Fisica III - la conservatività

1. Rotore del campo elettrostatico 3. Conservatività in forma locale

r Dalla conservatività del campo elettrico discendono le relazioni che legano le componenti del campo

Poiché il campo elettrostatico è conservativo, esso sarà caratterizzato dall’avere circuitazione nulla

E 0 ∂ ∂ ∂

r

r V V V Derivando opportunamente ognuna delle

stesso al potenziale: = − = − = −

∫ ; ; .

⋅ = E E E

0

E d

l

su qualunque linea chiusa appartenente al dominio di definizione del campo stesso: . Se ∂ ∂ ∂

x y z

0 x y z ∂

∂

L ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E E

E

E V V V V

precedenti relazioni si ricava: = − = − = − = −

sussistono le ipotesi del teorema di Stokes (il campo vettoriale in questione deve avere componenti y y

(

1

) ; ( 2

) ; (

3

) ; ( 4 ) ;

x

x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

y x y z x z x y x z y z

continue insieme alla sue derivate parziali prime su tutti i punti di e di allora si può affermare, per

L S) ∂

∂ ∂

∂

r E

E V

V Ma, per il teorema di Schwartz, le derivate seconde miste sono

= −

= −

il teorema suddetto, che la circuitazione di lungo una linea chiusa (che è nulla per la ( 6

) .

(

5

) ; z

z

L

E 0 ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂

r y z y

x z x

conservatività del campo) è pari al flusso del rotore di attraverso la superficie racchiusa da

S L:

E ∂

∂ E

0 E

r r

r r indipendenti dall’ordine di derivazione e, dunque, si ha: (1) e (3) a (2) e (5)

⇒ ⇒

= y ;

x

∫ ∫

⋅ = ⋅ = 0 ∂

∂

E d

l rot

E d

S . Poiché questa relazione vale per ciascuna linea chiusa e per ciascuna y x

L

0 0 ∂

∂ ∂ ∂

E

L S E E E

r r r a ; (4) e (6) a . Queste tre relazioni implicano che il rotore del campo

⇒

= =

y

x z z

= ∇ × = 0

superficie che abbia tale linea come contorno, deve essere nullo l’integrando: a . ∂ ∂ ∂ ∂

rot

E E

S z x z y

0 0

r ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

∂ ∂

∂ ∂

r

Tale uguaglianza esprime la conservatività del campo in forma locale e si enuncia dicendo che il ∆ E E

E E

E E

E ˆ

ˆ ˆ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

= − + − + − =

y

y . All’inverso, la

elettrostatico è nullo, infatti: 0

0 x

x z

z

rot E i j k

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

campo elettrostatico è irrotazionale. ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y z x x y

z

r

− Identità vettoriale non implica necessariamente che il campo elettrostatico sia conservativo ma ciò

relazione = 0

rot E

La proprietà precedente può essere anche ricavata osservando che, dalla conservatività del campo avviene certamente se il dominio di definizione del campo stesso risulta essere semplicemente

elettrostatico, segue l’esistenza della funzione potenziale tale che e, dunque:

= −

∇ connesso. Quest’ultima proprietà significa che due punti qualsiasi del campo devono essere

V E V

0 0 0

r r r r r congiungibili con una linea continua tutta appartenente al camp stesso e che qualunque linea chiusa

= ∇ × = − ∇ × ∇ = − = 0 , perché il rotore del gradiente di qualsiasi funzione

rot E E V rot grad

V

0 0 0 0 appartenente al campo può essere fatta convergere ad un punto qualsiasi continuando ad appartenere al

scalare della posizione che ammetta derivate parziali continue fino al secondo ordine è nullo. Per campo stesso.

dimostrare questo basta osservare che: 4. Energia del campo elettrostatico

Ci proponiamo di ricavare l’energia elettrostatica in termini di campo elettrostatico. Consideriamo a tal fine l’energia di

ˆ

ˆ ˆ 1

i j k ( )

∫ ρ

ρ τ

=

una distribuzione continua di carica: dove , , rappresenta la densità di carica, il potenziale in

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x y z V

U Vd

2 2 2 2 2 2

V V V V V V

ˆ

ˆ ˆ .

