Fisica medica - Algebra vettoriale

A B



 Modulo di un vettore: v R 

 Versore: è un vettore unitario v 1

 Vettori equivalenti:sono vettori che hanno lo

stesso modulo, direzione e verso. Es.: B B’

(in particolare sono paralleli) A A’

Algebra vettoriale 3

Somma di vettori col metodo geometrico

 

Metodo grafico Proprietà commutativa

  

  a b b a

a b c b

a c

 

 

    

2 2

c a b 2ab cos a



  

2 2

a b 2ab cos b

 Proprietà associativa

   

(Formula di Carnot)        

a b c a b c a b c

b

 b c

- 



a b c

a b

a  

c a b  

a b c

Algebra vettoriale 4

Differenza di vettori col metodo geometrico

 Siano assegnati due vettori: a e b

.

 



Dicesi differenza a b la somma tra a e l'opposto del vettore b :

 

    

a b a b d

.

L'opposto di b è un vettore che ha lo stesso modulo, stessa direzione e

verso op

po

sto: b

 b

 



b b

- 

a - b



 

 a

a

a b

b d

c 

    

2 2

d a b a b 2ab cos

 

        

 Si noti che: b a d; infatti: b a b a d

Cioè se due vettori sono sottratti in ordine inverso si ottiene il vettore

opposto 

b a

  

b a d

Algebra vettoriale 5

Scomposizione di un vettore nelle sue componenti

rispetto ad un sistema di assi cartesiani

y

 2 D 



a a cos

x

a

a 





y a a sen

y

a x

x

 z

3 D  



a a sen cos

x

P

a z  



a

 a a sen sen

y

a y

O 



a a a cos

 y

x z

P'

x Algebra vettoriale 6

Ricostruzione di un vettore note le sue componenti

Siano a e a le componenti cartesiane di un vettore a in

 x y

un sistema di assi ortogonali orientati Oxy.

Il modulo e la direzione di a sono:

y   

2 2

a a a a

x y

a

a y a

   y

tg a

O x

a x

x Algebra vettoriale 7

i, j, k

Versori - Vettore posizione

 z Sia dato un sistema di assi

k cartesiani Oxy

z ortogonali

j   

O a a i ; a a j ; a a k

x y z

x y z

y

i

x

 Un esempio di vettori 3 D

z P 

r è il vettore posizione OP r

k y

j che in

dividua un punto P(x,y

,z)

O

x i 

OP r = xi + y j + zk

P'

Algebra vettoriale 8

Forma algebrica di vettori 2D

Sia dato un vettore a e siano a e a

y x y

le sue componenti nel sistema di a

ssi



a y a carte

siani orientati O

xy:

=a j 

y a = a + a

x y

O  x

a a i     

x x a a i e a a j a a i a j

x y

x y x y

y Sia dato un vettore b e siano b e b

x y



b b i le sue componenti nel sistema di a

ssi

x x

O carte

siani orientati O

xy:

x

b



b y b = b + b

x y

=b j     

y b b i e b b j b b i b j

x y

x y x y

Algebra vettoriale 9

Forma algebrica di un vettore 3D

z Sia dato un vettore a e siano a , a , a

a x y z

z a i moduli delle sue componenti cartesiane in

y

O un sistem

a di assi ortogo

nali orie

ntati O

xy

z

.

y

a

x x Siano (i, j, k) la t erna dei versori degli

as si cartesian

i .

Il vettore si può scrivere come somma algebrica delle sue

a

componenti:   

a a i a j a k

x y z

Algebra vettoriale 10

Somma algebrica di due vettori 2D

 

 Siano una coppia di vettori nel piano xy

a , b  

 Sia Oxy un sistema di assi cartesiani orientati con versori i , j

 

Il vettore somma è: s a b

 

con a a i a j

x y  

 

       

b b i b j s a b a b i a b j

x y x x y y

 Siano s ; s le componenti cartsi ane di s :

x y   

s s i s j

x y

 

 

     



s a b i + a b j

 s a b

x x y y  x x x

   

 s a b





s s i + s j y y y

x y Algebra vettoriale 11

Prodotto in algebra vettoriale

 tre tipi di prodotti per i vettori:

 prodotto di un vettore per uno scalare

 prodotto scalare tra due vettori

 prodotto vettoriale tra due vettori

Prodotto di un vettore per uno scalare

  ka

a

Sia k R uno scalare, sia un vettore è un vettore

che ha: - modulo ka

 a

- direzione con quella di a

a

- verso concorde con se k > 0; discorde con se k < 0

a a 1

  

Se k 0, si definisce il rapporto come a

k k k

Algebra vettoriale 12

Prodotto scalare

Siano a e b due vettori. Si definisce b



prodotto scalare a b il numero (scalare): 



 

a b a b cos a

Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa:

 

 

  

a b a b cos = a b cos - = b a

Il prodotto scalare di due vettori può b

essere considerato come il prodotto 

del modulo del 1° vettore per la b cos a

componente del 2° nella direzione del 1°.

Algebra vettoriale 13



  

 2 2

a a a a cos a cos0 = a

N.B.: 

   

se a b a b a b cos /2 = 0

 Il prodotto scalare gode della proprietà distributiva rispetto alla

 

     

somma: c a b c a c b

 Consideriamo i tre versori i, j, k degli assi cartesiani, valgono

le seguenti relazioni:      

i i j j k k 1

     

i j j k k i 0

Algebra vettoriale 14

 Componenti cartesiane del prodotto scalare

Scriviamo a e b in funzione delle loro componenti cartesiane ed

applichiamo la proprietà distributiva:

   

     

a a i a j a k ; b b i b j b k

x y z x y z

  

       

a b a i a j a k b i b j b k

x y z x y z

     

      

a b i i a b i j a b i k

x x x y x z

     

     

+ a b j i a b j j a b j k

y x y y y z

     

     

+ a b k i a b k j a b k k

z x z y z z

   

a b a b a b a b

x x y y z z

   

2 2 2 2

In particolare: a a = a a a a

x y z

Algebra vettoriale 15

Prodotto vettoriale

 Il prodotto vettoriale di due vettori

a e b è un vettore c il cui modulo   b

c a b

 



è: c a b sen

 

dove è l'angolo più piccolo < a

  

c b a

fra a e b

.

 Il prodotto vettoriale non è commutativo

    

a b b a infatti mentre il modulo di

 

    

a b a b sen b a sen b a

 

il verso di a b è opposto al verso di b a.

 

 

  

Ciò è dovuto al fatto che sen sen .

Algebra vettoriale 16