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Eguaglio i due lavori:

2

p ∆R 4π r = 16π τ R ∆R

c

p = 4 τ / R

c

La pressione di curvatura è tanto maggiore quanto maggiore è la tensione superficiale

e tanto maggiore quanto minore è il raggio (direttamente proporzionale alla curvatura

1/R).

Se ho una sola superficie sferica di interfaccia (ad esempio una bolla di gas in un

liquido): p = 2 τ / R

c

Se ho una superficie non sferica di interfaccia con raggi si curvatura principali R e

1

R (ad esempio un fluido in un condotto):

2

p = τ (1/R + 1/R )

c 1 2

Se la superficie è cilindrica:

p = τ / R

c

Osservazione di un fenomeno transitorio: cannuccia con due bolle agli

estremi (all’interno sono connessi, è una bolla sola).

Il destino del sistema è che la bolla più piccola scompare a favore di

quella più grande perché il raggio è minore e quindi la pressione di

curvatura è maggiore.

Negli alveoli polmonari c’è un tensioattivo, la lisolecitina. La tensione

superficiale viene ridotta (serve meno lavoro) grazie ai creatori di superficie.

I tensioattivi creano il massimo dell’interfaccia possibile.

Nel corpo umano ci sono molte divisioni fra mezzi diversi, molte superfici di

interscambio. Nel sistema di bolle connesse degli alveoli polmonari la lisolecitina

hanno una catena sola e quindi sono più efficienti come creatori di interfaccia (fanno

molta schiuma).

Il volume di un alveolo diminuisce a favore di quello più grande, quindi diminuisce

anche la superficie. Se ho un tensioattivo, aumenta la concentrazione superficiale e

quindi diminuisce la tensione superficiale e quindi diminuisce la pressione di

curvatura che riequilibra il volume alveolare. Meccanismo di feedback.

Embolia gassosa: si crea una bolla di gas in un piccolo vaso che ne ostruisce

completamente il lume. La bolla è deformabile e quando viene compressa la forma

passa da sferica a allungata. La bolla non si muove perché risponde con la pressione

di curvatura alla sovrapressione a monte. L’unica soluzione è la

camera iperbarica.

Capillarità: è legata alla tensione superficiale. Ho un tubo capillare

immerso in un recipiente che contiene del liquido. Ci si aspetta che la

quota all’interno sia la stessa che all’esterno. Invece il fluido

all’interno ha una quota diversa (risalita o ridiscesa).

Nel fluido oltre alle forze di coesione molecolare si possono sviluppare forze di

adesione alle superfici. Il bilancio nell’acqua è a favore dell’adesione, quindi lo strato

di liquido in prossimità alle pareti del vetro bagna il vetro formando un menisco

concavo. Nel mercurio invece il bilancio è a favore della coesione, quindi lo strato in

prossimità del vetro tende a non bagnarlo generando un menisco convesso.

Siccome c’è una curvatura si ha anche una pressione di curvatura. Se ho un menisco

concavo il centro di curvatura è sopra, quindi la pressione di curvatura agisce verso

l’alto, quindi oltre alla pressione atmosferica agisce anche la pressione di curvatura in

direzione opposta. Il menisco risale sollevando una colonna d’acqua fino a quando la

pressione di curvatura eguaglia la sovrapressione idrostatica determinata dalla risalita

di fluido.

Se il menisco è convesso il centro di curvatura è più in basso, quindi la pressione di

curvatura agisce verso il basso e si ha la discesa capillare finchè la sovrapressione

idrostatica esercitata dal fluido esterno bilancia la pressione di curvatura.

Se il menisco è piano non c’è curvatura e quindi non c’è salita o discesa di liquido.

ρgh = 2τ/R

h = 2τ/ρgh

(in caso di perfetta bagnabilità, capillare molto sottile e menisco semisferico).

!

Temperatura

Volume e pressione sono variabili macroscopiche estensive, la densità è una variabile

macroscopica intensiva.

Osservazioni oggettive:

• Due corpi posti in contatto prima o poi raggiungeranno l’equilibrio termico.

• Se due corpi sono i in equilibrio termico con un terzo allora lo sono anche tra loro

(principio zero).

La definizione operativa di temperatura si può fare costruendo un

termometro.

Individuo un fenomeno dipendente dalla temperatura, come la

dilatazione dei corpi all’aumentare di T. Costruisco un

termoscopio con mercurio posto in un dispositivo di vetro

formato da un serbatoio ed un cannello con il vuoto sopra il

mercurio. All’aumentare della temperatura il livello del mercurio

risale nel cannello.

Immergo il termoscopio in ghiaccio fondente (punto triplo

dell’acqua riproducibile in laboratorio) e misuro a che punto è il

mercurio. Immergo poi in acqua bollente: il mercurio si dilata, segno

dove arriva e chiamo quel punto 100. Divido l’intervallo sul vetro in 100 parti.

Ogni volta che il mercurio raggiunge una tacca successiva la temperatura è

aumentata di 1°.

La scala definita si chiama scala Celsius o centigrada delle temperature.

Sfruttando il principio zero la scala Celsius può essere estesa.

Nel termometro clinico c’è una strozzatura in modo che quando riporto il

termometro a temperatura ambiente l’altezza non cambi e si possa leggere la

temperatura. Il volume del mercurio è lineare in t con coefficiente di

-1

dilatazione termica α. (°C )

V = V (1 + α t)

0

Con un diverso materiale termoscopico posso cambiare l’intervallo di linearità.

Costruisco un termometro universale a gas perché tutti i gas sufficientemente rarefatti

si comportano allo stesso modo (hanno lo stesso α).

Anche per i gas il comportamento è lineare. Traccio la retta

congiungente e immagino che il gas rarefatto sia un gas ideale.

Il gas ideale non liquefa mai e rimane sempre gas.

Può seguire l’andamento lineare fino all’annullamento del

volume,

che è una quantità positiva per definizione.

–273,15°C è la temperatura minima raggiungibile, alla quale

corrisponde l’annullamento del volume.

Cambio scala di temperatura e ne definisco una che abbia lo

zero alla minima temperatura raggiungibile e non al punto triplo

dell’acqua: scala Kelvin.

0° K = –273,15 °C

La scansione Kelvin è uguale alla scansione Celsius, quindi la

scala è semplicemente traslata.

T = 273,15 + t

∆t = 1°C = ∆T = 1 K

V è lineare in t, ma proporzionale a T.

!

I Gas

Per descrivere un gas con variabili termodinamiche p, V, T:

Considero una mole di gas perfetto.

T = cost pV = cost Legge di Boyle-Mariotte

p = cost V/T = cost Legge di Charles-Gay Lussac (I)

V = cost p/T = cost Legge di Charles-Gay Lussac (II)

Combinando: pV/T = costante

Invece che una mole, cambio il numero n di moli: la costante aumenta di n volte,

quindi: pV/nT=costante

Secondo Avogadro: una mole di gas perfetto a t=0°C e p=1atm occupa un volume di

22,4 l. 5 3

−3

1atm • 22, 4l 1, 012 •10 Pa • 22, 4 •10 m J

costante dei gas = ! 8, 314

= =

1mol • 273,15K 1mol • 273,15K molK

pV = nRT Equazione di stato dei gas perfetti

!

Contiene le variabili di stato che descrivono univocamente lo stato del gas perfetto.

Quando le variabili di stato assumono lo stesso valore il gas si trova nello stesso

stato.

Il gas perfetto segue l’equazione di stato per tutti i valori di T.

I gas reali si comportano come perfetti quanto più sono rarefatti, p bassa, T alta.

