Fisica Matematica

Appunti di matematica III

Introduzione

Alessio Russo russo.alessio890@gmail.com

A.A. 2012/2013 Ingegneria Informatica

Matematica III - Angelo Morro - Serie di Fourier - Risultati preliminari

• f funzione periodica di periodo T di variabile reale

  f(x+T)=f(x) ∀x∈R

  Suppongo f integrabile ⇒ ∫_x^x+Tf(y)dy non dipende da x: l'integrale è uguale comunque vada la x da cui si parte.

  ∫₀^Tf(y)dy = ∫_x^x+Tf(y)dy

  Possiamo dimostrarlo dicendo che la derivata rispetto a x è 0.

  d/dx ∫_x^x+Tf(y)dy - f(x+T) - f(x) = 0, perché f è periodica di periodo T.

  NB: Se ho discontinuità devo spezzare l'integrale in più integrali impropri.

Lemma di Riemann

• f ∈ C¹[a,b] a tratti (continua e derivabile a tratti in [a,b]) di variabile reale.

  ∫_a^bf(x)dx = ∑_i=0^m-1 ∫_xi^x_i+1f(x)dx

  Divido la f in m sottointervalli - [x_i, x_i+1], ove f è C¹ in questi sottointervalli.

  ⇒ lim ∫₀^bf(x)sin(λx)dx => λ∈R, ho ruolo della frequenza.

  ∫_m(x) integrabile perché funzione continua in R, ∫_[··] integrabili nei sottointervalli per la continuità.

Integrazione per parti

• ∫_xi^x_i+1 f(x) sin(x) dx = -f(x) cos(x)_xi^x_i+1 + ∫_xi^x_i+1 cos(x) f'(x) dx

  = 1/x [f(x_i) cos(x_i - x_i) = f(x_i+1) cos(x_i+1 - x_i+1)] + 1/x ∫_xi^x_i+1 f'(x) cos(x) dx

  NB: f(x_i) intendo limite sx per x_i; f(x_i+1) intendo limite dx per x_i+1 nel sottointervallo.

  Se l'integrale fa 0 anche il modulo dell'integrale fa 0:

  ∫_xi^x_i+1 f(x) sin(x) dx ∊ 1/x |f(x_i) + f(x_i+1)| + 1/x ∫_xi^x_i+1 |f'(x)| dx

  Ho fatto uso di alcune proprietà:

  • Disuguaglianza triangolare: |a + b| ≤ |a| + |b|
  • |cos[x - x']| ≤ 1
  • |ab| = |a| |b|
  • - ∫_c^e g(x) dx ≤ ∫_d^e g(x) dx

  Facendo tendere x → ∞ ottengo:

  lim_x→∞ ∫_xi^x_i+1 f(x) sin(x) dx ≤ 0 => = 0

  Per il modulo. Posso dimostrare la stessa cosa per il coseno.

  Allora: lim_x→∞ ∫_e^b f(x)/|cos(x)| dx = 0

  NB: se x_i, x_i+1 ∊ tutto R bisogna controllare che ∫_xi^x_i+1 |f'(x)| dx sia finito. Se tendesse a infinito potrebbe essere di ordine maggiore di x → ∞ e quello scritto non vale.

Notazione di Eulero

e^jx = cos(x) + j sin(x)

P₀ = 3/2 cos(mx) + Σ_m=1^M

Identità trigonometrica di Lagrange

• 1/2 + Σ_m=1^M cos(ma), λ∈R parametro.

  Σ_m=-m^M cos(ma) = 2Σ_m=-m^M sin(ma) = 0

  Pongo i^jα = Σ_m=-mΣ_m=-m faccio la differenza

  S_nm (1-w) =w ≠ 1→  ∑_m=-M^M w^m = w^-M   (1-w^2m+1) /(1-w^2m)   =   (u^m - u^-m-1) / (1-u^-1)   multiplo per   u_1/2 / w_1/2= w^-(m+1/2) / w_1/2 ( e^j(m±1/2)α - e^-j(m±1/2)α)   =   -2j sin((m±1/2)α) / e^jα/2 - e^-jα/2 = -2j sin((m±1/2)α) cosα/2)→ ½ + ∑_m=1^M cos(m×) = [L_m((m±1/2)α] / [2 sinα/2]   =:   (l_m(α))

  Si può ricavare ∫₀^π l_m(α)dα = π/2   anche per   -π, 0   perché il coseno è nullo (l'integrale) in questi estremi.

Condizione di Dini

f(x) soddisfa la condizione di Dini in x₀ ∀ ε > 0 &exists; δ∑_{x0 - δ}^{x₀ + δ} [f(x+y) - f(x)] / y dy < ε &rar;