Fisica generale 1

Meccanica

Studio del moto dei corpi.

Si dedica a capire come descrivere il moto dei corpi e le relazioni con le sue cause.

Cinematica: descrizione.

Dinamica: cause.

Punto materiale

Oggetto privo di dimensioni ma dotato di massa (astrazione).

Posizione

Determinata dal vettore posizione (in funzione del tempo) in un dato sistema di riferimento.

r(t) = x(t)ii + y(t)j_j + z(t)k_k

La successione delle posizioni nel punto P nello spazio determina la sua traiettoria.

Quiete

Particolare stato di moto con vettore posizione che non varia nel tempo in un dato sistema di riferimento.

Moto rettilineo

La traiettoria è una retta orientata.

Il sistema di riferimento è una retta orientata.

Diagramma orario

Grafico della funzione x(t) come arco x in funzione del tempo.

Velocità

Velocità media: v_m = (x₂ - x₁) / (t₂ - t₁) = Δx / Δt

Velocità istantanea

Def. \( v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} \)

È la derivata della posizione rispetto al tempo (tangente)

Il segno della velocità indica il verso del moto.

\( \Delta(t) \) come calcolare \( x(t) \)

\(\Delta(t) = \frac{dx}{dt} \Rightarrow dx = \Delta(t) dt\)

\(\int_{x_0}^{x} dx = \int_{t_0}^{t} \Delta(t) dt \Rightarrow x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} \Delta(t) dt \)

Relazione tra velocità media e istantanea:

Somma: \(\Delta_x = \frac{x_m}{t_f - t_i} \Rightarrow \Delta \equiv \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{1}{t_f - t_i} \int_{ti}^{tf} \Delta(t) dt\)

\( \Delta_m \equiv \) è la velocità media per l'intervallo temporale

(L'area si riduce ad un rettangolo)

Moto rettilineo uniforme

\( \Delta = \text{const.} \)

\( x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t \Delta(t) dt \)

\( x(t) = x_0 + \Delta (t - t_0) \Rightarrow x = x_0 + v \Delta t \)

Legge oraria è una retta.

• Lo spazio è funzione lineare del tempo
• In tempi uguali percorre spazi uguali
• La velocità media coincide con quella istantanea

Equazioni differenziali

• moto armonico
• moto fermo
• moto rettilineo uniforme
• moto uniformemente accelerato
• moto smorzato

esercizi:

Ex 1.1:

t = 6.8 sv_ta = 360 m/s

t₀ = 0 v₀ = 0 x₀ = 0a = g = 9.8 m/s²

x(t₁) = 0 + 0t + ¹/₂ g t₁² = hx(t₁) = ^g/₂ t₁² = h

h = 1/2 g t₁²v_ta sqrt(2h / g) - 9.38 kmh = 98.5 m

t - t₀ = h / v_ta= 0.29 s tempo del suono

Se trascuro le suono:h = 1/2 g t₁² + 0.5 * 9.8 * 6.5² = ?

Momento di un vettore rispetto ad un polo

M_o = OP × F

|M_o| = |OP| |F| sin θ (seno θ)

Proprietà (l'ampiezza di quest'area del prodotto vettoriale)

M_o è ortogonale al piano individuato da OP e F.

|M_o| = |OP| |F| sin θ = |M_o| = |π| b_a

Si nota che comunque si scelga il campo, il momento non cambia

Dipendenza dal polo

considero un altro polo o'