Teoria cinetica dei gas

Un gas perfetto è formato da molecole non interagenti (non c’è energia potenziale,

solo energia cinetica) che si muovono con velocità v in modo casuale nel volume

occupato dal gas e subiscono solo urti elastici fra di loro e con le pareti del

contenitore. La pressione è originata dagli urti elastici con le pareti, quindi la

pressione è proporzionale al numero di moli: p ÷ n

E per un dato numero di moli la pressione è inversamente proporzionale al volume:

p ÷ 1/V

Nell’urto con la parete cambia la direzione di v, ma non il

modulo.

Ho un gas perfetto in una scatola cubica:

• Lato l

Superficie A

• Volume V

• N molecole di gas perfetto monoatomico

• N/V molecole per unità di volume.

La metto in un riferimento cartesiano opportuno.

Ho una molecola che si muco con quantità di moto ! =(mv , mv , mv )

x y z

Urta elasticamente contro la parete ortogonale all’asse x: ha una quantità di moto

dopo l’urto = (–mv , mv , mv )

! x y z

Subisce una variazione di quantità di moto ∆p=2mv x

Secondo il teorema dell’impulso: F∆t= ∆p=2mv per una particella

x

F= 2mv /∆t

x

La forza esercitata sulla parete da tutte le particelle che la raggiungono nel tempo ∆t:

F = 2mv /∆t · (A v ∆t) · 1/2 · N/V

tot x x

2mv /∆t è la forza unitaria

• x

(A v ∆t) è il volume in cui sono contenute le molecole che in ∆t potrebbero

• x

raggiungere la parete.

1/2 perché nel volume sono contenute sia particelle che vanno verso la parete, sia

• particelle che vanno dalla parte opposta (statisticamente 50%).

N/V numero di particelle per unità di volume.

• x2

F = 2 · A · N/V · 1/2 m v

tot

Scrivo pV in termini microscopici:

x2

pV= F /A · V = 2 N (1/2 m v )

tot x2

Non tutte le particelle hanno la stessa v , quindi lavoro con una velocità media

x2

. x2

pV = 2 N (1/2 m )

Tutte le direzioni sono equivalenti

x2 y2 z2 2

(1/2 m ) = (1/2 m ) = (1/2 m ) = 1/3 (1/2 m )

È pari a 1/3 dell’energia cinetica media.

2

pV = 2/3 N (1/2 m ) = 2/3 N = 2/3 n N

A

N = n · N (numero di moli · numero di Avogadro)

A

!

Termini microscopici: pV = 2/3 n N

A

Termini macroscopici: pV = n R T

!

nRT = 2/3 n N

A

= 3/2 R/N · T

A

÷ T L’energia cinetica media è proporzionale alla temperatura, quindi

T è una grandezza statistica, macroscopica, termodinamica.

(Non esiste la temperatura di una molecola).

La temperatura è un indice di stato (macroscopico o termodinamico) che riflette

l’energia interna del gas (c’è solo energia cinetica). Più alta è T, maggiore è l’energia

cinetica media delle molecole del gas.

!

Miscele di gas

La pressione parziale di gas è la pressione che avrebbe ogni singolo componente se

da solo occupasse tutto il volume. In assenza di interazioni o reazioni chimiche fra i

componenti le pressioni parziali sono additive:

P = ∑ P Legge di Dalton

tot i

Gas in presenza di un liquido:

un gas è solubile in un liquido in una quantità che dipende dal gas, dal liquido, dalla

temperatura e dalla pressione del gas (se il gas è una miscela di gas, dipende dalla

pressione parziale del gas).

Solubilità fisica: c = α p Legge di Henry

i i

La concentrazione di un gas in un liquido dipende dalla pressione del gas.

α è il coefficiente di solubilità.

La solubilità di un gas non dipende dalla presenza o meno di altri gas.

La solubilità di un gas diminuisce con la temperatura, mentre quella di un solido

aumenta.

Non c’è un limite alla solubilità di un gas in un liquido, basta aumentare la pressione

parziale alla superficie.

La legge di Henry vale in condizioni di equilibrio fra la fase gassosa e quella fluida

(non vale se c’è corrente di gas) e stabilisce una relazione biunivoca senza valori di

soglia o saturazione.

Il concetto di pressione parziale della fase gassosa si può estendere alla fase fluida.

La concentrazione di un gas in un fluido è la pressione parziale del gas in un fluido,

cioè la pressione che dovrebbe avere il gas in presenza ed in equilibrio con il fluido

per mantenere costante a quel valore la concentrazione di gas disciolto.

!

Respirazione iperbarica:

aria: ≈ 80% N ≈20% O

2 2

• a 1 atm: p(N ) = 0,8 atm p(O ) = 0,2 atm

2 2

• a 60 metri in profondità: p = 1+6 = 7 atm

Le bombole devono immettere aria nei polmoni a 7 atm.

p(N ) = 5,6 atm p(O ) = 1,4 atm

2 2

Il livello di azoto è tossico, dà narcosi da azoto (“euforia della profondità”).

Si usano miscele che contengono He (un gas inerte) al posto di N .

2

Bisogna ridurre anche la quantità di ossigeno per mantenerlo a livelli non tossici.

!

Calore

:

La temperatura è un indice di stato ed il suo correlato meccanico è l’energia interna

del sistema. Per cambiare la temperatura bisogna fornire o sottrarre energia.

Il trasferimento di energia può avvenire per:

Via meccanica

• Via termica

Il trasferimento avviene sempre spontaneamente dal corpo caldo (energia interna

maggiore) al corpo freddo (energia interna minore).

Energia termica: si estende il principio di conservazione dell’energia meccanica

(connessa al lavoro di forze conservative) alla conservazione dell’energia totale

(connesso al lavoro delle forze non conservative). In entrambi casi c’è lavoro.

Invece il cambiamento di temperatura può avvenire anche senza lavoro.

Il calore è la grandezza fisica che rende conto del trasferimento di energia da un

punto all’altro di un corpo oppure dello spazio perché tra i due punti esiste una

differenza di temperatura senza implicare trasformazioni meccaniche interne.

Non è indice di energia contenuta, ma di energia che viene trasferita.

Il passaggio di calore si mantiene finchè c’è differenza di temperatura e in modo

spontaneo avviene contro gradiente di temperatura.

!

Considero un corpo di massa M, inizialmente alla temperatura T, a cui viene fornita

una quantità di calore Q e che modifica la sua temperatura in T+∆T.

C=Q/∆T capacità termica del corpo, rapporto fra calore fornito e variazione di

temperatura. È una grandezza estensiva.

c = C/M = Q/M∆T calore specifico del corpo, la grandezza intensiva corrispondente.

Dipende dalla modalità con cui viene fornito il calore e dalle condizioni di contorno.

Il calore specifico dell’acqua è stato utilizzato per definire l’unità di misura naturale

del calore:

1 caloria è la quantità di calore necessario per innalzare di un grado (da 14,5°C a

15,5°C) la temperatura di 1g di acqua.

Ci sono occasioni in cui è possibile scambiare solo calore senza modificare la

temperatura (nei passaggi di stato).

Il calore latente di fusione per l’acqua è L = 79,5 cal/g. Non implica una variazione

F

di temperatura, che la punto di fusione si mantiene costante finchè la fusione non è

stata completata. L’energia fornita va a modificare il reticolo delle particelle per

passare dalla configurazione interna del solido a quella del liquido. Non cambia

l’energia cinetica media ma cambia l’energia potenziale.

Il calore latente di evaporazione per l’acqua è L = 539 cal/g, l’energia fornita serve a

V

mantenere il sistema al punto di ebollizione pur perdendo le particelle più veloci.

Il flusso di calore è la quantità di calore che attraversa l’unità di “superficie

perpendicolare” nell’unità di tempo.

2

Φ = Q / A∆t (cal/m s)

Il flusso di calore può verificarsi per:

Conduzione: se i due punti sono direttamente a contatto o

• appartengono allo staso corpo.

