Lezioni, Fisica medica

Grandezze Vettoriali

Forze:

Qualsiasi causa esterna capace di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo

GRANDEZZE SCALARI

Sono grandezze completamente definite da un numero reale associato ad un'unità di misura. È detta scalare poiché il suo valore può essere letto sulla scala graduata di uno strumento.

• ES: Massa, Temperatura, Densità, Pressione

GRANDEZZE VETTORIALI

Sono costituite da:

• MODULO, valore della misura
• DIREZIONE, retta su cui giace la grandezza vettoriale
• VERSO, uno dei due sensi di percorrenza della retta
• PUNTO D'APPLICAZIONE, punto della retta in cui agisce la grandezza
• ES: Forza, Momento angolare, Accelerazione

IL PUNTO D'APPLICAZIONE NON È SEMPRE NECESSARIO. PER ESEMPIO, SE SI CONSIDERA UN CORPO SU UN PIANO, APPLICANDO AL CORPO UNA FORZA PARALLELA AL PIANO SI OTTIENE UNO SPOSTAMENTO CHE È IDENTICO SE APPLICHIAMO LA STESSA FORZA ALL'ESTREMITÀ DI UNA FUNE COLLEGATA AL CORPO.

Forte:

Qualsiasi causa esterna capace di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo.

GRANDEZZE SCALARI

Sono grandezze completamente definite da un numero reale associato ad un'unità di misura. È detta scalare poiché il suo valore può essere letto sulla scala graduata di uno strumento.

ES: Massa, Temperatura, Densità, Pressione.

GRANDEZZE VETTORIALI

Sono contraddistinte da:

• MODULO, valore della misura.
• DIREZIONE, retta su cui giace la grandezza vettoriale.
• VERSO, uno dei due sensi di percorrenza della retta.
• PUNTO DI APPLICAZIONE, punto della retta in cui agisce la grandezza.

ES: Forza, Momento angolare, Accelerazione.

IL PUNTO DI APPLICAZIONE NON È SEMPRE NECESSARIO. PER ESEMPIO, SE SI CONSIDERA UN CORPO SU UN PIANO; APPLICANDO AL CORPO UNA FORZA PARALLELA AL PIANO SOSTIENE UNO SPOSTAMENTO CHE È IDENTICO SE APPLICANO LA STESSA FORZA ALL'ESTREMITÀ DI UNA FUNE COLLEGATO AL CORPO.

Le forze sono grandezze vettoriali che si rappresentano graficamente con un vettore.

VETTORE:

Ente geometrico rappresentato da un segmento riunito alla cui estremità vi è la punta di una freccia. Esso è caratterizzato dai quattro elementi detti precedentemente per le grandezze vettoriali.

UN VETTORE SI INDICA: a oppure

Vettore spostamento

Per definire lo spostamento di un corpo, non interessa lo spazio percorso, ma solo la posizione iniziale e la posizione finale.

Composizione di Vettori (somma)

Dati due vettori (componenti) l'operazione con cui si determina la risultante è detta composizione.

RISULTANTE: LA RISULTANTE DI UN SISTEMA DI PIÙ FORZE È QUELLA FORZA CHE PRODUCE GLI STESSI EFFETTI DEL SISTEMA DATO.

EQUILIBRANTE: L'EQUILIBRANTE DI UN SISTEMA DI PIÙ FORZE, È UNA FORZA UGUALE E OPPOSTA ALLA RISULTANTE DEL SISTEMA.

Somma di vettori

1. Stessa direzione, stesso verso

Quando due vettori hanno la stessa direzione, la loro risultante è un vettore con stessa direzione, verso del vettore con modulo maggiore e il modulo pari alla somma algebrica dei moduli dei vettori.

2. Stessa direzione, verso opposto

3. Direzione diversa

Quando i vettori hanno direzioni diverse per trovare la risultante, te si può indistintamente disegnare i due vettori con lo stesso punto di applicazione e usare la regola del parallelogramma oppure disegnare i due vettori come consecutivi e utilizzare la regola del triangolo.

Lo stesso ragionamento vale se si vuole trovare la risultante di più di due vettori.