OO' = c

OF = OO' + O'F

(OO' + O'P) × F = OO' × F + O'P × F

OO' × F = c × F

e M_o' = M_o + c × F

= M_o = M_o' se OO' e F sono coplanari

Derivata di un vettore

lim_Δt→0 (v(t + Δt) - v(t)) / Δt

• La derivata di un vettore è un vettore
• La derivata di un vettore in generale non è parallela al vettore

x(t), y(t)

v(t) = x(t) i_x + y(t) i_y

dv/dt = lim_Δt→0 ((x(t + Δt) i_x + y(t + Δt) i_y) - (x(t) i_x + y(t) i_y)) / Δt

= (dx/dt i_x + x(t) du_x / dt) / Δt, (du_y / dt)

dv/dt = (dx/dt) i_x + dy/dt i_y se il sistema di riferimento non varia nel tempo

• d(α b) / dt = α db/dt + b dα/dt
• d(α × b) / dt = α db/dt + b dα/dt

Derivata di un versore

Un versore può compiere solo rotazioni

lim_Δt→0 Δi/Δt

l è arco

La derivata del versore è un vettore ortogonale a i(t) perché il versore tende allo stesso modo

v = i_r

v = e

Δφ = e - e¹

lim_Δt→0 Δ|i| / Δt = lim_Δt→0 sin dθ / dt

moto circolare uniformemente accelerato

Q_T = costante

a_T = Rα ⇒ α = costante

ω(t) = ω₀ + ∫ α(t) dt

ω(t) = ω₀ + αt

Θ(t) = Θ₀ + ∫₀^t ω(t) dt = Θ₀ + ω₀t + αt²/2

Q_T = costante

a_N = Rω² (aumenta quadraticamente nel tempo)

ω × r̂ = ṙ (modulo ω R = ṙ)

dα/dt = d/dt (ω × r̂) = dω/dt × r̂ + ω × dr̂/dt

= α × r̂ + ω × v̂

tangente alla traiettoria

equilibrio delle forze

_R = _F1 + _F2 + _F3 +...

_R risultante

R = 0 → _R = 0 ma _{a T} = 0

moto rettilineo uniforme → _R = 0

moto uniformemente accelerato → _R = costante(rettilineo e parabolico)moto curvilineo piano → _R ≠ 0

R = m·a = a^t m ∆²s / ∆t + m ∆²Ý / _R

moto circolare uniforme

R = m ݲ / R

quantità di moto

p = m·ν = F = Kg·m/s

p = m·ν = m·d(m·ν) / dt = ∆p / ∆t = d_p / dt → F = d_p / dt

p = mν / 1-ν²/c² meccanica relativistica

Se F = 0 → d_p / dt = 0 → ρ = costanteconserva la quantità di moto

teorema dell'impulso

F = dp / dt

F_t = d_pi

F∫_t t_i / dt = &sub>p_f - &sub>p_i = Δ_p

J = impulso

L'impulso della forza è uguale alla variazione della quantità di moto∫F/dt = p_f - p_i ⇔ ∫F⁡dt = ∆p

m = 0,05 Kgν₁ = 100 Km/h = 27,8 m/sν_f = 2⊂>7₈ N∆s = 0,01₈₂ 60₉ →

Forze centripete

N + mg + F_s = ma

N = mg ^{perpendicolare al piano}

F_s = mω²r ^{perpendicolare alla traiettoria}

F_s = mω²r

μ_sN ≥ μ_dmg

Limiti di Amaghi:

Cerchio sopraelevato obliquo:

N + mg = m_tⁿ

Nsinθ = m _v²/r ^{componente centripeta}

Ncosθ - mg = 0

N = m_g / cosθ

mg/tanθ = m_v²/r cosθ

tanθ = ^v2/_gr

Esempio:

m = 4kg

1. Ascensore fermo: _ā = 0
2. mg + F = 0 ^F = mg = 4 · 9.8 = 39.2 N
3. Ascensore accelerato verso l'alto: _ā = °_y Â
4. mg + F = ma
5. -mg + F = -ma
6. T = m (g + a) = 4·(9.8 + 2) = 47.2 N ≈ 4.8 kg
7. Ascensore accelerato verso il basso: _°y = 2 m/s²
8. mg + F = -ma
9. -mg + F = -ma
10. T = m (g - a) = 4·(9.8 - 2) = 31.2 N ≈ 3.2 kg