Fisica generale - cinematica

FISICA

Angolo è regione compresa tra 2 semirette

AÔB ≠ BÔA

GRADO: ampiezza di un angolo che sottende arco di circonferenza pari a 1/360 della lunghezza totale.

RADIANTE: rapporto tra lunghezza dell'arco e il raggio della circonferenza.

θ^rad = arco / r

θ^gradi: 360° = θ^radi: 2π

TRIGONOMETRIA

c² = b² + a² Teo. di Pitagora

a² = i² coseno

• sinβ = c/a = b/α
• cosβ = i/α
• sinγ = i/α

TEOREMA DEI COSENO (o Carnot)

c² = b² + a² - 2bc cosα

TEOREMA DEI SENO

a/sinα = b/sinβ = c/sinγ

Fisica

Angolo è regione compresa tra 2 semirette

AÔB ≠ BÔA

Grado

Ampiezza di un angolo che sottende arco di circonferenza pari a 1/360 della lunghezza totale.

Radiante

Rapporto tra lunghezza dell'arco e il raggio della circonferenza.

θ^° =

θ_gradi : 360° = θ_radianti : 2π

Trigonometria

c² = b² + c² Teo. di Pitagora

o² = r cosα

sinβ =

cosβ =

cosf =

Teorema dei coseno (o Carnot)

c² = b² + c² − 2bc cosα

Teorema dei seno

a / sinα = b / sinβ = c / sinf

9.03.20

• Metodo Scientifico: si avvale di esperimenti, di cui è possibile costruire modelli.
• Grandezze fisiche: numero e unità di misura.
  • Fondamentali: lunghezza [L], tempo [T], massa [M]

  dimensione

  Dalle grandezze fondamentali si possono trovare le combinate, derivate.

• Principio di omogeneità: grandezze appartenenti alla stessa classe, cioè hanno la stessa dimensione necessario fare analisi dimensionale.

[L]^α[T]^βμ = [L] [V] = [L] [T]^-1μ = [L][T]^-1[L]μ = [L][LT]^-1μ

arco

angolo = raggio

angolo = [L][T]^-1μ = [L][L]μ[T][-1]

grandezza adimensionale

1. Determinare leggi dei pendoli a partire da analisi dimensionale

[L] = [K][L]^α[T]^β[q] = [T]^-1[L]¹μ⁰ [L]¹[T]^-1μ⁰ [q] = [L]¹μ[T]^-1[L]μ[T]-

β = ^-1

T-2 = K [L]¹[T]¹ -2

O = [L] = 0 + α + β

O: [L] 0 + 0 + β = β = ^-1/2[ρ] [q] = -¹/2

K = K [L]^1/2[q]^-1/2 = K ^sqrt[L]/^sqrt[q]

Vettori

Sono grandezze orientate: modulo direzione, verso

Versore: vettore di modulo unitario orientato, indica direzione e verso

Versore

Modulo lunghezza del vettore

Sistema di riferimento: sistema di coordinate, indica posizione di un oggetto rispetto ad un altro (origine assi). E sistema cartesiano (x, y)

Versori x e y: ŷ, ẋ

E rappresentabile come vettore posizione o coppia di coordinate

Scomposizione nelle componenti:

Somma vettoriale

Sistema polare

Viene misurato angolo in senso antiorario: regola del cacciavite.

Somma vettoriale

Metodo triangolare alla somma

Metodo del parallelogramma

Differenza

_a - _b = _d

non è commutativa

_a + (-_b)

cambio verso a ^b

Prodotto scalare

_a·_b=_c

a·b·cosα

moduli

b cosα  è proiezione di _b su _a

Prodotto vettoriale

_a·_b=_c

a·b senα

Risultato è area. Regola della mano destra

per definire direzione e verso

cinematica

Descrizione del movimento dei corpi dal punto di vista spazio temporale. Necessario sistema di riferimento.

Corpo viene schematizzato come punto materiale se le dimensioni sono trascurabili in base al sistema di riferimento preso in considerazione.

Un corpo è in moto quando la sua posizione cambia nel tempo.

• vettore posizione

_r(t) = _r(t + ∆t) ⟶ 0 se ∆t ⟶ 0

Andamento nel tempo del moto:

1. Traiettoria: posizioni occupate dal corpo
2. Modo in cui il corpo percorre la traiettoria ⟶ legge oraria ⟶ funzione scalare

S ∼ ascissa curvilineaS > 0 poiché è concorde al verso della traiettoria

Traiettoria è vettoriale, è luogo dei punti occupati da P dello spazio.

