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Fisica II
|Fel| = 1/4πεᵢ |q₁q₂/|r₁₂|²
↖ qᵧ
↘ Feᵢ
↑ sᵢᵐᵇ, se segno diverso
εₒ = 8,85 ⋅ 10-12 C/N⋅m²
e = 1,602 ⋅ 10-19 C
Se abbiamo più cariche è una forza additiva:
Fᵪ = Σ 1/4πεᵢ qᵢqⱼ/|rᵢⱼ|²
j = 1
i ≠ j
Campo elettrico
E = Fel/q [V/m]
→ carica di prova
anche il campo elettrico è additivo
Inoltre se non abbiamo una carica come nelle due formule precedenti ma delle densità di carica le formule saranno:
ρ = densità volumica
Eₑₗ = 1/4πεᵢ ρΔV/r²
σ = densità superficiale
Eₑₗ = 1/4πεᵢ σΔS/r²
λ = densità lineare
Eₑₗ = 1/4πεᵢ λΔl/r²
- Linee di campo: uscenti da cariche positive, entranti in negative
- direzione tangenti al campo
- verso del campo
- più fitte, più il campo è denso
- no incroci
Flusso campo elettrico:
ΦE(S) = ∫S Ę·dS
Valutiamo il valore del flusso in una superficie particolare: sferica
∫S Ę·dS = 1/4πε0r² ∫sup sferica dS = 4πr²·q/4πε0 = q/ε0
quindi ΦE(S) = ∫S Ę·dS = q/ε0 → vale per ogni S chiusa con una carica puntiforme interna
Flusso non dipende dalla superficie
Ora forti di queste conoscenze, calcoliamo il campo elettrico di una sfera con densità di carica volumetrica interna ρ!
R = raggio sferaρ = densità volumica
r<R
ΦE(S) = QTOT/ε0
QTOT = ρ·4/3 πr³
= 4/3 πr³ / ε0
IE(S) = ∫ Ę·dS = 4/3 πr³/ε0 → E·4πr² = 4/3 πr³/ε0 → E = ρr/3ε0
r>R
ΦE(S) = QTOT/ε0
QTOT = 4/3 πR³ = QINT
∫ Ę·dS = QINT/ε0
E·4πR² = QINT/ε0
E = 1/4πε0 · QINT/R²
CONDUTTORE
V costE = 0
ora prendiamo un conduttore con cavità
E = 0
E ?
consideriamo il flusso alla superficie verde∮E = Qint = 0 perché consideriamo la caricaε0 nella linea rossa, se ci fossero delle carichenella cavità che entrano in contatto con la linea∮E·d⌀ ≠ 0 impossibile. Quindi all'interno E = 0
è attraverso questa proprietà che si creano le gabbie di Faraday
E = 0
schermoelettrostatico
E se inserisco un -q all'interno della cavità
Dentro la cavità la carica tot deveessere = 0. Quindi sulla sup dellacavità deve esserci -q.Quindi all'esterno rimangono degli +scoperti = +Q
Introduciamo una nuova grandezza: la densità di energia elettrostatica.
dUe = uedV
Da questa si ricava ulteriormente
Ue = ∫ dUe, ∫ uedV = 1/2 ε0E2V
Ue = 1/2 q2/C = 1/2 cV2 = 1/2 qV = 1/2 ∫ ρVdV = 1/2 ε0E2V = 1/2 ∫ ε0E2dV
Di conseguenza in un dielettrico polarizzato avrà sempre una parte della
superficie carica positivamente e l'altra negativamente.
