Fisica III - la conservatività

La continuità e la I legge di Maxwell per i dielettrici

Si può scrivere ed isotropi tale equazione può anche essere espressa nella forma analoga:

r r ( ) ( )⎛ ⎞ρ r rr r r r∂ ∂ ∂divD D r⎜⎜ ⎟ r rr rr Φ Φ

Ne deriva che una possibile soluzione consiste= − + = − + = − = 0 d D d EdivrotH divX divX div X ⎟ ∫ µµ µ µ εµ εa (*) in quanto e . Si noti che la (*) è identica=⋅ = + = + =∂ ∂ ∂ H BB dl I I D E⎝ ⎠t t t con condt dtr Lr ∂D ε µealla IV legge di Maxwell in forma integrale nel vuoto tranne che per il fatto che alle costantinel porre: a (***) che viene detta densità di corrente di spostamento (mentre il suo flusso=X 0 0∂t ε µe . Ne deriva che il vuoto può essere considerato un particolare mezzovengono sostituiteSi ricava così la IV legge diattraverso qualunque superficie

Viene detto corrente di spostamento).r omogeneo ed isotropo.r r ∂DMaxwell nei materiali: a + . Si noti che, dal punto di vista matematico, si otterrebbe una=rot H J ∂cond tr venisse sommata una qualsiasi quantità vettoriale a divergenzasoluzione altrettanto corretta se ad Xnulla e, dunque, la (***) costituisce solo una delle possibili soluzioni del problema.67. Analogia leggi di Faraday e Maxwell 69. Equazioni di MaxwellLa legge di Faraday afferma che, se un circuito è immerso in La I legge di Maxwell nei materiali si ottiene generalizzando la legge di Gauss per il vuoto osservando( )r ρ presente in un dielettrico può essere vista come la somma di dueche la densità volumica di caricaun campo di induzione magnetica il cui flusso Φ B r rρ ρ ρ ρconcatenato con il circuito stesso è variabile nel tempo, allora (si trattatermini, una densità di carica libera più una di carica di polarizzazione: = + = −

$\nabla$ ⋅ Pl P ldata da:in esso si genera una forza elettromotrice indotta di un puro artifizio matematico in quanto, nella realtà, non c’è alcun modo di distinguere la caricaf i()r una superficieimmagazzinata in un dielettrico in carica libera e carica di polarizzazione). Dettarr Φ Sd B∫a (*), dove è la linea che costituisce il= ⋅ − rrLf E dl ∫ ∫ ρchiusa e il volume da essa racchiusa, si deriva: a , avendo definito⋅ = =i V D dS Q dvdt l lLcircuito. La legge di Ampère Maxwell nei materiali omogenei ed isotropi afferma invece che la S Vr r r r( )r ε ε χa , chiamato vettore spostamento elettrico. La II equazione di Maxwell, detta= + = +D E P Eattraverso qualunque linea chiusa è proporzionale alla corrente generalizzatacircuitazione di L 0B o r sono chiuse (non esiste, cioè, illegge della calamita spezzata, esprime il fatto che le linee del campoconcatenata con la linea. Tale

corrente è la somma della corrente di conduzione e di un termine, detto Brr monopolo magnetico) e pertanto il flusso di attraverso qualunque superficie chiusa è nullo:corrente di spostamento , che è pari alla variazione del flusso di : SBI DS ( ) ()r r ( ) rr r⎛ ⎞rr Φ Φ( ) ∫d Ed D n . La III terza legge di Maxwell si ricava applicando la legge di Faraday-NeumannΦ = · =∫ ⎜ ⎟μ μ μ μ εμ 0a . Nel caso in cui la corrente di conduzione è· = + = + = + B B d SIB d l I I I⎜ ⎟ Scon S con⎝ ⎠ dtdt SL ()r la lineaad un circuito in quiete di forma arbitraria immerso in un campo magnetico varabile. Dettar Lr Φd E∫ εμ (**) che è spesso detta leggenulla, l’equazione precedente assume la forma: · =B dl è una qualunque superficie che abbia come contorno, si ricava:che costituisce il circuito ed S Ldt rL r rr ∂Bdell’induzione di Maxwell.