Equazione della traiettoria ⟶ si ottiene eliminando la dipendenza temporale.

x = R cos (ωt)   |   x² = R² cos² (ωt)y = R sin (ωt)   |   y² = R² sin² (ωt)

x² + y² = R² [cos² (ωt) + sin² (ωt)]

x² + y² = R² ⟶ circolare

Velocità

Posizione di T.Q.

_PP1 = Δs

Δ_T = _r(t₁) - _r(t)

v_m = Δ_T / Δt

Informazione Media

Velocità Media [Variazione vettore/direzione con variazione vettore tempo]

Retta secante alla traiettoria

Se Δ_t → 0

lim v_m = v_ist Velocità istantanea

Rappresentazione intrinseca della velocità

_τ è versore tangente → derivata di r

lim _F / _s = pendenza della tangente alla traiettoria in P

s Asse curvilineo

v̅ = d_r / dt = ds / dt = |ṡ|_τ

|v̅| scalare → modulo velocità

Considero infinitesimi sempre più piccoli di spostamento, retificando la traiettoria.

Integrale _t2∫_t1 |v(t)| dt = Spazio percorso (sempre > 0)

_t2∫_t1 V_s(t) dt = ∫_s1s2 ds = s₂ - s₁ = Δs

Può essere uguale a 0 se il corpo non è fermo (parte e arriva nello stesso punto)

Rappresentazione cartesiana

v = (dx/dt) i + (dy/dt) j + (dz/dt) k

i j e k versori nello spazio cartesiano.

Accelerazione

Durante il moto la velocità può cambiare in modulo, direzione o verso.

a_m = ∆v/∆t

Accelerazione media

lim_∆t→0 a_m = a

Accelerazione istantanea

lim_∆t→0 ∆v(t)/∆t = a

Accelerazione è derivata prima della velocità e derivata seconda dello spazio.

[a] = [L¹T^-2] • m/s² in SI.

Rappresentazione intrinseca dell'accelerazione

a si può rappresentarsi come somma di 2 vettori

Ripetuta variazione modulo

Risultata variazione direzione

a = dv/dt = v_s(t) = ds/dt t + ds μ = dt

+ v_s = ds/dt

Derivazione prodotto

ds/dt μ = + v_s ds/dt

MOLTIPLICO PER ds/ds

Accelerazione tangenziale

direzione tangente alla traiettoria

Accelerazione normale

perpendicolare alla traiettoria

a⃗ = a_t t̂ + a_n n̂ = a_t + a_n =

= dν_s/dt t̂ + ν_s d t̂/dt = s″ t̂ + ds/dt d t̂/ds =

= s″ t̂ + ds/dt·d t̂/ds

Acc. tangenziale

Acc. centripeta o normale

perché è sempre rivolta verso l'interno.

ds/dt = dψ/dt t̂n = ṡ ṡ·1/g = ṡ²/p

1/g = la curvatura

Per ogni punto esiste una circonferenza capace di un confondersi con la curva: si chiama cerchio osculatore

e si trova nella parte concava.

Il raggio prende il nome di raggio di curvatura

^{angolo = arco}

_raggio

dψ = ds/q

Modulo e direzione di

Δn̂ = t̂ (t + Δt ) - t̂(t)

Per Δt → 0 allora Δt → 0allorat̂(t + Δt) → t̂ (t)allora

direzione →

modulo

| Δn̂ | = 2· | t̂(t) | · sin Δψ/2 = 2 sin Δψ/2

Δn̂/Δt = 2 sin Δψ/2·Δψ/Δt·Δψ = 2sin Δψ/2

Passo al limite

^lim_{Δt -> 0} Δu / Δt = ^lim_{Δϕ -> 0} s * Δϕ / Δt = ^lim_{Δs -> 0} Δϕ / 2

du / dt = dϕ / dt

a = Δs

Modulo

Accelerazione centripeta sempre presente quando traiettoria non è rettilinea

a non nullo con traiettoria circolare &accelerato;

Classificazione dei moti elementari

v = s' * Λ ∞ Non esiste circonferenza (con rayon)si confonde con traiettoria

5. s' const => velocità scalare costante

s(t) = ∫ s'(t) dt + C = s₀ ∫ dt + C = s₀t + C

C = S(t₀) - S₀

s(t₀) = S₀ t₀ + C

S(t) = S₀ + t [S(t) - S(t₀] + S(t₀) [^] C = s₀ * [t - t₀ + s(t₀)

Posizione iniziale

S° deve essere 0 oppure un numero

• Se S^· > 0 segue verso traiettoria S₀
• Se S^· < 0 traiettoria inversa S₀

Equazione di una retta Non è traiettoria.