Φ = K (T - T )/L

a b

Per i corpi solidi il trasferimento avviene per gli urti fra le particelle più veloci

(elettroni) e quelle più lente (ioni del reticolo).

K è la conducibilità termica. Il flusso è proporzionale alla differenza fra le

temperature. I gas sono dei buoni isolanti per conduzione (se sono fermi).

Convezione: se i due punti a diversa temperatura sono separati da un fluido. È

• legata a un movimento macroscopico di fluido nel mezzo che porta a un

rimescolamento. È legato alla dipendenza della densità del fluido dalla

temperatura.

Φ = K ∆T

C

I fluidi sono cattivi isolanti per convezione.

Irraggiamento: se sono separati dal vuoto. Un corpo alla temperatura T emette

• energia in forma di radiazione elettromagnetica.

–3

λ = 2,898 · 10

max

Legge dello spostamento di Wien: più caldo è il corpo, più

bassa è la lunghezza d’onda del massimo del suo spettro di

emissione. 4

Energia totale emessa: H = e σ A T

e = emissività 0 < e < 1

A = superficie totale esposta –8 2 4

σ = costante di Stefan Boltzman (σ = 5,67·10 W/m K )

!

esempio:

T(sole)=6000 K

–3 –6

λ = 2,898·10 / T = 0,5 · 10

max

Lo spettro del sole è nel visibile.

T(corpo umano)=300 K

–3 2 –5

λ = 2,898 · 10 /3· 10 = 10

max

Lo spettro del corpo umano è nell’infrarosso.

!

Valutare la potenza dispersa da una persona, la cui superficie corporea si trova a

2

33°C, in un ambiente a 29°C (area della superficie corporea A = 1,5 m , e=1)

corpo4

H(irraggiata) = e σ A T

stanza4

H(assorbita) = e σ A T

corpo4 stanza4 –8 4 4

H(netta) = e σ A (T –T ) = 1 · 5,67 · 10 · 1,5 (306 - 302 ) = 38,2 W

!

Un sistema termodinamico può scambiare energia con processi meccanico o con

processi termici.

Sistema S

Ambiente A

Il sistema è chiuso, fra S ed A possono avvenire scambi di energia per via termica o

meccanica

Il sistema totale = universo

S A U

Conserva l’energia totale perché non può scambiarla

U (U ) = (S) + U(A)

∆U(S) = – ∆U(A)

• Primo principio della termodinamica: poniamo che ci siano scambi di energia

fra il sistema e l’ambiente: ∆U(S) = Q – L

La variazione di energia è la somma delle energie scambiate e il lavoro compiuto.

Q positivo: calore assorbito dal sistema. Un calore assorbito dal sistema causa

l’innalzamento dell’energia interna (∆U positivo).

L positivo: lavoro compiuto dal sistema. Un lavoro compiuto fa diminuire l’energia

del sistema (∆U negativo).

Q e L sono grandezze omogenee, quindi c’è equivalenza tra calore e

lavoro. (es: calorimetro di Joule)

Con il mulinello di Joule posso stabilire l’equivalente meccanico

della caloria:

1 cal = 4,18 J

1 Kcal = 4180 J

Occorre che un sistema meccanico compie un lavoro di 4,18 J

perché un grammo di acqua innalzi la sua temperatura di 1°C.

L’energia interna è una funzione di stato, cioè descrive lo stato del

sistema ed è funzione esclusivamente delle variabili di stato.

∆U = U(B) – U(A)

Il valore è indipendente dalla trasformazione che ha connesso gli stati A e B.

Invece Q ed L singolarmente non sono funzioni di stato. Si può comporre la

medesima variazione di energia interna combinando diversamente calore e lavoro.

Per trasformazioni infinitesime: dU = δQ – δL

!

Trasformazioni a carico di un gas perfetto (contenuto in un cilindro con un

T

pistone): il lavoro meccanico è connesso ad una variazione di volume.

δL = p · dV

Rappresentazione di su di un piano che contenga le variabili di stato. Uso il

T

piano (p,V) o piano di Clapeyron:

Il lavoro compiuto lungo la trasformazione è

! , cioè l’area sottesa sotto la curva di

passaggio da A e B. Se cambia la trasformazione cambia il

lavoro.

Trasformazioni reversibili e irreversibili:

Lo stato termodinamico di un sistema è definibile sono se i valori

delle variabili di stato sono uniformi su tutto il sistema.

Una trasformazione è reversibile se avviene lentamente e quindi tutte le regioni si

comportano coerentemente, lo stato deve essere definito istante per istante.

In una deformazione reversibile (quasi statica) il verso della

trasformazione può essere invertito in ogni istante. Si tratta di una V reversibile

successione di stati fi equilibrio.

Una trasformazione irreversibile è tale per cui lo stato del sistema

non è uniforme.

Calori specifici per un gas: irreversibile

Calore specifico molare: il rapporto fra il calore Q necessario per

modificare di ∆T la temperatura di una mole di gas e la variazione

∆T. p

Per un gas occorre specificare la modalità:

Volume costante! per quantità infinitesime!

• Pressione costante:! per quantità infinitesime!

Trasformazioni semplici di un gas perfetto (pV= nRT)

Meccanica del sistema

Trasformazione isocora (V = costante = V )

• 0

Se V è costante non c’è ∆V e quindi non c’è lavoro.

L=0 (non c’è area sottesa)

!

Trasformazione isobara (p = costante = p )

• 0

! !

Trasformazione isoterma (T = costante = T )

• 0

p = (nRT ) / V = costante/V

0

Il prodotto p ·V = p · V in tutti i punti.

A A B B

È un ramo di iperbole la cui quota dipende da T. Più alta è T, più alta è

l’iperbole corrispondente.

! Energetica del sistema:

Il bilancio energetico è dato dal primo principio

∆U = Q–L

Per trasformazioni infinitesime: dU = δQ – δL

Per un gas perfetto dU = δQ – p·dV = δQ – [d(pV) – V·dp]

( Siccome d(pV)=V·dp + p·dV )

• Trasformazione isocora: la variazione di energia interna è soltanto

calore scambiato perché non c’è lavoro.

dU = δQ

Il calore contribuisce interamente alla variazione di energia interna.

! dU = n·c ·dT

v

Per un gas perfetto U= = 3/2 RT (per mole, n=1)

dU=3/2 R·dT

Per un gas perfetto monoatomico c = 3/2 R

v

Siccome tutti i gas perfetti sono uguali è vero per tutti i gas perfetti che il calore

specifico a volume costante è 3/2 R.

Un atomo di gas perfetto monoatomico ha 3 gradi di libertà, quindi il calore specifico

a volume costante è R/2 · 3(GL).

Un atomo di gas perfetto biatomico ha 5 gradi di libertà, quindi c = 5/2 R.

v

I gradi di libertà sono il numero di variabili indipendenti che posso usare per definire

una molecola rispetto a un’altra.

Trasformazione isobara:

dU = δQ – [d(pV) – V·dp]

Non ho dp perché sono a pressione costante, perciò conta solo la

variazione di pV, che secondo l’equazione di stato è nRT.

dU = δQ – d(nRT)

L’energia interna di un gas perfetto è solo cinetica, cioè il risvolto meccanico della

temperatura. U dipende solo da T, non da p o da V, quindi la variazione è uguale a p

costante o a V costante

! Legge di Mayer: c = c - R

V p

Se fornisco al sistema un certo calore a volume costante realizzo una certa variazione

di temperatura.

Se fornisco al sistema un certo calore a pressione costante (lascio espandere il gas

contro l’ambiente) il sistema cambia la sua temperatura di una quantità diversa.

Cambia di più quello che ha volume costante (c < c ).

v p

Questo perché a volume costante non compie lavoro e quindi tutto il calore fornito va

ad aumentare l’energia cinetica interna e quindi la temperatura, a differenza della

trasformazione isobara in cui parte del calore viene trasformato in lavoro.