Troviamo il vettore risultante tramite la regola del triangolo:

Tramite il metodo del parallelogramma:

Differenza di vettori

La differenza tra due vettori è un vettore dato dalla somma del primo col l'opposto del secondo.

1. Stessa direzione stesso verso
2. Stessa direzione verso opposto
3. Direzione diversa

Componenti di un vettore

Per sommare i vettori algebricamente essi devono essere collocati in un sistema di coordinate ortogonali.

Disposto sul piano, il vettore può essere scomposto nelle sue componenti:

_αx e _αy

_αx: è la proiezione del vettore _α sull'asse X

_αy: è la

Tale procedimento è detto scomposizione del vettore.

Per trovare il modulo delle due componenti si considera il triangolo rettangolo formato dai tre vettori.

1° teorema sui triangoli rettangoli:

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto a esso, o per il coseno dell'angolo acuto a esso adiacente.

_αx = a·senβ = a·cosα

_αy = a·senα = a·cosβ

Per non fare confusione si considera solamente l'angolo α formato dal vettore â con l'asse x e si utilizzano solo le relazioni:

a_x = a · cosα      a_y = a senα

Conoscendo le componenti a seconda trovare il vettore risultante basta applicare pitagora per trovare il modulo:

a = √a_x² + a_y²

Per trovare l'angolo α si applica la relazione fondamentale,

senα_cosαtgα ⇒     tgα = a_yax

Vettori Tridimensionali

Per descrivere un vettore â occorrono 3 componenti: a_x, a_y, a_z

Oppure se si conosce solo il modulo si ha bisogno conoscere anche due angli che il vettore ha con i due piani.

Vettore unitario

Un vettore unitario, detto anche versore, è un vettore di modulo 1. Esso ha lo scopo di indicare una direzione.

Sistema destroso di coordinate ortogonali

Si usano le lettere i, j, k per indicare i vettori unitari tracciati rispettivamente nelle direzioni degli assi x, y, z con verso positivo. Si rappresenta come in figura:

Rappresentazione di vettori tramite i versori

\(\overrightarrow{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}\)

\(\overrightarrow{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j}\)

Prodotto scalare

Dati due vettori a e b, il loro prodotto scalare è:

a.b = a.b.cosα

dove α è l'angolo compreso tra a e b.

Esso si può considerare come il prodotto tra:

• primo vettore
• componente scalare del secondo vettore lungo la direzione del primo vettore

AC = componente scalare del vettore b lungo la direzione di a

AB = componente scalare del vettore a lungo la direzione del vettore b

AC = b.cosα

AB = a.cosα

a.b = (a.cosα).b = a.(cosα.b)

Vale la proprietà commutativa:

a.b = b.a

Notazione vettoriale

a.b = (a_xi + a_yj + a_zk).(b_xi + b_yj + b_zk)

= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Prodotto Vettoriale

Il prodotto di due vettori a e b è un vettore c il cui modulo:

c = a · b · seno α

dove α è l'angolo minore che si formano tra i due vettori.

Se le direzioni di a e b sono parallele a x b = 0 Il modulo di a x b ha il suo valore massimo quando i due vettori sono perpendicolari:

(seno α = 1)

DIREZIONE

La direzione del vettore prodotto di a x b è perpendicolare al piano individuato da a e b

VERSO

Si utilizza la regola della mano destra:

• Se ad esempio moltiplicando a x b, l'indice deve coincidere con il verso del primo vettore, il medio con il secondo vettore, il pollice, perpendicolare al piano individuato dai 2 vettori, individua il verso del vettore risultante

Modulo di un vettore

Per determinare il modulo della somma di due vettori, con direzioni mezzi diversi si applica il:

Teorema del coseno

In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri 2 lati b, c, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi lati per il coseno dell'angolo α che essi formano.

a² = b² + c² - 2bc · cos γ

b² = a² + c² - 2ac · cos α

c² = a² + b² - 2ab · cos β

Perciò per trovare il valore dell'intensità di un vettore bisogna conoscere l'angolo formato dalle sue componenti.

a = 30 N   α = 119°b = 15 Nc = √(30² + 15² - 2 · 30 · 15 · cos 119°)c = √(1225,0456) ≈ 10 N

Scomposizione di un vettore

Dato un vettore qualsiasi è possibile scomporlo lungo le direzioni di due assi cartesiani a esso componenti in questo modo:

O_y = O · senα

O_x = O · cosα

Prodotto e rapporto di un vettore con uno scalare

• Il prodotto di un numero reale per un vettore â è un vettore che ha:
• Stesso verso o verso opposto se il numero è negativo
• Stessa direzione
• Modulo pari al prodotto |m · a| dove m è il numero reale.
• Il rapporto di un vettore â con uno scalare m è il prodotto del vettore â con ¹/_m cioè l'inverso di m.

