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Forza peso

È la forza esercitata dalla Terra su un grave in sua prossimità. Si tratta di una forza a

distanza, non occorre contatto fra il grave e la Terra.

! !

! P m

g

=

!

! è la stessa per tutti i corpi ed è costante su tutta la Terra. Ha direzione verticale ed è

g

orientato verso il basso.

È un caso particolare della forza gravitazionale. A parità di m, la forza peso dipende

dal pianeta.

In assenza di altre forze provoca un’accelerazione costante (un moto rettilineo

uniformemente accelerato).

!

Forza normale

È una forza spontanea a contatto a cui è soggetto un corpo quando è appoggiato ad un

altro. Ha direzione perpendicolare alla superficie di contatto. Non è un principio di

azione/reazione perché le forze sono applicate allo stesso corpo.

• Oggetto fermo su un piano orizzontale:

! !

! ∑

R F ma

= =

! ! ! ! !

! ! !

P N 0 N P N mg

+ = = − =

La reazione alla normale che il corpo esercita sul tavolo è una forza

normale che il tavolo esercita sul corpo, mentre la reazione alla forza peso è la forza

che il corpo esercita sulla Terra ed è uguale al peso della Terra rispetto al corpo.

• Oggetto su un piano inclinato:

!

P P sin α

=

//

! !

P P cos α

=

_|_

La componente perpendicolare è controbilanciata dalla forza

normale.

La componente parallela invece in assenza di attrito non

viene controbilanciata ed è una forza viva che genera il moto

della massa m con accelerazione parallela al piano.

P

! //

a a gsin α

= = =

// m

Tensione

Un filo è sottoposto a tensione quando viene stirato. La tensione è diretta come il filo

e agisce in entrambe le direzioni. È possibile esercitare solo trazioni.

!

Forza di attrito

La forza di attrito ha un aspetto dissipativo ed un aspetto funzionale. Dipende dal

numero di difetti che si creano tra lo strato monomolecolare delle due superfici a

contatto. !

Si risale alla presenza di attrito da una misura di ! :

a

! ! ! !

! !

Se ! F m

a F | F F m

a

≠ ⇒ ∃ + =

1 2 1 2

! Per scivolamento: F

• F a

Finché il regime è statico, la forza di attrito si regola

spontaneamente in modo da controbilanciare la forza

applicata.

! !

! = 0 ! = 0

R a F F a

Oltre il limite di scivolamento:

! !

! ≠ 0 ! ≠ 0

R a !

La forza di attrito al limite di scivolamento è

proporzionale alla forza normale.

! !

! F µ N

=

AS max s

µ è il coefficiente di attrito statico.

s

! !

! F µ N

=

AK K

µ è il coefficiente di attrito dinamico.

k

µ e µ sono coefficienti sperimentali e

s k

adimensionali.

! !

Al massimo ! , perché µ≤1

F N

=

A

Piano inclinato:

• !

P P sin α

=

//

! !

P P cos α

=

_|_

P dipende dall’angolo, quindi è possibile entrare o uscire dal regime statico

//

diminuendo o aumentando l’inclinazione.

! ! ! !

L’inclinazione minima è quella in cui ! , e siccome ! :

P F 0 F µ N

+ = =

// A AS max s

!

P µ P

=

// s _|_

! P sin µ P cos

α α

= s

µ tan α

=

s

Esistono dispositivi lubrificanti per ridurre µ (come il liquido sinoviale nelle

s

articolazioni).

Attrito aerodinamico

La forza di attrito agisce con verso opposto alla velocità.

! Nel caso di velocità elevate, dipende dal quadrato della velocità.

A=area della sezione trasversa del corpo

C=coefficiente di penetrazione, profilo aerodinamico (dipende dalla forma

dell’oggetto).

Se un corpo suscita meno turbolenze nel fluido, esso subisce meno attrito.

Velocità limite: ho un grave che cade in un fluido subendo attrito. Man mano il corpo

!

cade soggetto a ! , la sua velocità cambia perché cambia ! .

g

!

t=0

t=t

t=t

Oltre la velocità limite il moto diventa rettilineo uniforme.

D = P

lim 2lim

1/2 C ρ A v = m g

! Forza centripeta

Qualunque forza in grado di trattenere un corpo su una traiettoria circolare.

! Forza centrifuga

È una forza apparente, data dall’assenza di forza centripeta.

Forza elastica

Ho una molla in moto in una dimensione (regime lineare).

Se si aumenta di un tratto x la lunghezza della molla

rispetto alla lunghezza di riposo L, interviene una forza di

richiamo non costante proporzionale all’elongazione.

F = - k x

el

x = scostamento

k = costante elastica

Unità di misura di k: N/m

Se k è bassa la molla è molto deformabile

• Se k è alta la molla è poco deformabile

Moto generato dalla forza elastica:

F (t) = –k x(t)

el

F(t) = m a(t)

– k x(t) = m a(t) 2

! –k/m è una costante positiva (k>0, m>0) e la chiamo ω

2

a(t) = – ω x(t) Moto armonico

ω è la pulsazione naturale data dal bilancio fra quanto è elastica la molla e quanta

massa ha il corpo, dipende dal rapporto fra quanto è un sistema è responsivo e quanto

è inerte.

! !

!

Forza di gravità

È una forza a distanza determinata dall’interazione tra due corpi dotati di massa

gravitazionale.

! ! è il versore dell’asse 12 (la congiungente di 1 e 2).

Il segno negativo è determinato dal fatto che la forza è attrattiva e quindi è rivolta in

senso opposto al versore 12.

–11 2 –2

G = 6,67 · 10 N m kg Costante di gravitazione universale

Vale il principio di sovrapposizione.

Gravità terrestre: Ho un corpo di massa gravitazionale m che interagisce con la

g

Terra, di massa gravitazionale M .

T

! Campo gravitazionale: è un campo di forze inespresse pronto ad esprimersi nel caso

in cui una seconda massa entra nel campo. Origina dalla presenza di una massa, che

copre lo spazio geometrico con un campo di forze in potenza.

! !

Confronto con ! :

F m

a

=

se m=m : !

• g !

In prossimità della Terra il raggio è quello della Terra.

! r < r < r ci sono circa 8000m tra mare e Everest,

min max 2

su R ≈ 6300 km la massima variazione percentuale è di r ≈ 1‰, quindi di r ≈2‰

terra

!

!

Lavoro meccanico

Ho un punto materiale soggetto contemporaneamente a una forza e uno spostamento.

• Forza costante: (forza peso)

Il punto di applicazione di ! subisce uno spostamento ! .

Il lavoro meccanico è determinato dalla componente di !

nella direzione di ! .

