Fisica 2- Equazioni di Maxwell

Appunti di fisica 2: equazioni di Maxwell

Introduzione

Le equazioni di Maxwell rappresentano la sintesi più compiuta nella descrizione dei fenomeni elettromagnetici in senso classico, ovvero non quantistico, riassumendo la perfetta simmetria che esiste in natura tra i fenomeni di natura elettrica e quelli di natura magnetica. Elaborate nel 1865 dal fisico James Clerk Maxwell, si presentano come una riorganizzazione sistematica delle leggi fondamentali che regolano l'interazione elettromagnetica. Di base si ritrova l'osservazione per cui correnti elettriche o campi elettrici variabili nel tempo generano campi magnetici, i quali a loro volta, sotto talune condizioni, possono indurre correnti elettriche all'interno di un conduttore.

Si considererà nella derivazione delle equazioni il caso stazionario di correnti elettriche costanti nel tempo, già studiato da fisici noti come il danese Oersted. In secondo luogo, verrà preso in esame il caso non stazionario di correnti elettriche variabili nel tempo, per la descrizione del quale il contributo di Maxwell risulterà determinante.

Per ciascuna equazione si darà una formulazione integrale e una differenziale, ricavata mediante i teoremi dell'analisi matematica; si utilizzeranno le equazioni di Maxwell, infine, per ricavare l'equazione classica delle onde elettromagnetiche nel vuoto.

Questi appunti sull'argomento sono liberamente redatti dall'autore come percorso di studio approfondito per il corso di Fisica 2 della Facoltà di Ingegneria. L'approccio è analitico e minimamente teorico, la simbologia è stata il più possibile alleggerita e le notazioni sono sempre spiegate a seguire. Le fonti bibliografiche consultate sono citate in calce al documento.

Non si esclude la presenza di errori ed omissioni involontarie, che il lettore è invitato a segnalare all'indirizzo angelo1697@gmail.com

Legge di Gauss del campo elettrico

Si consideri una qualsiasi superficie chiusa S, che si dirà gaussiana, contenente al suo interno una carica elettrica Q, presa con il suo segno. Per il campo elettrico generato dalla carica è possibile definire il termine di Flusso (Φ(E)) attraverso la superficie S come:

Φ(E) = ∫_S E · n dS (1)

dove n è il versore normale all'elemento di superficie dS, scelto con la convenzione che il verso positivo del vettore sia quello uscente dalla superficie. Da cui risulta immediatamente che Φ(E) > 0 se la carica è positiva, e viceversa se la carica è negativa.

Il Teorema di Gauss afferma che, in queste condizioni, il flusso del campo elettrico attraverso la superficie gaussiana S dipende solo dalla carica Q presente al suo interno e si scrive come:

Φ(E) = ∫_S E · n dS = Q / ε₀ (2)

Non si fanno ipotesi sull'origine del campo E, che può essere dovuto alla carica Q come ad una qualsiasi distribuzione di carica esterna alla superficie. Di fatto, si può provare che il flusso di E attraverso S dovuto ad una carica non contenuta in S è nullo, e pertanto il termine di flusso dipende solo da Q, come enunciato nel teorema. ε₀ è la costante dielettrica del vuoto.

Se la superficie S contiene Q cariche al suo interno, indipendentemente da come queste siano distribuite in essa, la legge di Gauss si generalizza come:

Φ(E) = ∫_S E · n dS = Σ(Q_i) / ε₀ (3)

Teorema della divergenza

Sia S una superficie chiusa regolare e orientabile che racchiude un volume V, e F : D ⊆ R³ → R³ un campo vettoriale (continuo). Allora:

∫_S F · n dS = ∫_V div(F) dV (4)

Utilizzando il teorema della divergenza, otteniamo con qualche passaggio la forma differenziale del teorema di Gauss. Ricordando la definizione di densità volumetrica di carica (ρ), la carica Q può scriversi come:

Q = ∫_V ρ dV (6)

per cui dal teorema di Gauss risulta:

∫_V div(E) dV = ∫_V ρ / ε₀ dV (7)

Il volume V di integrazione è lo stesso, per cui dovrà risultare l'uguaglianza delle integrande:

div(E) = ρ / ε₀ (8)

che è la forma differenziale (puntuale) del teorema di Gauss e costituisce la prima equazione di Maxwell.

Legge di Gauss del campo magnetico

Per il campo magnetico è possibile definire un termine di flusso Φ(B) attraverso una qualsiasi superficie S analogamente a quanto fatto per il campo elettrico.

Φ(B) = ∫_S B · n dS (9)

L'unità di misura del flusso del campo magnetico è il Weber (1 Wb = 1 T·m²).

Significativo è il caso di una superficie gaussiana (chiusa) che racchiuda una sorgente del campo magnetico. Si può costruire per il campo magnetico una famiglia di curve - le linee di forza del campo...