) (r cos t) r

ω ω ω ω ω

= + =

Il modulo della velocità è costante e non dipende da t.

! !

- Calcolo quanto vale la proiezione di ! lungo il vettore ! , per identificare la

v r

!

direzione di ! istante per istante.

v

! ! ! !

! !

r • v [(r cos t)

i (r sin t) j ] •[(−r sin t)

i (r cos t) j ]

ω ω ω ω ω ω

= + + =

! ! ! ! ! ! ! !

! [(r cos t)

i • (−r sin t)

i ]+[(r sin t) j • (−r sin t)

i ]+[(r cos t)

i • (r cos t) j ]+[(r sin t) j • (r cos t) j ]

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

= =

2 2

sin t cos t r sin t cos t 0

ω ω ω ω ω ω

= −r + =

La velocità è ortogonale al raggio e tangente alla traiettoria.

! !

d v(t)

! Accelerazione centripeta con modulo costante, direzione di

- 2

a(t) r (t)

ω

= = −

dt

! !

! e verso opposto a ! .

r r

!

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Traiettoria rettilinea

• Accelerazione costante

• v(t)

a(t)

dv(t)

a = dt

∫

v(t) a dt at k

= = + a v

k v(t 0) v

= = = 0

0

v(t) at v

= + 0

dx(t)

! v(t) = t

t

dt

∫ ∫

s(t) v(t)dt (at v )

dt

= = + = x(t)

0

1 2

at v t k '

= + +

0

2

k ' x(t 0) x

= = = 0

1 2

x(t) at v t x

= + + x

0 0 0

2

! t

!

Caduta dei gravi 2

Accelerazione di gravità: g=9,8 m/s

!

Il vettore ! è diretto lungo la verticale e rivolto verso il basso.

g

Cade da fermo:

•

t = 0

z = 0

0

v = 0

0

? posizione a t=1,2,3

? velocità a t=1,2,3

? tempo prima che raggiunga il suolo

1 2

z(t) gt

=

! 2

v(t) gt

=

! !

Tempo t(s) Posizione Velocità fin2

49=1/2 g t

0 0 0 1/2 1/2

t =(98/9,8) =10 s

fin

!

1 4,9 9,8 !

!

2 19,6 19,6 !

3 44,1 29,4 !

Inizialmente viene lanciato verso l’alto:

•

t = 0

z =0

0

v = –19,6 m/s

0

? t

zmax

? z

max

? t

fin 1 2

z(t) z v t gt

= + +

0 0

! 2

v(t) v gt

= +

0 2

z(t)=0 – 19,6t + 4,9t

v(t)= – 19,6 + 9,8t

- al culmine v=0: t = 19,6/9,8= 2s

zmax

- 2

z = z(t )= –19,6 · 2 + 4,9 · 2 = –19,6 m

max zmax

- 2

al suolo z=49: 49=0 – 19,6 t + 4,9 t

2

t – 4t –10 = 0 1/2

t = 1/2 (4 ± 56 ) = 5,742 s

! !

Lanciato con una velocità iniziale ! :

• v v t

= ⋅

0 0 x

Il moto lungo x non ha accelerazione: ! x(t) v t

= ⋅

0 x

1

Il moto lungo z ha un’accelerazione g: ! 2

z(t) gt

= 2

!

!

!

s(t) x(t)

i z(t) k

= + =

Il vettore posizione (legge oraria) è: ! !

! 1 2

v t i gt k

= ⋅ +

0 x 2

!

Per trovare la traiettoria z(x), si ricava t da una delle due

equazioni e la si sostituisce nell’altra:

2

! $

1 x 1 g

! 2

z(x) g x

= = ⋅ ⋅

# & 2

2 v 2 v

" %

0 x 0 x

La traiettoria è parabolica.

! !

!

! d s

Il vettore velocità è: ! v v i gt

k

= = +

0 x

dt ! !

! d v

Il vettore accelerazione è: ! a g k

= =

dt

! !

Grave lanciato con velocità iniziale ! :

• v

0

! !

! !

!

! v v i v k v cos i v sin k

θ θ

= + = +

0 0 x 0 z 0 0

x(t) v t v cos t

θ

= =

0 x 0

! 1 1

2 2

z(t) v t gt v sin t gt

θ

= − = −

0 z 0

2 2

D = gittata: la posizione in x in cui il grave

tocca il suolo. Dipende da θ e dalla

velocità iniziale. È massima a 45°.

x

t = v cos θ

0 2

# &

x 1 x

z v sin g

θ

= ⋅ − =

% (

0 v cos 2 v cos

θ θ

$ '

! 0 0

2

sin 1 x

θ x g

= − 2 2

cos 2 v cos

θ θ

0

# &

1 x

x tg g

θ

= −

% (

2 2

2 v cos θ

$ '

0 1 x

z=0 x=0: ! =0

tg g

θ − 2 2

2 v cos θ

0

2sin cos v sin 2 v

θ θ θ

⋅ ⋅

! 0 0

x = =

g g

!