! Il lavoro può essere positivo o negativo a seconda dell’angolo θ:

! –2 2 –2

Dimensioni: [L] = [F] [d] = [m l t ] [l] = [m l t ]

Unità di misura: Joule 1J = 1N · 1m

Una forza di 1N compie un lavoro di 1J se fa avvenire uno spostamento di 1m nella

sua direzione di applicazione.

Se più forze F agiscono con lo stesso spostamento d:

i

! ! Forza variabile: (forza elastica)

! è variabile per diversi ! lungo lo spostamento ! .

Da ! a ! : !

faccio il limite per ∆x—>0:

! Considero uno spostamento monodirezionale:

F(el) = – k x

Il lavoro fatto dalla molla è:

! Se x = 0 e x = x : !

in fin

Il lavoro geometricamente è l’area sottesa alla curva che descrive F(x).

!

!

Potenza

Il lavoro L compiuto nel tempo ∆t.

<P> = L/∆t potenza media

P = dL/dt potenza istantanea

2 –2 2 –3

Dimensioni: [L]/[t] = [m l t ] / [t] = [m l t ]

Unità di misura: Watt 1W = 1J / 1s

!

Energia

La capacità di compiere un lavoro (anche se ci sono forme di energia che non

possono essere trasformate interamente in lavoro).

Energia cinetica:

È connessa al movimento di un corpo di massa m.

Rende conto quantitativamente del legame fra lavoro compiuto e moto generato.

! È una quantità positiva. Ha le stesse dimensioni e unità di misura di un lavoro.

Teorema dell’energia cinetica: se una forza ! compie un lavoro L su di un punto

materiale di massa m, ne causa una variazione dell’energia cinetica pari al lavoro

compiuto.

! Dimostrazione:

! Considero un ∆x finito ma molto piccolo:

! m·a·∆x = m·v·∆v

Passo al limite infinitesimale e sostituisco:

! ! Se ho un corpo che cade, la forza peso e lo spostamento sono paralleli e di ugual

• verso, quindi L > 0, la velocità cresce: ∆K>0

Se ho un corpo che viene lanciato verso l’alto, la forza peso e lo spostamento sono

• paralleli ma di verso opposto, quindi L < 0, le velocità decresce: ∆K<0

Se ho un corpo in moto circolare uniforme la forza centripeta e lo spostamento sono

• tra loro perpendicolari, quindi L = 0, la velocità è costante: ∆K = 0

!

• Energia potenziale

: energia di configurazione (W).

Si basa sulla configurazione di un sistema di corpi fra loro interagenti.

Nell’esercizio del sollevatore di pesi, aumenta l’energia potenziale attrezzo-terra.

L = 5000J

atleta

W = L = 5000 J

fin atleta

L’attrezzo cadendo perde energia potenziale, guadagna energia cinetica, può

compiere un lavoro.

L’energia potenziale viene definita a partire dal lavoro di forze

conservative.

È conservativa una forza il cui lavoro per modificare la configurazione

di un sistema dipende solo dalle configurazioni iniziale e finale e non

dalla particolare trasformazione eseguita.

L = L = L

AB(1) AB(2) AB(3)

Il lavoro di una forza conservativa è nullo se la configurazione iniziale e

quella finale coincidono.

L = – L

AB BA

Posso definire una funzione della configurazione W che vale W in A e W in B, tale

A B

che: L = W – W = –∆W

AB A B

Il lavoro positivo, fatto dal sistema, diminuisce W.

• + –

L —> ∆W —> W < W

B A

Il lavoro negativo, fatto dal sistema, aumenta W.

• – +

L —> ∆W —> W > W

B A

W ha le stesse dimensioni ed unità di misura di K e L. La forma di W dipende dalla

forza conservativa il cui lavoro viene trasformato in W.

• Forza peso: F(y) = –mg costante

Lo stato di riferimento è: y = 0, W = 0

0 0

! • Forza elastica: F(x) = – k x conservativa

Lo stato di riferimento è L.

x = 0 —> W = 0

0

!

Energia totale meccanica:

Il teorema della conservazione dell’energia totale

meccanica afferma che l’energia totale meccanica

sotto l’azione di sole forze conservative si conserva.

E = W + K

Le singole forme dell’energia cambiano ma non la

loro somma.

Se agiscono solo forze conservative, il corpo non

potrà mai raggiungere un’altezza superiore all’altezza iniziale (se parte da fermo)

perché non ha energia sufficiente. All’altezza massima corrisponde la velocità

minima ed all’altezza minima corrisponde la velocità massima.

Un esempio è il salto con l’asta, in cui l’energia passa da cinetica, a potenziale

elastica, a potenziale peso.

In caso di forze non dissipative:

∆K=L = L + L

tot Fc Fnc

∆K= –∆W + L

Fnc

∆K + ∆W = L

Fnc

Se non ci sono forze non conservative ∆K + ∆W = 0, quindi K+W è costante

(teorema di conservazione).

Se invece ci sono forze non conservative (dissipative), l’energia meccanica non si

conserva. Il lavoro delle forze non conservative è sempre negativo.

∆K + ∆W = L

Fnc

(K – K ) + (W – W ) = L

2 1 2 1 Fnc

K + W = K + W + L

2 2 1 1 Fnc

L’energia meccanica finale è pari a quella iniziale più una quantità negativa, quindi

diminuisce.

!

• Energia potenziale gravitazionale:

Il lavoro fatto dalla F per portare un corpo dall’infinito ad un punto ! è:

grav

! Velocità di fuga:

Ho un proiettile lanciato verso l’alto: ad una certa altezza si ferma e ricade, ma se ha

una velocità sufficiente può sfuggire all’attrazione gravitazionale terrestre in teoria

fermarsi all’infinito. fuga2

All’inizio (sulla Terra): K = 1/2 m v

in

W = –GMm/R

in terra

All’infinito: K=0 il proiettile si arresta

W(∞)=0 per definizione

2

1/2 m v –GMm/R = 0

fuga terra

" !

Impulso di una forza

Una forza ! agisce su di un corpo per un intervallo di tempo ∆t.

!

In ∆t la velocità del corpo varia di ! perché c’è ! (e ! ).

a

! ! è l’impulso della forza ! nell’intervallo di tempo ∆t.

! è la quantità di moto.

L’impulso della forza è uguale alla variazione della quantità di moto, se aumenta ∆t

diminuisce <! > a parità di ∆! .

–1

Dimensioni di ! : [m l t ]

• Unità di misura di ! : kg · m/s

Supponendo che ci siano più forze:

! scrittura di Newton della 2ª legge

La rapidità di variazione della quantità di moto di una particella è proporzionale alla

forza netta che agisce su di essa e nella stessa direzione.

Interazione impulsiva tra due corpi:

m e m

1 2

! Nell’urto si esercita una coppia azione-reazione ! della durata dell’urto.

Per i due corpi m e m : !

