Fisica 1 per l'orale

Capitolo 2 - Grandezze Scalari e Vettoriali

Scalare: 1 numero reale

Vettoriale: 3 numeri reali

Vettore applicato: specificare punto di applicazione. (seno vettore libero)

2.1 Rappresentazione dei vettori

(rapresentazione grafica)

• |V| = modulo: lunghezza della freccia (definito positivo)
• Direzione: famiglia di rette parallele alla freccia
• Verso: dalla punta alla coda
• Rette equipollenti: sulle quali giace il vettore
• Versore: vettore di modulo unitario, individua una famiglia di rette orientate tra loro //.

2.2 Operazione coi vettori

Somma: Vettore + Vettore = Vettore → a + b = c

Proprietà:

• Commutativa: a + b = b + a
• Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

Prodotto di uno scalare per un vettore: αa = α v

• Modulo: |αa| = |α| |a|
• Stessa direzione: del vettore
• Verso concorde: se α > 0, discorde se α < 0.

Soluzione in componenti cartesiane:

• Proprietà
• (b + c) a = ba + ca
• -a (b + c) = ab + ac
• a bc = a (bc) = (ab) c

n.b. se a, b e c: a = cb sempre!

Prodotto scalare

_a⋅_b = |_a||_b| cosθ = a b cosθ = _axbx + _ayby + _azbz

_a = (_ax, _ay, _az)

_b = (_bx, _by, _bz)

_a⋅_b = _axbx + _ayby + _azbz

Dimostrazione

_a = _ax ^û_x + _ay ^û_y + _az ^û_z

_b = _bx ^û_x + _by ^û_y + _bz ^û_z

Vedo che: ^û_x⋅^û_x = 1,  ^û_x⋅^û_y = 0, ^û_x⋅^û_z = 0

Quindi deduco che:

• I versori degli assi cartesiani sono ⊥
• La terna ^û_x, ^û_y, ^û_z è ortonormale (ovvero ∥diilo 1 e ⊥)

Quindi: ax = a⋅ûx   ay = a⋅ûy   az = a⋅ûz

|_a| = a = √(_a⋅_a) = √(_ax² + _ay² + _az²)

Nota bene: i vettori _a, _b sono sempre in un piano perno per 3 punti posto 4 piano solo.

Prodotto vettoriale

_a × _b = _c

Modulo = |_c| = a b senθ

Direzione = direzione ₁ diretto _b

Verso = regola mano DX

Nota bene: se _σ // _b ⟺ _a×_b = 0 ⟺ senθ = 0

_a × _b = -_b × _a

[_a × _b] = a b senθ

_a × _b = (_{ay bz} - _{az by}) ^û_x + (_{az bx} - _{ax bz}) ^û_y + (_{ax by} - _{ay bx}) ^û_z

• (_α×_b) × _c ≠ _α×(_b×_c)
• (_a×_b)×_c = (_α⋅_c)_β - (_β⋅_c)_α
• _α×(_b×_c) = (_α⋅_c)_β - (_α⋅_β)_c
• (_α+_b) × _c = _α×_c + _β×_c

Prodotto misto

_a×_b⋅_c = _a⋅_b×_c = _β×_c⋅_α = _γ×_c⋅_b

Sviluppo prima il prodotto vettoriale (_a × _b)

Di cui _α×_β⋅_γ sono gli spigoli

_α×_β⋅_c = _a⋅_β×_c

In componenti:

• _{ax ay az}
• _{bx by bz}
• _{cx cy cz}

= _ax(_bycz - _bzcy) + _ay(_bzcx - _bxcz) + _az(_bxcy - _bycx)

Nota bene: 3 vettori sono complanari solo se il prodotto misto è nullo.

3.6 Cambiamento del sistema di riferimento

Traslazione unidimensionale

x^'

X = X^' + X₀

X^' = X - X₀

per una traslazione temporale vale lo stesso:

t^' = t - t₀

quindi

ΔX = Δx = X₂ - X₁ = X₂^' - X₁^'

Δt = Δt^' = t₂ - t₁ = t₂^' - t₁^'

anche nel corso di t ₀

v₀ = dx/dt = dx^'/dt = v^' - v₀

dv₀/dt = dv/dt - dv₀/dt = a - a₀

Passaggio in coordinate polari nel caso bidimensionale

x trova le coordinate cartesiane:

x = r cos θ

y = r sin θ

quindi r = √(x² + y²)

θ = arctan y/x

x posa dipendere del tempo, quindi:

x^. = r cos θ - θ sin θ

y^. = r sin θ + θ cos θ

x* = r^.cosθ - rθ^. sin θ - rθ^. cos θ

y* = r sin θ + rθ^. cos θ + rθ^. sin θ - rθ^. cos θ

i versori non sono indipendenti dal tempo infatti se definisco:

û_r = cos θ û_x + sen θ û_y

uθ = sen θ û_x + cos θ û_y

allora:

û_r^. = θu û_θ

û_θ^. = -θû_r

quindi:

v^′ = (rû_r + rθû_θ) = Vru_r + Vθu_θ

a^′ = (r₀r_θ^′)û_r + 2(θ^′ + θ)u_θ

posso scrivere anche:

a^′ = (r - &rDot;θ²)û_r + 1/sq d(rθ)