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Fisica 2- Equazioni di Maxwell

Appunti universitari di Fisica 2 riguardanti le Equazioni di Maxwell e la loro trattazione analitica. Sono trattati la Legge di Gauss del campo elettrico, la Legge di Gauss per il campo magnetico, il Teorema di Ampère e l'induzione elettromagnetica. Infine sono ricavate le equazioni differenziali delle onde elettromagnetiche nel vuoto.

Esame di Fisica 2 docente Prof. E. Campari

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ESTRATTO DOCUMENTO

Z Q

~ ~ · ·

Φ(

E) = E n dS = (2)

b ε 0

S ~

Non si fanno ipotesi sull’origine del campo E, che può essere dovuto alla carica

Q come ad una qualsiasi distribuzione di carica esterna alla superficie. Di

~

fatto, si può provare che il flusso di E attraverso S dovuto ad una carica non

contenuta in S è nullo, e pertanto il termine di flusso dipende solo da Q,

come enunciato nel teorema. ε è la costante dielettrica del vuoto.

0

Se la superficie S contiene Q cariche al suo interno, indipendentemente da

i

come queste siano distribuite in essa, la legge di Gauss si generalizza come:

P

Z Q i

~

~ i

· ·

E n dS =

Φ(

E) = (3)

b ε 0

S

Teorema della divergenza

Sia S una superficie chiusa regolare e orientabile che racchiude un volume V,

~ 3 3

⊆ →

e F : D R R un campo vettoriale (continuo). Allora:

Z Z

~ ~

· ·

F n dS = div(

F )dV (4)

b

S V

Utilizzando il teorema della divergenza, otteniamo con qualche passaggio la

forma differenziale del teorema di Gauss.

Ricordando la definizione di densità volumetrica di carica (ρ), la carica

R

Q = ρdV

Q può scriversi come : V

Allora: Z Z

~ ~

· ·

E n dS = div(

E)dV (5)

b

S V

Z

1

Q = ρdV (6)

ε ε

0 0 V

per cui dal teorema di Gauss risulta

Z Z

1

~

div( E)dV = ρdV (7)

ε 0

V V

il volume V di integrazione è lo stesso, per cui dovrà risultare l’uguaglianza

delle integrande: ρ

~ (8)

div E = ε 0

che è la forma differenziale (puntuale) del teorema di Gauss e costituisce la

prima equazione di Maxwell 2

Legge di Gauss del campo magnetico ~

Per il campo magnetico è possibile definire un termine di flusso Φ(

B) attraverso

una qualsiasi superficie S analogamente per quanto fatto per il campo elettrico.

Z

~ ~ · ·

Φ(

B) = B n dS (9)

b

S 2

·m

L’unità di misura del flusso del campo magnetico è il Weber(1 Wb= 1 T ).

Significativo è il caso di una superficie gaussiana (chiusa) che racchiuda una

sorgente del campo magnetico. Si può costruire per il campo magnetico una

famiglia di curve - le linee di forza del campo- tracciate in modo tale che queste

si dipartano dal polo Nord del magnete o dell’elettromagnete e vadano a finire

nel polo Sud della stessa sorgente. Il numero di linee di forza che attraversano

una superficie si può associare al flusso del campo stesso, dal momento che

entrambi crescono linearmente con l’intensità del campo.

Se una superficie chiusa racchiude una sorgente di campo magnetico, dal mo-

mento che non è possibile isolare monopoli magnetici e quindi una sorgente di

campo mostrerà sempre un polo Nord e un polo Sud, per un ugual numero di

linee di forza che attraversano la superficie gaussiana in uscita da un polo, una

uguale quantità la attraversa in ingresso verso l’altro polo. I due termini di

flusso pertanto si annullano. Si è empiricamente dimostrato che, se S è chiusa:

Z

~ ~ · ·

Φ(

B) = B n dS = 0 (10)

b

S

e per il teorema della divergenza, la stessa relazione si traduce in

~

div B =0 (11)

Teorema di Ampère

L’esperienza di Oersted ai primi del 1800 mostrò come un filo rettilineo molto

lungo percorso da corrente produce nelle sue vicinanze un campo magnetico,

le cui linee di forza sono circonferenze concentriche centrate sul filo e il cui

~

relativo vettore di campo B giace in ogni punto sulla direzione tangente alla

circonferenza passante per quel punto, e il cui verso si può determinare medi-

ante la regola della mano destra, e dipende dal verso della corrente.

Si ricavò sperimentalmente la relazione che lega l’intensità di B all’intensità di

corrente nel filo e alla distanza dal filo stesso, che dalla teoria sul magnetismo

è noto essere µ I

0

B = (12)

2πd

3

Questa osservazione, pur evidenziando come cariche in moto generino un campo

magnetico, risulta limitata ad una geometria molto particolare e non è appli-

cabile ad una generalità di casi.