1 2

! La somma delle due forze è nulla poiché ! .

! In un sistema chiuso ed isolato la quantità di

moto totale si conserva.

!

Centro di massa

Caso monodirezionale, due punti:

! Il centro di massa è compreso fra x e x , se m =m è equidistante da x e x , è più

1 2 1 2 1 2

prossimo alla massa maggiore.

Più punti allineati:

! Punti nello spazio:

! Corpo esteso di massa M, insieme di particelle, continuo di materia:

! Le particelle sono infinitesimi di massa dm centrati attorno alle posizioni (x,y,z).

Se il corpo è omogeneo, cioè ha densità costante: dm/dv=M/V —> dm/M = dv/V

! Se il corpo omogeneo ha un elemento di simmetria il

centro di massa si trova su tale elemento.

Non è detto che il centro di massa appartenga al corpo.

!

Solitamente il centro di massa coincide con il baricentro, ma può non

coincidere sulle grandi distanze.

Al centro di massa vengono associati:

Posizione: !

• Velocità: !

• Accelerazione: !

• Massa: M=∑m

• i

Legge di Newton: !

!

Un corpo esteso può essere soggetto a:

Traslazione:!

• Rotazione + Traslazione:!

!

Momento di una forza

! Il momento della forza ! rispetto al punto O è dato dal prodotto vettoriale:

! !

È un vettore con modulo dato da |! |, direzione perpendicolare al piano e verso dato

M

dalla terna della mano destra (in questo caso uscente):

!

Pollice=! , Indice=! , Medio=! M

! è il braccio, cioè la distanza fra il punto e la retta di applicazione della

forza.

Baricentro : il punto rispetto al quale la forza peso ha momento nullo.

Coincide con il centro di massa tranne che per distanze enormi.

La forza peso di un corpo esteso si applica al suo baricentro.

Equilibrio di un corpo esteso appoggiato:

Quando la forza peso esce dal piano del tavolo, si genera un

momento e quindi un moto rotatorio. Il corpo è in equilibrio solo se

il baricentro è sul tavolo. !

Se una forza agente su un punto ha ! ≠ 0 rispetto a un punto,

M

allora può ruotare intorno a quel punto sotto l’azione di quella

forza.

La presenza di un momento non nullo è la condizione che genera

• rotazione. …viceversa…

L’assenza di momento risultante è la condizione che genera l’equilibrio rotazionale

• di un corpo esteso.

Globalmente le condizioni di equilibrio per un corpo esteso sono:

!

! = 0

M

!

! = 0

R

Leve

Un corpo rigido ha i punti fra loro mutuamente fermi ad istanti successivi qualunque

sia la forza applicata dall’esterno. Non si modifica il reticolo cristallino e nessuna

parte del lavoro viene persa nella deformazione del corpo.

Se si sottopone un corpo rigido a un insieme di forze con momento risultante non

!

nullo! , il corpo ruota.

R !

Se si introduce poi un momento equilibrante ! , il corpo non ruota più.

P

! !

! + ! = 0

R P

È il principio alla base delle leve, che vengono sottoposte a due insieme di forze, una

agente ed una equilibrante, incernierate in un punto (fulcro) rispetto al quale il corpo

può ruotare. Si tratta di macchine semplici in cui:

!

! = momento resistente

R

!

! = momento potente

P

F = fulcro

Il guadagno meccanico è dato dal rapporto fra le forze che generano il momento

resistente e le forze che generano il momento potente.

GM = F / F

R P

In base al guadagno meccanico intrinseco si hanno 3 categorie di leve:

I Specie P F R Vantaggiose Altalena Capo:

Svantaggiose R = peso del corpo

Indifferenti F = articolazione atlooccipitale

P = muscoli del collo

II Specie P R F Vantaggiose Schiaccianoci Piede:

R = peso del corpo

F = articolazione del metatarso

P = muscoli della gamba

III Specie F P R Svantaggiose Pinzetta Braccio

R = peso dell’avambraccio

F = articolazione del gomito

P = muscolo bicipite

Solidi elastici

I solidi reali non sono mai corpi rigidi, ma deformabili (anche se possono avere un

grado diverso di rigidità).

Il concetto di elasticità corregge la visione ideale dei corpi rigidi in corpi deformabili

plastici ed elastici.

Per ogni trasformazione si trova un range di forze in cui c’è dipendenza lineare tra lo

sforzo e la deformazione.

Lo sforzo ha le dimensioni di una forza per unità di superficie. La deformazione è un

numero puro. La costante di proporzionalità ha le dimensioni di uno sforzo.

L’elasticità di un corpo solido è la capacità di tornare nelle configurazione iniziale

quando la sollecitazione viene rimossa Nuovo stato di

Equilibrio Deformazione equilibrio

a riposo deformato

Sollecitazione Intervengono forze

interne spontanee

! • Deformazione per trazione o per compressione: !

F

Lo sforzo è dato da F/A

La deformazione è data da ∆l/l

F ∆ l

Legge di Hooke: ! Y

=

A l

Y= modulo di Young, costante di proporzionalità caratteristico del materiale.

2

Unità di misura di Y: N / m 10

Ordine di grandezza di Y: per le ossa è ≈ 10 ed è maggiore per la trazione che per la

compressione, quindi a parità di sforzo si deforma meno per trazione.

Legame fra Y e k: F = A Y ∆l / l sulla molla

F = - k ∆l della molla

A Y ∆l / l = - k ∆l

AY

! k = l

! Punto di rottura

Regime non lineare

Regime lineare di Regime delle deformazioni

Hooke permanenti

Stiramento

! Compressione

- Regime lineare di Hooke: in caso di sforzi e deformazioni basse ha un andamento

rettilineo (segue la legge di Hooke)

- Regime non lineare: è un regime ancora elastico, ma ha andamento non lineare.

- Regime delle deformazioni permanenti: oltre un certo sforzo il corpo perde la sua

elasticità entrando nel regime plastico.

- Punto di rottura: il corpo non è in grado di sopportare ulteriormente lo sforzo e si

rompe.

La deformazione in una direzione si riflette nelle altre direzioni (ma non si compensa)

∆ d ∆ S ∆ l

! σ

= = −

d S l

σ = coefficiente di Poisson. 0 < σ < 0,5

Sollecitazione da scorrimento:

F/A = sforzo di taglio

∆l/h = tgα = deformazione da scorrimento

F

! G tg

α

= ⋅

A

G = modulo di scorrimento o di taglio

Deformazione per flessione:

Dipende da tutte e 3 le dimensioni.

A parità di area la deformazione dipende

dalla forma della sezione.

! Per strutture tubulari:

• ! Vi è un lato teso ed un lato compresso,

quindi nelle strutture spesse si usano

materiali compositi per ottimizzare la

risposta del mezzo.

esempio: il cemento armato, in cui il

cemento resiste alle compressioni e il ferro

alle trazioni.