Se la polarizzazione è uniforme e non si manifesta cariche
all'interno del dielettrico e quindi le carica totale superfi-
cie deve essere nulla, QP-QP=0
P·undS=∫P·undS=0
O perchè esteso a tutta la
superficie del dielettrico
Supponiamo una POLARIZZAZIONE non UNIFORME. Quindi se
noi prendiamo nuovamente due prismi infinitesimi contigui notiamo
una differenza rispetto a prima. Infatti, le cariche sulle due
facce contigue non si annullereanno avremo una carica di
compensazione all'interno del dielettrico. Ovviamente la
somma tra la carica volumica e le cariche superficiali
deve 0.
dQp=P'u·dS=−Pxdzdy
dqP=PuxdS=Pxdzdy
dqP·dqV=(Px−Px)dydz=∂Pe/∂x
−∂Px/∂xdydz=∂Pxdx=None
(∂Px/∂x + ∂Py/∂y + ∂Pz/∂z)dV
dQvol=(−∂Px/∂x − ∂Py/∂y − ∂Px/∂x)dV
ricavo dQvol/dV=−∇·P
vantità di volume caratteri polarizzate
da aggiungere se no non tornauna carica visto chePu·n è densità superficiale.
significa che mi ogni direzione c'è una variazione
di polarizzazione o variazione di densità superficiale diviso
lo spessore (l dim). Tutto deve essere moltiplicato
per un volume che automaticamente ne forma è una dimensione.
Poi la carica totale deve essere nulla:
∫Pρ·dS+∫ρvdV=0 \rightarrow ∫PindS=∫PρdV=∫PρdV−∫ρ
PSub e δ
TEOREMA
= proseguiamo pagina prima ∫V ∇ · J · dV = d/dt ∫V ρ dV = ∫V ∂ρ/∂t dV
Da questa serie di uguaglianze giungiamo a:
∇ · J = - ∂ρ/∂t
Riprendendo la relazione generale: ∇ · V = d/ dV perché ∇ · V = V/d dV
∂/∂t ∫ Φ = ∂/∂t dΦ dt Qint
REGIME STAZIONARIO
In regime stazionario la densità volumica non varia nel tempo.Quindi:∂ρ/∂t = 0 · ∇ · J
In condizione stazionaria l'intensità di corrente è la stessa attraverso ogni sezione del conduttore.Ricorda: GLI U sempre verso l'esterno
∫S1 (u1 · J1) ds1 = ∫S2 (u2 · J2) dS2
I1 = I2
Se il conduttore è a sezione variabile la densità di corrente e quindi la velocità di densità sono maggiori dove la sezione è minore, situazione che ricorda quella del moto di un fluido incomprimbile in regime stazionario lungo un condotto a sezione variabile.
1a LEGGE di KIRCHHOFF o LEGGE dei NODI
ENTRANTI ∑j Ij = USCENTI ∑k Ik
2a LEGGE di KIRCHHOFF o LEGGE delle MAGLIE
∑j Vj = 0
tutte le tensioni di una maglia chiusa.
CAMPI MAGNETICI
Le azioni magnetiche sono il risultato dell'interazione tra cariche in moto. Un sistema di cariche in moto genera un campo magnetico B.
- B è grandezza vettoriale
- Caratteristiche di B:
- simile di mancanza div
- Le linee di campo sono tangenti ad B in ogni punto
- B può essere entrante (*) o uscente (°)
- Non esistono monopoli magnetici
Quindi ∮ B · dS = 0
TERMINI LOCALI: ∇ · B = 0
DIMOSTRAZIONE GRAFICA
quindi ∮ B · dS = 0
FORZA MAGNETICA SU UNA CARICA IN MOTO
Consideriamo una particella di massa m con carica q immerse in un campo magnetico B uniforme.
FL = q · v × B FORZA DI LORENTZ
- modulo: FL = qvBsinθ
- angolo tra v e B: max = v ⟂ B, min = v || B = 0
- direzione: è ortogonale al piano individuato da v e B
- verso: determinato dalla regola del prodotto vettoriale se q > 0, opposto se q < 0
In particolare, la forza è sempre perpendicolare alla velocità e quindi alla traiettoria. Per questo motivo:
∮ FL · dS = 0 significa che la forza non varia il modulo della velocità ma la sua direzione come una forza centripeta.
Δ : differenza tra FL e Fel
- ⟂B
- || E
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