Prodotto scalare tra vettori

Dati due vettori â e b non nulli, e α l'angolo da essi formato, il prodotto scalare di questi due vettori è:

â · b = a · b · cosα

• Se i due vettori formano un angolo di:
• 90°; 270° → Il prodotto scalare è 0
• 0° o 360° → È a · b

Esercizi sui vettori

Es. 1 pag. 119 A

Una trottola si sposta di 9 m verso nord, di 5 m verso ovest e 9 m verso sud. Trova lo spostamento risultante.

Lo spostamento è di 5 m verso ovest.

Es 2 pag. 119 A

Dato un vettore di modulo 13 m, trovare il valore di una componente sapendo che l'altra vale 12 m e che le 2 componenti sono tra loro ortogonali.

Dato che formano un angolo di 90° le 2 componenti si può usare il teorema di Pitagora:

O_x = √(13²-12²) = 5 m

Es 4 pag. 118 A

Un punto materiale subisce tre spostamenti consecutivi, in cui ogni spostamento forma col successivo un angolo di 120°. Se lo spostamento risultante è nullo si può affermare che:

Es 5 pag. 118 A

Un punto materiale subisce due spostamenti consecutivi di 20m ciascuno, essi formano un angolo di 60°. Quanto vale il modulo dello risultante?

Teorema coseno -> C² = a² + b² - 2ab.cosα = R -> √20² + 20² - 2∙20∙20∙cos60=

-> R = √800-800∙0.5 = √800-400 = √400 = 20 m

Es 6 pag. 118 A

Un punto materiale subisce 2 spostamenti consecutivi di 20√3 m ciascuno. Lo spostamento risultante è di 60m. Quanto vale l'angolo formato dai 2 spostamenti?

Teorema coseno -> C² = a² + b² - 2ab.cosα

Si ricava cosα:

cos α = a² + b² - c² / 2ab -> cos α = 1600 + 1600 - 3600 / 2400 = -0,5 ->

-> cos α = -0,5 -> α = cos^-1 -0,5 = 120°

Es 7 pag. 118 A

Quanto vale lo spostamento risultante di due spostamenti, entrambi di 10m, formanti tra loro un angolo di 120°?

R = √10² + 10² - 20∙cos120° = √200 + 100 = √300 = 17,32 m

ES. 3.8 PAG. 37

UN AEREOPLANO DECOLLA DA UN AEROPORTO E VIENE AVVISTATO PIÙ TARDI A 215 km, IN UNA DIREZIONE CHE FORMA UN ANGOLO DI 89° VERSO EST RISPETTO AL NORD. A CHE DISTANZE VERSO NORD E VERSO EST SI TROVA L' AEREO QUANDO VIENE AVVISTATO?

• α = 89° a = 215 km
• a_x = a · sen α = 215 · 0.37 = 80.5 km
• a_y = a · cos α = 215 · 0.93 = 199.3 km

ES. 3.3 PAG. 38

• â = 2.6 km VERSO OVEST
• b̂ = 3.9 km VERSO SUD
• ĉ = 5 km IN ALTO

VETTORE COMPLESSIVO?

â + b̂ = √(2.6² + 3.9²) = √(6.76 + 15.21) = 4.7 km

VETTORE â + b̂ + ĉ = √(17 + 0.95) = 4.7 km

tg α = ^b/_a = a · cotg^b/_a = arctg³⁹/_2.6 = 56.3°

CHIAMIAMO β L'ANGOLO FORMATO DAI VETTORI â + b̂ E ĉ

β = arctg ^0.95/_4.69 = 0.3°