Nelle ossa i componenti inorganici danno resistenza alle compressioni, le parti

organiche alle trazioni.

Il carico di rottura per l’osso in trazione è minore del carico di rottura per l’osso in

compressione.

• Deformazione isotropa:

La forza è applicata uguale in tutte le direzioni. È il caso di un solido immerso in un

fluido in cui si modifica la pressione.

∆V/V = - k ∆p

se p > 0 : ∆V < 0

se p < 0 : ∆V > 0

1 ∆ V

! 1/k = modulo di comprimibilità

∆ p = − ⋅

k V

Per solidi e liquidi 1/k è molto piccolo.

!

Fluidi

Sono corpi privi di reticolo cristallino (anche se può essere contestabile nel caso per

• esempio dell’acqua, che presenta le particelle disposte in modo

ordinato, grazie alle interazioni tra i dipoli, in una sorta di residuo del

η

reticolo cristallino tanto più evidente quanto minore è la temperatura.)

Essendo soggetta a forze isotrope di coesione con le altre molecole del

• fluido, quindi a risultante nulla, ogni molecola può muoversi liberamente in mezzo

alle altre di moto browniano.

Il moto browniano è un moto rettilineo uniforme finchè non si incontra una

particella o la parete. Macroscopicamente la velocità è nulla.

Variabili macroscopiche termodinamiche

• dv/dr

Densità e pressione

• Un fluido è incomprimibile.

Densità: in una porzione ∆V di fluido di massa ∆m, ρ = ∆m/∆V

Se il fluido è omogeneo, equivale a dire ρ = m/V

Pressione: p = F/A

A = superficie

k

!

!

!

La pressione è isotropa ed è uguale in un punto indipendentemente dal piano su cui la

si considera agente. 3 -2

Dimensioni della pressione: [F]/[A] = [m l t ]

2

Unità di misura: Pascal (Pa) 1 Pa = 1 N/m

1 atmosfera è la pressione che esercita l’atmosfera a livello del suolo in condizioni

normali. 5

1 atm = 10 Pa

= 1 bar

= 760 torr

= 760 mmHg

= 14,7 psi

Sovrapressione sistolica 120 mmHg

!

Statica dei fluidi:

Tutti i fluidi statici (dissipativi o conservativi) hanno lo stesso comportamento.

- Legge di Stevino: governa il comportamento di un fluido pesante in campo

gravitazionele.

In un fluido pesante la pressione aumenta linearmente con la profondità.

Ho un volume V di massa m interno al fluido in equilibrio. Siccome è statico, le

forze agenti su V si bilanciano orizzontalmente e verticalmente.

La forza che agisce verso l’alto è la forza esercitata dalla pressione: F =p A

2 2

La forza che agisce verso il basso è data dalla pressione e dal peso: F =p A + mg

1 1

Siccome sono in equilibrio:

p A = p A + mg

2 1 F 1

m= ρ V

p A = p A + ρ V g

2 1 ∆h

V= A ∆h

p A = p A + ρ A ∆h g

2 1 F 2

p = p + ρ g ∆h

2 1

Se 1 è la superficie libera, p =p e h è la sua profondità:

1 0

p(h) = p + ρ g h sovrapressione idrostatica

0

La sovrapressione idrostatica è indipendente dalla forma del recipiente.

!

!

- Principio di Pascal: governa il comportamento di un fluido confinato.

Se ho un fluido confinato nel quale faccio variare la pressione in un punto, la

pressione varia della stessa quantità in ogni punto del fluido e sulle pareti del

contenitore.

esempio: martinetto idraulico, tubetto di dentifricio, manovra di Heimlich.

Esercitando una forza piccola su una superficie piccola ottengo una forza grande

su una superficie grande. Non si moltiplica mai il lavoro.

- Principio di Archimede: galleggiamento.

Un corpo immerso in un fluido, totalmente o parzialmente, riceve una spinta dal

basso verso l’alto pari al peso del volume del fluido spostato.

Il peso apparente è il peso a cui viene sottratta la forza idrostatica.

La spinta di Archimede non è applicata al centro di massa del corpo ma al “centro

di massa del fluido spostato” (centro di spinta o centro di galleggiamento).

! Cg Cm

! Momento equilibrante Momento destabilizzante

!

!

!

Dinamica dei fluidi:

Fluido ideale Fluido reale

Non dissipativo Dissipativo

Senza attriti interni (viscosità) Viscoso

Incomprimibile

Irrotazionale

Moto laminare

Il moto laminare è un moto ordinato per cui nel fluido che si muove

posso identificare lamine che stanno scorrendo una sull’altra senza

mescolarsi.

Portata Q: volume di fluido che viene trasportato nell’unità di tempo

attraverso una sezione del condotto.

Q = ∆V/∆t = S ∆x/∆t = S v

La portata è la grandezza che nei fluidi sostituisce la velocità.

Teorema della portata, teorema di Leonardo, equazione di continuità: se lungo un

condotto non ci sono sorgenti o pozzi, la portata è costante in tutte le sezioni del

condotto. Q = S v = costante

! 2 -7 2

esercizio: Sapendo che S = 3 cm e v = 30 cm/s, mentre S = 3 · 10 cm

aorta aorta capillare

(ø= 6 µm) e v = 0,05 cm/s, calcolare il numero di capillari.

capillare

Q=costante: s V = x s V

a a c c

-5 -12

3 · 10 = x · 5 · 10

7

x = 0,6 · 10

Teorema di Bernoulli: valido per fluidi ideali, esprime la conservazione dell’energia

per i fluidi. Fluido ideale in moto in un condotto di sezione variabile ad altezza

variabile. 2

In ogni sezione è conservata la quantità: ρ + ρ g h + 1/2 ρ v

Nel tempo ∆t in 1 sarà avanzato di un certo tratto ∆l 1

e contemporaneamente in 2 sarà avanzato di un alto

tratto ∆l . Il volume spostato in 1 è uguale al volume

2

spostato in 2 perché vale l’equazione di continuità.

V = S · ∆l = V = S · ∆l

1 1 1 2 2 2

Sia la porzione in 1 sia quella in 2 sono sottoposte

alla stessa forza peso, che ha compiuto un lavoro

dato da: L = mgh - mgh

peso 1 2

Anche le forze di pressione hanno compiuto un lavoro:

L = F ∆l - F ∆l = p S ∆l - p S ∆l = p V - p V .

pressione 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

Teorema dell’energia cinetica: L = ∆K

totale

L + L = ∆K

peso pressione 22 12

mgh - mgh + p V - p V = 1/2 m v - 1/2 m v .

1 2 1 1 2 2

separando: 12 22

mgh +1/2 m v +p V = mgh + 1/2 m v + p V .

