Fisica I - sistemi di particelle

Meccanica di un sistema di particelle

Supponiamo di avere un sistema formato da N particelle, delle quali conosciamo la m_i, la posizione r_i=r_i(t) e la forza a loro applicata F_i(t).

F_i(t) = m_i · a_i = m_i · ^d2r_i/_dt²

F_i può anche essere vista:

F_i = F_i⁽ⁱ⁾ + F_i^(e)

• Forza interna, dovuta ad altre particelle
• La forza esterna

La risultante sarà:

R_∑ = ^N∑_i=1 F_i = ^N∑_i=1 F_i⁽ⁱ⁾ + ^N∑_i=1 F_i^(e)

Per il principio di azione e reazione, questo termine è = 0, poiché la forza che si scambiano due particelle è uguale e contraria.

⇒ R_∑ = ^N∑_i=1 F_i^(e) = R_∑^(e)

Anche in questo caso possiamo definire:

1. Quantità di moto

P_∑ = ^N∑_i=1 P_i = ^N∑_i=1 m_i · v_i

2. Momento angolare

L_∑ = ^N∑_i=1 r_i × m_iv_i

Meccanica di un sistema di particelle

Supponiamo di avere un sistema formato da N particelle, delle quali conosciamo le m_i, la posizione r_i=r_i(t) e la forza a loro applicata F_i(t).

F_i(t) = m_i a_i = m_i · d²r_i/dt²

F_i può anche essere vista:

F_i = F_i⁽ⁱ⁾ + F_i^(e)

• Forza interna, dovuta ad altre particelle
• La Forza Esterna

Le risultante sono:

R = Σ_i=1^N F_i = Σ_i=1^N F_i⁽ⁱ⁾ + Σ_i=1^N F_i^(e)

Per il principio di azione e reazione ogni termine = 0,poiché la forza che si scambiano due particelle è uguale econtrario

∴ R = Σ_i=1^N F_i^(e) = R^(e)

Anche in questo caso possiamo definire:

1. Quantità di motoP = Σ_i=1^N p_i = Σ_i=1^N m_i v_i
2. Momento angolareL = Σ_i=1^N r_i × m_i v_i

Centro di massa

Tutte proprietà di un sistema di particelle possono essere evidenziate se si fa riferimento al centro di massa le cui coordinatesono:

_ίa = ^{Σ_i=1N m_i ί_i}/_{Σi=1^N mi} = ^{Σ_i=1N m_i ί_i}/_M

La posizione del centro di massa non coincide con quella dinessuna particella!

Ὼ_ίa = dίa/dt = ₁/^M Σ_i=1^N m_i Ὼ_i

ῺP = MῺίa

La quantità di moto totale del sistema sarebbe la stessa se si considerasse che tutta la massa è concentrata nel centro dimassa

†Ὼ_αa = dῺίa/dt = ₁/^M Σ_i=1^N m_i†Ὼ_i

= ₁/^M(Σ_i=1^N F_i - †R_(e))

Prima equazione cardinaledei sistemi di particelle

†R_(e) = †H_αa = dP/dt

Il centro di massa di un sistema di particelle si muove quando come setutta la massa fosse concentrata nel centro e fosse sotto l'azione di R_(e).

Se R_(e) = 0 H_αa = 0 Ha moto uniforme [Questo non vale per lesingole particelle!!]

Il centro di massa permette di descrivere la cinematica e la dinamicadell'insieme del sistema di particelle ma non delle singole.

dL/dt = Σ_i=1^N(F_i Χ m_iῺ_i) = Σ_i=1^N d/dt (Χ m_iῺ_i) + Σ_i=1^N F_i Χ m_i dῺ_i/dt

= Σ_i=1^N †ίi Χ A_i

Seconda equazione cardinaledei sistemi di particelle

4) \(\sum_{i=1}^{N} (\vec{R_i} - \vec{R_a}) \times m_i \vec{V_a} = \sum_{i=1}^{N} \vec{R_i} \times m_i \vec{V_a} - \sum_{i=1}^{N} \vec{R_a} \times m_i \vec{V_a} = \)

\( = \left( \sum_{i=1}^{N} \vec{R_i} - \vec{R_a} \sum_{i=1}^{N} m_i \right) \times \vec{V_a} = \sum_{i=1}^{N} \vec{R_i} m_i \times \vec{V_a} - \sum_{i=1}^{N} \vec{R_a} m_i \times \vec{V_a} = \)

\( = \vec{R_a} M \vec{V_a} - M \vec{R_a} \vec{V_a} = 0 \)

\(\Rightarrow L = L_a + L_{ic} \)

II) \(E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v_i}^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (\vec{v_a} + \vec{v_{ic}}) ^2 = \)

\( = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{V_a}^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v_{ic}}^2 + \sum_{i=1}^{N} = \)

\(= 0 \) poiché \(\vec{v_{ic}} \uparrow\downarrow \vec{V_a} \)

