Fisica matematica - prof. M. Gentile -Appunti

Indice

1. Proprietà degli spazi vettoriali
2. Vettori applicati
3. Leggi di variazione dei momenti per un sistema di vettori applicati
4. Sistemi speciali di vettori applicati
5. Invariante scalare
6. Coppie
7. Momento assiale e asse centrale
8. Campo vettoriale
9. Sistemi equivalenti di vettori applicati
10. Centro di un sistema di vettori applicati paralleli
11. Cinematica del punto
12. Cinematica del corpo rigido
13. Legge delle velocità in un corpo rigido
14. Atto di moto all’istante
15. Moti rigidi particolari
• Moto traslatorio
• Moto rototraslatorio
• Moto rotatorio
• Moto elicoidale
• Invariante cinematico scalare
• Teorema di Mozzi
• Moti rari
• Teorema Chasles
16. Grado di libertà di un sistema materiale
17. Grado di libertà di un sistema
18. Vincoli unilaterali e bilaterali e unilaterali
19. Analisi cinematica dei vincoli
• 56 Cerniera esterna
• 60 Carrello
• 61 Pendolo
• 63 Doppio pendolo esterno
• 65 Doppio doppio pendolo esterno
• 66 Incastro esterno
20. Forze
• Leggi di Newton
• Forze attive
21. Configurazione di equilibrio
22. Equazioni cardinali della statica
23. Lavoro elementare di un sistema di forze
24. Vincoli ideali e lisci
25. Statica (determinazione delle reazioni vincolari)
26. Vincoli interni
27. Reazioni vincolari interne
28. Proprietà dei centri
29. Centri assoluti e relativi
30. Principio dei lavorii virtuali
31. Teorema Weber
32. Baricentro di un sistema materiale
33. Proprietà
34. Momento di inerzia
• Huyghens-Steiner
• Matrice di inerzia
• Prodotti di inerzia

• DINAMICA
• Equazioni cardinali della dinamica
• Momento delle quantità di moto per atti rigidi
• Solido con asse fisso privo di attrito
• TRAVI RETICOLARI
• Metodo delle sezioni di Ritter
• Metodo dei nodi
• Matrice di inerzia per sistemi piani
• CINEMATICA DEI MOTI RELATIVI
• Principio dei moti relativi
• Teorema di Coriolis
• Principio di relatività galileiano
• ENERGIA CINETICA
• Teorema di König

Vettori Applicati

Il vettore applicato è una coppia ordinata (P,v) ∈ E₃xE₃

M_T = (P - T) x v momento del vettore applicato (P,v) rispetto al polo T

La retta di applicazione di (P,v) è la retta passante per P e parallela al vettore v

Q - O = (P - O) + (Q - P)

Q - P = λ v ⇒ Q = P + λ v

P - Q = P^* - λ u

p = p^* + λ u

x = λ u

(Si può scrivere l'equazione della retta in questo modo)

Momento a Variare del Polo

M_T = (P - T) x v = [(P - S) + (S - T)] x v = (P - S) x v + (S - T) x v

= M_S + (S - T) x v = M_S + v x (T - S)

Legge di Variazione dei Momenti

M_T = M_S + v x (T - S)

Le coppie giustificano... le rotazioni. Un momento può essere rappresentato [...]

MOHENTO ASSIALE

H_T = H_S + R × (T - S)

H_T ∙ U = H_S ∙ U

H_Z = H_T ∙ U ∨ [...]

ASSE CENTRALE

di un sistema Σ (con R ≠ 0)

M_P ∙ R = H_P [...]

Luogo dei punti in cui il momento è minimo 0 [...]

O = R × M_P = B + M₀ + R × (P - O)

CRITERIO 3:

Σ e Σ' sono equivalenti se e soltanto se

• H₀' = H₀A', H₀ = H₀B
• R_Σ = R_Σ' dove σ è l'adiacente della retta per B e A

DIM. per esercizio (pag 52 del Picci).

ESEMPIO 1:

Σ: sistema di vettori concorrenti nel punto P^* Σ'^* {P^*, B_t} dove R coincide di Σ Σ e Σ' sono equivalenti ^[relazione da perimetro, dir p^* asse retta

Operazione da permutare di passare da un sistema ad un equivalente: 1) Spostare di un vettore sulla linea retta di applicazione 2) In un sistema sostituire un certo numero di vettori concorrenti. L'^' un punto p'' e viceversa

ESEMPIO 2:

Σ: { (P₁, v₁), .... , (0, ....), n ... , }, n ...³ R = 0 Σ^* : { (P_A , v₁) e (P_... , v₁) } (copia) Se sistema della coppia richiesta e moltiplicato come quella di Σ

1. Se salvo due punti P_{r p} e un vettore v^-
2. Sistema Σ e Σ' sono equivalenti: la copia è un punto b e viceversa.

Un sistema risultante nullo si riduce al sistema piuttosto della coppia.

