Fisica Elettromagnetismo

Φ™Iœ Iœ Iœ

= • ∙ "Σ = ‰ ∇ ∙ "d

š < e

Dunque: ¸c ¸c

‰ "d ⟹ ‰ ∙ á + "d = 0 ⟺ … / $ $ …. = 0

‰ ∇ ∙ á "d = − Ð∇ Ñ

¸ ¸

e e e îï

Cioè: ì∙í + =ð

îæ

Significato fisico:

1 )

) Si definisce partendo dalla definizione di corrente elettrica e dalla definizione di

⟹

carica, ma l’uguaglianza è fatta se la carica non è più dentro la superficie, ma è

uscente la carica non scompare, ma esce: conservazione della carica.

2 )

) Quantità stazionaria (cioè non dipende dal tempo):

¸c ¸c

= 0, $ ∇∙á =0 =0

∙ 0 # # : ∇∙á + ¸ ¸

¸c

∙0 # # $ : =0 ⟹ ∇∙á =0

¸ á Σ Σ Σ

Significativa è l’applicazione di questo risultato ad un conduttore solido percorso da

una corrente di densità . La superficie è costituita da due diverse sezioni e

del conduttore e dalla superficie laterale del conduttore stesso, attraverso cui non

passa corrente, quindi:

•á ∙ "Σ = 0 ⟹ • á ∙ "Σ = • á ∙ "Σ + • á ∙ "Σ = 0

< < b b

x U

Ovvero: (− )

• á ∙ "Σ = • á ∙ "Σ

b b

U x

â =â

Di conseguenza:

Leggi di Ohm:

1 )

8 Della conduzione elettrica:

Suppongo che le cariche elettriche di conduzione (elettroni) siano diffuse nel

Iœ

metallo come un gas, quindi hanno una velocità media ed una lunghezza di

= ñ

L

cammino libero medio. La presenza di un campo elettrico: prova

= = /, d

ߜ

ñ L

ò ò

un’accelerazione: dell’elettrone di carica e massa che nel tempo

1 = d = d ߜ L

ò .

genera la velocità di deriva:

Iœ

1 ≪ 1 ⟹ d ≃

raggiunta da media termica costante.

á = $ 1 $d

g œœ

Iœ ⟹ í = õö , $ `= = $" 1 à

- 2/

1 =d /

2 )

8 Per i conduttori metallici: ℎ Σ.

Considero un conduttore metallico cilindrico di lunghezza e sezione Ai capi del

− ’

’ = ’

conduttore è applicata, tramite un generatore di forza elettromotrice, una

• • per cui il conduttore è sede di un campo

differenza di potenziale

Iœ ,

elettrico parallelo all’asse del cilindro, ed è percorso da una corrente elettrica di

`Iœ

á =

densità:

Il regime è stazionario, l’intensità di corrente ha lo stesso valore attraverso qualsiasi

sezione del conduttore e vale: â

`Iœ Iœ

â = á Σ = Σ ⟹ = `Σ

Tra il campo elettrico e la differenza di potenziale sussiste la relazione:

• Iœ

’ = ’ − ’ = ‰ I ∙ "# =

• • •

Dunque: â

Iœ = ⟹ ’ = ∙ â ⟹ ’ = • ∙ â, $ • ( # # $ )=

- `Σ `Σ `Σ

Iœ

’ =

Quanta energia ho dissipato? Basta calcolare il lavoro meccanico per spostare una

carica : " ’ = ’ − ’ :

• •

Considero la carica che si muove attraverso la d.d.p. per questo

spostamento viene compiuto il lavoro:

„ = ∆’ ∙ ⟹ "„ = ’ ∙ " = ’ ∙ â ∙ "

e spesa pertanto la potenza: "„ =’∙â

Y= " ’

’ =•∙â ⟹ Y =•∙â =

÷ Y =’∙â •

L’energia è andata nel calore. L’effetto di riscaldamento di un conduttore percorso

da corrente si chiama effetto Joule.

I resistori sono componenti elettrici, forniscono resistenza elettrica al passaggio di

corrente elettrica. Possono essere:

1) In serie:

Applico la legge di Ohm a ciascun resistore e sommo:

− ’ = • ∙ â,

’ (’ )

⟹ ’ − ’ = − ’ − (’ − ’ ) = (• + • ) ∙ â = • ∙ â

– • •

’ − ’ = • ∙ â • Š • • • Š •L

• Š • = • + • = • # # $ 1 $

•L

dove:

Tale relazione si generalizza subito ad un qualsiasi numero di resistori in serie ed

afferma che la resistenza equivalente di un sistema di resistori collegati in serie è

eguale alla somma delle singole resistenza. La potenza totale spesa è:

(’ ) (• )

Y = − ’ ∙ â = + • ∙ â = • ∙ â = Y + Y

• Š •L

2) In parallelo:

Due resistori si dicono in parallelo quando sono collegati tra loro in entrambi gli

− ’

’ = ’

estremi. In questo caso l’elemento comune ai due resistori è la differenza di

• •

â â • • ‡

e quindi in basa alla legge di Ohm sono attraversati da due

potenziale

correnti e , diverse se sono diversi i valori delle resistenze e . Nel punto

in cui la corrente si dirama nei due resistori posso generalizzare il ragionamento