2) S^·· costante → accelerazione scalare costante Doppi integrale → separazione delle variabili

dS^· / dt = S^·· dS^· = S^·· dt

Separo le variabili

∫dS^· = ∫S^·· dt

S^·(t) = S^··t + S₀^·

dS/dt = S^··t + S₀^·

S(t) = ∫ [(S^··t + S₀^·]dt

costante additiva

dS = S^··t dt + S₀^· dt

∫dS = ∫S^··t dt + ∫S₀^· dt

S(t) - S(t₀) = S^··t² / 2 + S₀^·t

S(t) = 1/2 S^··t²t + S₀^·t + S₀

No costanti perché considero t₀ = 0

Equazione parabola

3) Se la traiettoria è rettilinea → U(t) // retta → velocità e accelerazione sono // a retta Casi particolari:

• Moto rettilineo uniforme → V_s è costante S(t) = V_st + S₀ x(t) = V_st + x(₀)
• L rappresenta traiettoria
• Moto uniformemente acceleratoa è costante per tutto il moto

x(t) = 1/2 a₀t² + V₀ t + x₀

x(t) = 0₀ t + V₀ velocità

Verso positivo in cui viene percorso la circonferenza è antiorario.

s = R θ

ú_r e ú_θ è coincide con r ma con verso interno.

• x = R cos θ
• y = R sen θ
• z = 0

Vettore posizione è costante di modulo durante tutto il suo moto.

Versore ú_r cambia direzione e modulo

ú_r = ^s/_R = ^{β cos θ î} + ^{β sen θ j}

= cos θ î + sen θ j

β = s/R

Ś(θ) = r cos(θ/R) î + R sen(θ/R) j

Moto Circolare Uniforme

s(t) = V_o (t - t_o) + s_o

θ(t) = ^V_o/_R (t - t_o) + θ_o

ˋ Θ t = 0

ā = ^V_o2/_R ú_n

si considera solo accelerazione normale - coincide con ú_n

Accelerazione centripeta

ω = dθ/dt

Velocità Angolare

Moto Circolare Uniformemente Vario

s^⋫ = ^α_o/₂ t² + s_o = ^α_o/₂ R (t - t_o)² + ^V_o/_R (t - t_o) + θ_o

ā = S^⋫ ú_t − ^S2⋫/_R ú_n ha entrambe le costanti

GRANDEZZE ANGOLARI

|ω| = dφ/dt → modulo

ω = μ̂ × ṅ̂ ⟹ ṅ̂ = ω̅ × μ̂Perpendicolare al piano su cui giacciono μ(t) e μ(t + Δt) → direzione e verso

dμ̅/dt = dφ/dt μ̂ = ω̅ × μ̅

v̅(t) = ω(t) × r̅(t)

ω̅(t) = dθ(t)/dt ŷR̅ = θʹ ŷ R̂→ VELOCITÀ ANGOLARE

α̅(t) = dω̅/dt = dw̅/dt k̂ = θ̈ k̂

L'ACCELERAZIONE ANGOLARE

α̅ = dα̅/dt = dω̅/dt × r̅ + ω̅ × dr̅/dt =

α̅ = α̅ × r̅ + ω̅ × v̅ = α̅ × r̅ ⊆ ω̅² r̅

→ componente tangenziale → componente normale

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

v̅₀ costante ⟹ anche ω̅ è costante nel modulo

dω/dt = 0 → α = 0 α̅ = α̅ₙ̂

Rimane solo la componente normale → Accelerazione centripeta

Moto circolare uniforme è PERIODICO: le sue caratteristiche si ripetono dopo un certo intervallo detto periodo (T)

T = 2π/|ω| [T] → s

Frequenza f = 1/T [T] → s⁻¹, Hz

Pulsazione w₀ = 2πf = ^2π/_T

Problema inverso della cinematica

Trovare variabili attraverso integrali → trovare costante Facendo supposizioni su condizioni iniziali.

Gravi

Grave oggetto che sta compiendo caduta libera In prossimità della superficie terrestre Accelerazione e accelerazione di gravità g costante Verso il basso di modulo 9.81

^dv/_dt a = d/dt

_t0^t∫a dt = _v(t0)^v(t)∫dv

g_t0^t∫dt =_v(t0)^v(t)∫dv

g (t- t0) = v(t) - v(t0 )

v(t) = v(t0) + g (t - t0)

v = ^dx/_dt

dx = v dt

t0^t∫v dt= _r(t0)^r(t)∫dr

r(t0) - r(t) = v(t0) (t-t0) + 1/2 g (t-t0)²

La legge oraria di un grave

Oggetto lanciato in aria con velocità Composto da due moti: moto rettilineo uniforme Su X e moto uniformemente accelerato su Y.

V_Oy

V_x = V_o cosα V_Oy = V_o senα

MRU x = (V_o cosα) t = F

MUA U = (V_o senα) t = ¹/₂gt²

legge oraria