Fisica Generale - Meccanica Newtoniana

Gradiente di un campo scalare

Il gradiente di un campo scalare U è un vettore che indica come cambia il campo al cambiare della posizione. Si definisce a partire dalle derivate parziali:

grad U = (∂U/∂x) i + (∂U/∂y) j + (∂U/∂z) k

Dove i, j, k sono i versori degli assi cartesiani.

Rotore di un campo vettoriale

Il rotore di V (o rot V) è un vettore che descrive come e quanto il campo tende a “ruotare”. Si definisce a partire dalle derivate parziali:

Dove V è dato da:

V = V_x(x,y,z) i + V_y(x,y,z) j + V_z(x,y,z) k

rot V = (∂V_z/∂y - ∂V_y/∂z) i + (∂V_x/∂z - ∂V_z/∂x) j + (∂V_y/∂x - ∂V_x/∂y) k

Divergenza di un campo vettoriale

La divergenza di V è una funzione scalare U tale che U = grad•V, in tal caso V è detto rotazionale di campo V.

div V = ∂V_x/∂x + ∂V_y/∂y + ∂V_z/∂z

Meccanica: cinematica del punto materiale

Il corpo è visto come un insieme di punti materiali nel tempo e nello spazio di un sistema di riferimento tra loro. Qui studiamo il movimento del punto materiale (che è l’entità idealizzata che concretizza e ristruttura l’idea di punto dell’intuizione, in modo che possa essere utilizzato nel tempo e nello spazio).

Definizione del punto materiale

Il punto materiale è un’entità idealizzata che concretizza e ristruttura l’idea di punto dell’intuizione, in modo che possa essere utilizzato nel tempo e nello spazio.

Vettore posizione

r = x(t)i + y(t)j + z(t)k (ciò significa che il corpo è presente e identificabile nel tempo e nello spazio).

Assi cartesiani

Identificano due posizioni tra il punto P e P’ di coordinate (x,y,z) e (x’,y’,z’):

r = (xi + yj + zk)

r O e t O è il tempo scelto come punto iniziale.

Velocità

La grandezza che indica quanto velocemente varia la posizione è detta velocità:

v = dr/dt

In un solo secondo, ovvero la velocità istantanea di un corpo è il valore:

v = ds/dt dove ds è il seno femorale, ovvero l’immobilità del corpo.

Definizione di accelerazione

a = d²s/dt²

Ad acc. costante, ovvero a ≠ 0 se in ogni punto, quindi a =Δv/Δt. Si ottiene:

• v(t) = v₀ + at
• x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at²
• t = x - x₀ + (v₀/2) + 1/a (v₀ - v) con v = v² - u² + 2a(x – x₀)

Caduta libera

Se la posizione dell’aria è trascurabile, possiamo ammettere che l’unica accelerazione costante sia l’accelerazione gravitazionale g = 9.8 m/s² (approssimabile a 10 m/s²).

Δr = -g j

• v(t) = v₀ - gt
• y(t) = y₀ + v₀t – 1/2 gt²

(In questo caso si usa il verbo cadere, pesare g (della caduta) valore di accelerazione che è costante e quindi è plausibile).

t_su = v₀/g tempo in cui il corpo si alzerà verso il corpo e sarà all’altezza su in un certo tempo t_f.

hlim = v²₀/2g altezza del corpo a t_f.

Gradiente di un campo scalare U

Il gradiente di un campo scalare U è un vettore rivolto verso la crescita di U ed il cui modulo rappresenta la variazione di U.

grad U = (∂U/∂x)_i + (∂U/∂y)_j + (∂U/∂z)_k

Se il campo U può essere scritto come di un altro campo vettoriale V:

U = rot V o: grad U = rot V

rot ^∇ _∇xV = rot (∂_y(Vy(x,y,z)) / ∂x)_i + (∂_y(Vx(x,y,z)) / ∂y)_j + (∂_y(Vz(x,y,z)) / ∂z)_k

div V = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z

Meccanica: cinematica del punto materiale

Il corpo è noto se la sua posizione (cioè il suo punto centrale nel centro spaziale di riferimento) e mutuato la reciproca variazione di posizione.

Punto materiale

Entità idealizzata le cui dimensioni e struttura reali sono considerate nulle (m); la cui massa (m) è concentrata in un dato sistema di riferimento. Posizione di un corpo nello spazio. Si utilizza per descrivere il moto di un corpo qualsiasi.

Vettore posizione

r(t) = x_i + y_j + z_k (congiunge o ci oblargozze il punto P)

Sotto, Motoaavuto identifica il poptratamente tra o, c e po la posizione:

r(t) = (i(x,y) j(y,z) k(z))

R i 2 f. (x-x_o) + (y-y_o) + (z-z_o)

Velocità

La velocità equivale anche perché le coordinate cercano il tempo, la coordinate cerchia m_rx(t) y(t) z(t) -r(t)

Lim x(t) è perché l'indica quanto velocemente varia la posizione

Velocità: è la rapidezze a che è esvado

d/dt _{velocità istantanea}