, Σ â Σ, â â

Σ, Σ

fatto nell’equazione di continuità per il caso stazionario. Considero tre superficie

Σ Σ , con che entra attraverso e che escono rispettivamente attraverso

e ; per la condizione di stazionarietà:

â =â +â

Quindi: ’

â = • 1 1 1 1

’ ⟹ â=Ð + ∙ ’ = • ∙ â, $ • = +

Ñ Ð Ñ

• • • •

â = •L •L

•

+â

â =â

Le correnti nei due resistori valgono: ’ •

â = =â∙

1 1 • ∙• • • +•

’ = â• = âÐ + = â ∙ ⟹

Ñ ’ •

• • • +•

•L â = =â∙

• • +•

7. Forza magnetica. Campo magnetico

Interazione magnetica:

Forze tra materiali, caratteristiche:

Le due barrette sono elettricamente neutre quindi la forza non è attribuibile al

campo elettrico.

Nota Bene: È impossibile isolare i due estremi.

Caratterizzo fenomenologicamente, la forza tra i fili dipende da:

- La corrente che scorre in ciascun filo,

- Quanto è lungo il filo.

→

ñ

ø Lo definisco in modo infinitesimo (“tagliuzzo il filo”)

" â ∙ â ?

= ∙ , " 1 : "=" # $ " , â ,â # $ $

)

"ù " 2' Í.Î

? = † / ú à / …$ " 1 = 4' ∙ 10 û ͇ Î

)

Nota Bene:

â â ⟹

Se ed hanno lo stesso segno ha lo stesso verso.

â â ⟹

Se ed non hanno lo stesso segno cambia verso.

Campo magnetico:

Campo magnetico generato da un sistema di cariche in moto

œ̂ = ü Campo che applicato ad uno spezzone lungo " , produce una forza "

Proprietà: ⟹

È una grandezza vettoriale nessun oggetto scalare può generare / sentire un

campo magnetico. Voglio collegare il campo di induzione magnetica alla corrente

elettrica: â "

Consideriamo un filo percorso da una corrente lungo come in figura: se la

direzione del filo è ortogonale alla direzione del campo magnetico,

sperimentalmente si trova che la forza che agisce su di esso sarà mutuamente

perpendicolare sia alla direzione del campo magnetico che alla direzione del filo e

proporzionale all'intensità della corrente ed alla lunghezza del filo. Si può quindi

definire il campo di induzione magnetica, a partire da tale forza misurabile, come:

œ̂ = â"

L'espressione matematica della forza di un campo magnetico su un filo percorso da

corrente viene detta seconda legge di Laplace: œ̂

" = " ×

œ̂ :

" , " , Costituiscono una terna destrorsa.

Costante nel tempo. Valgono:

1) œ̂

Legge di Gauss: • ∙ "Σ = 0

<

2) Teorema della divergenza (forma locale del teorema di Gauss):

œ̂

∇ ∙ = 0

Forza di Lorentz: œ̂

= 1 ×

L 1

Si manifesta quando una particella è in moto con velocità (se è ferma su di essa

non agisce nessuna forza). Legare alle cariche:

=‰ á ∙ "Σ = ‰ $ 1 ∙ "Σ ".

< < =‰ 1 ∙ "Σ

b b "Σ"

". ". <

$= = b

"’ "Σ"

Riduco le cariche in movimento fino ad averne una (significa togliere l’integrale):

". ".

=‰ 1 ∙ " " 1 $ = 1 ∙ "Σ

"Σ" " "

< <

b

".

= 1 ∙ "Σ œ̂ œ̂

" = ". 1 ∙ × ⟹ = 1 ×

- " " < < L

œ̂

" = " ×

= 1ˆ sin =|

| | |

Modulo:

Casi particolari: œ̂

› = = 0 = = ' ⟹ sin = = 0 1 // ⟹ =0

' œ̂

= = 2' ⟹ sin = = 1 1 ⟹ =/ \

› == ⊥

2 (1 ),

( )

In particolare la forza è sempre ortogonale alla velocità cioè alla traiettoria

e pertanto in base alla definizione di lavoro e di energia cinetica si ha:

1 1

∆I = /1 − /1 = „ = ‰ ∙ "# = 0

2 2 À À

Y ã

œ̂

Per un qualsiasi spostamento dal punto al punto nella regione in cui esiste il

campo magnetico l’energia cinetica della particella resta costante in quanto la

forza di Lorentz non compie lavoro sulla particella.

Esempi di moto di cariche in campi magnetici:

1 ) = = R

) Moto in un campo magnetico uniforme, :

œ̂ œ̂

/, 1

è costante, ed in essa si trova una

Suppongo di avere una regione di spazio, dove

particella di massa carica (positiva) e con velocità normale alla direzione di

(entrante nel piano della figura). A causa della forza di Lorentz agirà su di essa una

forza normale alla traiettoria, che non compie lavoro, quindi centripeta. In

condizioni di equilibrio essendo l'accelerazione centripeta costante il moto nel piano