⎜⎜ ⎟⎟

⎜⎜ ⎟⎟

⎜⎜ ⎟⎟ 2

−

+

+ −

= = −

rot grad

V i j k τ

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ( ) ( )

x y z y z z y z x x z x y y x τ

e l’elemento di volume intorno al punto . Tenuto conto della prima equazione di Maxwell, secondo

, , , ,

d

x y z x y z

∂ ∂ ∂

V V V ( )

ε

ρ 1

∂ ∂ ∂ ∫ ∫

ρ τ τ

= = ∇ ⋅

∇ ⋅ = 0

, la precedente espressione può essere così trasformata: . Ricorrendo

cui

x y z U Vd E Vd

E ε 0

0 2 2

Ma, per il teorema di Schwartz, le derivate seconde miste sono indipendenti dall’ordine di derivazione τ τ

0

alla definizione dell’operatore nabla, si dimostra facilmente la seguente proprietà generale

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

siano nulle.

il che comporta che le tre componenti di rot grad

V ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅ ⇒ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ = −

2 2 avendo ricordato che .

V E V E V E E V E E V V E E V E

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2. Campo dal potenziale Tenendo conto di ciò, l’espressione dell’energia può essere ulteriormente trasformata:

La definizione di potenziale elettrico comporta che esso sia legato al campo elettrico dalla seguente ( ) ( )

ε ε ε

r

r ∫ ∫ ∫

τ τ τ

= ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + 2

0 0 0 . D’altra parte, per il teorema della divergenza, si ha:

U E Vd V E d E d

⋅ = − 0 0 0

2 2 2

E d

l dV

relazione differenziale: (*). Ciò implica che il campo elettrico può essere ricavato a τ τ τ

0 0 ( ) ( ) ε

ε ε ε

partire dal potenziale applicando un opportuno operatore differenziale. Per mostrare ciò basta ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

τ

V τ

τ τ τ

∇ ⋅ = ⋅ = ∇ ⋅ + = ⋅ + 2

2 0

0 0 0 dove

, da cui: è un

V E d V E d S U V E d E d V E d S E d

0 0 0 0

0 0 0

2 2 2 2

osservare che, se siamo in coordinate cartesiane, allora si avrà: τ τ τ τ

S S τ

qualunque volume che comprende tutta la distribuzione di carica al suo interno ed è la superficie che racchiude . Il

∂ ∂ ∂ ⎫ S

V V V r

= + + ⎪

0 0 0 τ

secondo termine della somma, che è l’integrale di volume di una quantità definita positiva, all’aumentare del volume

dV dx dy dz ⇒ = ⋅

0 ∂ ∂ ∂ ⎬ (**). Uguagliando la (*) con la (**) si ottiene:

dV grad

V d

l

x y z τ

r non diviene così grande da contenere tutto lo spazio in cui il campo elettrostatico

va aumentando, almeno fino a che

0 0

( ) ⎪

= , , ⎭

d

l dx dy dz prodotto dalla distribuzione di carica sia apprezzabilmente diverso da zero. Di pari passo, va diminuendo il valore del

r 1 1

= − ad , per che diverge, l’integrando va a zero

ed

è proporzionale ad

primo termine della somma (siccome

a . Inoltre, dalla relazione:

E grad

V V r

E 0

0 0 2

r r

∂ ∂ ∂ 1

V V V ( ) ( ) ( )

= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ) e, se il volume di integrazione diviene così grande da contenere tutto lo spazio in cui il campo è

come

0 0 0

dV dx dy dz gradV dx gradV dy gradV dz che deve 3

0 0 0 0

∂ ∂ ∂ r

x y z

x y z apprezzabilmente non nullo, allora si annulla il contributo dell’integrale di superficie e si può scrivere:

r ( )

= , , ε ε 2

valere per qualunque valore di , si ricavano, per confronto fra secondo e terzo

d

l dx dy dz E

∫ τ

= =

2

0 0 0

. Può essere, dunque, introdotta la quantità: a

a (*) che viene denominata densità di energia

U E d u

0

2 2

membro, le espressioni delle componenti cartesiane del campo elettrico in funzione del potenziale: TUTTO

∂

∂ LO

∂ V

V ( )

( ) V

( ) SPAZIO

= − = −

= − = − = − = − 0

0 0 .

