Fisica I - fluidomeccanica e termodinamica

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F I I G

I

S

I

C A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S T I

O N

A L

E

F - T

LL

UU

II

DD

OO

M

E C C A N

I

C A E R M

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II

N

AA

M

II

CC

AA

F - T

M

E C C A N

I

C A E R M

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L

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D

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I

C A E R M

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I

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A M

I

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I

D

R

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T

A T

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A E F

L U

I

D

O D

I N

A M

I C

A

C

a p i

t o l

o 1 . D

R

O S

T

A T

I C

A E F

L U

I

D

O D

I N

A M

I C

A

S

t

a t

i

c

a d

e i f l

u

i

d i (

1 . 1 )

S

t

a t

i

c

a d

e i f l

u

i

d i (

1 . 1 )

La materia si presenta in natura secondo tre stati di aggregazione (trascurando il plasma): solido, liquido e

gassoso. Questi possono essere raggruppati in diverse maniere a seconda delle caratteristiche considerate:

I solidi e i liquidi sono, al contrario dei gas, considerati praticamente incomprimibili.

Liquidi e solidi hanno volume proprio, al contrario dei gas che occupano tutto quello a disposizione.

Liquidi e gas prendono, al contrario dei solidi, la forma del recipiente che li contiene.

I solidi si considerano formati da atomi “fissi”, mentre i fluidi (gas e liquidi) da atomi “scorrevoli”.

In generale è possibile trattare le proprietà meccaniche di liquidi e gas allo stesso modo. Su di essi può agire

unicamente una forza normale . Si definisce pressione lo scalare P=F /S. Si utilizzano per la pressione, oltre

F

n n

il Pascal, le seguenti unità di misura: bar (1bar=10 Pa), atmosfere (1atm=1.013x10 Pa), Torricelli

5 5

(1torr=760atm). Se una superficie racchiude un fluido, questo esercita sulle pareti una pressione. Se un corpo

viene immerso in un fluido, questo esercita sul corpo una pressione. Si dimostra che questa pressione risulta:

ρ

= + (legge

P P gh di Stevino)

0

con P pressione alla superficie libera, densità del fluido (m/V) ed h altezza pari alla profondità del corpo

ρ

0

immerso. Dalla legge di Stevino si deducono tre importanti conseguenze:

P è la stessa alla stessa quota h, cioè orizzontalmente si hanno superfici isobariche.

Se si hanno due recipienti di volumi V e V’, con V>V’, ma aventi la stessa superficie di base, la forza

esercitata sulle basi da una colonna di fluido profonda h è la stessa (paradosso idrostatico).

Nella legge di Stevino non compare la forma del contenitore, quindi le superfici libere di recipienti

comunicanti stanno alla stessa h (principio dei vasi comunicanti), indipendentemente dalle forme.

Si considerino due vasi comunicanti come in figura. Se P ≠P le superfici libere hanno diverse altezze. Si ha

0 1

-P =ρgh. (metodo operativo per misurazioni di ∆P). Un sistema così formato dicesi manometro ad U.

∆P=P

1 0 Enunciamo ora un teorema di fondamentale importanza per la meccanica dei

fluidi (principio di Pascal): “la pressione applicata ad un fluido si trasmette

inalterata in ogni punto del fluido stesso ed alle pareti del recipiente che lo

contiene”. Un applicazione diretta di questo principio è la cosiddetta leva

idraulica. Si consideri un sistema come in figura, per il principio di Pascal

P =F /A =P =F /A . Se ad esempio si ammette che per sollevare un auto serve una

1 1 1 2 2 2

forza pari a F =200kgxg, supponendo A =4cm e

2

2 1

=200cm , basterà una forza F =40kgxg per sollevarla.

A 2

2 1

Enunciamo un altro importantissimo teorema della

fluidodinamica (principio di Archimede): “Un corpo

immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso

l’alto la cui intensità è pari al peso del volume di fluido spostato”. L’espressione

matematica del principio di Archimede è la seguente:

ρ

= −

F Vg

A

con F spinta di Archimede, ρ densità del fluido e V volume del corpo immerso (Se questo è immerso solo in

A

parte, si considera solo il volume della parte immersa). Poiché un corpo risente sempre della forza peso, la

risultante delle forze su di esso applicate quando viene immerso in un fluido è:

ρ ρ ρ ρ

= + = − = −

R mg F ' V g V g ( ' )

V g

A

con e densità media del corpo e densità del fluido rispettivamente. Dunque se il corpo affonda,

ρ’ ρ ρ’>ρ

viceversa galleggia. R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F I I G