• Trasformazione isoterma:

T costante e quindi U costante. dU=0, δQ= δL

pV=nRT

se T costante:

pV = costante !

Trasformazione adiabatica: si verifica senza che

venga scambiato calore. Q = 0, δQ = 0

γ

L’equazione caratteristica è p·V = costante

con γ > 1

La curva è più pendente rispetto alla isoterma.

Non c’è δQ, quindi dU = -δL = n c dT

v

Integrando fra A e B:

L = - n c (T - T ) = n c (T - T )

v B A v A B

!

Diffusione

Diffusione semplice attraverso un setto poroso: il setto poroso consente il passaggio

• - delle molecole di solvente

- delle molecole di soluto

∆x = spessore del setto poroso

c > c

2 1

Il flusso si arresta quando viene dissipato il gradiente di

concentrazione.

1ª Legge di Fick: !

Il flusso di materia è proporzionale al gradiente di

concentrazione.

S = superficie di scambio

D = coefficiente di diffusione, quanto rapidamente

si muovono le molecole nella soluzione (quanto

rapidamente si approssimano al setto).

Il coefficiente di diffusione dipende da:

• Porosità della membrana

Dimensioni delle molecole di soluto

• Viscosità del solvente

• Temperatura assoluta

• 2

Unità di misura: m /s

Diffusione libera: non c’è più il setto, ho un moto

• macroscopico di rimescolamento

!

!

!

Posso creare un’interfaccia definita tra una soluzione concentrata e un solvente sopra.

!

!

!

!

!

!

!

Il gradino che prima era netto comincia a c(x) grad c

smarrirsi

!

Alla fine la concentrazione è uniforme

e il gradiente è nullo

!

!

!

!

!

!

!

Il moto microscopico si descrive con la seconda legge di Fick

! Misuro come evolve il profilo della concentrazione.

Ho un’erosione più veloce dove il gradiente evolve più

rapidamente. Dove evolve in modo lento l’erosione è

minore.

Curvatura positiva: la concentrazione cresce nel tempo.

Curvatura negativa: la concentrazione decresce nel tempo.

Anche la pressione osmotica dipende dal numero di

particele che si comportano in modo indipendente

(proprietà colligativa).

!

Trasformazioni cicliche : sono sequenze di trasformazioni

diverse che danno luogo a trasformazioni complesse in cui gli

stadi iniziale e finale coincidono.

L’energia interna non cambia, ma è stato compiuto un lavoro non

nullo, rappresentato dall’area contenuta nel ciclo.

Siccome L ≠ 0, Q ≠ 0

Q = L

!

• Secondo principio della termodinamica:

Non è possibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di

trasformare interamente in lavoro il calore sottratto da una sola sorgente a

temperatura costante (enunciato di Kevin-Planck).

In una trasformazione isoterma:

T = cost = T

0

U = cost = dU = 0

δQ = δL

Q = L, ma non è l’unico risultato perché in realtà è cambiata

l’entropia.

Ciclo di Carnot: è una trasformazione ciclica disegnata per trasformare il più

possibile il calore in lavoro. Il ciclo di Carnot di un

gas perfetto è composto da due isoterme (1-2) e (3-4)

a temperature rispettivamente T > T e due

1 2

adiabatiche (2-3) e (4-1).

L’isoterma consente di scambiare tutto il calore in

lavoro senza che ci sia una trasformazione in energia

interna.

L’adiabatica consente di cambiare la temperatura

senza che avvenga uno scambio di calore con

l’esterno.

! Espansione isoterma (A-B): il gas preleva la quantità di calore Q dalla sorgente

• 1

più calda T e questo provoca l'aumento di volume del gas e la diminuzione della

1

pressione. La tendenza della temperatura del gas ad abbassarsi viene contrastata,

limitatamente alla prima parte della corsa, dall’effetto del riscaldatore (sorgente

termica). Ne risulta che essa rimane costante.

T = T V < V p > p

A B A B A B

∆U = 0

AB

L = nRT · ln(V /V ) positivo (espansione)

AB 1 B A

Q = L = nRT · ln(V /V ) positivo (calore assorbito dalla sorgente a T )

AB AB 1 B A 1

Espansione adiabatica (B-C): quando il gas finisce di prelevare energia termica,

• esso viene mantenuto in modo che non scambi energia con l'esterno tramite

un'adiabatica, pur continuando ad espandersi: ne consegue un abbassamento della

temperatura.

T > T V < V p > p

B C B C B C

∆U = Q – L = 0 – n·c (T –T ) negativo (espansione)

BC v 1 2

L = n·c (T –T ) positivo (espansione)

BC v 1 2

Q = 0

BC

Compressione isoterma (C-D): il gas viene compresso mantenendo costante la

• temperatura ed il calore generato dal lavoro compiuto in questa fase viene rimosso

dal contatto con la sorgente a temperatura più bassa T < T . Viene ceduta dal gas

2 1

alla sorgente la quantità di calore Q .

2

T = T V > V p < p

C D C D C D

∆U = 0

CD

L = nRT · ln(V /V ) negativo (compressione)

CD 2 D C

Q = L = nRT · ln(V /V ) negativo (calore ceduto dalla sorgente a T )

CD CD 2 D C 2

Compressione adiabatica (D-A): quando il gas finisce di cedere calore al

• refrigeratore continua a comprimersi, ma viene mantenuto in modo che non scambi

energia con l’esterno.

T < T V > V p < p

D A D A D A

∆U = Q – L = 0 – n·c (T –T ) positivo (compressione)

DA v 2 1

L = n·c (T –T ) negativo (compressione)

DA v 2 1

Q = 0

AD Temper Volume Pressio Energia Lavoro Calore

atura ne interna Q

Espansione T V p ∆U L

AB

isoterma (A-B) V A Q

Espansione T V p ∆U L

BC

adiabatica (B-C) -n·c Q

Compressione T V p ∆U L

CD

isoterma (C-D) V C Q

Compressione T V p ∆U L

DA

adiabatica (D-A) -n·c

!

• ∆U = 0 Trasformazione ciclica

TOT

• L = nR [T ·ln(V /V ) + T ·ln(V /V )]

TOT 1 B A 2 D C

Ma V è legato a V perché sono nella stessa trasformazione adiabatica e lo stesso

C B

vale per V e V .

A D

γ-1 γ-1

T ·V = T ·V

1 B 2 C

γ-1 γ-1

T ·V = T ·V

1 A 2 D

Divido membro a membro:

! e quindi:

! L = nRT·(T –T )·ln(V /V )

TOT 1 2 B A

Q = nR [T ·ln(V /V ) + T ·ln(V /V )] = nRT·(T –T )·ln(V /V ) = L

• TOT 1 B A 2 D C 1 2 B A TOT

L = Q +Q < Q

TOT 1 2 1

Pur con un ciclo ottimizzato non si riesce a trasformare tutto il calore in lavoro.

!

Rendimento

: il rendimento η è dato dal rapporto fra il lavoro totale e il calore

assorbito.

! È un numero puro perché si tratta del quoziente di grandezze omogenee.

! (somma algebrica)

Usando i moduli:

Q > 0 |Q | = Q > 0

1 1 1

Q < 0 |Q | = - Q > 0

2 2 2

! Nel caso della macchina di Carnot: L’argomento del modulo è

negativo, sciolgo e elevo

l’argomento del ln alla -1

! con T < T (T in Kelvin)

2 1

!

Come trarre maggiore lavoro dalla macchina di Carnot?

L = nRT(T –T )·ln(V /V )

TOT 1 2 B A

Aumento T –T , cioè rendo più distanti le isoterme allargando il ciclo

• 1 2

Aumento V /V , cioè rendo più distanti A e B allungando il ciclo

• B A

Le due modalità non sono equivalenti.