!

Dinamica

Un’interazione provoca una variazione dello stato di moto:

varia il vettore velocità.

L’accelerazione è l’osservabile cinematica che fa desumere

che ci sia stata un’interazione e quindi una forza.

Forza <—> Accelerazione

Le tre leggi della dinamica sono:

1. Principio d’inerzia: Un corpo non soggetto a forze permane nel suo stato di

quiete o moto rettilineo uniforme. !

Se ci sono più forze agenti è determinante la risultante! .

R !

La condizione di equilibrio traslazione di corpi inizialmente fermi è ! =0.

R

La velocità non è alterata in intensità, direzione o verso.

2. Legge di Newton: Un corpo soggetto a una forza accelera proporzionalmente

! !

all’intensità della forza nella direzione e nel verso della forza. ! F m

a

=

Se ci sono più forze, la risultante non deve essere nulla e l’osservabile è

F m⋅ a

=

x x

l’accelerazione. Si ottiene un’equazione vettoriale: ! F m⋅ a

=

y y

F m⋅ a

=

z z

La m si chiama massa inerziale ed indica l’inerzia di un corpo a dare una risposta

cinematica ad una sollecitazione dinamica.

La massa inerziale è legata alla quantità di materia. !

3. Principio di azione-reazione: Se un corpo A esercita una forza ! su di un corpo

F

! AB

B, allora B esercita su A una forza ! uguale e contraria.

F

! ! BA

! F F

= −

AB BA -2

Dimensione della forza: [F]=[m l t ] 2

Unita di misura S.I. : 1 N = 1 Kg · 1 m/s 2

Una forza di 1N è quella che imprime a una massa di 1Kg un’accelerazione di 1m/s

nella direzione e nel verso della forza.

Una forza si può misurare in modo non cinematico con un dinamometro.

Equilibrio:

Stabile: se a seguito dello spostamento del distoma

• dalle condizioni di equilibrio insorgono forze

spontanee che lo riportano nelle condizioni

precedenti (es: B)

Instabile: se uno spostamento provoca una forza

• non bilanciata che allontana il sistema dalla

configurazione iniziale (es: C)

Indifferente: se non insorge nessuna forza in seguito

• allo spostamento (es: A)

!

!

!

!

Forza peso

È la forza esercitata dalla Terra su un grave in sua prossimità. Si tratta di una forza a

distanza, non occorre contatto fra il grave e la Terra.

! !

! P m

g

=

!

! è la stessa per tutti i corpi ed è costante su tutta la Terra. Ha direzione verticale ed è

g

orientato verso il basso.

È un caso particolare della forza gravitazionale. A parità di m, la forza peso dipende

dal pianeta.

In assenza di altre forze provoca un’accelerazione costante (un moto rettilineo

uniformemente accelerato).

!

Forza normale

È una forza spontanea a contatto a cui è soggetto un corpo quando è appoggiato ad un

altro. Ha direzione perpendicolare alla superficie di contatto. Non è un principio di

azione/reazione perché le forze sono applicate allo stesso corpo.

• Oggetto fermo su un piano orizzontale:

! !

! ∑

R F ma

= =

! ! ! ! !

! ! !

P N 0 N P N mg

+ = = − =

La reazione alla normale che il corpo esercita sul tavolo è una forza

normale che il tavolo esercita sul corpo, mentre la reazione alla forza peso è la forza

che il corpo esercita sulla Terra ed è uguale al peso della Terra rispetto al corpo.

• Oggetto su un piano inclinato:

!

P P sin α

=

//

! !

P P cos α

=

_|_

La componente perpendicolare è controbilanciata dalla forza

normale.

La componente parallela invece in assenza di attrito non

viene controbilanciata ed è una forza viva che genera il moto

della massa m con accelerazione parallela al piano.

P

! //

a a gsin α

= = =

// m

Tensione

Un filo è sottoposto a tensione quando viene stirato. La tensione è diretta come il filo

e agisce in entrambe le direzioni. È possibile esercitare solo trazioni.

!

Forza di attrito

La forza di attrito ha un aspetto dissipativo ed un aspetto funzionale. Dipende dal

numero di difetti che si creano tra lo strato monomolecolare delle due superfici a

contatto. !

Si risale alla presenza di attrito da una misura di ! :

a

! ! ! !

! !

