Fisica Elettromagnetismo

1. Forza elettrica, Campo elettrostatico:

Carica elettrica: (+/ −).

È una grandezza fisica scalere dotata di segno È una proprietà

fondamentale della materia. Tra le cariche agiscono due tipologie di forze:

1. Attrattiva (se le cariche sono di segno opposto)

2. Repulsiva (se le cariche sono dello stesso segno)

Legge di Coulomb:

Descrive la forza (Forza esercitata dal campo elettrico su una carica

di Coulomb)

elettrica: =

, = ℎ

=" # $ ℎ

1 .∙/

∙ = # $ = ≈ 9 ∙ 10

= ∙ -

4'( 0

) 0 ( )

" 1 ( = 8.8542 ∙ 10 # $ "

6 .∙/

)

= "à " $ 1

Due considerazioni:

1 ) ∙

8

2 ) è direttamente proporzionale a

8 è inversamente proporzionale a

Principio di sovrapposizione: )

Le forze elettriche agenti su una carica dovute alle cariche elettriche circostanti si

somma come vettori: = + + +⋯

9 : <

Esempio: , dati:

Voglio la forza esercitata su

= = 32 , = −1.2?0, = +3.7?0, = −2.3?0,

) 9

= 15 /, = 10 /

9

1 ∙ 1 ∙

= = 1.77 ., = = 2.48 .

4'( 4'(

9

) ) 9

= + = + sin = = 3.08 .

A B 9 9

= + = 0 − = −2.10 .

C C

G 9 9

H H H

Campo elettrostatico:

È la grandezza vettoriale: I= )

I

Il campo elettrostatico generato in un punto dello spazio da un sistema di cariche

ferme è definito come la forza elettrica risultante che agisce su una carica di prova

) )

positiva posta in quel punto divisa per la carica stessa.

In realtà sarebbe più corretto esprimere il campo elettrico nel modo seguente:

I = lim

L →O )

M

) deve essere abbastanza piccola in modo che non disturbi la distribuzione

Infatti )

delle cariche sorgenti. Questo limite non è mai raggiungibile, poiché sarà sempre

maggiore della carica elementare . ∙ ∙

∙ O

= ∙ I= ⟹ I= = ∙

O ) )

1 ) .

8

Due considerazioni:

2 )

8 Se è positiva il campo elettrico è uscente da

Se è negativa il campo elettrico è entrante in .

I

Anche per il campo elettrico vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Se ho

Q I = I + I + I + ⋯ I

dovuto a ciascuna carica -esima nel punto

un gruppo di cariche, calcolo 9 <

d’interesse e poi sommo vettorialmente tutti i campi:

Esempio: = ⟹I =I = L

9 9 T

:RS U

Distanza M

I →

I C C

si annulla con sono uguali ed opposti

2 cos(30 √3

)

)

I=I +I = = 4'(

4'(

H H ) )

Campo elettrostatico prodotto da una distribuzione continua di carica:

A livello pratico le cariche non sono quasi mai concentrate in un unico punto od in

una regione ristretta, ma sono distribuite nello spazio con una ben determinata

geometria. Tre passi per calcolare il campo elettrostatico:

"

"I Y.

1. Scegliere un elementino di carica arbitrario.

I = "I.

Z

2. Trovare il campo elettrico nel punto di osservazione

3. Integrare sulla distribuzione di carica, usando

La distribuzione di carica continua è descritta dalla sua densità di carica:

)

1) " = [(\ , ^ , ∙" :

] ] ]

Distribuzione lineare:

= [(\ , ^ , ) ∙ " =[

Z ] ] ]

T se la distribuzione è uniforme: .

)

2) " = `(\ , ^ , ∙ "Σ:

] ] ]

Distribuzione superficiale:

, ^ , ) ∙ "Σ = `Σ.

= `(\

Z ] ] ]

b se la distribuzione è uniforme:

)

3) " = c(\ , ^ , ∙ "d:

] ] ]

Distribuzione volumetrica:

, ^ , ) ∙ "d = cd.

= c(\

Z ] ] ]

e se la distribuzione è uniforme:

Esempi:

1 ) 2

) Filo di lunghezza : (2 ),

( )

=2 [⟹[= L

- La carica è distribuita uniformemente lungo tutto il filo di lunghezza

T " = ["\

- , ]

Y = (0, ^)

- La carica posseduta da ogni elementino di filo è: ,

"I(0, ^) = ,

- Considero il punto fgB h

:RS U

- Il campo elettrico prodotto da ogni elementino è: \

M

- Il filo è simmetrico rispetto all’asse y, quindi le componenti lungo si

(0,

"I(0, ^) = "I ^) = cos =

annullano scambievolmente, fgB h

G G G

:RS U

- ,

M

cos = = ^ ⟹ = G U

ijk l

U

- \ = sin = = ^ tan = ⟹ "\ = Ggl

] ] ijk l

U

- Hop

f

(0, ^)

"I = cos = = cos =

f

U

qrs p G G

HU RS G

:RS M

- M U

qrs p z

kuv y }

wx

(0, ^)

I = cos ="= = =

{HU |zU

ft fTt Lt

Z

H H H

O

RS G RS G~G •T :RS G~G •T

U U U U

- M M M

)

⟹ ^ ≫ ⟹ I(0, ^ ≫ = L G

:RS G U

- Interessante: se mi allontano dal filo M

cioè il campo generato da una carica puntiforme.

2 ) •:

) Anello di raggio

( ) •,

= 2'•[ ⟹ [ = ,

L

- La carica è distribuita uniformemente lungo l’anello di raggio

R‚ " = [" ,

- \, ^

- La carica posseduta da ogni elementino di anello è:

- L’anello è simmetrico rispetto all’asse quindi le componenti lungo si

(\)

"I = cos =,

annullano scambievolmente,

fgT

B B

:RS U

- M

(\ )

I = 2'• ,

" =

Z R‚

f ijk l f ijk l B

O

:RS :RS

U U

M M

- =• +\ , cos = = B

√‚ •B

U U

(\ )

I = L B

- ,

B

:RS ~(‚ )

•B

U U ƒ

- M ⟹ \ ≫ • ⟹ I(\ ≫ •) = L B

:RS B U

- Interessante: se mi allontano dal disco M

cioè il campo generato da una carica puntiforme.

Linee di forza:

Ogni carica risente la presenza delle altre cariche. Nel caso di una carica puntiforme,

le linee di forza hanno direzione radiale con origine sulla carica e sono uscenti da

questa se è positiva, entranti se è negativa. Proprietà:

1. Una linea di forza in ogni suo punto è tangente e concorde al campo in quel

punto.

2. Si addensano dove l’intensità di campo è maggiore.

3. Non si incrociano mai.

4. Hanno origine dalle cariche positive e termina sulle cariche negative.

5. Nel caso di segno opposto, ma uguali in modulo, tutte le linee che partono

alle cariche positive si chiudono su quelle negative.

2. Lavoro elettrico, Potenziale elettrostatico:

Lavoro delle forza elettrica: I= ⟹ = I

)

)

La forza che agisce su una carica, e che in quanto tale si chiama forza elettrica, si

"#

esprime sempre come prodotto della carica per un certo campo elettrico. Il lavoro

) è dato da:

della forza per uno spostamento elementare della carica

= ∙ "# = I ∙ "# = I cos = "#, (= = $… /† # "#)

"„ ) ) ‡ ˆ 0

Per uno spostamento finito dalla posizione alla posizione lungo un percorso il

„

lavoro è dato da:

„ = ‰ "„ = ‰ ∙ "# = ‰ I ∙ "# ⟹ = ‰ I ∙ "#

) )

Š Š Š Š

x x x x

‡ ˆ

0

Questo integrale definisce la tra i due punti e relativa al

tensione elettrica

percorso : (‡ )

‹ → ˆ $… 0 = ‰ I ∙ "#

Š

0 x ‡ ˆ

Se si considera un altro percorso si trova in generale un lavoro diverso e quindi

un diverso valore della tensione elettrica, pur essendo i punti e gli stessi:

‹ (‡ → ˆ $… 0 ) ≠ ‹ (‡ → ˆ $… 0 )

0, 0 ‡ ˆ

0 ˆ ‡,

Per un percorso chiuso composto ad esempio dal percorso da a e dal

percorso da ad il lavoro risulta:

„=• ∙ "# = • ∙ "# + • ∙ "# = • ∙ "# − • ∙ "# = „ − „

Š Š 6Š Š Š

x U x U

In generale il lavoro per un percoroso chiuso è diverso da zero.

I ⟹„=• ∙ "# = • I ∙ "# = ∙ ℰ, (ℰ = / )

= ) ) )

Š Š

‡ ˆ

Esistono delle forze, dette conservative, per le quali il lavoro compiuto nello

spostamento di un punto da e è funzione soltanto della posizione di partenza e

di quella di arrivo e non dal cammino seguito. Queste forze sono dette conservative

e le forze elettrostatiche ne sono un esempio. Per queste forze vale che:

• (ˆ) (‡),

‰ I ∙ "# = − ( è $ $ $ " " $ )

•

I,

All’opposto di questa funzione si dà il nome di del campo

potenziale elettrostatico

che risulta pertanto definito dalla funzione:

•

’ − ’ = ‰ I ∙ "#

• • •

•

’ − ’ = ‰ I ∙ "#

• • (’ )

⟹ „ = − ’ = − ∆’

• •• ) • • )

•

„ = ‰ I ∙ "#

•• ) • ‡ ˆ

) )

‡ ˆ

Il lavoro svolto dalla fora elettrica per portare da a è dato dal prodotto di

)

per la differenza di potenziale tra e ovvero dal prodotto di per l’opposto della

differenza di potenziale tra il punto di arrivo ed il punto di partenza.

Ad ogni forza conservativa è associata una determinata inoltre

energia potenziale,

per queste forze il lavoro è pari all’opposto della variazione della corrispondente

energia potenziale, per il caso elettrostatico si ha che:

(‡)

„ = −∆” = ” − ” (ˆ)

•• • • •

„ = − ∆’ ⟹ ∆” = ∆’ ⟹ ” = ’

– •• )

„ = −∆” • ) • )

•• • I,

(∆’) ‡ = ˆ

Dunque per un qualsiasi percorso chiuso nella regione in cui è definito essendo la

differenza di potenziale nulla in quanto valgono le relazioni:

ℰ = • I ∙ "# = 0

— „ = ∙ℰ =0

) 3. La legge di Gauss:

Flusso del campo elettrico: ⟹

Data una superficie, su di essa ci sono vari punti. In ogni punto c’è un campo

$ . ‡

vettoriale. Prendo un elemento piccolissimo posso considerarlo circa come un

‡,

piano. Prendo un vettore perpendicolare al piano ed anche un versore Sia il

vettore che definisce il campo vettoriale. L’elemento di flusso di attraverso la

"Φ™‡ = ‡ ∙ $ "›,

š

superficie è:

Dunque il flusso totale è: Φ = ‰ ‡ ∙ $ "›

™‡

š

b b

Considero il campo elettrico prodotto dalla carica :

1

−Iœ = 4'(

)

1 1 1 1

Calcolo il flusso:

"Φ™Iœ = ∙ $ "› = cos = "› = "› = "Ω

š 4'( 4'( 4'( 4'(

•

) ) ) )

"› = cos = "› è la proiezione sul piano perpendicolare a

• "›

"Ω = è l angolo solido sotto cui è visto dalla carica q il contorno "›

• ] •

Legge di Gauss: I,

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa, è uguale alla somma

(

algebrica delle cariche contenute entro la superficie, comunque siano distribuite,

)

diviso per : 1

Φ™Iœ (Σ )

=

š ( Q Q Q<¨

)

c(\, ^, )

In generale se il campo è generato d una distribuzione continua di cariche

caratterizzata dalla densità spaziale si ha:

1

Φ™Iœ ‰ c(\, ^, )"d

=

š (

) b

Due possibilità:

1. La carica è interna alla superficie chiusa:

™Iœ Iœ

Φ = • ∙ $ "Σ = ∙ 4' =

š Q<¨

4'( (

b ) )

b

2. La carica è esterna alla superficie chiusa:

™Iœ = 0

Φ š

b

Esempi di applicazione della legge di Gauss:

)

1 ) Superficie sferica carica: `

•.

Una carica è distribuita con densità superficiale costante su una superficie

sferica di raggio Campo elettrico:

( > •):

Y, > • I

- All’esterno

Nel punto distante dal centro, è radiale, poiché è dovuto alla

`

somma di contributi a due a due simmetrici, eguali in modulo, la cui risultante

è radiale, altrimenti significherebbe che non è uniforme:

™Iœ Iœ (4π )

Φ = • ∙ $ "Σ = E ∙

š 1

b (4π )

⇒ E ∙ = ⇒I= ∙

Q<¨ Q<¨

b 4π(

(

™Iœ

Φ =

š Q<¨ ) )

(

b )

= `Σ = `4π• 1 `4π• `•

1 ⇒ I = =

- I= ∙ 4π( (

Q<¨

4π( ) )

)

( < •):

- All’interno < •

Σ ]

Valgono le stesse ragioni di simmetria per cui il campo dovrebbe essere

( ).

EΣ ] di raggio

radiale ed il flusso attraverso una qualsiasi superficie sferica

dovrebbe valere . All’interno non c’è carica

™Iœ Iœ (4π )

Φ = • ∙ $ "Σ = E ∙

š 1

b (4π )

⇒ E ∙ = ⇒I= ∙

Q<¨ Q<¨

b ( 4π(

™Iœ

Φ =

š Q<¨ ) )

(

b )

= `Σ = 0 1 0

1 ⇒ I = =0

-

I= ∙ 4π(

Q<¨

4π( )

)

2 )

) Distribuzione di carica a simmetria sferica:

( ) c

•.

Una carica è distribuita con densità spaziale uniforme nel volume di una sfera

di raggio Campo elettrico:

( > •):

Y, > • I

- All’esterno

Nel punto distante dal centro, è radiale, poiché è dovuto alla

c

somma di contributi a due a due simmetrici, eguali in modulo, la cui risultante

è radiale, altrimenti significherebbe che non è uniforme:

™Iœ Iœ )

(4π

= •

Φ ∙ $ "Σ = E ∙

š 1

b (4π )

⇒ E ∙ = ⇒I= ∙

Q<¨ Q<¨

b ( 4π(

™Iœ

Φ =

š Q<¨ ) )

(

b )

4

= cΣ = cπ• 9 1 c4π• c•

3 9

⇒ I = =

1 4π( 3 3(

I= ∙ Q<¨ ) )

4π(

)

( < •):

- All’interno

Esiste ora una carica distribuita uniformemente ed il campo non è più nullo;

resta però valido l’argomento di simmetrica che porta ad un campo radiale

per cui il flusso attraverso una superficie sferica di raggio si scrive:

™Iœ Iœ )

(4π

= •

Φ ∙ $ "Σ = E ∙

š 1

b (4π )

⇒ E ∙ = ⇒I= ∙

Q<¨ Q<¨

b ( 4π(

™Iœ

Φ =

š Q<¨ ) )

(

b ) 4 cπ ∙

° ±

4 4 9

3 9

∶ cπ• = ∶ cπ ⇒ = =

9 9 1

4

3 3 • 9

Q<¨ Q<¨ 9

cπ• ⇒I= ∙ =

9

3 4π( 4π(

• •

9 9

1 ) )

I= ∙ Q<¨

4π(

)

4

= cπ• 9 4 c

3 ⇒I= ∙ cπ• =

² 9

4π( • 3 3(

9

I= ) )

4π( • 9

)

3 )

) Cilindro carico superficialmente:

•.

Una distribuzione spaziale continua ed uniforme di carica ha forma cilindrica di

raggio La simmetria cilindrica del problema suggerisce che il campo sia diretto in

Σ

ogni punto ortogonalmente all’asse del cilindro formato dalla carica e sia costante

> • ℎ. I Σ

su ogni superficie coassiale di raggi . Considero una scatola cilindrica di raggio

ed altezza Il flusso di attraverso le basi di è nullo in quanto il campo è

.

< Σ

parallelo alle basi e quindi ortogonale a Il flusso attraverso la superficie laterale,

che per quanto detto coincide con il flusso totale attraverso vale:

( > •):

- All’esterno

™Iœ (2πrh)

Φ = ³ I ∙ $ "Σ = E ∙

š

b (2πr)

⇒ I ∙ = ⇒I=

Q<¨ Q<¨

b ( 2πrh(

™Iœ

Φ =

š Q<¨ ) )

(

b )

= ‰ c "d = c ∙ ('• ℎ) 1 c•

Q<¨ ('•

⇒I= ∙ c ∙ ℎ) =

² 2( r

2πrh(

I= Q<¨ ) )

2πrh(

)

( < •):

- All’interno

™Iœ (2πrh)

Φ = ³ I ∙ $ "Σ = E ∙

š

b (2πr)

⇒ I ∙ = ⇒I=

Q<¨ Q<¨

b ( 2πrh(

™Iœ

Φ =

š Q<¨ ) )

(

b ) πr h 2

πR h πr h ⇒ 1

∶ c = ∶ c = =

πR h 2

⇒ I = ∙ =

² •

$ $ 2 2πrh( 2πR h(

•

I= Q<¨ 2

) )

2πrh(

)

h

= πR c c∙

⇒I= ∙ πR h

- c =

I= 2πR h( 2(

2πR h( ) )

)

4 )

) Piano carico infinito: `

Una carica è distribuita con densità superficiale su un piano indefinito. Per ragioni

di simmetria il campo elettrostatico è ortogonale al piano su cui è distribuita la

carica e ha versi opposti dalle due parti (cioè è sempre uscente o sempre entrante).

Σ, 2IΣ

Come superficie a cui applicare la legge di Gauss scelgo una scatola cilindrica co