! Se aumento V /V non cambio il rendimento

B A

Se aumento T –T aumento il rendimento

1 2

Quindi con lo stesso aumento di lavoro totale non ho lo stesso rendimento.

Il rendimento della macchina termica di Carnot è il limite superiore per il rendimento

di qualunque macchina termica che lavori fra le stesse temperature.

Se percorro il ciclo di Carnot in senso orario:

L > 0

TOT

Assorbe calore da una sorgente calda cedendone una parte ad una sorgente fredda.

Se percorro il ciclo di Carnot in senso antiorario:

L < 0 lavoro speso sul sistema

TOT

Assorbe calore da una sorgente fredda e ne rende una parte ad una sorgente calda

(macchina frigorifera).

!

Entropia

:

Per il ciclo di Carnot:

! Q e Q sono gli unici calori scambiati. La somma algebrica di tutti i calori scambiati

1 2

fratto le temperature alle quali sono scambiati lungo tutto il ciclo di Carnot è nulla.

Ogni ciclo reversibile può essere approssimato come somma di cicli di Carnot.

Per il ciclo composto che simula il ciclo di Carnot:

! Per un numero sufficiente di Carnot (ciascuno su un dT

infinitesimo) il ciclo composto diventa un ciclo generico

reversibile.

!

! Integrale di Clausius

Entropia: la somma delle sue variazioni lungo una trasformazione ciclica è nulla.

! rappresenta la variazione differenziale lungo una trasformazione reversibile di

una funzione di stato.

dS =δQ/T

! Valutata in un ciclo, reversibile o irreversibile, la sua variazione è nulla perché è una

funzione di stato.

In una trasformazione reversibile:

dS =δQ/T

Se ho una trasformazione aperta, la variazione dipende solo dagli stati iniziale e

finale:

! —> se è reversibile

Unità di misura: J/K

!

Trasformazione reversibile !

! Iniziale A

Trasformazione! Q MBIENTE

S

ISTEMA reversibile

Finale

! ∆Q < 0 ∆Q > 0

SISTEMA AMBIENTE

∆S < 0 ∆S > 0

SISTEMA AMBIENTE

∆Q > 0 ∆Q < 0

SISTEMA AMBIENTE

∆S > 0 ∆S < 0

SISTEMA AMBIENTE

Ma se è reversibile: ∆S = 0

SIST+AMB

S = costante

SIST+AMB

!

Trasformazione irreversibile

Il ∆S tra due tratti A e B è definito se sono definiti i due stati perché S è funzione di

stato.

! presenza di termini dissipativi

!

Calcolo il ∆S connettendo i due stati con una trasformazione reversibile.

Considero i due fenomeno irreversibili e considero:

∆S = es1 – es2

!

1. Espansione libera di un gas. Q = 0

Il processo è irreversibile e quindi per valutarlo devo

connettere con una trasformazione reversibile i due stati

iniziale (A) e finale (B).

T = T

A B

Li connetto con un’isoterma reversibile:

! T=costante ∆U=costante dQ = dL

∆S > ∆S

vera stimata

Cosa succede per l’universo (sistema + ambiente)?

∆S > 0

SISTEMA

∆S = ∆S + ∆S

TOT SIST AMB

∆S =0 perché il sistema è isolato, quindi:

AMB

∆S > 0

TOT

!

2. Trasferimento di calore irreversibile

È una trasformazione complessa, quindi scelgo una sequenza di

trasformazioni reversibili che portino da A a B. 1! 2!

T - ∆T T + ∆T

Metto il blocco 1 a contatto con il termostato: va da T+∆T a T.

• A

! La trasformazione reversibile sul blocco 2 lo porta da T-∆T a

• 1! 2!

T T

T. B

! Il ∆S totale è dato dalla somma dei ∆S delle due trasformazioni reversibili:

! Secondo principio in termini di entropia:

In ogni processo termodinamico che si svolge tra due stati di equilibrio la somma

dell’entropia totale del sistema e dell’ambiente o resta costante o aumenta.

Se la trasformazione è reversibile rimane costante.

∆S ≥ 0

TOTALE

Criterio di spontaneità: una trasformazione termodinamica (processo) può avvenire

spontaneamente se dà luogo ad un aumento di entropia.

Esempi di trasformazioni spontanee: espansione libera e trasferimento di calore

irreversibile.

L’entropia informa sulla direzione del tempo.

Considero un sistema isolato e le configurazioni A e B con la stessa energia totale. Il

secondo principio dice che gli unici cambiamenti possibili per un sistema isolato sono

quelli in cui l’entropia o aumenta o resta costante.

L’entropia misura il grado di disordine di un sistema.

S=k · ln P Relazione di Boltzmann tra entropia e disordine.

B

P è il numero di stati, cioè il numero di modi diversi in cui è possibile disporre le

molecole del sistema senza cambiare le proprietà macroscopiche del sistema.

Il sistema evolve spontaneamente verso lo stato di massima entropia.

L’entalpia non è un potenziale termodinamico perché non permette nulla e non vieta

nulla. L’energia interna non è tutta libera per compiere il lavoro: dall’energia libera si

toglie il prezzo entropico per compiere il lavoro e rimane l’energia libera per

compiere il lavoro.

!

Dipolo elettrico :

Distribuzione particolare di due cariche uguali in intensità e opposte in verso.

Il dipolo elettrico p è un vettore che ha

! Il campo dipolare è la somma vettoriale dei campi singoli (principio di

sovrapposizione. Decade più velocemente di un campo di carica singola (a distanza

più breve e a intensità minore), perché a grandi distanze le cariche sono compensate.

Un dipolo in un campo esterno si orienta: è sottoposto a un momento torcente.

L’acqua ha un dipolo residuo per via dell’asimmetria centrale della molecola. Il

microonde funzione perché fa oscillare continuamente i dipoli dell’acqua nel cibo.

!

Una carica esploratrice negativa viene posta in P, con velocità nulla, in presenza di

+Q e -Q fisse. Cosa farà Q se lasciata libera di muoversi?

Si muove con traiettoria curvilinea lungo la linea di campo che passa per quel

punto in senso opposto. +

La successione di tutti i punti occupati dalla carica unitaria positiva indica la

linea di campo. Sono

tangenti in ogni punto al valore del campo elettrico –

! Le superfici equipotenziali sono i luoghi dei punti che si trovano al medesimo

potenziale.

! Se scelgo cinque percorsi diversi lungo le superfici equipotenziali, lungo quale il

lavoro fatto dalle forze del campo su di una carica negativa q- è negativo e massimo

in valore assoluto?

Le forze del campo tendono a portare una carica negativa spontaneamente da

potenziale negativo a potenziale positivo. I punti a potenziale maggiore si trovano più

vicini alla carica generatrice positiva. Se vado da un punto di una superficie

equipotenziale ad un altro punto della stessa superficie il lavoro è nullo perché le

configurazioni iniziale e finale hanno lo stesso livello energetico (è un campo

conservativo).

L=q·∆V

Se una carica si sposta da un punto a potenziale più alto (superficie più prossima alla

carica +) a uno a potenziale più basso (superficie più lontana alla carica –) il lavoro è

negativo. Il lavoro che ha intensità maggiore è quello che va dal punto più prossimo

alla carica positiva a quello più prossimo alla carica negativa.

Il livello di potenziale è uno scalare e indica a che quota mi trovo. Il campo (e quindi

la forza agente) dipende dal gradiente del potenziale. Il campo dipende da quanto

velocemente cambia nello spazio il potenziale. A partire dal potenziale posso

calcolare e costruire un campo vettoriale che va contro il gradiente del potenziale.

!