Il fisico e matematico francese André Marie Ampère ricavò una relazione che

generalizzasse i rapporti tra le correnti elettriche che fluiscono in un filo condut-

tore e i campi magnetici da esse generate, indipendentemente dalla geometria

del filo e dalla sua lunghezza. Il risultato va sotto il nome di Teorema di

Ampère ed è una delle leggi fondamentali della fisica e dell’elettromagnetismo,

confluendo direttamente nelle equazioni di Maxwell. Se ne schematizzano le

ipotesi e l’enunciato come segue:

IPOTESI

Si consideri un filo percorso da corrente e una curva chiusa C che circonda il

filo.

Si dirà che la corrente I è concatenata alla curva.

Equivalentemente si può osservare che presa una qualsiasi superficie S con

bordo che si appoggi alla curva C, la corrente I concatenata ”buca” la super-

ficie S.

TEOREMA I d~l

~ ·

B = µ I (13)

0 concatenata

C

Osservazione importante: la corrente I concatenata non varia nel tempo,

ovvero si realizza il cosiddetto regime di corrente stazionaria. −7

·

Altre osservazioni: µ è la permeabilità magnetica del vuoto e vale 4π 10 T

0

· m/A; la scelta del percorso di integrazione C è arbitraria e il calcolo è per-

tanto facilitato su curve regolari. Osserviamo esplicitamente che la relazione

data dalla legge di Ampère non consente un agevole calcolo del valore di B, a

differenza di altre relazioni più immediate e scritte in funzione di B, come la

prima formula di Laplace e la Legge di Biot-Savart.

Risulta però importante notare che quando il calcolo dell’integrale è facili-

tato, il teorema permette di dimostrare la validità di risultati fondamentali

come quello dato dalla relazione (12), come mostrato di seguito.

Si vuole calcolare l’intensità del campo magnetico nel punto P a distanza d

da un filo rettilineo molto lungo percorso da una corrente I; si scelga C come

una circonferenza proprio di raggio d passante dunque per P. B è costante

rispetto all’integrazione e si porta fuori dal segno di integrale. Risulta dunque

dal Teorema di Ampère che

I µ I µ I

0 0

d~l ⇒ ⇒

B = µ I B = B = (14)

0 Length(C) 2πd

C

come si voleva. 4

Teorema di Stokes

Sia C una curva regolare chiusa, S una superficie regolare orientabile, qualsiasi,

~

che si appoggia alla curva C ; sia F un campo vettoriale (continuo). Allora:

I Z

~

~ ~

· · ·

F d l = rot(

F ) n dS (15)

b

C S

Ricordando la definizione del vettore densità di corrente, tale che valga

Z ~j · ·

I = n dS (16)

b

S

e applicando il Teorema di Stokes al termine integrale del Teorema di Ampère,

risulta: I Z Z

~

~ ~ ~j

· · · · ·

B d l = rot( B) n dS = µ n dS (17)

0

b b

C S S

dato che la superficie di integrazione è la stessa per ambo i termini deve

risultare l’uguaglianza delle funzioni integrande:

~ ~j

rot(

B) = µ (18)

0

che è l’espressione differenziale puntuale del Teorema di Ampère e costituisce

la terza equazione di Maxwell per il caso delle correnti stazionarie.

Considerazioni sul caso non stazionario e corrente di sposta-

mento

Nel caso di correnti non stazionarie che variano nel tempo, Maxwell evidenziò

la non applicabilità del Teorema di Ampère cosı̀ formulato, che risultava in-

completo e quindi non valido. Le criticità mostrate dal teorema in questa

forma sono sia di tipo analitico che di tipo teorico. Mostriamo prima di tutto

le incompatibilità dal punto di vista analitico. Dobbiamo anzitutto osservare

che nel caso di correnti stazionarie, stando alla relazione (16) e al teorema della

~j)

divergenza, risulta che div( = 0.

Per il caso non stazionario dobbiamo invece considerare un flusso di carica

variabile che supponiamo attraversi la superficie che circonda un elemento di

volume V in un intervallo ∆t = t t ; all’interno di questo volume si rinverrà

f 0

quindi una quantità di carica dQ variabile anch’essa nel tempo. Osserviamo

che un flusso di carica in ingresso nella superficie (senza uscita) determina

un accumulo di carica per cui Q all’istante t risulta chiaramente maggiore in

f

modulo di Q all’istante iniziale t . Viceversa se il flusso di carica fosse in uscita

0

dalla superficie. La descrizione analitica di questo fenomeno non stazionario

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AUTORE

angelost

PUBBLICATO

7 mesi fa


DETTAGLI
Esame: Fisica 2
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria chimica e biochimica
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher angelost di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Campari Enrico Gianfranco.

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