Fisica II - appunti del corso - capitolo 3

Flusso elementare

Siano dati un campo vettoriale A(x, y, z) e, immersa nel campo, una superficie S cui si assegna convenzionalmente un verso positivo: se la superficie è chiusa, il verso positivo è sempre quello verso l’esterno.

Sia una porzione elementare della superficie; è definito come \( \vec{dS} \), con verso normale all’elemento di superficie avente verso coincidente con quello assegnato alla superficie e area dell’elemento di superficie dS. Si definisce flusso elementare del vettore A attraverso l’elemento di superficie la quantità:

\(\Phi = \vec{A} \cdot \vec{dS} = A \cdot n \cdot dS = A \cdot dS \cdot \cos(\theta)\)

Il flusso del vettore A attraverso l’intera superficie S è definito come l’integrale dei flussi elementari:

\(\int_S \Phi \equiv \int_S \vec{A} \cdot \vec{dS}\)

Il termine “flusso” deriva dall’idraulica, dove il flusso del campo vettoriale delle velocità di un fluido attraverso una superficie S rappresenta il volume di fluido che attraversa S nell’unità di tempo.

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Legge di Gauss

Siano dati un campo vettoriale A(x, y, z) e, immersa nel campo, una superficie S cui si assegna convenzionalmente un verso positivo: se la superficie è chiusa, il verso positivo è sempre quello verso l’esterno.

Sia una porzione elementare della superficie; è definito come \( \vec{dS} \), con verso normale all’elemento di superficie avente verso coincidente con quello assegnato alla superficie e area dell’elemento di superficie dS. Si definisce flusso elementare del vettore A attraverso l’elemento di superficie la quantità:

\(\Phi = \vec{A} \cdot \vec{dS} = A \cdot n \cdot dS = A \cdot dS \cdot \cos(\theta)\)

Il flusso del vettore A attraverso l’intera superficie S è definito come l’integrale dei flussi elementari:

\(\int_S \Phi \equiv \int_S \vec{A} \cdot \vec{dS}\)

Il termine “flusso” deriva dall’idraulica, dove il flusso del campo vettoriale delle velocità di un fluido attraverso una superficie S rappresenta il volume di fluido che attraversa S nell’unità di tempo.

L’enunciato del teorema di Gauss è il seguente:

Il flusso del campo elettrostatico nel vuoto \(\vec{E}_0\) attraverso una superficie chiusa qualunque S è pari alla somma algebrica delle cariche contenute all’interno di S, diviso la costante dielettrica del vuoto \(\epsilon_0\).

\(\int_S \Phi \equiv \int_S \vec{E}_0 \cdot \vec{dS} = \frac{Q_{\text{tot}}}{\epsilon_0}\)

Eventuali cariche disposte esternamente alla superficie chiusa non portano alcun contributo al flusso di \(\vec{E}_0\). È da notare che nel caso di distribuzione continua di cariche, invece della somma algebrica delle cariche contenute all’interno di S, si ha un integrale.

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Carica interna

Consideriamo una superficie S all’interno della quale si trovi una sola carica puntiforme Q; il flusso elementare attraverso l’elemento di superficie è:

\(\Phi = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \vec{n} \cdot \vec{dS} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \cos(\theta) \cdot dS\)

dove \(dS \cdot \cos(\theta)\) è la proiezione dell’elemento di superficie sulla sfera di raggio r e centro Q. Poiché \( \Omega \) rappresenta l’angolo solido del cono delimitato dall’elemento di superficie avente vertice in Q, si ha:

\(\Phi = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \Omega\)

Integrando sulla superficie chiusa S, si ha:

\(\int_S \Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}\)

Quindi il flusso di \(\vec{E}_0\) uscente dalla superficie S non dipende dalla forma della superficie e non dipende nemmeno dalla posizione che Q occupa all’interno della porzione di spazio racchiusa da S. Se all’interno della superficie ci sono più cariche \(Q_i\), estendendo il risultato ottenuto, si ha:

\(\sum \Phi_i = \frac{\sum Q_i}{\epsilon_0}\)

avendo utilizzato il principio di sovrapposizione: in ogni posizione il campo \(\vec{E}_0\) totale è dato dalla somma dei campi \(\vec{E}_{0,i}\) generati dalle singole cariche.

Integrando su tutta la superficie:

\(\int_S \Phi = \frac{Q_{\text{tot}}}{\epsilon_0}\)

Quando si ha una distribuzione continua di carica si ha:

\(\int_S \Phi = \frac{1}{\epsilon_0} \int_S \rho(x, y, z) d\tau\)

dove \(\tau\) è il volume racchiuso dalla superficie S.

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Carica esterna

Consideriamo una carica Q puntiforme esterna ad una superficie S; ogni cono di angolo solido \(\Omega\) con vertice in Q, o non intercetta la superficie S e quindi non dà contributo al flusso o la intercetta in due elementi di superficie \(dS\).