Se ! F m

a F | F F m

a

≠ ⇒ ∃ + =

1 2 1 2

! Per scivolamento: F

• F a

Finché il regime è statico, la forza di attrito si regola

spontaneamente in modo da controbilanciare la forza

applicata.

! !

! = 0 ! = 0

R a F F a

Oltre il limite di scivolamento:

! !

! ≠ 0 ! ≠ 0

R a !

La forza di attrito al limite di scivolamento è

proporzionale alla forza normale.

! !

! F µ N

=

AS max s

µ è il coefficiente di attrito statico.

s

! !

! F µ N

=

AK K

µ è il coefficiente di attrito dinamico.

k

µ e µ sono coefficienti sperimentali e

s k

adimensionali.

! !

Al massimo ! , perché µ≤1

F N

=

A

Piano inclinato:

• !

P P sin α

=

//

! !

P P cos α

=

_|_

P dipende dall’angolo, quindi è possibile entrare o uscire dal regime statico

//

diminuendo o aumentando l’inclinazione.

! ! ! !

L’inclinazione minima è quella in cui ! , e siccome ! :

P F 0 F µ N

+ = =

// A AS max s

!

P µ P

=

// s _|_

! P sin µ P cos

α α

= s

µ tan α

=

s

Esistono dispositivi lubrificanti per ridurre µ (come il liquido sinoviale nelle

s

articolazioni).

Attrito aerodinamico

•

La forza di attrito agisce con verso opposto alla velocità.

! Nel caso di velocità elevate, dipende dal quadrato della velocità.

A=area della sezione trasversa del corpo

C=coefficiente di penetrazione, profilo aerodinamico (dipende dalla forma

dell’oggetto).

Se un corpo suscita meno turbolenze nel fluido, esso subisce meno attrito.

Velocità limite: ho un grave che cade in un fluido subendo attrito. Man mano il corpo

!

cade soggetto a ! , la sua velocità cambia perché cambia ! .

g

!

t=0

t=t

t=t

Oltre la velocità limite il moto diventa rettilineo uniforme.

D = P

lim 2lim

1/2 C ρ A v = m g

! Forza centripeta

Qualunque forza in grado di trattenere un corpo su una traiettoria circolare.

! Forza centrifuga

È una forza apparente, data dall’assenza di forza centripeta.

Forza elastica

Ho una molla in moto in una dimensione (regime lineare).

Se si aumenta di un tratto x la lunghezza della molla

rispetto alla lunghezza di riposo L, interviene una forza di

richiamo non costante proporzionale all’elongazione.

F = - k x

el

x = scostamento

k = costante elastica

Unità di misura di k: N/m

Se k è bassa la molla è molto deformabile

• Se k è alta la molla è poco deformabile

•

Moto generato dalla forza elastica:

F (t) = –k x(t)

el

F(t) = m a(t)

– k x(t) = m a(t) 2

! –k/m è una costante positiva (k>0, m>0) e la chiamo ω

2

a(t) = – ω x(t) Moto armonico

ω è la pulsazione naturale data dal bilancio fra quanto è elastica la molla e quanta

massa ha il corpo, dipende dal rapporto fra quanto è un sistema è responsivo e quanto

è inerte.

! !

!

Forza di gravità

È una forza a distanza determinata dall’interazione tra due corpi dotati di massa

gravitazionale.

! ! è il versore dell’asse 12 (la congiungente di 1 e 2).

Il segno negativo è determinato dal fatto che la forza è attrattiva e quindi è rivolta in

senso opposto al versore 12.

–11 2 –2

G = 6,67 · 10 N m kg Costante di gravitazione universale

Vale il principio di sovrapposizione.

Gravità terrestre: Ho un corpo di massa gravitazionale m che interagisce con la

g

Terra, di massa gravitazionale M .

T

! Campo gravitazionale: è un campo di forze inespresse pronto ad esprimersi nel caso

in cui una seconda massa entra nel campo. Origina dalla presenza di una massa, che

copre lo spazio geometrico con un campo di forze in potenza.

! !

Confronto con ! :

F m

a

=

se m=m : !

• g !

In prossimità della Terra il raggio è quello della Terra.

! r < r < r ci sono circa 8000m tra mare e Everest,

min max 2

su R ≈ 6300 km la massima variazione percentuale è di r ≈ 1‰, quindi di r ≈2‰

terra

!

!

Lavoro meccanico

Ho un punto materiale soggetto contemporaneamente a una forza e uno spostamento.

• Forza costante: (forza peso)

Il punto di applicazione di ! subisce uno spostamento ! .

Il lavoro meccanico è determinato dalla componente di !

nella direzione di ! .

! Il lavoro p