1 1 1 2 2 2

dividendo per V: 12 22

ρgh + p + 1/2 ρ v = ρgh + p + 1/2 ρ v

1 1 2 2

! 2

Per un fluido statico non c’è 1/2 ρ v quindi torna la legge di Stevino: p = p + ρg∆h

1 2

Per un fluido senza dislivello ρgh = ρgh la pressione è più alta nel punto più ampio

1 2

(paradosso di Bernoulli).

È il motivo per cui l’aneurisma peggiora sempre, man mano il vaso si allarga.

14 Novembre 2013

Fluidi reali

- Dissipativi

- Attrito interno fra le lamine di fluido (in moto laminare)

Finché un fluido è statico non si può sapere se presenta attrito interno o meno. In un

fluido reale le lamine più veloci trascinano le più lente e le più lente frenano le più

veloci. Nel caso in cui ci sia una dissipazione interna non vale più Bernoulli, ma

12 22

ρgh + p + 1/2 ρ v = ρgh + p + 1/2 ρ v + R

1 1 2 2

R=densità di energia persa per attrito

Supponiamo di avere un condotto orizzontale, una sezione costante (v =v ), per

1 2

mantenere la portata costante occorre un ∆p = R ≠ 0

12 22

ρgh + p + 1/2 ρ v = ρgh + p + 1/2 ρ v + R

1 1 2 2

p = p + R

1 2

Viscosità: considero un fluido in moto laminare in un condotto cilindrico. La velocità

del fronte non è la velocità media, ma il profilo

cambia ed è parabolico. La velocità nella

regione centrale è più elevata, nel primo strato

aderente alla parete invece si ha velocità

minima.

Il fluido scorre con lamine cilindriche coassiali

che scorrono le une sulle altre con velocità

parallela alle pareti.

Profilo di velocità parabolico di un fluido reale newtoniano in moto laminare.

C’è attrito fra due strati adiacenti centrati su due superfici distanti fra loro ∆r e con

velocità v e (v+∆v).

Si chiama gradiente di velocità

(v v) v dv

+∆ −

! lim = =

∆ r dr

∆ r→0

il limite del tasso di variazione di velocità man

mano ci si allontana dal centro. dv

La forza di attrito che agisce fra quei due filetti è pari a ! F= A

η dr

Il parametro η si chiama viscosità ed è il rapporto fra lo sforzo tangenziale ed il

gradiente di velocità.

F dv

! η è una caratteristica dei fluidi e per i fluidi newtoniani η = η(T),

η

=

A dr

quindi dipende fortemente dalla temperatura ma non dallo stato di moto.

-2 -1 -1 -1 -2 -1 -1 -1

Dimensioni di η: [η] = [F/A]/[dv/dr]=[mlt ]/[lt l ]=[ml t ]/[t ]=[ml t ]

Nel sistema internazionale l’unita si misura è il Pascal · s = Pa · s

Un’altra unità di misura è il pois (P). 1cP=1mPa · s

η(H O) ≈ 1cP

2

η(CH OH-CHOH-CH OH) ≈ 830 cP glicerolo

2 2

η(sangue) ≈ 3cP

! Legge di Poiseuille: permette di calcolare la ∆p

necessaria per compensare le perdite di energia per

attrito.

Ho un condotto orizzontale con sezione costante. Nel

1 p p 1

filetto:! 2 2

1 2

v(r) (R r )

= −

4 l η

(p -p )/l è il gradiente di pressione lungo r

1 2

v = v =0 per r=R

min

v = v per r=0

max 2

v = 1/4 ∆p/l 1/η R

max 2 2

v = v (1-r /R )

max

derivo v rispetto ad r e ottengo il gradiente della velocità:

2

dv/dr = v (-2r/R )

max

Portata della lamina in dr: ciascuna lamina ha una portata differente perché si muove

con velocità diversa. Bisogna quindi fare la portata totale. 1 p p 1

Ciascuna lamina ha: ! 2 2

1 2

dQ dS v(r) 2 r dr v(r) 2 r dr (R r )

π π

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ −

4 l η

1 ∆ p 1

R R

In tutta la sezione: ! 2 2

∫ ∫

Q dQ 2 (R r )⋅

r dr K D

π

= = − ⋅ = ⋅

4 l

0 0

η R R

$ ' $ '

1 1

R R R

! 2 2 2 3 2 2 4

∫ ∫ ∫

D (R r )⋅

r dr R r dr r dr R r r

= − ⋅ = − = −

& ) & )

2 4

% ( % (

0 0 0 0 0

1 ∆ p 1 1 ∆ p 1

π

! 4 4

Q 2 R R

π

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

4 l R 4 8 l R

4

Q= π/8 ∆p/l 1/η R

∆p=R Q Legge di Poiseuille

8 1

! Resistenza idraulica

l η

ℜ= ⋅ ⋅ ⋅ 4

R

π

Equazione del trasporto: tutte le volte che voglio trasportare qualcosa su un mezzo

dissipativo devo dare una forzante opportuna.

La resistenza idraulica dipende molto dal raggio.

Posso considerare un circuito idraulico che presenta più tratti di resistenza in serie:

tutto il fluido che entra nel primo tratto attraversa tutti i tratti successivi. Posso

calcolare la resistenza equivalente come la somma delle singole resistenze.

! ℜ = Σℜ

tot i

Se dispongo le resistenze in parallelo la differenza di pressione agli estremi di ciascun

tratto è la medesima.

1 1

! = Σ

ℜ ℜ

tot i

L’equazione di Poiseuille vale nel regime laminare. Il regime di Poiseuille può essere

mantenuto finchè il fluido non giunge a una velocità critica che dipende dalle

caratteristiche del fluido e del condotto

v =R /R · η/ρ

crit c

R =numero di Reynolds

c

La velocità critica è bassa per η basse, per ρ alte, per raggi grandi. In queste

condizioni è più facile passare al regime turbolento.

In un flusso dissipativo dell’energia meccanica viene dissipata. Il flusso laminare è un

flusso silenzioso, il flusso turbolento invece è rumoroso.

L’anemico ha facilmente il soffio al cuore, perché il sangue in movimento nell’aorta

ha viscosità bassa e può entrare nel regime turbolento.

Il regime turbolento è più dissipativi del regime laminare.

Nel passaggio tra due configurazioni la forza di attrito compie un lavoro che dipende

anche dalla trasformazione (forza non conservative), quindi nel caso di percorsi più

lunghi si dissipa per un maggior tratto. È un moto di tipo caotico.

!

!

Moto in un fluido viscoso

!

!

