Fisica Generale 1

INTRODUZIONE: I VETTORI

CINEMATICA: Si occupa dello studio del moto di un punto materiale.

PUNTO MATERIALE: Oggetto ideale dotato di massa e di dimensioni trascurabili rispetto alle distanze sulle quali avviene il moto.

Anche i moti interni al punto materiale sono trascurabili (tipo la rotazione su se stesso).

Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortonormale) si individua la posizione di un punto materiale tramite il vettore posizione del punto (vettore che in questo disegno dipende dal tempo).

Caratteristiche dei vettori:

• modulo
• direzione
• verso

Caratterizzare un vettore:

\(\vec{V} = (V_x, V_y, V_z) \iff \vec{J}(V \cos \alpha, V \cos \beta, V \cos \gamma)\)

\(|v|: v = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2}:\)

= \(\sqrt {V^2 \cos^2 \alpha + V^2 \cos^2 \beta + V^2 \cos^2 \gamma}:\)

= \(v \sqrt{\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma}\)

\(\Rightarrow \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1\)

Nota: oltre a un'uguaglianza dei due membri di un'equazione abbiano la stessa dimensione, è necessario che siano anche della stessa natura (scalare o vettoriale).

Questo vincolo comporta due gradi di libertà su \(n\) - 1 e non 3.

Nel piano:

cos²α + cos²β = 1cos²β = 1 - sin²αcosβ = sinα

\(\vec{v}\): \((v \cos\varphi, v \sin\varphi)\)Sono le cosiddette coordinate polari

OPERAZIONI CON VETTORI:

• Moltiplicazione vettore - scalare

  \(\vec{v} = v \hat{u}_v\)

  \(\vec{v} = v_x \hat{u}_x + v_y \hat{u}_y + v_z \hat{u}_z\)

• Somma di vettori

  \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = (v_{1x} + v_{2x}; v_{1y} + v_{2y}; v_{1z} + v_{2z})\)

  \(|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2 v_1 v_2 \cos \varphi}\)

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Descrivere il moto di un punto materiale

[v]^L⋅T⁻¹ = _m/_s

[a]^L⋅T⁻² = _m/_s²

⃗(t) = r(t)⋅̂(t) =

 x(t)̂_x + y(t)̂_y + z(t)̂_z

⃗(t) = d⃗/dt = dx/dt ̂_x + dy/dt ̂_y + dz/dt ̂_z

 = v_x(t)̂_x + v_y(t)̂_y + v_z(t)̂_z

ds può approssimarsi ad un tratto rettilineo di pendenza

tg ϑ_s = dy/dx = dy/dt / dx/dt = v/v = tg ϑ

Segue che = v, quindi la velocità è tangente alla traiettoria

Chiamando ̂ il vettore della direzione tangente alla traiettoria:

⃗(t) = v(t)̂(t) = v(t)̂(t)

dv û_T + v²/R û_N

definizione del raggio di curvatura in ogni punto

ds:R dϑ ⇒ R = ds/dϑ

Per DS > 0 è univocamente definita la retta tangente ma anche la lunghezza del raggio di curvatura e il centro della stessa nella direzione normale alla tangente

Il cerchio che approssima la traiettoria in un punto è detto CERCHIO OSCULATORE

MIA: INVENZIONE lim ϑ = dϑ P₀→P₁

v = rectg (df/dx)

ds=√(dx² + dy²)

dϑ = dϑ/dk

v(t) · dv/dt û_T - v²/R û_N

Accelerazione di qualsiasi moto piano

con

• v = ds/dt
• R = ds/dϑ

Leggi di Newton:

1. Esistono sistemi di rif. inerziali

   Un corpo che non risente di interazioni in un sis di rif. inerziale mantiene velocità costante (segue un moto inerziale)

2. Se il s.s. di rif. è inerziale, F = ma
3. Dati due corpi (1,2) che interagiscono, F₂₁ = -F₁₂

   Se la retta d'azione delle forze li congiunge fra i 2 corpi

   Affermano la matura isotropa dello spazio fisico:

   F₂₁ ← → F₁₂

Quantità di moto:

p = mv

dp/dt = m dv/dt + dm/dt v = ma + dm/dt v

F = dp/dt

F = 0 → p = k

Se F = 0, la quantità di moto si conserva

ATTRITO, MOMENTO ANGOLARE, FORZA ELASTICA, MOTO ARMONICO

Forze di attrito statico e dinamico

F = F_att,s ⇒ V̄ = 0

Forza si può misurare, misurando la forza F che sposta la massa

V = 0

F_att,s ≤ μ_s N

Quando F supera F_att,s, il corpo si mette in moto, e sul corpo si manifesta una forza di attrito dinamico

V ≠ 0

F_att,d = μ_d N

LAVORO, ENERGIA POTENZIALE

Definiamo

dW = ⌠ F d→

[W]; [F]L = MLT^-2L = ML²T^-2; kg _m²/s²; J

Nel moto rettilineo

∫_x0^x d⌠ dx = ∫_t0^t dv^. dx = ∫_v0^v v dv = ¹/₂v² - ¹/₂v₀²

∫ma dx = ∫ F dx = ¹/₂mv² - ¹/₂ mv₀²

Moto qualsiasi

⌠_T ⋅ v û_T = d⌠_T/dt

aû_T ⋅ aû_T + d⌠u^./dt û_T + v²/R û_n

W_AB^T_A = ∫_tA^B dW = ∫_ArA^B_rA F d→ = ∫_ArA^B_rA m(aû + a⌠)d→

=∫_ArA^B_rA m dv_t/dt d← u^. + ∫_ArA^B_rA ma„ u⌠^. u^.

= ∫_ArA^B_rA m dv_T ds + 0 =

=∫_TA^B ds/dt dv = ¹/₂ mv²_B - ¹/₂ mv²_A

∫ F dx = -EP(x) + cost ⇒ F = -dEP/dx

[F = -kx

(ET = 1/2 kx² + cost

F = -dEP/dx

grad f(x,y,z) = ∇f = ∂f/∂x î_x + ∂f/∂y î_y + ∂f/∂z î_z

Trasforma una funzione scalare in un vettore

F = -grad EP(x,y,z) = -∇EP

La forza ha la direzione lungo la quale l'energia potenziale varia più rapidamente, e modulo proporzionale alla rapidità con cui l'energia potenziale varia