Corrente elettrica

Per suscitare un moto di cariche stazionario (non transitorio) in un conduttore occorre

mantenere fra i suoi punti una differenza di potenziale tramite un dispositivo che,

lavorando contro le forze del campo, impedisca lo stabilirsi di una situazione di

equilibrio.

Faccio muovere un elettrone attraverso un conduttore sottoposto a un campo: questo

elettrone si disporrà nel conduttore in modo da compensare il campo esterno. Per

mantenerlo in movimento devo alterare continuamente il campo con un generatore di

differenza di potenziale ⊣ ⊦

Il conduttore è attraversato da una corrente elettrica I per convenzione diretta con

verso opposto al moto degli elettroni (dal + al –).

I = ∆q / ∆t

I = dq / dt

È l’equivalente della portata, cioè la quantità di carica che attraversa una sezione

nell’unità di tempo.

La corrente elettrica è una grandezza fondamentale.

• Unità di misura di I = Ampere, A

1 A = 1C / 1s

Lavoro compiuto dalle forze del campo sulla carica q che:

- attraversa il filo conduttore

- passa da A a B

L = W – W = q (V – V ) = q·V

AB A B A B

(La differenza di potenziale si chiama V anziché ∆V per convenzione).

! q+ V

Positivo per q- V

Il lavoto compiuto nell’unità di tempo è la potenza elettrica P:

P = L / t = q · V / t = I·V

Può essere trasformato in una forma di energia.

Conduttore ohmico: !

c’è dipendenza lineare fra la corrente che lo attraversa e la differenza di potenziale ai

suoi capi.

1ª Legge di Ohm: V = R· I R = resistenza elettrica del conduttore

È una legge del trasporto. Il coefficiente di proporzionalità R indica quanto deve

valere la forzante e dipende sia dal materiale sia dalla geometria. In un filo conduttore

con lunghezza L e sezione S:

• 2ª Legge di Ohm: R = ρ· L /S

ρ = resistività.

L’unità di misura della resistenza è l’Ohm: 1Ω= 1V/1A

L’unità di misura della resistività è l’Ohm · metro = Ω·m

Considero un circuito complesso con resistenze

• in serie:

! R = R + R > R R = ∑ R

eq 1 2 n eq n

Per l’equazione di continuità sono attraversate dalla medesima corrente, ognuna ha

una resistenza diversa quindi ai capi di ciascuna resistenza ho una caduta di

potenziale diversa perché per superare una caduta di potenziale più alta occorre una

differenza di potenziale più alta.

V= V + V + V = I·R + I·R + I·R = I (R + R + R ) = I· R

1 2 3 1 2 3 1 2 3 eq

• In parallelo:

! 1/R = ∑ 1/R

eq n

Per un conduttore ohmico la potenza elettrica vale:

2

P = V·I= (R · I) · I = R·I

2

P = V·I= V (V/R) = V /R

Capacità di un conduttore:

Disponendo una carica Q su una sfera conduttrice di raggio R questa si porta ad un

potenziale: V = K · Q/R = 1/(4πε ) · Q/R

0

Tutto il conduttore si trova allo stesso potenziale, come se tutta la carica fosse

concentrata al suo centro.

C=Q/V La capacità è il rapporto fra la carica messa e il potenziale a cui si è portato,

cioè al carica per unità di potenziale.

Per la sfera: C=4πε · r , quindi è proporzionale al raggio.

0

• Unità di misura: farad, F 1F = 1C / 1V

Condensatore

:

È possibile con il medesimo potenziale accumulare più carica su un

conduttore (cioè condensare più cariche in una regione dello

spazio)?

Considero un condensatore piano, costituito da due conduttori

paralleli di superficie S disposti a una certa distanza d l’uno

dall’altro.

Se li dispongo in un circuito sulle due armature si genera un

accumulo di cariche opposte, oppure se dispongo sulla prima

armatura una carica positiva, per induzione si affaccia sull’altra

armatura una carica negativa. Le cariche localmente non sono

compensate.

Il potenziale a cui si porta il condensatore è minore per effetto di

compensazione: le cariche esattamente opposte fra loro fanno in

modo che una delle due distribuzioni compensi l’altra.

In tutte le regioni dello spazio ho sempre una sovrapposizione fra A

e B, ma siccome A e B sono opposte sto sommando due vettori di

verso opposto e quindi i due effetti, sommandosi, tendono a deprimersi. L’effetto

correttivo è tanto maggiore quanto più le due distribuzioni sono vicine e quanto più

sono grandi le superfici.

La capacità di un condensatore dipende inversamente dalla distanza e direttamente

dalla superficie:

Q = C·V

C = ε ·ε · S/d

0 r

La capacità dipende da ε : fra le armature del condensatore

r

posso disporre un dielettrico, cioè un mezzo non conduttore

che posto in un campo esterno si polarizza, cioè si oppone

generando una distribuzione di cariche non compensate su

piccola scala (in cui il baricentro della carica positiva e quello

della carica negativa non coincidono).

Il dielettrico sbilancia in posizione le cariche positive in

maniera che il loro baricentro sia disposto verso l’armatura

negativa e viceversa, quindi all’interno di quella regione dello

spaziosi genera anche un secondo campo, generato da quel dipolo.

I due campi (quello del condensatore e quello dei dipoli) si sommano, ma la

distribuzione di cariche nel dielettrico è inversa rispetto a quella del condensatore,

quindi la somma vettoriale dei due campi dà luogo ad un campo minore. Si abbassa

quindi la differenza di potenziale, quindi aumenta la capacità del condensatore.

• Energia accumulata in un condensatore: ho un sistema interagente che, per aver

separato le cariche, ha innalzato il suo livello di energia. L’energia accumulata

equivale al lavoro svolto per caricarlo.

Sulle armatore è già posta una carica q, e voglio aggiungere un’ulteriore carica dq

compiendo un lavoro dL.

! Circuiti con più condensatori:

In serie:

! 1/C = ∑1/C

eq n

C < C

eq n

⊣⊢⊣⊢⊣⊢

Cambia la differenza di potenziale, non la carica.

In parallelo:

C = ∑ C

eq n

C > C

eq n

!

Circuito RC

Alla chiusura dell’interruttore T posso osservare il

transitorio, cioè cosa accade quando il circuito si sta

caricando.

Il transitorio evolve verso la corrente nulla.

Si genera una corrente che si sviluppa tutta nel transitorio.

I condensatori sono utilizzati come dei serbatoi in cui si

accumula l’energia e si può dare in transitori funzionando

come un interruttore che si può aprire e chiudere.

L’energia del sistema si sposta alternativamente dal condensatore al generatore di

differenza di potenziale.

Finché l’interruttore è aperto non accade nulla. Quando chiudo la differenza di

potenziale generata può agire provocando una corrente. La corrente serve per caricare

il condensatore.

Processo di carica:

Q = Q(t) I = I(t)

Sia la carica sul condensatore che la corrente dipendono dal tempo.

Anche le differenze di potenziale ai capi della resistenza e fra le armature del

condensatore sono variabili nel tempo con somma costante pari a quella fornita dal

generatore V .

0

V (t)= Q(t)/C

C

V (t)= T·I(t)

R

V = V + V

0 R C

V = Q(t)/C + R·I(t) V =Q(t)/C + R·dQ(t)/dt

0 0

dQ(t)/dt= – (Q(t)-V ·C)/RC

0

Equazione differenziale, lega diverse derivate della stessa funzione.

Siccome V C è costante posso aggiungerlo alla funzione da derivare (la derivata di

0

una costante è nulla) e ottengo diverse derivate della stessa funzione:

d(Q(t) -V C)/dt=-(Q(t)-V C)/RC

0 0

kt

Q(t) - V C = A · e

0

La funzione che risolve è una funzione esponenziale.

Per definire le costanti di integrazione mi confronto con le condizioni iniziali.

