Fisica 1 (Parte 1 di 3)

MECCANICA

Cinematica: studia il moto dei corpi indipendentemente dalle cause che lo provocano e lo modificano.

Dinamica: studia il moto dei corpi in relazione alle cause che lo determinano.

Elementi fondamentali per la cinematica:

• Punto Materiale: rappresenta un oggetto privo di dimensioni o, meglio, di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza prese in considerazione. Non ha struttura interna e la unica nota che gli si può applicare è la cinematica.
• Tempo: viene misurato in secondi [s], un secondo corrisponde a 9,16293171·10⁹ oscillazioni della radiazione dello stato ¹³³Cs, con un errore di 1 giorno ogni 3000 anni. In un ottenere una maggiore precisione si può utilizzare lo Sr portato a -180°C, che permette un errore di 1s ogni 15 miliardi di anni.
• Distanza: viene misurata in metri [m], un metro corrisponde alla distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un tempo di 1/299792458 secondi, con velocità della luce nel vuoto pari a 2,99792458·10⁸ m/s, con un errore di 4·10^-9 m.
• Sistema di riferimento: possiamo schematicarlo come un sistema di assi cartesiani rispetto ai quali un osservatore fermo.

Vettore Posizione:

definisce la posizione del punto materiale studiato all'interno del sistema di riferimento dato.

espresso in funzione del tempo

• r = x(t)nx + y(t)ny + z(t)nz
• PM = xPnx + yPny + zPnP

Traiettoria:

Luogo dei punti occupati dal punto materiale nei diversi istanti di tempo.

Legge Oraria: equazione matematica parametrica del tempo che fornisce l’andamento della

posizione → x(t), y(t), z(t)

Diagramma Orario (o Grafico Spazio-Tempo): è una tabella che esprime la legge oraria e

fornisce un modo di rappresentarla graficamente.

Velocità vettoriale

Moto parabolico (MRU+MRUA)

• a) t = x₀cosθ

• b) y = x₀senθ - x²/cos²θ

equazione di una parabola

Gittata: trovo la x per cui y vale 0

x_s = 2x₀²senθcosθ/g

A x_i trovo la massima quota del moto (y_max)

y_max = x₀²senθ²/2g

y_max si ha anche quando x' = 0

t_max = x₀senθ/g

Moto Circolare

Coordinate intrinseche:

• s(t): ascissa curvilinea
• v_t(t): ^ds(t)⁄_dt

Coordinate polari:

• |r(t)| = |OP(t)| = R in ogni istante t
• θ(t) = ^s(t)⁄_R
• σ = ^&angl;⁄_R = \[\frac{PQ}{R}\]

Velocità

• Velocità angolare ω = ^dθ(t)⁄_dt = ^ds(t)⁄_Rdt = ^arc(t)⁄_R
• v = 25\[\pi\]t_Ut al t_T

Mentre v è tangente al punto P e giace sulla stessa piana della traiettoria, w è perpendicolare ad essa e determinata con la regola della mano destra (^z⁄_y), si sporge su alto sulla traiettoria con verso antiorario e si prende il pollice come direzione di w

Relazione vettoriale

|i x w x |R|

Accelerazione:

a(t) = ^d⁄_t (v x v) + \[\pi\]t x \[\pi\]b_t

• a_R = ^d⁄_t ^Rx πwx R x

Accelerazione centripeta,

a_c

|v, | ^d⁄_dt (v) = \[\frac{(wR)\]

a_i = \[\frac{d}\⁄_t\] ( wR) x \[ ) + s(t)R \[

Accelerazione angolare,

a = \[

• a_w(t) = d + \[\pi\]
• d ^a_i = w^b

Notazione vettoriale:

\[\frac{dR}{dt\] R + v dt +

dR

Formula alternativa per lo spostamento x(t) = Asen(ωt + φ')

Dimostrazione:

x(t=0) = x_o | φ(radici ...) ωt(t=0)=ω·0=0

x(t) = Acos(ωt + φ) ωt(t)=-Aωsen(ωt+φ) A, φ, ?

x(t=0) = Acos(0+φ) = x_o ωt(t=0)=-Aωsen(0+φ)=0 ⇔ φ=0 e A = x_o

x(t) = Asen(ωt + φ') ωx(t) = Acos(ωt+φ') Δ₁, φ', ?

ωx(t=0) = Aωcos(0+φ')=0 ⇔ φ'=- ^π/₂ x(t=0)=A_osen(0+φ')=x_o ⇔ A = x_o

⇔ Tra le due formule cambia solo la φ

Dimostriamo che la proiezione dell' HCU lungo uno degli assi è un moto armonico:

OP' = Rsen(θ(t))=Rsen(ωt)

|V_p'| = ωRcos(θ(t))=ωcos(ωt)=ωRcos(ωt) ⇔ V = dx/dt

|a_c| = ω²R |a_cy = a_ccos(θ) = a_ccos(θ)

γ_t, a_x = a_csen(0)= -^n2R_{W²Rsen(ωt)-ω²sen(ωt)}

⇔ dipende dalla velocità angolare del punto sulla circonferenza

x: F - F_s = ma

F - μN = ma

μ = 0, accelera il sistema μ ≠ 0, il sistema ritorna ad uno stato di quiete

F - μ_smg = ma μ ≠ 0, il sistema si trova in equilibrio dinamico

Piano Inclinato

y: N - P_y = 0

N - P cos α = 0 → N = P cos α = mg cos α

x: P_x = ma

P sin α = ma

mg sin α = ma → a = g senα = â_x g senα

y: N = mg cos α

x

P_x - F_AS = 0

mg sin α - F_AS = 0

mg sin α ≤ μ_smg cos α

sin α/cos α ≤ μ_s → tg α ≤ μ_s

Nel caso in cui tgα > μ_s, abbiamo:

y: N = mg cos α

P_x - F_AD = ma

P_x - μ_sN = ma

mg sin α - μ_smg cos α = ma → a = g (sinα - μ_scosα)

Condizione per avere l’equilibrio dinamico (∑a = 0)

sin α - μcosα = 0 → tg α = μ_s

Pendolo Semplice

• Condizione di equilibrio

T_z + F_p = 0 → T = mg

• Condizione dinamica con l'ip. l'attrito è trascurata

x : mα_t = F_px

μ_t = a_t = α_tL → accelerazione Tangenziale

y : T - F_py = ma_c (Noto: T funzione del tempo, T(Θ))

Legge Orosio

a_t = α_t ⇒ α_c = (dΩ²/dt²) → Da moto circolare in cin ùl α_x = ω²L e a_c = ω²L

Usiamo l'ipotesi delle piccole oscillazioni per semplificare l'equazione del moto; supponiamo quindi che Θ ≤ 5°. 0.122 rad in questo modo possiamo ottenere gli sviluppi di Taylor della funzione seno [serie x ^∞ Σ _n=1 ((-1)ⁿx^2n-1)/(2n+1)! ; ] ipotizziamo seno = 0 con un errore di 10^-3 rad.

Equazione ottenuta: (d²Θ)/(dt²) + Θ = 0 → Moto armonico

Otteniamo: Θ(t) = Θ_ocos(ωt+φ) con Θ_o (ampiezza della oscillazioni) che per ipotesi è 5°

ω² = g/L → ω = √(g/L)

(dΘ(t)/dt) = -Θ_oωsen(ωt + φ)

s(t) = Θ(t)L → s(t) = Θ_oL cos(ωt + φ)

s(t) = ds(t)/dt = -Θ_oLωsen(ωt + φ)