È evidente la simmetria fra le equazioni (*) e (**): la prima esprime che un ∫ ∫a , la quale esprime che un campo di induzione magnetica variabile nel tempo genera⋅ = − ⋅E dl dS∂tcampo di induzione magnetica variabile nel tempo genera un campo elettrico e, analogamente, la L Sun campo elettrico. Analogamente la IV legge di Maxwell nei materiali afferma che un camposeconda afferma che un campo elettrico variabile dà origine ad un campo di induzione magnetica. Il rr r ⎛ ⎞rr r ∂segno ‘–’ nella legge di Faraday sottolinea che i campi indotti e hanno versi opposti se generati rDE B ∫ ∫ ⎜ ⎟elettrico variabile dà origine ad un campo magnetico: a .⋅ = + ⋅H dl J da⎜ ⎟in condizioni per il resto identiche. Un’altra differenza consiste nel fatto che, al contrario di ciò che ∂con⎝ ⎠tr L Aaccade per il campo elettrico, il lavoro eseguito da è sempre nullo perché

La forza agente su ₇₀. Equazioni di Maxwell in forma locale attraverso un campo magnetico è sempre ortogonale a equalsiasi particella in moto con velocità La I legge di Maxwell nei materiali si ottiene generalizzando la legge di Gauss per il vuoto osservando che lav vr . ρdensità volumica di carica presente in un dielettrico può essere vista come la somma di due termini, unaB r r68. Correnti di spostamento e generalizzate ρ ρ ρ ρ= + = − ∇ ⋅ (si tratta di un puro artifiziodensità di carica libera più una di carica di polarizzazione: Pl P lLa legge di Ampère Maxwell nei materiali si basa sull'osservazione matematico in quanto, nella realtà, non c'è alcun modo di distinguere la carica immagazzinata in un dielettricor rrsecondo cui la forma locale della legge di Ampère per : (*)= in carica libera e carica di polarizzazione). Detta una superficie chiusa e il volume da

essa racchiusa, sirotH JH S Vcond r r r r r r( )vale solo nel caso stazionario perché viola la proprietà valida per ogni ρ ε ε χ∇ ⋅ = = + = +deriva: a avendo definito a , chiamato vettore spostamento elettrico. La IID D E P Er rr rr 0l ocampo vettoriale secondo cui . Tale considerazione= ∇ ⋅ ∇ × = 0 equazione di Maxwell si deduce, applicando il teorema della divergenza, dalla proprietà del campodivrotA AA ( ) rr r rcondusse Maxwell a correggere la suddetta legge che, per materiali ∫ ∫Φ = ⋅ = =magnetostatico di avere flusso nullo attraverso qualsiasi superficie chiusa . Per0S: B B dS divBdvomogenei ed isotropi, può essere espressa in forma integrale come segue: S V( ) r rr rr ( )r Φ r ∇ ⋅ =l’arbitrarietà di e si ha: a che si esprime dicendo che è solenoidale ed implica la proprietà delle0S Vd D B B∫ μ μ . Quest’equazione

mostra che il termine⋅ = + ΦB dl I d D dt linee di forza del campo magnetico di essere chiuse e, quindi, il fatto che non esiste il monopolo magnetico.con dtL La III equazione di Maxwell si deriva, applicando il teorema di Stokes, dalla legge integrale di Faradaydeve avere le dimensioni di una corrente. Anche non è coinvolto alcun moto secondo cui la forza elettromotrice indotta su un circuito immerso in un campo magnetico è pari allae,di cariche, tale termine viene denominato corrente di spostamento ()r rr rr r Φ r∂d Bsommato alla corrente di conduzione nei casi non stazionari dà luogo a quella che viene detta corrente ∫ ∫ B= ⋅ = ⋅ = − = ∫variazione di del campo magnetico stesso: (in cui è la linea che⋅ Lf E d l rot E d S d S( )r r i ∂dt t⎛ ⎞rΦ ∂ r L Sd D D S∫ ⎜ ⎟generalizzata: a . Si consideri, ad esempio, una corrente che= + = + = + ⋅ II I I I J d a costituisce il circuitoed una qualunque superficie che abbia come contorno). Data l'arbitrarietà di ed_S^L_SL∂con S con con^∂_r^dt_tA^r∂_r^B= −si ottiene: a la quale afferma che un campo magnetico variabile è sorgente di un campo elettrico.carica un condensatore. modifica il campo elettrico fra le armature ed alla variazione di è associata rot EI E∂_tuna corrente fittizia (perché non dà luogo a movimento di cariche fra la armature del condensatore) rIS La IV legge di Maxwell nei materiali afferma che il rotore di è pari ad una quantità a divergenza nulla,Hche può essere pensata come una semplice continuazione della corrente reale che supera la sua detta densità di corrente totale generalizzata, che si ottiene sommando alla densità di corrente di conduzioner rinterruzione tra un piano e l'altro. r_r∂ ∂D D=il termine che viene detta densità di corrente di spostamento. In