; ; E gradV

E gradV E gradV elettrostatica e rappresenta l’energia di un sistema di cariche per unità di volume. Per ottenere l’energia di una

a 0 0 0 0

0 0 ∂

∂

∂ y z

x y z

x y z

x distribuzione di carica la (*) deve essere integrata su tutto lo spazio (dunque, tale definizione non dà un’idea della

localizzazione dell’energia).

5. Densità d’energia elettrostatica 7. Interno dei conduttori

( ) Un conduttore è un oggetto (molto spesso metallico) nel quale vi sono elettroni liberi di muoversi sotto

di un sistema di cariche può essere calcolata in

L’energia elettrostatica in un punto dello spazio , ,

x y z quando la sua

l’azione di un campo elettrico. Si dice che un corpo siffatto è in equilibrio elettrostatico

ε

ε ∫ ∫ τ

termini del campo elettrico e del potenziale come segue: dove

= ⋅ + 2

0 0 V

U V E d S E d distribuzione di carica è costante nel tempo cioè quando le cariche in esso immagazzinate sono ferme.

0 0

2 2 τ

S Poiché le cariche interne ad un conduttore si muovono se sottoposte ad un campo elettrico, in

τ è un qualunque volume che comprende tutta la

rappresenta il potenziale nel punto considerato, elettrostatica il campo elettrico internamente ai conduttori è nullo. Ciò implica che, in condizioni

τ

distribuzione di carica al suo interno ed è la superficie che racchiude . Fissata la distribuzione di

S stazionarie, il lavoro necessario per spostare una carica da un punto all’altro dell’interno di un

carica, il secondo termine della somma, che è l’integrale di volume di una quantità definita positiva, r = − =

τ τ 0

all’aumentare del volume va aumentando, almeno fino a che non diviene così grande da contenere conduttore è quasi nullo. Inoltre, siccome internamente al conduttore: si ha che il

E grad

V

0 0

r

tutto lo spazio in cui il campo elettrostatico prodotto dalla distribuzione di carica sia apprezzabilmente = 0 in tutti i punti interni al

volume interno del conduttore stesso è equipotenziale. Infine, essendo E

diverso da zero. Di pari passo, va diminuendo il valore del primo termine della somma (siccome è

V ( ) r

r r

∆

1 1 1 ∫

Φ = ⋅ =

ed ad , per che diverge, l’integrando va a zero come ) e, se il volume di

proporzionale ad 0

r E E d

S

E per qualsiasi superficie interna al conduttore o,

conduttore, si avrà che

0 2 3 0 0 S

S

r r r

integrazione diviene così grande da contenere tutto lo spazio in cui il campo è apprezzabilmente non S r

r 1

ε ( )

ρ

=

∫ , ,

=

τ

nullo, allora si annulla il contributo dell’integrale di superficie e si può scrivere: . Può

= 0

2

0 div

E x y z

equivalentemente, che . Dunque, essendo per il teorema di Gauss , si

div E

U E d ε

0

0 0

2 0

TUTTO

LO ottiene che la densità di carica è nulla in tutti i punti interni al conduttore e, cioè, che la carica

SPAZIO

ε 2 immagazzinata in un conduttore in equilibrio elettrostatico si dispone lungo sua la superficie.

E

essere, dunque, introdotta la quantità: a (*) che viene denominata densità di energia

= 0 0

u 2 8. Condensatore sferico mediante Laplace

elettrostatica e rappresenta l’energia di un sistema di cariche per unità di volume. Si può così Per calcolare la capacità di un condensatore sferico utilizziamo l’equazione di Laplace e, in

interpretare l’energia elettrostatica di un sistema di cariche come una quantità dislocata nello spazio particolare, data la specifica simmetria del problema, la sua forma in coordinate sferiche:

ovunque il campo elettrico risulti diverso da zero e caratterizzata da una densità di energia data dalla ∂ ∂ ∂ ∂ 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 1

V V V

θ

∇ = + + =

2 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

sin 0

(*). Integrando la densità di energia su tutto lo spazio si può ricavare, quindi, l’energia elettrostatica V r θ

θ θ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sin sin

r r

r r r

∫ τ

del sistema di cariche in esame: . Qualora l’integrale della densità di energia venga, però,

