Fisica II - elementi di fisica - l'elettromagnetismo

Carica e scarica di un condensatore attraverso un resistore

Esempio 6.11

Si riconsideri il sistema di due condensatori degli esempi 4.11 e 4.14 e si immagini che al tempo t = 0, quando la d.d.p. ai capi del condensatore C₁ è V₁ e ai capi di C₂ è V₂, venga effettuata la connessione tra i due condensatori con un resistore R. Calcolare la corrente nel circuito e l’energia dissipata su R.

Soluzione

Supponiamo V₁ > V₂: dopo la connessione C₁ si scarica e C₂ si carica, per cui i = – dq₁ / dt = dq₂ / dt. In un istante generico:

V₁ – V₂ = Ri + – q₁/C₁ + q₂/C₂.

Deriviamo rispetto al tempo e poniamo 1/C = 1/C₁ + 1/C₂:

i di t ⇒ 1/R_C = – R_C di i – i di i dt = – i dt / C.

Figura 6.42: i = i₀e^–t/RC dove i₀ è la corrente nell’istante iniziale, pari a (V₁ – V₂) / R. Integrando, i = i₀ e^{–t / RC}.

La soluzione è quindi:

i(t) = (V₁ – V₂) / R e^{–t / RC}.

La corrente decresce esponenzialmente e si annulla quando, a seguito dello spostamento di carica, le d.d.p. ai capi dei due condensatori sono eguali. L’energia dissipata su R è:

W_R = ∫₀^∞ R i² dt = ∫₀^∞ (V₁ – V₂)² / R e^{–2t / RC} dt = 1/2 C (V₁ – V₂)²

e constatiamo che è eguale alla diminuzione dell’energia elettrostatica dei condensatori, calcolata nell’esempio 4.14.

L’introduzione di circuiti con corrente variabile nel tempo richiede un richiamo alla condizione di stazionarietà enunciata nel paragrafo 6.3. Noi abbiamo implicitamente ammesso che la corrente i(t) sia la stessa in ogni sezione del circuito e quindi soddisfi alla condizione di stazionarietà o, come si dice meglio in questo caso, di quasi stazionarietà. Ciò vuol dire che riteniamo il fenomeno di variabilità abbastanza lento per cui il tempo che impiegherebbe la luce ad attraversare il circuito è molto minore di , tempo caratteristico del circuito RC. Se una dimensione tipica del circuito è dell’ordine di s = 10 cm, il tempo di cui parliamo è = s/c = 3.3 · 10^–9 s; fino a valori di dell’ordine di 10^–10 s l’ipotesi di stazionarietà è valida.