Fisica generale 1

Fisica Generale I

Rappresentazione Vettoriale

• Rappresentazione Polare

3 parametri: modulo, direzione, verso (indicati con 2 angoli)

• Rappresentazione Cartesiana

Specificare le 3 coordinate cartesiane del vettore

Vettore posizione

=> Sistema di coordinate

3 assi perpendicolari tra loro con un'origine fissata e associato un senso positivo

Versore: vettore di modulo unitario che serve a caratterizzare direzione e verso

_{x = |r| cos θx}

_{y = |r| cos θy}

_{(z) = |r| cos θz}

|r| = √_{x² + y² + (z)²}

cos² θ_x + cos² θ_y + cos² θ_z = 1 (coseni direzioni)

=> Nel nostro caso particolare (il vettore giace su uno dei piani cartesiani)

θ_z = 90° => cos θ_z = 0

cos θ_y = 1 - cos² θ_x = sin² θ_xcos θ_y = sin θ_x

Cosa succede al vettore se cambio il sistema di assi cartesiani?

Sono cambiati gli angoli tra il vettore e i versori

x" = |r| cos Θ_x"

y" = |r| cos Θ_y"

(z") = |r| cos Θ_z"

Il vettore è lo stesso ma è cambiata la rappresentazione

• Il vettore è oggettivo

• La rappresentazione del vettore è soggettiva

Il sistema di coordinate è arbitrario, dipende da chi descrive il fenomeno

Sceglierà il sistema di coordinate che semplifica la rappresentazione del vettore

Scelgo un sistema di coordinate in cui uno degli assi contenuti coincida con il vettore per direzione e verso

Θ_x" = 0 => x" = |r| cos Θ_x" = |r|

Θ_y" = 90°

Θ_z" = 90°

cos Θ_y" · cos Θ_z" = 0 => y" = 0

z" = 0

|r| = √(x"² + y"² + z"²)

-> La somma dei quadrati delle componenti di uno stesso vettore è sempre la stessa rispetto a qualsiasi sistema di coordinate

Cinematica

parte della fisica che studia le caratteristiche temporali del moto degli oggetti

Introduciamo grandezze operative per poter quantificare (associare numeri) le dipendenze temporali con cui si svolge il moto.

Consideriamo un punto materiale che si muove nello spazio.

vettore posizione espresso come la somma dei vettori componenti

sostituendo la sequenza di coordinate x del moto, ottengo l’evoluzione temporale della componente del moto lungo la i

(ragionamento analogo per le componenti del moto lungo j e k)

Se componiamo tra loro i moti componenti otteniamo istante per istante il vettore posizione dell’oggetto.

Se è cambiata la posizione è avvenuto uno spostamento.

Quanto rapidamente cambia la velocità nel tempo?

tg alla traiettoria

Consideriamo il moto componente x

Introduciamo una nuova grandezza con un nuovo rapporto incrementale

a_mx^t₁→t₂ = (v_x(t₂) - v_x(t₁)) / (t₂ - t₁) = Δv_x / Δt

Analogamente per y e z

a_my^t₁→t₂ = (v_y(t₂) - v_y(t₁)) / (t₂ - t₁) = Δv_y / Δt

a_mz^t₁→t₂ = (v_z(t₂) - v_z(t₁)) / (t₂ - t₁) = Δv_z / Δt

⇒ condensando le tre equazioni scalari in un'unica equazione vettoriale:

a_m^t₁→t₂ = (v⃗(t₂) - v⃗(t₁)) / (t₂ - t₁) = Δv⃗ / Δt

Verifichiamo che al variare della scelta del sistema di coordinate le caratteristiche vettoriali del moto non variano (il moto rimane rettilineo uniforme), cambia solo la descrizione

\(\vec{v}(t) = \vec{v}_0\)

\(r_0 = 0 \quad (x_0=0,y_0=0,z_0=0)\)

\(t_0 = 0\)

\(v_{0x} = v_0 \cos \beta\)

\(v_{0y} = v_0 \cos (90^\circ - \beta) = v_0 \sin \beta\)

\(v_{0z} = v_0 \cos 90^\circ = 0\)

\(x(t) = x_0 + v_0 \cos \beta \, (t-t_0)\)

\(y(t) = y_0 + v_0 \sin \beta \, (t-t_0)\)

\(z(t) = z_0\)

eq. traiettoria

Sappiamo \(z = 0\)

cerco una relazione tra \(x\) e \(y\)

da \(x(t)\) ricavo \(t = \frac{x}{v_0 \cos \beta}\)

sostituendo in \(y(t)\) \(y = y_0 \sin \beta - \frac{x}{v_0 \cos \beta}\)

tg θ(t) = ^v_y(t)/_vx(t) = ^{v_oy - g t}/_vox

L'angolo rappresenta l'orientazione del vettore v rispetto all'orizzontale

=> LA VELOCITÀ CAMBIA DIREZIONE ISTANTE PER ISTANTE

GRAFICI TEMPORALI

a_y(t)

-g

t

v_y(t)

v_osinα

t_I

pendenza: -g

intersezione: v_y(t_I) = v_osinα - g t_I = 0

t_I = ^v_osinα/_g

a_x(t)

t

v_x(t)

v_ocosα

t

y(t)

t

y(t) = v_o t_I - ¹/₂ g t²

x(t)

t

pendenza = velocita’

Dato un corpo che si muove lungo una traiettoria data, possiamo identificare in un qualsiasi punto lungo la traiettoria la direzione del vettore velocità istantanea.

→ Sappiamo che è sempre tangente alla traiettoria.

È possibile stabilire come è diretto il vettore accelerazione rispetto a una posizione notevole?→ es. rispetto alla tangente alla traiettoria.

Se il moto è rettilineo uniformemente accelerato → è il suo e unico caso particolare.

Per un moto curvilineo?Introduciamo le componenti tangenziale e normale dell'accelerazione.

\(\vec{v}(t) = v(t) \hat{t}\)

\( \vec{v}(t) - v(t) \hat{t} \)

\(\left[ \vec{v}(t) = |\vec{v}(t)| \right] \)

\(\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d (v(t) \hat{t})}{dt} = \frac{d (v(t))}{dt} \hat{t} + v(t) \frac{d \hat{t}}{dt} (\ast)\)

Derivata prodotto

La derivata temporale di un versore può essere un vettore

D = x(t_a)   t_a → y(t_a) = 0

(GITTATA)

y(t_a) = v₀ sin^α t_a - ¹/₂ gt_a² = t_a (v₀ sin^α - ¹/₂ gt_a) = 0

t_a = 0   NO

t_a2 = 2v₀ sin^α

  g

D = v₀ cos^α t_a = ^{2v₀2 sinα cosα}/_g

OSS   t_a = 2t_i   {   movimento simmetrico

OSS   x_a = 2x_v }

V_a

V_ax = V_ox   perché il moto componente orizzontale

è rettilineo uniforme

v_y(t_a) = v₀ sin^α - g ^{2v₀ sinα}/_g = v₀ sin^α - 2v₀ sin^α = -v₀ sin^α

= -v_y(t₀)

V_a = √(V_ox² + v_y(t_a)²) = |V_v|

OSS   |V_a| = |V₀|

√(v_ax² + v_ay²) = √(v_ox² + v_oy²)

→ v_ax - v_ox

→ v_ay = -v_oy