=

U ud ⎞

⎛

1 dV

d =

2 ⎟

⎜ 0

TUTTO ϕ

θ e ). Affinché

(essendo indipendente da

che per nel caso in esame si riduce a: r V

LO 2 ⎠

⎝ dr

dr

r

SPAZIO

τ più piccolo di quello contenente interamente il campo elettrostatico, per

eseguito su un volume dV =

2

tale equazione sia soddisfatta si deve necessariamente avere che: da cui si ricava

ottenere l’energia elettrostatica del sistema si deve tener conto di un termine aggiuntivo esprimibile k

r dr

ε ∫ ∫ e, da quest’ultima, l’espressione del potenziale

l’espressione del campo elettrico in funzione di

τ

come integrale di superficie, quindi: . Ne deriva che una tale definizione di

= ⋅ +

0 k

U V E d S ud

0

2 elettrostatico:

τ

S

densità di energia non dà un’idea della localizzazione dell’energia stessa. k k

dV k k ⇒ ∆ = − = −

= − = − ⇒ = − + (*)

V V V

A

E V 1 2

2 R R

dr r

r 2 1

6. Poisson e Laplace una qualunque costante di integrazione). Per ricavare basta osservare che la carica sulla

(essendo A k

Consideriamo una certa distribuzione di carica fissa nello spazio vuoto descritta dalla funzione densità σ π π

σ

prima armatura di raggio risulta: in cui è la densità superficiale di carica e l’area

= 2 2

( ) 4 4

R Q R R

ρ

di carica . Il campo elettrostatico generato dal sistema di cariche soddisferà le equazioni:

, , 1 1

1

x y z σ π ε π

= =

2 2

4 4

dell’armatura. D’altra parte, per il teorema di Coulomb, si ha: e, sostituendo

r r r

r r r Q R E R

1 ( ) 1 0 1

ρ = ∇ × =

= ∇ ⋅ = 0

, , (*); . La seconda relazione esprime in forma locale la

rot E E

div E E x y z :

l’espressione trovata per il campo elettrico, si può, infine, ricavare

ε

0 0 0 0 k

0 r k Q

conservatività del campo elettrostatico ed implica l’esistenza della funzione potenziale legata ad ε π ε π

= = − ⇒ = −

2 2

4 4

E

V .

Q E R R k

0

0 πε

0 1 0 1

r r

r r 2 4

R

− = − ∇ = = ∇ ⋅ ∇ = 0

1

(**). Dalla (*) e dalla (**) si ricava che:

dalla relazione: grad

V V E div grad

V V

0 0 0 e, da questa, la capacità cercata:

Sostituendo questa espressione nella (*) si ottiene la tensione ∆ V

∂ ∂ ∂

2 2 2

ρ −

∇ = + +

2 R R

R R Q

Q Q

∇ = −

2 (***). L’operatore nabla quadro è detto laplaciano e la relazione πε

∆ = − + = ⇒ = =

V 2 1 1 2

4

C

V Q

∂ ∂ ∂

2 2 2

ε

0 x y z πε πε πε 0

∆ −

4 4 4 V R R

R R R R

0 0 2 0 1 0 1 2 2 1

(***) prende il nome di equazione di Poisson. Il teorema di unicità della soluzione dell’equazione di

( )

ρ localizzata in una porzione finita di spazio, la (***)

Poisson afferma che, fissata la funzione , ,

x y z

ammette una sola soluzione che soddisfi specificate condizioni al contorno del dominio di definizione.

L’equazione di Poisson può essere semplificata nel caso non siano presenti cariche localizzate ed il

( )

= 1

,..., aventi geometria e potenziali

campo elettrico sia generato da un sistema di conduttori i N

S i

noti (problema di Dirichlet). In tal caso la (***) si riduce alla relazione: a detta equazione di

∇ =

2 0

V 0 ( )

, , in

Laplace che può essere univocamente risolta per determinare il valore del potenziale V x y z

0

tutto lo spazio circostante i conduttori.

9. Equazioni di continuità 11. Potenziale elettrostatico

r

Consideriamo una superficie chiusa che, all’istante racchiuda la carica totale:

Σ Ogni campo vettoriale avente componenti continue insieme alle loro derivate parziali prime può

t A

ρ

∂ essere espresso tramite la combinazione del gradiente di un campo scalare e del rotore di un campo

( ) ( ) dQ

∫ ∫

ρ τ τ