Fisica 1 - Seconda parte

Quantità di moto

Se abbiamo un sistema di particelle, possiamo descrivere il moto traslatorio dell'intero sistema col moto del centro di massa del sistema.

In un sistema costituito da due sole particelle di massa _m1 e _m2 distorti rispettivamente _X1 e _X2 da una certa origine O in un sistema unidimensionale descritto dall'asse x. Il centro di massa (C.M.) è il punto localizzato ad una distanza _XCM dall'origine O:

_XCM = (_{m1X1 + m2X2}) / (_{m1 + m2})

Ovvero

(_{m1 + m2}) X_CM = m₁ X₁ + m₂ X₂

*nell'esperienza comune equivale al baricentro

o in un sistema di N particelle disposte lungo una retta si avrà:

X_CM = Σm_ix_i/Σm_i

poiché Σm_i è la massa totale del sistema M → M X_CM = Σm_ix_i

In un piano invece, rispetto all'origine O si avrà:

x_CM = [Σm_ix_i] / Σm_i

y_CM = [Σm_iy_i] / Σm_i

e in un volume anche

z_CM = [Σm_iz_i] / Σm_i

Il centro di massa di un sistema di particelle dipende solo dalle masse delle particelle e dalla posizione relativa di esse.

È possibile trattare un corpo come una distribuzione continua di massa, dividendo il corpo in questione in tante masse Δm_i;

facendo quindi tendere Δm → 0 e il numero delle masse N → ∞ sarà possibile definire le coordinate del centro di massa come:

x_CM = lim_Δmi→0 [Σ Δm_ix_i] / ΣΔm_i = ∫ x dm / ∫ dm

y_CM = ∫ y dm / ∫ dm = (1/M) ∫x_i dm

x, y, z definito come un vettore posizione dall'equazione: S^M = ∫ S dm / ∫ dm

Per un corpo omogeneo, il centro di massa cadrà sempre sul suo punto, linea, piano di simmetria.

Il moto del centro di massa

In un sistema di particelle, distribuito lungo l'asse x, risulta che: MCM = m₁x₁ + m₂x₂ + ... + m_nx_n, derivando l'equazione rispetto al tempo: M dCM/dt = m₁dx₁/dt + m₂dx₂/dt + ... + m_ndx_n/dt M v_CM = m₁v₁ + m₂v_ext + ... + m_nv_n, derivando nuovamente rispetto al tempo: M a_CM = m₁a₁ + m₂a₂ + ... + m_na_n

da cui risulta: Ma_CMx = E_1x + E_2x + ... + F_1x *lo stesso discorso vale per gli altri assi, e in equazione vettoriale:

M a_CM = F₁ + F₂ + ... + F_n

Il prodotto della massa complessiva del gruppo di particelle per l'accelerazione del centro di massa è uguale alla somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul sistema di particelle.

Poiché eventuali forze interne saranno a due a due equili e contrarie, (III legge di Newton) considereremo solo le forze esterne:

F_est = Ma_CM

Impulso e quantità di moto

L'andamento in funzione del tempo di una forza impulsiva è approssimabile come in figura; la forza ha una forza costante.

• La collisione inizia all'istante t₁ e finisce all'istante t₂.
• La forza è nulla prima e dopo.
• Dalla II Legge di Newton si ha: F = dp/dt

La variazione infinitesima della quantità di moto dp dovuta ad una forza F che agisce per un tempo infinitesimo dt è data da: dp = F(t)dt

Sarà possibile ricavare la variazione della quantità di moto data da:

Δp = ∫_t1^t2F(t)dt

L'integrale della forza F sull'intervallo di tempo in cui agisce, viene definito impulso ed è una grandezza vettoriale:

J = ∫_t1^t2F(t)dt = Δp

La variazione di quantità di moto a cui è soggetto un corpo su cui agisce una forza impulsiva (direzione costante durante il tempo di applicazione) è uguale all'impulso.

se invece si ha: m₁ = m₂

risulta:

Caso particolare A

v₁ = u₂ → V_f(m₁) = V_i(m₂)

v₂ = u₁ → V_f(m₂) = V_i(m₁)

cioè se m₂ = m₁ le masse si scambiano le velocità.

Caso particolare B₁

se m₂ è inizialmente ferma, cioè se u₂ = 0

risulta: v₁ = u₁(m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)

v₂ = u₁2 m₁ / (m₁ + m₂)

se allo stesso si ottiene (m₂ = m₁)

Caso particolare B₂

v₁ = 0 → m₂ si ferma

v₂ = u₁ → m₂ scatta via con la velocità di m₁

se invece m₂ >> m₁ si ha:

Caso particolare B₃

(particella) ferma molto più massiva di quella incidente)

v₂ ≈ -u₁ → m₁ quella incidente, rimbalza circa con la stessa velocità

(come una palla che cade per terra)