Per: t = 0 non ho ancora chiuso l’interruttore, quindi Q = 0. Sostituisco: A = -V · C

• 0

Sostituisco e derivo per ottenere il valore di k:

! ! -t/RC

V (t) = V (1-e )

C 0

! i(t)

V /R

0

0,37V /R

0 t=RC

! I(t) = V /R=(V -V ) /R

R 0 C

Se tolgo il generatore a circuito aperto: ho un punto del circuito connesso dove c’è

una differenza di potenziale, per cui passa la corrente in senso opposto a quella

servita per caricarlo. Invece di fornire la stessa differenza di potenziale, il

condensatore non garantisce una ddp stazionaria ma transitoria (finchè non si scarica

esaurendosi).

La differenza di potenziale si va spegnendo

V

C

V

0

37V

0 t=RC

! RC è il normalizzatore dei tempi, perché compare in un esponente a denominatore del

tempo. Deve avere le dimensioni di un tempo, per rendere l’esponente un numero

puro. RC è la costante di tempo del circuito.

Aggiustando R e C posso alterare la costante di tempo del circuito.

Dimensioni: [V/I] [Q/V] = [Q/I] = [t]

Pacemaker: ho un circuito complesso formato da due parti: un condensatore e un

interruttore che può aprire quel circuito escludendo generatore in modo che il

condensatore funzioni da generatore di differenza di potenziale.

Posso regolare tempi e voltaggio.

!

Magnetismo

Cariche ferme ↔ campo elettrostatico.

Cariche in moto ↔ campo magnetico.

Una calamita può generare nello spazio un campo magnetico.

Un campo magnetico è sempre un dipolo, non esiste un polo negativo

o positivo isolabile.

Esperienza di Oersted: prendo un filo conduttore e lo sottopongo ad

una differenza di potenziale. Gli elettroni risalgono il campo verso il

punto a potenziale positivo con una corrente che per convenzione è

assunta in senso opposto (dal polo a potenziale maggiore a quello a

potenziale minore. Nello spazio non c’è nessun campo elettrostatico.

Prendo un secondo filo sottoposto alla stessa differenza di potenziale:

viene sottoposto a una corrente nello stesso verso del filo precedente e

anche lui non genera nessun campo elettrostatico nello spazio.

Succede che il secondo filo è sottoposto ad una forza che lo attrae

verso il primo filo. Se inverto la polarità del secondo filo, la forza è

repulsiva.

La forza è legata al passaggio di corrente nei due fili. Se spengo la

corrente in uno dei due fili la forza non esiste più.

Questa forza è legata al campo magnetico generato dalle cariche in moto. Il primo

filo è in grado di generare un campo magnetico (se pongo un ago magnetico accanto

al filo, questo si orienta). Anche il secondo filo è in grado di subire la forza del campo

magnetico. Fili percorsi da corrente sono in grado di generare e di risentire di campi

magnetici.

Come un magnete una corrente genera nello spazio un campo magnetico e risente

della presenza di un campo magnetico nello spazio.

È una forza a distanza.

Forza di Lorentz: considero una carica q+ che

• attraversa il campo con velocità v: è sottoposta ad

una forza di Lorentz pari a :

! È ortogonale al piano definito dai due vettori.

Il modulo è massimo se v⊥B

È nullo se v//B

È nulla se è nulla la velocità e dipende dalla mutua orientazione tra la velocità e il

campo. Si misura in Newton.

Unità di misura di B: Tesla T

Il campo B ha intensità di 1T se agendo perpendicolarmente su una carica di 1C che

si muove alla velocità di 1m/s perpendicolarmente al campo agisce su di esso con una

forza (di Lorentz) di 1N. –4

Campo magnetico terrestre: 10 T = 1 Gauss

!

Se anziché una singola carica in moto si ha un flusso stazionario di cariche, una

corrente I in un filo conduttore di lunghezza L in cui le cariche si muovono con

velocità v percorrendolo in un tempo t=L/v.

! ! è un vettore L che ha modulo L e verso di v.

! Se la corrente I anziché un filo conduttore rettilineo percorre un circuito chiuso in

presenza di B, per esempio una spira quadrata di lato L immersa in un campo

magnetico uniforme.

Sui lati paralleli a B non ho forza di Lorentz, su quelli perpendicolari ho una forza di

Lorentz uguale e contraria sui due lati.

La risultante è uguale a zero, ma c’è un momento non nullo: momento torcente

! n è la normale alla spira e dipende dall’orientazione.

A è l’area della spira.

Momento di dipolo magnetico della spira: !

La spira diventa assimilabile a un magnete.

Orientandosi genera anche una corrente.

Le proprietà magnetiche dei mezzi possono essere associate a spire “microscopiche”

legate al moto degli elettroni nei materiali.

Il dipolo magnetico non è scindibile.

!

Un filo conduttore percorso da corrente genera nello spazio un campo

magnetico (legge di Biot-Savart): è sempre orientato

perpendicolarmente alla corrente.

Se anziché un filo ho una spira di raggio a percorsa da corrente, il

campo è ortogonalmente alla spira. Il vettore B generato è:

Direttamente proporzionale all’intensità di corrente nella spira

• Inversamente proporzionale al raggio

• Direttamente proporzionale al numero delle spire (in un solenoide).

!

Tra due fili percorsi da corrente si instaura un’interazione dovuta al

campo magnetico generato e sentito da ciascuna delle due correnti.

1 Ampere è la corrente che, mantenuta in due conduttori di lunghezza ∞ e sezione –

trascurabile posti alla distanza di 1m fa sì che tra loro si eserciti una forza pari a 2·10

7 N per metro di lunghezza (Ampere 1946).

!

Campo magnetico nei mezzi materiali: B = K · B

mezzo m vuoto

Se metto un dielettrico l’intensità del campo elettrico diminuisce. Qua dipende dal

tipo di mezzo:

Mezzi diamagnetici: K < 1 B < B Legata alla variazione delle

• m mezzo vuoto

orbite elettroniche.

Mezzi paramagnetici: K > 1 B > B Legato a un dipolo magnetico

• m mezzo vuoto

permanente associato agli atomi.

Mezzi ferromagnetici: K >> 1 B >> B Legato a dipoli magnetici

• m mezzo vuoto

permanenti organizzati in domini di comune orientazione. (es: Fe, Co, Ni, Gd, Dy,

Leghe).

!

Un campo magnetico:

È generato da cariche in movimento

• Agisce su cariche in movimento

Un campo magnetico variabile genera movimenti di cariche, quindi genera corrente

e quindi campi elettrici indotti.

Una spira percorsa da corrente posta in un campo magnetico è sottoposta a un

momento torcente che ne modifica l’orientazione.

Una spira di cui si cambi l’orientazione viene percorsa da corrente.

!

Faraday:

Metto una spira fra le espansioni di un campo magnetico. Se entrambi

sono fermi non accade nulla. Se varia la configurazione relativa (ad

esempio la dimensione o l’orientazione della spira) si genera una corrente

nella spira.

Conta il flusso del campo magnetico nella spira (il flusso concatenato

alla spira).

! (la seconda solo se B è uniforme)

Unità di misura del flusso di B: Weber

• 2

1 Weber = 1 Tesla · 1 m

2

1 Tesla = 1 Weber / 1 m

!

Legge di Faraday-Neuman-Lenz:

se si verifica una variazione temporale del flusso di B attraverso una spira allora nella

spira viene generata una forza elettromotrice (fem) che fa muovere le cariche nella

spira (si genera una corrente nella spira) tale che il suo effetto sia quello di opporsi

alla variazione del flusso di B che l’ha generata.