\(= E_{k,a} + E_{k,ic} \)

se nel sistema di centro di massa se il baricentro fosse posto nel centro di massa

4) \(\sum_{i=1}^{N} (\vec{r_{i}} - \vec{r_{a}}) \times m_{i} \vec{v_{a}} = \sum_{i=1}^{N} (\vec{r_{i}} - \vec{r_{a}}) \times m_{i}\) \(\begin{vmatrix}\sum_{i=1}^{N}\end{vmatrix} (\vec{r_{i}} - \vec{r_{a}}) \times m_{i} \vec{v_{a}} = \sum_{i=1}^{N} \vec{r_{i}} m_{i} \times \vec{v_{a}} - \sum_{i=1}^{N} \vec{r_{a}} m_{i} \times \vec{v_{a}} = \) \(\sum_{i=1}^{N} \vec{r_{i}} m_{i} \times \vec{v_{a}} = \sum_{i=1}^{N} \vec{r_{a}} m_{i} \times \vec{v_{a}} = \) = \(\vec{r_{a}} \mathit{M} \vec{v_{a}} - \vec{r_{a}} \mathit{M} \vec{v_{a}} = 0\) \(\Rightarrow L = \vec{L_{a}} + \vec{L'_{c}}\) II) \(E_{k} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\vec{v_{i}}^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} (\vec{v_{a}} + \vec{v'_{c}})^{2} = \) = \(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\vec{v_{a}^{2}} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} \vec{v'_{c}^{2}} + \sum_{i=1}^{N} \langle m_{i} \vec{v'_{c}}, \vec{v_{a}} \rangle = \)

\(= 0 \quad poiché \quad \vec{v'_{c}} \overset{\rightarrow}{\Delta}\vec{v_{a}}\) = \(E_{k,a} + E_{k,c}\) is nel sistema di centro di massa se il la massa fosse posta nel centro di massa

PROBLEMA DEGLI N CORPI

Se volessimo risolvere il problema dinamico di un sistema isolato (R⁴) di N corpi, avremo bisogno di 6N condizioni iniziali.

{r₁, r₂, ... r_i, r_N; v₁, v₂, ... v_i, v_N}

Ricordando che r_i e v_i hanno rispettivamente 3 componenti (i,j,k)!

N = 2

Le due masse interagiscono tra loro

m₂ ^d2r₁/_dt² = F₁m₂ ^d2r₂/_dt² = F₂

F₁ - F₂ = F (principio di azione e reazione)

r = r₁ - r₂

Sottraiamo membro a membro, dopo aver diviso per la rispettiva massa:

^d2r₁/_dt² - F₂/m₁ ;^d2r₂/_dt² - F₂/m₂

^d2r₁/_dt² - F₁/m₁ - ^d2r₁/_dt² - F₂/m₂ = F ^{(1/m₁ + 1/m₂)}

d²(F₁-r₂)/dt² = F ⋅ ^{(1/m₁ + 1/m₂)}

d²F/dt² = F ^{m₂ + m₁/m₁m₂}

F* = d²r/dt²

m₁m₂/m₂+m₁ Massa ridotta =

Il problema a 2 corpi è diventato a 1 corpo, risolvibile una volta definito il valore di F

Un'equazione equivalente si ottiene se si

riferimento del centro di massa.

^∑ _{i mi ri} = ^{m₁ r₁ + m₂ r₂}

  M     m₁ + m₂

r_a

r_a = r̅_a + r̅_ce ; r̅_b = r̅_a + r̅_ce

d²(r_a + r_ce) = ^F₁ , d²(r_a + r_ce) = -^F₂

dt²      m₁       dt²    m₁

Sottraiamo membro a membro:

d²(r_a + r_ce) - d²(r_a + r_ce) = F^{(1 + 1)}

 dt²            dt²          m₂ m₂

d^{2(r_a(r_ce − r_a − r_ce)} = F^{m₂ + m₁}

dt²                 m_1m2

F_{dF2 - F2} = _m1m2

_{dt²m2 + m1}

Nel caso in cui m₂ << m₁

μ = ^m₃m₂ ≈ (m₂ )

  m₁

     Il centro di massa

     è collocato m1 (m₁)

Nel caso n=3 la soluzione non è periodica e presenta un esempio di SISTEMA PERIODICO.

Leggi di Keplero

Rappresentano la prima dimostrazione sperimentale della legge di gravitazione universale.

1. I pianeti descrivono intorno al sole orbite piane ellittiche, di cui il sole è uno dei due fuochi.
2. Il moto dei pianeti avviene con velocità areolare costante.
3. Il rapporto tra il quadrato del periodo di rotazione intorno al sole ed il cubo della semiasse maggiore dell'orbita a è costante per tutti i pianeti_T²/_a³ = cost

Sono, qst leggi, una conseguenza della ipotizzando che M_p