! ed ! costanti (peso apparente costante)

P S

Per le basse velocità la forza di attrito dipende dalla velocità e non dal quadrato della

! !

velocità: ! = – f ! velocità limite

A v

f=friction coefficient, dipende dalle dimensioni e dalla forma dell’oggetto.

per una sfera: f = 6π η R (Stokes)

sfera

Moto browniano: la particella si muove con un certo coefficiente di frizione in mezzo

2

ad altre. <x > = D t Lo spostamento quadratico medio è proporzionale al tempo

che passa ed il coefficiente di proporzionalità è D, coefficiente di diffusione

kT

! Rapporto tra l’energia del bagno termico (energia fornita

D =

sfera 6 R

πη

dall’ambiente kT) e quanta ne dissipa (coefficiente di frizione).

!

!

Fluidi non Newtoniani

F dv

! per i fluidi newtoniani.

η

=

A dr

La viscosità non dipende dallo stato di moto ma dipende dalla temperatura,

solitamente diminuisce all’aumentare della temperatura: η(T).

Per i fluidi non Newtoniani dipende anche dallo stato di modo

Si può avere:

Fluido pseudoplastico: la viscosità diminuisce

• F/A

all’aumentare della viscosità (es dentifricio);

maggiore è il moto, più la viscosità diminuisce.

Alcuni hanno un limite plastico: l’andamento è

• lineare ma quando dv/dr c’è ancora uno sforzo tangenziale, è

come se fosse solido.

Fluido dilatante: η aumenta all’aumentare di dv/dr (es sabbia

• bagnata).

η è una proprietà colligativa, dipende da quante particelle si dv/dr

stanno comportando all’interno del fluido come un’unità. Se

in soluzione ho interazioni che si stanno sviluppando, le proprietà colligative

cambiano.

La scienza che si occupa delle proprietà di scorrimento di chiama reologia.

Proprietà reologiche del sangue:

Fluido complesso, non Newtoniano.

Mezzo disperdente (plasma) lievemente non newtoniano per la presenza di albumina,

globulina e fibrinogeno

+

Mezzo disperso: Globuli rossi 45%, dischi biconcavi facilmente deformabili 2µm · 8

µm.

Fluido con un’altissima concentrazione di particolato con una forma preferenziale

non sferica, nel movimento hanno un allineamento che dipende dallo stato di moto

del fluido.

η (plasma) diminuisce all’aumentare di dv/dr -1

è uno pseudoplastico ma diventa Newtoniano per 100s .

1,4 cP

!

Il sangue intero si può studiare con l’aggiunta di

anticoagulanti (ossalato, citrato, eparina).

Tubicini di diametro calibrante

!

!

!

η A un raggio di 0,5 mm η del sangue diminuisce. Corrisponde

alla riduzione del raggio a livello del capillare e fa in modo

che diminuisca la resistenza A parità di portata diminuisco

la ∆p=R Q necessaria.

! !

!

r(mm)

! F/A

Su stress & strain:

non newtoniano, η è la pendenza Newtoniano

Nel regime newtoniano: 2 2

η = η (1+Kc+K c +…)

soluzione solvente non

potenze crescenti della concentrazione del soluto. Newtoniano

c è la concentrazione dei globuli rossi, se è minore

del 30% il K=2,5 per delle sfere. dv/dr

c = 45% K diminuisce a causa della deformabilità

reale

dei globuli rossi.

Diminuzione di η all’aumentare del gradiente di velocità:

1. Progressivo disfarsi di aggregati di particelle presenti nel sangue in quiete

2. Orientamento delle particelle nel flusso

3. Formazione di uno strato di liquido puro (strato plasmatici) in prossimità della

parete del vaso. Alle pareti il sangue è impoverito di globuli rossi.

Progressivamente avviene una perdita di carico.

p media I (cm) d(µm)

4

Grandi arterie 90-100 60 10

Capillari 40-70 0,2 40

!

!

Profilo di velocità:

!

! ! !

!

! sezione

totale

velocità

!

Aorta! ! letto capillare! ! vena cava !

Lavoro e potenza cardiaca (ventricolo sx)

! 1. Il ventricolo è pieno, aumenta la pressione a

! volume costante.

p ! 2. Svuotamento del ventricolo a pressione

costante.

! 3. Ventricolo vuoto, si rilassa.

! 4. Ventricolo si riempie, pressione costante.

V !

!

!

Il lavoro meccanico è dove c’è lo spostamento (∆V). Per i fluidi L=p∆V.

Il lavoro è solo nelle fasi 2 e 4: lo stesso ∆V si realizza una volta a pressione alta e

quella dopo a pressione bassa. Il grosso del lavoro si ha nella fase II, dove il

ventricolo immette il sangue in circolo.

L=p (V –V )

ventricolo 2 1

Nel ventricolo il sangue è fermo, io posso misurare la pressione dove il sangue è in

moto. aorta2

p = p +1/2 ρ v

ventricolo aorta aorta2

L=p (V –V )+1/2 ρ v (V –V )

aorta 2 1 2 1

! p (V –V ) = lavoro fatto per mettere il sangue in pressione

• aorta 2 1 2 5 2 -5 -1

p (V –V ) = 10 · (10 /7,6 · 10 ) · 6 · 10 = 8 · 10

aorta 2 1

aorta2

1/2 ρ v (V –V ) = lavoro fatto per mettere il sangue in velocità

• 2 1

aorta2 3 -1 2 -5 -3

1/2 ρ v (V –V ) = 1/2 · 10 · (5·10 ) · 6·10 = 7,5 · 10

2 1

Il lavoro fatto dal cuore per mettere il sangue in pressione è molto maggiore di quello

fatto per metterlo in movimento (in condizioni normali). Il secondo termine diventa

importante quando aumenta la velocità, quindi quando il cuore batte più forte (es:

lavoro fisico).

P = L/T = 0,8J / 0,8s = 1W

La potenza del ventricolo sinistro per la meccanica del fluido è di 1W. In realtà il

cuore compie un lavoro maggiore perché fa altre cose oltre a mettere il sangue in

movimento.

!

Tensione superficiale

Un dato volume di fluido tende sempre ad avere la forma che gli consente di avere la

minor superficie esposta possibile, compatibilmente con

tutte le altre forze presenti.

Quindi la proprietà di un fluido è di essere dotato di una

contrattilità superficiale.

Una molecola di acqua non è immobile ma è confinata

all’interno di un certo volume: ogni particella è soggetta

a delle interazioni. Queste forze sono isotrope: la

risultante di tutte le forze è nulla. Sono forze di coesione

e agiscono fra molecole che si trovano a distanza minore del raggio di azione

molecolare. !

Molecola interna: ! = 0 Moto browniano!

• R

Molecola superficiale (distanza dalla superficie ≤ al raggio molecolare).

!

! ≠0

R

! !

Man mano parte del suo raggio di azione molecolare è esterna al fluido.

La creazione di una superficie non è un evento spontaneo, il lavoro necessario è la

tensione di superficie. Maggiore è la superficie, maggiore è il lavoro necessario.

Una molecola di fluido che si approssima alla superficie subisce una forza di

richiamo verso l’interno del fluido.

Per portare una molecola di fluido alla superficie pecore fare un lavoro contro le

forze di richiamo di coesione molecolare.

L’aumento di superficie di fluido non è spontaneo ma richiede lavoro (più superficie

significa più molecole in superficie).

È spontaneo l’evento opposto, cioè la diminuzione della superficie (compatibilmente

con le altre forze presenti). Contrattilità superficiale.

Telaio a lato mobile con lamina saponata

La forza contrattile agisce tangenzialmente alle due facce della lamina.

F =2 τ l Forza per unità di lunghezza del contorno

c

τ = tensione superficiale del fluido

! ∆x

!

Viene compiuto un lavoro per spostare il bordo della lamina di un tratto x per

aumentare la superficie della lamina di una quantità ∆s

L =F x= 2 τ l x= 2 τ ∆s

c c

τ è anche il lavoro per unità di superficie.

2

Nel S.I.: N/m oppure J/m

• τ dipende dal fluido (se contro aria) e dalla presenza di impurezze sulla superficie.

L’interfaccia fra due fluidi è detta anche interfase.

!

Tensioattivi: sono attivi sulla tensione superficiale e la riducono. La tensione è il

lavoro necessario per andare all’interfaccia, se una molecola tende ad andare

all’interfaccia il lavoro è minore.

Un tensioattivo ha una netta separazione spaziale fra una regione idrofilica ed una

idrofobica. Un classico tensioattivo è il sapone.

Sono molecole anfifiliche. 21 Novembre 2013

Legge di Laplace: contrattilità di una

superficie curva (interfaccia fluida curva).

Si genera una pressione di curvatura o

pressione di Laplace, esiste solo se c’è una

curvatura.

Tra interno e esterno c’è una differenza di

pressione. La pressione interna è maggiore

ed è equilibrata dalla pressione di curvatura. p > p

int est

La pressione di curvatura agisce verso la porzione di spazio che ospita il centro di

curvatura dell’interfaccia e insieme alla pressione esterna controbilancia la pressione

interna. Non è necessario che sia una bolla (superficie chiusa), basta che sia curva

perché ci sia la pressione di curvatura. R + ∆R

Bolla di raggio R gonfiata fino a R+∆R: viene compiuto un lavoro.

∆L = F ∆R = p ∆A ∆R

c R

Sulla superficie agisce una forza diretta verso l’interno della bolla

che dà origine a p =F/∆A per ogni tratto ∆A.

c 2

In totale: L = ∑∆L = p ∆R ∑∆A = p ∆R S = p ∆R 4π r

c c c

Lavoro fatto per aumentare la superficie in funzione di pressione di curvatura e

raggio della bolla.

Si può valutare a partire dalla tensione superficiale:

2 2

L=2 τ ∆S = 2 τ [4π (R+∆R) – 4πR ] = 2 τ 4π 2R∆R = 16π τ R ∆R

Eguaglio i due lavori:

2

p ∆R 4π r = 16π τ R ∆R

c

p = 4 τ / R

c

La pressione di curvatura è tanto maggiore quanto maggiore è la tensione superficiale

e tanto maggiore quanto minore è il raggio (direttamente proporzionale alla curvatura

1/R).

Se ho una sola superficie sferica di interfaccia (ad esempio una bolla di gas in un

liquido): p = 2 τ / R

c

Se ho una superficie non sferica di interfaccia con raggi si curvatura principali R e

1

R (ad esempio un fluido in un condotto):

2

p = τ (1/R + 1/R )

c 1 2

Se la superficie è cilindrica:

p = τ / R

c

Osservazione di un fenomeno transitorio: cannuccia con due bolle agli

estremi (all’interno sono connessi, è una bolla sola).

Il destino del sistema è che la bolla più piccola scompare a favore di

quella più grande perché il raggio è minore e quindi la pressione di

curvatura è maggiore.

Negli alveoli polmonari c’è un tensioattivo, la lisolecitina. La tensione

superficiale viene ridotta (serve meno lavoro) grazie ai creatori di superficie.

I tensioattivi creano il massimo dell’interfaccia possibile.

Nel corpo umano ci sono molte divisioni fra mezzi diversi, molte superfici di

interscambio. Nel sistema di bolle connesse degli alveoli polmonari la lisolecitina

hanno una catena sola e quindi sono più efficienti come creatori di interfaccia (fanno

molta schiuma).

Il volume di un alveolo diminuisce a favore di quello più grande, quindi diminuisce

anche la superficie. Se ho un tensioattivo, aumenta la concentrazione superficiale e

quindi diminuisce la tensione superficiale e quindi diminuisce la pressione di

curvatura che riequilibra il volume alveolare. Meccanismo di feedback.

Embolia gassosa: si crea una bolla di gas in un piccolo vaso che ne ostruisce

completamente il lume. La bolla è deformabile e quando viene compressa la forma

passa da sferica a allungata. La bolla non si muove perché risponde con la pressione

di curvatura alla sovrapressione a monte. L’unica soluzione è la

camera iperbarica.

Capillarità: è legata alla tensione superficiale. Ho un tubo capillare

immerso in un recipiente che contiene del liquido. Ci si aspetta che la

quota all’interno sia la stessa che all’esterno. Invece il fluido

all’interno ha una quota diversa (risalita o ridiscesa).

Nel fluido oltre alle forze di coesione molecolare si possono sviluppare forze di

adesione alle superfici. Il bilancio nell’acqua è a favore dell’adesione, quindi lo strato

di liquido in prossimità alle pareti del vetro bagna il vetro formando un menisco

concavo. Nel mercurio invece il bilancio è a favore della coesione, quindi lo strato in

prossimità del vetro tende a non bagnarlo generando un menisco convesso.

Siccome c’è una curvatura si ha anche una pressione di curvatura. Se ho un menisco

concavo il centro di curvatura è sopra, quindi la pressione di curvatura agisce verso

l’alto, quindi oltre alla pressione atmosferica agisce anche la pressione di curvatura in

direzione opposta. Il menisco risale sollevando una colonna d’acqua fino a quando la

pressione di curvatura eguaglia la sovrapressione idrostatica determinata dalla risalita

di fluido.

Se il menisco è convesso il centro di curvatura è più in basso, quindi la pressione di

curvatura agisce verso il basso e si ha la discesa capillare finchè la sovrapressione

idrostatica esercitata dal fluido esterno bilancia la pressione di curvatura.

Se il menisco è piano non c’è curvatura e quindi non c’è salita o discesa di liquido.

ρgh = 2τ/R

h = 2τ/ρgh

(in caso di perfetta bagnabilità, capillare molto sottile e menisco semisferico).

