Fisica II - appunti del corso - capitolo 3

Il termine "flusso" e la legge di Gauss

Il termine "flusso" deriva dall'idraulica, dove il flusso del campo vettoriale delle velocità di un fluido attraverso una superficie S rappresenta il volume di fluido che attraversa S nell'unità di tempo. Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 1 di 1528. Legge di Gauss. Siano dati un campo vettoriale A( x , y , z ) e, immersa nel campo, una superficie S cui si assegna convenzionalmente un verso positivo: se la superficie è chiusa, il verso positivo è sempre quello verso l'esterno. Sia una porzione elementare della superficie; è definito come , con versore n̂ normale all'elemento di superficie avente verso coincidente con quello assegnato alla superficie e dS area dell'elemento di superficie. Si definisce flusso elementare del vettore A attraverso dS l'elemento di superficie la quantità Φ = A · dS = A · n̂ · dS.AdS cosrIl flusso del vettore A attraverso l'intera superficie S è definito come l'integrale dei flussielementari: $\int \; \Phi \; \equiv \; \Phi \; =\; \cdot (\; A)\; d\; (\; A)\; A\; d\; S$ Il termine "flusso" deriva dall'idraulica, dove il flusso del campo vettoriale delle velocità di unfluido attraverso una superficie S rappresenta il volume di fluido che attraversa S nell'unità di tempo. L'enunciato del teorema di Gauss è il seguente:r attraverso una superficie chiusa qualunque S è pariIl flusso del campo elettrostatico nel vuoto E 0alla somma algebrica delle cariche contenute all'interno di S, diviso la costante dielettrica del vuotoε .0 rr r tot1 Q∑∫Φ ≡ ⋅ = = int( E ) E d S Qε εS 0 0 intS 0 0Eventuali cariche disposte esternamente alla superficie chiusa non portano alcun contributo al flussordi E .0È da notare che nel caso di distribuzione continua di cariche.invece della somma algebrica delle cariche contenute all'interno di S, si ha un integrale. Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 2 di 1529.

Carica interna.

Consideriamo una superficie S all'interno della quale si trovi una sola carica puntiforme Q; il flusso elementare attraverso l'elemento di superficie è:

Φ = ∫ (E ⋅ dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (E ⋅ n dS) = ∫ (dalla superficie S non dipende dalla forma della superficie e non dipende nemmeno dalla posizione che Q occupa all'interno della porzione di spazio racchiusa da S. Se all'interno della superficie ci sono più cariche Q, estendendo il risultato ottenuto, si ha: ∑Φ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = Φd ( E ) E d S ( E ) d S ( E d S ) d0 0 0 i 0 i i ravendo utilizzato il principio di sovrapposizione: in ogni posizione il campo E totale è dato dalla somma dei campi E generati dalle singole cariche. Integrando su tutta la superficie: ∑Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = =i intd d d ε εi i i 0 0ρ, Quando si ha una distribuzione continua di carica si ha: ∫Φ = ⋅ = ρ τ( )E E d S ( x, y , z ) dε0 0S τS 0τ dove è il volume racchiuso dalla superficie S. Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 3

di 1530.Carica esterna.Consideriamo una carica Q puntiforme esterna ad una superficie S; ogni cono di angolo solido Ω con vertice in Q , o non intercetta la superficie S e quindi non dà contributo al flusso o la intercetta in due elementi di superficie dS e dS . I flussi elementari d e d attraverso questi due elementi di superficie hanno lo stesso valore assoluto perché d(E)dS = d(E)dS = Ω θ < π ΦΦ1 n 2 n d 2 , mentre d è negativo perché inoltre d è positivo perché 2 122 2rr1 2θ > π 2 . Dunque risulta:1 Q dS Q dSΦ = = - = - Φ1 n 2 nd dπε πε1 22 24 r 4 r0 1 0 2Φ ΦLa somma di d e d è nulla e quindi in ogni caso dalla carica Q non deriva alcun contributo al flusso.Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 4 di 1531.Coulomb da Gauss.La figura mostra una carica

puntiforme positiva q posta al centro di una superficie gaussianasferica di raggio r. Immaginando di dividere la superficie in aree differenziali dA, il vettore dell'areadA è perpendicolare in ogni punto alla superficie ed è orientato dall'interno verso l'esterno; perrragioni di simmetria, anche il campo elettrico E è in ogni punto perpendicolare alla superficie ed èrorientato dall'interno verso l'esterno. Quindi l'angolo compreso tra E e dA è nullo e si ha:

r r r Q∫ ∫Φ = ⋅ = =( ) (1)E E d A EdA ε0 S S 0E varia radialmente con la distanza da q, ma ha lo stesso valore su tutta la superficie sferica,∫ ∫quindi può essere portato fuori dall'integrale EdA ; inoltre dA è la somma di tutte le areeS S π 2differenziali dA della sfera, quindi altro non è che l'area della superficie, cioè 4 r . Allora da (1) siottiene: Qπ =2E 4 r ε 0da cui

ancora: 1 q=E πε 24 r0 Questa è proprio l'espressione che si ricava, utilizzando la legge di Coulomb, nel caso del campo elettrico generato da una sola carica puntiforme fissa nello spazio, considerando la carica posta nell'origine del sistema di riferimento. È da notare che il ragionamento fatto si basa su considerazioni di simmetria con la sfera ferma; tale ragionamento viene a cadere se la sfera si muove. Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 5 di 1532. Interno di un conduttore. La figura mostra (in sezione) un pezzo di rame isolato appeso a un filo isolante, avente una carica in eccesso q. Una superficie gaussiana si trova all'interno vicino alla superficie del conduttore ricalcandone la forma. Il campo elettrico all'interno del conduttore deve essere nullo; se così non fosse, il campo eserciterebbe una forza sugli elettroni liberi di conduzione che sono presenti in ogni conduttore e si produrrebbero correnti.

All'interno del conduttore, ma non ci sono correnti perpetue all'interno di un conduttore isolato. Un campo elettrico interno appare solo nel momento in cui il conduttore viene caricato. Tuttavia la carica in eccesso si distribuisce velocemente in modo che il campo elettrico interno, cioè il vettore somma dei campi elettrici dovuti a tutte le cariche interne ed esterne, diventi nullo. Il movimento della carica a questo punto cessa perché la forza netta su ogni carica è nulla; le cariche sono quindi in equilibrio elettrostatico.

Se E è nullo ovunque all'interno del conduttore, esso deve essere nullo anche sulla superficie gaussiana, poiché è interamente contenuta nel conduttore. Ciò significa che il flusso attraverso la superficie gaussiana deve essere nullo (Φ = 0). Allora, per la legge di Gauss, la carica netta contenuta nella superficie gaussiana deve pure essere nulla (Q = 0). Se la carica in eccesso nonint

ernapuò sistemarsi all'interno della superficie gaussiana, essa può soltanto distribuirsi al di fuori di essa; ciò significa che deve disporsi sulla superficie del conduttore. Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 6 di 1533.

Cavità in un conduttore. La figura mostra (in sezione) un pezzo di rame isolato appeso a un filo isolante, avente una carica in eccesso q. Una superficie gaussiana si trova all'interno vicino alla superficie del conduttore ricalcandone la forma.

Il campo elettrico all'interno del conduttore deve essere nullo; se così non fosse, il campo eserciterebbe una forza sugli elettroni liberi di conduzione che sono presenti in ogni conduttore e si produrrebbero correnti all'interno del conduttore, ma non ci sono correnti perpetue all'interno di un conduttore isolato.

Se E è nullo ovunque all'interno del conduttore, esso deve essere nullo anche sulla superficie gaussiana, poiché

è interamente contenuta nel conduttore. Ciò significa che il flusso attraverso larΦ =superficie gaussiana deve essere nullo ( ( E ) 0 ). Allora, per la legge di Gauss, la carica nettaS 0 =contenuta nella superficie gaussiana deve pure essere nulla ( Q 0 ). Se la carica in eccesso nonint ernapuò sistemarsi all'interno della superficie gaussiana, essa può soltanto distribuirsi al di fuori di essa;ciò significa che deve disporsi sulla superficie del conduttore.

La figura mostra lo stesso conduttore appeso ma ora con una cavità al suo interno.Tracciamo una superficie gaussiana che racchiuda la cavità, prossima alla sua parete, marcompletamente contenuta nel volume del corpo conduttore. Poiché E = 0 all'interno delconduttore, non può esserci flusso attraverso tale superficie gaussiana. Perciò, dalla legge di Gauss,la suddetta superficie non può racchiudere una carica netta. Quindi non può

È possibile che ci sia una carica in eccesso distribuita sulla parete della cavità e che questa rimanga tutta sulla superficie esterna del conduttore.

Appunti preliminari: