Appunti Fisica

Introduzione

La fisica cerca di capire quali regole governano il funzionamento del mondo naturale che ci circonda. Lo fa attraverso:

• Osservazione di fenomeni ripetibili in circostanze ben definite («sistemi»)
• Costruzione di modelli semplificati → catturano i dettagli importanti del sistema e del fenomeno che si stanno osservando
• Uso del linguaggio matematico per:
  • Descrivere le «regole del gioco» importanti per il sistema osservato (leggi fondamentali)
  • Dedurre in modo logico e consistente come si svolge il fenomeno (in funzione di certe condizioni specifiche)

Grandezze e dimensioni fisiche

Una grandezza fisica è una qualunque proprietà che si possa misurare (almeno in linea di principio). Misurare significa assegnare un valore ad una certa quantità così da poterla confrontare con altre quantità «simili» (omogenee). Ogni grandezza fisica è caratterizzata da una combinazione di «dimensioni» fisiche: lunghezza, tempo, massa, ... Si indicano spesso fra parentesi quadre: [L] (lunghezza), [M] (massa), [t] (tempo), …

Alcune dimensioni sono combinazione di altre. Per esempio, la velocità è il rapporto fra una lunghezza e un tempo: [L]/[t]. Quali siano le dimensioni «semplici» (cioè fondamentali) e quelle «composte» (cioè derivate) dipende dalla scelta del sistema di misura. Principio di omogeneità: solo grandezze omogenee si possono sommare, sottrarre o uguagliare. Nel Sistema Internazionale (SI), [L], [M], [t] e [A] (Ampere) sono dimensioni fondamentali.

Assegnare un valore ad una quantità significa assegnare: un numero, che esprime il «quanto» e un’unità di misura, che esprime il «di cosa», cioè il campione a cui si riferisce il numero: metro, kilogrammo, secondo, mole, ampere, etc.… Le unità di misura devono essere trattate come costanti in equazioni matematiche: non si possono mettere e togliere a piacere: l’equazione cambia! 3 ≠ 3 ⇒ 3 ≠ 3.

Errori di misura

Ogni strumento o tecnica ha una «precisione» limitata. Una misura non ci dirà (quasi) mai esattamente quanto vale una quantità. Quando si esprime il valore di una grandezza fisica, si esprime anche allo stesso tempo l’incertezza che abbiamo su quel valore:

• Esplicitamente, indicando l’incertezza con un ±. Per esempio: «sono alto 178 ± 2 cm» vuol dire che ho usato un «righello» (o una tecnica) che non era in grado di distinguere la differenza fra 176 da 180 cm.
• Implicitamente, assumendo errore unitario sull’ultima cifra. Per esempio: «sono alto 178 cm», significa che so di non essere 177 cm o meno, né 179 cm o più, ma non so se sono 177,8 cm o 178,4 cm. Questo equivale, per convenzione, a ± 1 cm.

Quantità scalari e vettoriali

Quantità scalari: sono completamente espresse da un solo valore (numero + unità di misura). Si indicano semplicemente con una lettera. Esempi: temperatura, lunghezza, massa, volume, tempo...

Quantità vettoriali: per essere ben definite hanno bisogno di un valore (numero + unità di misura) detto modulo o intensità e una direzione (e un verso). Si indicano in grassetto o con una freccina. Esempi: velocità, accelerazione, forza... Nel linguaggio matematico italiano, la direzione è una retta, e il verso indica, appunto in che verso la si percorre (verso quale estremo); quindi due auto che vanno una a Nord e una a Sud vanno nella stessa direzione, ma verso opposto. Nota bene che in inglese questa distinzione non esiste: Nord e Sud sono due direzioni diverse.

Operazioni vettoriali

Descrivere un vettore con modulo, direzione e verso non è molto pratico: non è facile confrontare vettori differenti e fare operazioni matematiche invece si possono rappresentare in un sistema di coordinate:

• Fissiamo 3 vettori ortogonali (di lunghezza unitaria) nello spazio: i versori i, j, k.
• Contiamo quante volte ognuno dei vettori della base va sommato per ottenere il vettore finale.
• Esempio in 2D: ...

Meccanica

La meccanica si occupa di descrivere il moto dei corpi. Si divide in:

• Cinematica: descrive il moto, ignorando le cause.
• Statica: descrive le situazioni in cui la somma di più forze mantiene un corpo in equilibrio.
• Dinamica: studia il moto dei corpi indotto dall’azione di una o più forze.

Posizione e spostamento

La posizione di un corpo può essere definita solo in relazione ad altri corpi che fanno da riferimento (origine). Stabilita un’origine, la posizione di un corpo è individuata dal vettore posizione che va dall’origine al corpo. Stabilito un sistema di coordinate (versori: vettori unitari privi di unità di misura), può essere indicata con le componenti del vettore posizione, che diventano le coordinate del corpo. Lo spostamento è la variazione della posizione. Il vettore spostamento è la differenza fra due vettori posizione presi a tempi diversi.

Traiettoria e legge oraria

L’insieme dei punti occupati da un corpo nel tempo costituisce la traiettoria del corpo. La traiettoria NON dà informazioni su quando il corpo è in un certo punto dello spazio. La traiettoria può essere espressa:

• In forma esplicita, esprimendo una coordinata come funzione delle altre: x = 2y² + 3.
• In forma parametrica, esprimendo tutte le coordinate in funzione di un ulteriore parametro: x = cos θ, y = sin θ, z = 0. La forma parametrica è spesso la più facile per esprimere traiettorie complicate (e a volte l’unica possibile). Se si esprime la traiettoria in forma parametrica e il parametro è il tempo, si ha una legge oraria: x(t) = 3t, y(t) = 2t - 2, z(t) = 4. NOTA: la forma parametrica non è l’unico modo di esprimere una legge oraria.

Conoscere il moto di un corpo significa conoscerne la legge oraria.

Velocità media

Un corpo si muove se la sua posizione cambia nel tempo. La velocità descrive come (direzione) e quanto rapidamente (modulo) la posizione varia nel tempo. La velocità è un vettore! La velocità media fra i tempi t₁ e t₂ si calcola come:

• La differenza fra i vettori posizione ai tempi t₂ e t₁: in che direzione la posizione è cambiata.
• Diviso il tempo intercorso fra gli istanti t₁ e t₂: quanto rapidamente la posizione è cambiata.

Velocità istantanea

La velocità media non ci fornisce dettagli su come il corpo si è spostato da t₁ a t₂. Possiamo ottenere un'informazione più precisa se dividiamo l’intervallo [t₁, t₂] in due intervalli più piccoli e calcoliamo la velocità media per ognuno. In generale il risultato sarà diverso nei due intervalli. Possiamo ripetere l’operazione dividendo in intervalli sempre più piccoli. Il tempo durante il quale è avvenuto lo spostamento sarà sempre più piccolo. Il vettore spostamento sarà sempre più piccolo. Al limite in cui l’intervallo di tempo diventa infinitamente piccolo (Δt → 0) anche lo spostamento diventa infinitamente piccolo (Δs → 0). Il rapporto è la velocità istantanea.

L'accelerazione

Un corpo è accelerato se la sua velocità cambia nel tempo. L’accelerazione descrive come (direzione) e quanto rapidamente (modulo) la velocità varia nel tempo. L'accelerazione è un vettore! L'accelerazione media fra i tempi t₁ e t₂ si calcola come:

• La differenza fra i vettori velocità ai tempi t₂ e t₁: in che direzione la velocità è cambiata.
• Diviso il tempo intercorso fra gli istanti t₁ e t₂: quanto rapidamente la velocità è cambiata.

Come per la velocità, l'accelerazione istantanea è il limite dell'accelerazione media quando l'intervallo di tempo diventa infinitesimo: a = dv/dt. L'accelerazione è un vettore. Può essere proiettato lungo le direzioni parallela alla velocità (accelerazione tangenziale, fa cambiare il modulo della velocità) e perpendicolare alla velocità (accelerazione normale, fa cambiare la direzione della velocità).

Moto rettilineo uniforme

• Tipo più semplice di moto
• Percorre lunghezze uguali in intervalli di tempo uguali → la velocità è costante e l'accelerazione è nulla. S = vt + s₀

Moto uniformemente accelerato

• L’accelerazione è costante
• La velocità aumenta in modo lineare col trascorrere del tempo t secondo la relazione v = at + v₀, dove v₀ è la velocità iniziale del corpo. Lo spazio percorso varia con il quadrato degli intervalli di tempo: s = s₀ + v₀t + ½at²

Moto parabolico

• Composizione di due moti rettilinei in direzioni ortogonali: moto rettilineo uniforme e moto rettilineo uniformemente accelerato.

Moto circolare uniforme

• Moto che si svolge lungo una circonferenza
• Nel moto circolare uniforme, anche se il modulo della velocità è costante (percorre archi uguali in tempi uguali), la direzione e il verso della velocità variano in ogni istante. Pertanto il moto circolare uniforme è un moto accelerato.

Velocità tangenziale → l’intervallo di tempo impiegato dal corpo per effettuare un giro completo è chiamato periodo T. La frequenza è il numero di giri compiuti nell'unità di tempo f = 1/T (si misura in Hertz). La velocità tangenziale è la velocità di un corpo che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio r e che impiega un tempo T per percorrere l’intera circonferenza: v = (2πr)/T. La velocità tangenziale ha modulo costante, mentre la sua direzione, in ogni punto, è quella della retta tangente alla circonferenza in quel punto. Dalla formula si osserva che la velocità tangenziale è direttamente proporzionale al raggio.

Velocità angolare → La velocità angolare (o velocità radiale) esprime la rapidità con cui il raggio, che collega il centro della circonferenza al corpo, descrive l’angolo al centro corrispondente all’arco di circonferenza percorso dal corpo. Il modulo della velocità angolare media è il rapporto tra lo spostamento angolare del corpo e l’intervallo di tempo impiegato a compiere tale spostamento. Si misura in Rad/s. La relazione fra le due velocità è: v = ωr.

La statica

Primo principio della dinamica: in assenza di forze, un corpo mantiene il suo stato di moto inalterato → ovvero rimane in moto rettilineo uniforme, di cui “rimanere in quiete” è un caso particolare. F = 0 → a = 0. Una forza è una qualsiasi causa capace di alterare lo stato di riposo o di moto di un corpo.

Quando agiscono più forze bisogna considerare la risultante delle forze ovvero la somma vettoriale di tutte le forze agenti sul corpo.

Il momento di una forza

Quando applichiamo una forza a un corpo libero, esso può iniziare a traslare, a ruotare o anche a traslare e ruotare nello stesso tempo → il moto è legato al modo in cui abbiamo applicato la forza. Il momento di una forza è un vettore che esprime l’effetto di rotazione causato dalla forza stessa. In particolare, il vettore ha le seguenti caratteristiche:

• Il suo modulo è dato dal prodotto dell’intensità della forza F e il modulo del braccio: M = F⋅b;
• La sua unità di misura nel Sistema Internazionale è, quindi, Newton per metro (N⋅m);
• La sua direzione è perpendicolare al piano che contiene il vettore forza e il punto O;

Se indichiamo con α l’angolo tra i vettori r ed F, possiamo esprimere il loro prodotto vettoriale nel seguente modo: M = r × F = r⋅F⋅sinα. Il momento di una forza può essere positivo, negativo o nullo in base al senso di rotazione del braccio. Se il senso è quello orario, il momento viene considerato negativo; se il senso di rotazione è antiorario si avrà un momento positivo. Se, invece, non vi è rotazione, il momento è nullo.

Condizioni di equilibrio

Per un corpo puntiforme:

• Descritto solo dalla sua posizione ⇒ Somma delle forze nulla: ∑F = 0.

Per un corpo esteso:

• Vale ancora ∑F = 0 (somma delle forze uguale a zero).
• Inoltre, il corpo non deve ruotare. Somma dei momenti nulla: ∑M = 0.

Dinamica

Le forze fondamentali sono:

• Gravitazionale: Le cose cadono, i corpi celesti orbitano. Ha effetti significativi solo a scale macroscopiche.
• Elettromagnetica: Le cariche si attraggono o si respingono. Più importante a scale piccole, meno a scale enormi.
• Nucleare debole: Responsabile di alcuni fenomeni atomici. Importante solo su scale atomiche e sub-atomiche.
• Nucleare forte: Protoni e neutroni si aggregano a formare nuclei atomici. Importante su scale sub-atomiche.

A livello macroscopico, si distinguono interazioni:

• A distanza: agiscono anche se i due corpi non si toccano, e in generale sono tanto più forti quanto più vicini sono i corpi.
• Di contatto: agiscono solo fintanto che i corpi sono a contatto, e diventano istantaneamente zero non appena i corpi vengono separati.

A livello microscopico, tutte le interazioni sono interazioni a distanza.

Secondo principio della dinamica: L’accelerazione subita da un corpo è proporzionale alla forza ad esso applicata: F = ma → a = F/m. È un equazione vettoriale. La «forza» è in realtà la risultante delle forze. La costante di proporzionalità viene chiamata massa (inerziale).

Osservazioni fondamentali

• Forza nulla → accelerazione nulla → moto rettilineo uniforme (1^mo principio).
• Forza e accelerazione sono parallele e concordi.
• La forza non è direttamente legata alla velocità.
• In natura si osservano solo masse positive!

Così come la descrizione cinematica del moto, la descrizione dinamica dipende dalla scelta del sistema di riferimento (origine degli assi). I sistemi di riferimento in cui valgono il primo e il secondo principio della dinamica sono detti sistemi inerziali. Ogni sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è inerziale. Negli altri sistemi di riferimento, la descrizione della dinamica è più complessa. Si devono introdurre forze «fittizie», cioè che non derivano da una reale interazione fisica. I sistemi di riferimento ancorati alla Terra a rigore non sono inerziali → Per molte applicazioni le correzioni sono piccole, e possono essere considerati inerziali.

Terzo principio della dinamica

Ogni qualvolta un corpo esercita una forza su un altro corpo, il secondo corpo esercita sul primo una forza di stesso modulo e direzione, ma verso opposto, comunemente detto principio di azione e reazione. Consideriamo un libro appoggiato sopra un tavolo. Il libro applica al tavolo una forza pari al proprio peso, dovuta all’azione della gravità; il tavolo agirà sul libro applicando ad esso una forza uguale e contraria al suo peso. Sul libro perciò agiscono due forze: quella di gravità e quella di reazione del tavolo.

La forza di gravità

La forza è rivolta verso il basso. La distanza è praticamente costante. La massa della terra è molto maggiore di quella degli oggetti considerati. Per corpi estesi si considera applicata nel centro di massa.

La forza elastica

Se una massa m viene vincolata ad una molla posta su un piano orizzontale e la molla viene allungata e poi lasciata libera, la massa compirà delle oscillazioni armoniche intorno alla posizione di riposo con un periodo pari a T. In effetti, la legge fondamentale della dinamica ci permette di calcolare l’accelerazione di un corpo di massa m soggetto alla forza elastica: F = ma = -kx, da cui a = -k/mx.

Come si vede l’accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento del corpo ed è sempre rivolta nel senso opposto ad esso.

Energia e lavoro

Energia → capacità di compiere un lavoro (es. cinetica, potenziale, chimica, termica, nucleare ecc.).

Lavoro → il lavoro di una forza è il prodotto scalare fra il vettore forza F e il vettore spostamento s: L = Fs, se hanno direzione e verso uguali. Se le direzioni sono diverse allora il lavoro è compiuto solo dalla componente della forza nella direzione dello spostamento: L = s(F cosθ). Se ne deduce che il lavoro di una forza è nullo se la forza è nulla, se lo spostamento è nullo o se forza e spostamento sono perpendicolari fra loro. Il lavoro è additivo e per spostamenti concatenati si sommano i lavori. Se agiscono più forze, il lavoro totale è la somma dei lavori.

Sistemi isolati e conservazione dell'energia

Un sistema è un insieme di corpi e di spazio ben definito e distinto dal resto dell’universo. Un sistema si dice isolato se tutte le interazioni (forze) e scambi di energia avvengono all'interno di esso senza influenze esterne.