! Se la considero istantanea è ε = fem = -dΦ(B)/dt

Osservazioni:

Ci deve essere una variazione temporale:

• dΦ(B)/dt ≠ 0

La fem indotta genera una corrente che genera un campo magnetico B’ e si oppone:

• B’ rafforza o indebolisce B opponendosi alla sua variazione. È una correzione della

variazione di flusso per via della “preferenza” di un flusso stabile.

La fem indotta non è una forza e non ha le dimensioni di una forza ma di un

• potenziale, cioè di un lavoro per unità di carica compiuto dal campo elettrico

indotto.

Prendo una spira chiusa e una carica che si trova su di essa. Faccio percorrere tutta la

spira dalla carica e torna lì. Se il campo fosse conservativo il lavoro sarebbe nullo,

qui invece c’è un lavoro quindi il campo elettrico indotto (a differenza del campo

elettrostatico) non è conservativo.

! !

Maxwell (metà 1800) formulò l’ipotesi che anche campi elettrici variabili

generassero campi magnetici. Sulla base di questo legame fra campi elettrici variabili

e campi magnetici variabili si hanno i campi elettromagnetici. A partire da questo si

arrivò ad identificare la luce come radiazione elettromagnetica.

Antenna dipolare: ho un generatore in cui posso separare le cariche e farle scambiare

alternatamente. Il movimento generato permette

al campo elettrico generato di essere variabile.

Nello spazio ho quindi un campo elettrico

variabile, che genera un campo magnetico

variabile e così via. Si genera un’onda

trasversale in cui il piano di oscillazione dei due

vettori è ortogonale alla direzione di

propagazione.

Il vettore che oscilla oscilla in direzione

ortogonale rispetto alla direzione di propagazione. Non si sposta la materia ma

l’energia.

La velocità di propagazione dipende dall’inerzia e dalla responsività.

La funzione d’onda descrive l’onda in tutti i punti a tutti gli istanti:

y(x,t) = y · sin (kx – ωt)

m

y(x,t) = spostamento

• y = ampiezza

• m

sin(kx – ωt) = termine oscillatorio

• (kx – ωt)=fase

• k = numero d’onda angolare

• x = posizione

• –1

ω = numero d’onda angolare (frequenza angolare, pulsazione). m

• t = tempo

Se l’onda propaga verso destra (verso dell’asse x positivo) ha fase (kx - ωt).

Un’onda che propaga verso sinistra (verso negativo dell’asse x) ha fase (kx + ωt).

!

Entità dello scostamento nello spazio all’istante t=0:

y(x,0) = y sin(kx – 0)

m

Evento periodico con periodo T:

y(0,t) = y sin(0 – ωt)

m

Velocità di propagazione: percorre un tratto ∆x/∆t e un tratto λ nel tempo T

! Nel caso dell’onda elettromagnetica:

E(x,t) = E sin(kx–ωt)

m

B(x,t) = B sin(kx–ωt)

m 8

La velocità nel vuoto è pari a c = 3·10 m/s

L’energia viene trasportata nella direzione di propagazione (ortogonale a E e B).

Un’onda trae le sue caratteristiche dalla sorgente e dal mezzo in cui si propaga. Se

cambio la frequenza della sorgente ottengo lo spettro della radiazione

elettromagnetica. Per energie basse ci sono le onde lunghe.

L’energia della radiazione è proporzionale alla frequenza.

–34

E=h·ν=(6,62·10 J/s)·ν

1 eV=energia acquisita da un elettrone sottoposto ad una ddl di 1V.

–19 –19

1 eV= 1,6 · 10 C · 1V = 1,6 ·10 J

La scala delle energie ha lo stesso verso della scala delle frequenza, mentre quella

delle velocità ha verso opposto.

!

Tubo di Coolidge per produrre raggi X:

ampolla di vetro, piccolo generatore di ddp con un filo conduttore che si scalda per

effetto joule. L’elettrone viene emesso per effetto termoionico. In prossimità del

filamento c’è un elettrodo nello stesso circuito alimentato da una ∆V per cui una è di

segno opposto all’altra. L’elettrone emesso viene accelerato

verso la placchetta per effetto di ∆V. L’energia cinetica

e2

acquisita dall’elettrone è: 1/2 m v = e ·∆V

e

Tale energia viene ceduta alla targhetta per dissipazione (la

targhetta si riscalda). La carica entra nel campo colombiano dei

nuclei della targhetta e ne viene decelerata: c’è una carica

decelerata che genera una radiazione.

F = m·a 2 2

F = k Z e / r

elst

Si ha l’emissione di una radiazione elettromagnetica. La

lunghezza d’onda è inversamente alla frequenza e all’energia.

Quando l’elettrone colpisce la targhetta può cedere tutta l’energia in un unico evento

o disperderla gradualmente. La radiazione emessa ha una λ minima connessa

all’evento singolo e una serie di casi progressivi.

Se metto in un grafico l’intensità in funzione della lunghezza d’onda ottengo lo

spettro di breemstraalung.

λ dipende solo da ∆V.

min

hv =e∆V

max –34 8 –19

v = e∆V/h=(6,6·10 J/s ·3·10 )/(1,6·10 C)/∆V

max

λ = c/v

min max

!

L’intensità emessa dipende anche da:

Corrente I nel filamento (numero di elettroni emessi). Più elettroni ho, maggiore srà

• l’intensità.

Materiale di cui è costituito l’anodo, numero atomico Z, cioè dall’intensità della

• forza elettrostatica cui l’elettrone è sottoposto.

2

I = K i Z (∆V)

tot

Per ∆V sufficientemente alto (in dipendenza dal materiale della targhetta) si aggiunge

uno spettro di righe: l’eccesso di energia viene liberato per via radiativa.

Nel generatore radiazione evidenzio caratteristiche ondulatorie. Un antenna con

frequenza ν genera una radiazione con frequenza ν cui corrisponde energia E

trasportata.

Caratteristiche corpuscolari: transizione energetica fra livelli:

RX, elte energie, transizioni elettroniche

• Frequenza più basse, transizioni fra alti livelli energetici molecolari vibrazionali,

• rotazionali. Rosso, IR, ~1eV, frequenze “calde”

Interazione radiazione-materia: faccio interagire una radiazione conosciuta con la

materia e la confronto con la radiazione ottenuta dopo l’interazione. La differenza fra

le due dà informazioni sulla materia.

Modalità di interazione:

Effetto fotoelettrico: serve per l’indagine radiologica. La

• radiazione incidente fa sparire interamente la parte che

interagisce.

C’è il fotone, ha energia hν. La radiazione è sì un’onda

elettromagnetica ma può essere descritta come composta da

corpuscoli. Considero un tubo a vuoto con una finestra di quarzo

in cui c’è una placchetta e un collettore che raccoglie qualunque

cosa venga emessa dalla placchetta. Impongo che una radiazione

incidente colpisca la placchetta. Connetto il collettore e la

placchetta e metto un amperometro. Osservo che quando la radiazione incidente ha

certe caratteristiche, l’amperometro misura un passaggio di corrente anche se non c’è

nessun generatore di ∆V. I fotoelettroni vengono emessi dalla placchetta, scalzati dal

loro orbitale a seguito delle interazioni radiazione-materiale della placchetta. Appena

fuori dalla placchetta hanno energia cinetica, i più veloci avranno:

max2

K=1/2 m·v = E – W (W=potenziale di estrazione)

trasf

Si misura la corrente i in A grazie al flusso di elettroni che emessi

con velocità 0

max

Posso disporre nel circuito un generatore di ∆V variabile e variare

∆V in modo da rendere la placchetta positiva rispetto al

collettore.

Leggerò ancora i in A finchè non ho frenato tutti gli elettroni,


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DETTAGLI
Esame: Fisica medica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (6 anni)
SSD:
Università: Milano - Unimi
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher roby_catta di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica medica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano - Unimi o del prof Cantù Laura Franca.

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