II

SS

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F I I G

I

S

I

C A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S T I

O N

A L

E

F - T

LL

UU

II

DD

OO

M

E C C A N

I

C A E R M

O D

II

N

AA

M

II

CC

AA

F - T

M

E C C A N

I

C A E R M

O D N M

L

U I

D

O M

E C C A N

I

C A E R M

O D

I

N

A M

I

C A

D

i

n

a m i

c

a d

e i f l

u

i

d i e a p

p

l

i

c

a z i

o n

i (

1 . 2 )

D

i

n

a m i

c

a d

e i f l

u

i

d i e a p

p

l

i

c

a z i

o n

i (

1 . 2 )

Si definisce linea di corrente il cammino seguito da una particella in moto di un fluido. La velocità di un

fluido è sempre tangente alla linea di corrente (si noti analogia con la traiettoria del moto di un punto

materiale). Il moto di un fluido dicesi stazionario se le linee di corrente delle particelle che lo compongono

non si intersecano mai. Un insieme di linee di corrente si chiama tubo di flusso. Dal principio di

conservazione della massa si dimostra che, per un fluido incomprimibile ed in regime stazionario, vale la

relazione S v =S v =costante (equazione di Leonardo). Dunque in un tubo di flusso in cui si abbiano due

1 1 2 2

sezioni di diversa area, la portata (Sv) uscente deve eguagliare la portata entrante e quindi accadrà che ove ci

fosse un restringimento aumenterà la velocità del fluido. Dal teorema dell’energia cinetica (L =∆E ) si ricava

k

ρ ρ

+ + =

2

l’equazione di Bernoulli: P gh ½ v cost

valida per un fluido incomprimibile ed in regime stazionario. Si noti che con v=0 si ottiene la legge di

Stevino. Se h non varia (h è la quota altimetrica, ovvero l'altezza rispetto ad un riferimento orizzontale, di un

qualsiasi punto all`interno del condotto) può applicarsi l’equazione: P +½ =P +½ . Dunque se lungo un

2 2

ρv ρv

1 2

tubo di flusso si ha una strozzatura, la velocità aumenta (continuità di Leonardo) e la pressione diminuisce

(Bernoulli). Diamo ora due applicazioni di fluidomeccanica: il teorema di Torricelli (fluidodinamica) e il

calcolo del peso massimo che può caricarsi all’interno di un corpo immerso (idrostatica). Un recipiente

contenente un liquido di densità presenta sulla parete un piccolo foro (di sezione trascurabile rispetto alla

ρ,

parete del recipiente) a distanza h dalla superficie libera. La pressione esterna è P . Si vuole determinare la

0

velocità v di deflusso. Poiché il recipiente è molto grande

rispetto al foro, il livello scende lentamente ed il liquido può

essere considerato, con una buona approssimazione, come se

in superficie fosse in quiete. Si ha allora, assumendo h=0 al

livello del foro: P + ½ρv + = P + ½ρv + , essendo

02 2

ρgh ρgh

0 sup 0 foro

P la pressione sia in superficie che all’uscita del foro, v =0

0 0

velocità in superficie. Dunque abbiamo:

ρ ρ

+ = + =

⇒

2

P gh P ½ v v 2 gh

0 sup 0

Quindi la velocità di deflusso non dipende né da ρ né daP ed

0,

è pari a quella che avrebbe il liquido se scendesse in caduta

libera da una altezza h.

Si consideri una sfera cava di metallo immersa in un liquido,

inizialmente solo in parte. Siano d e d i raggi esterno ed

1 2

interno rispettivamente, sia la densità del metallo, la

ρ ρ

0

densità del liquido. Si supponga la sfera inizialmente vuota al

suo interno. Si pensi di volervi introdurre un corpo di massa

m. Si vuole determinare il valore massimo di m che si può

introdurre affinché la sfera sia totalmente sommersa senza

però affondare. Sul corpo agiscono, nelle condizioni

desiderate, le seguenti forze: π π

−

 

3 3

4 d 4 d

ρ ρ

= − = + = + = + 1 2

 

F V g ; P P P mg m g g m

A 0 sfera m sfera sfera  

3

Poiché il corpo è fermo F +P=0 e, considerando che i vettori e sono opposti, abbiamo infine:

F P

A

A π π

 

( )

4 4

ρ ρ

= − + − =

⇒ 3 3 3

P F g m d d g d

 

A 1 2 0 1

 

3 3

Isolando m si ricava che la massa massima che può inserirsi vale:

π ( )

4 ρ ρ ρ

= + −

3 3 3

m d d d

0 1 2 1

3

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M