!

Temperatura

Volume e pressione sono variabili macroscopiche estensive, la densità è una variabile

macroscopica intensiva.

Osservazioni oggettive:

• Due corpi posti in contatto prima o poi raggiungeranno l’equilibrio termico.

• Se due corpi sono i in equilibrio termico con un terzo allora lo sono anche tra loro

(principio zero).

La definizione operativa di temperatura si può fare costruendo un

termometro.

Individuo un fenomeno dipendente dalla temperatura, come la

dilatazione dei corpi all’aumentare di T. Costruisco un

termoscopio con mercurio posto in un dispositivo di vetro

formato da un serbatoio ed un cannello con il vuoto sopra il

mercurio. All’aumentare della temperatura il livello del mercurio

risale nel cannello.

Immergo il termoscopio in ghiaccio fondente (punto triplo

dell’acqua riproducibile in laboratorio) e misuro a che punto è il

mercurio. Immergo poi in acqua bollente: il mercurio si dilata, segno

dove arriva e chiamo quel punto 100. Divido l’intervallo sul vetro in 100 parti.

Ogni volta che il mercurio raggiunge una tacca successiva la temperatura è

aumentata di 1°.

La scala definita si chiama scala Celsius o centigrada delle temperature.

Sfruttando il principio zero la scala Celsius può essere estesa.

Nel termometro clinico c’è una strozzatura in modo che quando riporto il

termometro a temperatura ambiente l’altezza non cambi e si possa leggere la

temperatura. Il volume del mercurio è lineare in t con coefficiente di

-1

dilatazione termica α. (°C )

V = V (1 + α t)

0

Con un diverso materiale termoscopico posso cambiare l’intervallo di linearità.

Costruisco un termometro universale a gas perché tutti i gas sufficientemente rarefatti

si comportano allo stesso modo (hanno lo stesso α).

Anche per i gas il comportamento è lineare. Traccio la retta

congiungente e immagino che il gas rarefatto sia un gas ideale.

Il gas ideale non liquefa mai e rimane sempre gas.

Può seguire l’andamento lineare fino all’annullamento del

volume,

che è una quantità positiva per definizione.

–273,15°C è la temperatura minima raggiungibile, alla quale

corrisponde l’annullamento del volume.

Cambio scala di temperatura e ne definisco una che abbia lo

zero alla minima temperatura raggiungibile e non al punto triplo

dell’acqua: scala Kelvin.

0° K = –273,15 °C

La scansione Kelvin è uguale alla scansione Celsius, quindi la

scala è semplicemente traslata.

T = 273,15 + t

∆t = 1°C = ∆T = 1 K

V è lineare in t, ma proporzionale a T.

!

I Gas

Per descrivere un gas con variabili termodinamiche p, V, T:

Considero una mole di gas perfetto.

T = cost pV = cost Legge di Boyle-Mariotte

p = cost V/T = cost Legge di Charles-Gay Lussac (I)

V = cost p/T = cost Legge di Charles-Gay Lussac (II)

Combinando: pV/T = costante

Invece che una mole, cambio il numero n di moli: la costante aumenta di n volte,

quindi: pV/nT=costante

Secondo Avogadro: una mole di gas perfetto a t=0°C e p=1atm occupa un volume di

22,4 l. 5 3

−3

1atm • 22, 4l 1, 012 •10 Pa • 22, 4 •10 m J

costante dei gas = ! 8, 314

= =

1mol • 273,15K 1mol • 273,15K molK

pV = nRT Equazione di stato dei gas perfetti

!

Contiene le variabili di stato che descrivono univocamente lo stato del gas perfetto.

Quando le variabili di stato assumono lo stesso valore il gas si trova nello stesso

stato.

Il gas perfetto segue l’equazione di stato per tutti i valori di T.

I gas reali si comportano come perfetti quanto più sono rarefatti, p bassa, T alta.

Teoria cinetica dei gas

Un gas perfetto è formato da molecole non interagenti (non c’è energia potenziale,

solo energia cinetica) che si muovono con velocità v in modo casuale nel volume

occupato dal gas e subiscono solo urti elastici fra di loro e con le pareti del

contenitore. La pressione è originata dagli urti elastici con le pareti, quindi la

pressione è proporzionale al numero di moli: p ÷ n

E per un dato numero di moli la pressione è inversamente proporzionale al volume:

p ÷ 1/V

Nell’urto con la parete cambia la direzione di v, ma non il

modulo.

Ho un gas perfetto in una scatola cubica:

• Lato l

Superficie A

• Volume V

• N molecole di gas perfetto monoatomico

• N/V molecole per unità di volume.

La metto in un riferimento cartesiano opportuno.

Ho una molecola che si muco con quantità di moto ! =(mv , mv , mv )

x y z

Urta elasticamente contro la parete ortogonale all’asse x: ha una quantità di moto

dopo l’urto = (–mv , mv , mv )

! x y z

Subisce una variazione di quantità di moto ∆p=2mv x

Secondo il teorema dell’impulso: F∆t= ∆p=2mv per una particella

x

F= 2mv /∆t

x

La forza esercitata sulla parete da tutte le particelle che la raggiungono nel tempo ∆t:

F = 2mv /∆t · (A v ∆t) · 1/2 · N/V

tot x x

2mv /∆t è la forza unitaria

• x

(A v ∆t) è il volume in cui sono contenute le molecole che in ∆t potrebbero

• x

raggiungere la parete.

1/2 perché nel volume sono contenute sia particelle che vanno verso la parete, sia

• particelle che vanno dalla parte opposta (statisticamente 50%).

N/V numero di particelle per unità di volume.

• x2

F = 2 · A · N/V · 1/2 m v

tot

Scrivo pV in termini microscopici:

x2

pV= F /A · V = 2 N (1/2 m v )

tot x2

Non tutte le particelle hanno la stessa v , quindi lavoro con una velocità media

x2

<v >. x2

pV = 2 N (1/2 m <v >)

Tutte le direzioni sono equivalenti

x2 y2 z2 2

(1/2 m <v >) = (1/2 m <v >) = (1/2 m <v >) = 1/3 (1/2 m <v >)

È pari a 1/3 dell’energia cinetica media.

2

pV = 2/3 N (1/2 m <v >) = 2/3 N <K> = 2/3 n N <K>

A

N = n · N (numero di moli · numero di Avogadro)

A

!

Termini microscopici: pV = 2/3 n N <K>

A

Termini macroscopici: pV = n R T

!

nRT = 2/3 n N <K>

A

<K> = 3/2 R/N · T

A


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DETTAGLI
Esame: Fisica medica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (6 anni)
SSD:
Università: Milano - Unimi
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher roby_catta di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica medica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano - Unimi o del prof Cantù Laura Franca.

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