ESEMPIO 3:

Se Σ è un sistema generico qual è il sistema Σ'^* può sempre equivalente a Σ?

• Σ' : { (0, B) }, copia di momento H_S

Un sistema generico si può quindi ridurre a:

• Risultante applicato a un punto arbitrario O

Copia di momento H_C dove H_C = il momento di Σ rispetto a O

Calcolo dell'equazione dell'asse centrale

H₀ = H'₀ + R × (P - O)

H ∥ R'_(rei delle _{per muta}zione di asse intiminterine)

H_ℓ - H'ℓ = 0

R × (P - O) =

• ⎡ 0, -R₃, R₂ ⎤
• ⎢ 0 , 0 , R₃ ⎥
• ⎣ x₄ , x₂ , x₃ ⎦

x₂ = (\frac{H₀₁}{R₃} , - \frac{H'₀₁}{R₃})

x₄ = - \frac{H₀₂}{R₃} , - \frac{H'₀₂}{\ell}

M₀ = \sum ^m _i=1 (ρ_i · O) × v_i = \sum ^m _i=1

• x_i₁ e₁ + x_i₂ e₂ + x_i₃ e₃ ⋆ [(ρ_i e⋆) = (\sum ^m _i=1 ρ_i × x_i₁) (\sum ^m _j=1 ρ_j × x_j₂) (\sum ^m _j=1 ρ_j × x_j₃)

x₄ = - \frac{H₀₁}{\ell} , - \frac{H'₀₂}{R₃}

x₂ = \frac{1}{\ell} \sum ^m _i=1 ρ_i · x_i₁

∀ un quale sitema di R // e₃

per il sistema d'un scelto con R // x₃

Dato un sistema di vettori applicati paralleli di disca al centro

il punto di coodoinate

x_₁ = \frac{1}{\ell} \sum ^m _i=1 ρ_i · x_i₁ x_₂ = \frac{1}{\ell} \sum ^m _i=1 ρ_i · x_i₂ x_₃ = \frac{1}{\ell} \sum ^m _i=1 ρ_i · x_i₃

o equivalentemente in notazione vettoriale:

C - O = \frac{1}{\ell} \sum ^m _i=1 ρ_i (P· O)

dove v_i = ρ_i

Equazioni generali dei moti rigidi

x = x₀ + A * y

(x₄ = x₀₄ + y₄ A₁₁ + y₂ A₂₁ + y₃ A₃₁) (x₂ = x₀ + y₄ A₁₂ + y₂ A₂₂ + y₃ A₃₂) (x₃ = x₃ + y₄ A₁₃ + y₂ A₂₃ + y₃ A₃₃)

Problema

Quanti parametri sono necessari per identificare univocamente la posizione di un corpo rigido e rispetto a un osservatore {£ 1, £ 2, £ 3}? Equivamente, quante € ne cocheono per individere la posizione di una terna solodole a C eqvanto da {£ 1, £ 2, £ 3}?

Per individuare la forma suciclamente su C, unnovo dell'oiume O anziche de coseni di attori delle trasprimazioni (ca adotti), però e gregiado. Calativa man sono 4+3 anciche e coshli di ottori sono legato tra caio.

u_i = u_j+ + δ₅₃

δ₅₃ = U_i - u_s = [Fjx₄ Ajx_sz eq ] ( [ F²_k A_su_e k - F² ] | F³ - AJ₃ - O_J | ) [ i- i-J : 1 | 1: 4 | J: 2 | J monos coseni di vettorio descorno j- J : i:1 | i: 2 | J: 3 | vertificate e qequonsi . Peirtanto 1: J : 3 | i:1 | J: 3 | E rossibu Ones fisica tre coseni di vecton e ecsuime unimovermonto dei ze

Occrocono quindi, 6 parametri pcr individuvare la posizione. -3 coordinatif di O -3 coseni diretti degli { u_4, u_2, u₃ }

Proprietà Legge delle velocita in un corpo rigido

Se un corpo rigido le velocità dei pennti del corpo sono colollogate o indipendenti? Si a ( corron' rigido in movimento rispetto a un osservatore {J^{1 1, J2.}

Alcoc esiste un wn viq sectum con

tah che v₈(t) = V₀(t) + w(t) x [P(t)- Q (t) ] v P € c₀ £₀ w(t) e la velocianiangolare di €₀